Ein viskoelastisches Stoffmodell zur Simulation gummiartiger ...

2 Formulierung des Materialmodells 4
2.2 Elastische Teilwerkstoffgesetze
Bei beiden Teilmodellen wird von hyperelastischen Spannungsbeziehungen, das heißt
von der Existenz einer Freien-Energie-Funktion als elastisches Potential ausgegangen.
Die KIRCHHOFF-Spannungen werden durch Ableitung dieses Potentials gebildet.
2.2.1 OGDEN-elastisches Teilmodell
Die zur Modellierung des annähernd inkompressiblen viskoelastischen Materialverhaltens
verwendete „Penalty-Funktion“ für den volumetrischen Spannungsanteil wird
in Anlehnung an [1] in der Grundelastizität berücksichtigt. Dieser volumetrische Anteil
der Freien-Energie-Funktion wird wie folgt angesetzt:
0
vol
0
2
1 0 0 ( e ) = e
ˆ κ
mit
2
0 0 0
e 1 + 2 +
= .
0
3
(2.6)
Die volumetrischen Anteile der KIRCHHOFF-Spannungen ergeben sich durch
Ableitung:
0, vol
a
∂ ˆ
=
∂
0
vol 0 0
= κ e . 0
a
(2.7)
Um annähernd isochores Verhalten zu erzwingen, muß der Kompressionsmodul 0
κ
sehr groß angesetzt werden.
Der isochore Anteil der Freien-Energie-Funktion wird durch den OGDEN-Ansatz
formuliert. Dies geschieht analog zu [3] Kapitel 6:
0 ˆ iso
µ
a=
1 p=
1 α p
α
mit
0, dev
a =
µ
0 1 0 * p
a-
3 e , µ p = 0
µ
.
3 N *
0, dev 0
p 0, dev
( a ) = µ ∑∑ ( exp(
a p ) −1)
(2.8)
Die Materialparameter µ p sowie α p müssen in Abhängigkeit der Anzahl N der
0
verwendeten additiven Teile der Freien-Energie-Funktion bestimmt werden. µ ist der
Schubmodul. Da α p und *
µ dimensionslos sind, wird der gesamte Summenterm in
(2.8) dimensionslos. An die Parameter α p und
Nebenbedingung gestellt:
N
∑
p=
1
p
*
µ p wird nach [4] folgende
*
µ α = 2 . (2.9)
p
p