Ein viskoelastisches Stoffmodell zur Simulation gummiartiger ...

3 Algorithmus 10
ˆ
2
ev ∂λ
ev ∂ ˆ ∂ ˆ ev
0 = r
t
t
ˆ
a + ab∆
b + ∆ ∆ b + ∆ ∆ b λ . ev
(3.4)
∂ ∂ ∂ ∂
Unter Verwendung der Beziehungen
∂
ev
b
2 2 ev 2 2 ev
∂ ˆ ∂ ˆ ∂ c ∂ ˆ ∂ ˆ
=
=
ev ev ev ev ev ev ev ev ev
a ∂ b ∂ a ∂ c ∂ b ∂ a ∂ c ∂ c ∂ b
∂ ˆ λ ∂ ˆ λ ∂
=
∂ ∂ ∂
ev
b
ergibt sich folgende Matrixschreibweise:
ev
c
ev
c
ev
b
⎡ ∂ ˆ
2
2 ev
λ ∂ ˆ ⎤ ⎡ ∂ ⎤
= ∆ ⎢ ⎥ + ∆ ˆ ˆ ⎡ ∂ ˆ ⎤
L : t
tλ
ev ev ⎢ ev ev ⎥ , E : = ⎢ ⎥ ,
ev ev
⎣∂
b ∂ a ⎦ ⎣∂
a ∂ b ⎦ ⎣∂
a ∂ b ⎦
1 = [ ] , r := [ r ] ,
ab
ev
[] = r + ( 1 + L E )[ ∆ ]
0 .
a
b
ev
a
a
ev
b
,
(3.5)
(3.6)
Die nötigen Ableitungen in (3.5) ergeben sich nach den Ansätzen in Kapitel 2.2 und 2.3
analog zu [3] Kapitel 7.1.2 zu
∂
∂
2
ev
a
ev
a
ˆ
∂
ev
2
∂ ˆ
∂ ∂
ev
a
ev
b
ev
b
∂ ˆ λ s
=
∂ η
= 2µ
=
N
ev
ab
ev, dev
ab
−
,
ev, dev
a
ev, dev
b
( ) 3
N ev, dev
mit
ev, dev
ev, dev
ev, dev
s−1
∂ s
s
( ) = ( N ev, dev )
∂
ev
a
η
ev, dev2
1
ev, dev2
2
ev, dev2
2
N = + + ,
Die gesamte lokale NEWTON-Iteration ist in Kapitel 3.3 in Tabelle 3.2 dargestellt.
−1
N
ev
a
ev, dev
.
(3.7)
Die elastischen Energieanteile werden analog zu Kapitel 3.1 in jedem Postprocessing-
Schritt direkt bestimmt. Die Dämpfungsarbeit wird jeden Zeitschritt inkrementell, unter
der Annahme konstanter Dissipationsleistung im Zeitschritt, bestimmt:
v
Wn = n+
1
v
+ 1 Wn
+ DV
∆t
. (3.8)
Die viskose Dissipationsleistung kann aus den in der Iteration bereits bereitgestellten
Termen berechnet werden: