Ein viskoelastisches Stoffmodell zur Simulation gummiartiger ...

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4 Verifikation 15 Zur Verifikation der einachsigen Versuche werden im folgendem demnach nur die Deviatorspannungen verwendet. Die deviatorischen Hauptspannungswerte des OGDEN-elastischen Teilmodells lassen sich analytisch nach (2.10) wie folgt berechnen: T 0, dev a = τ 0, dev a N N αp − 0 * 0, dev 0 * = ( ) = 2 αp 2 2 µ µ p exp ε b α p Π ba µ µ p Λ − Λ 3 3 (4.5) p= 1 p= 1 Abbildung 4.1: Einachsiger Zugversuch mit unterschiedlichen Dehnraten Die numerisch und analytisch ermittelten elastischen Spannungswerte stimmen überein, das OGDEN-elastische Teilmodell ist somit verifiziert. Zur Verifikation des viskoelastischen Teilmodells wird die Fließregeldiffentialgleichung ausgehend vom Deformationsgradienten analog zu [3] Kapitel 4.2.2 formuliert: − 1 2 b £ v ev b ev-1 = 0 ev 1 1 ( ε − ε ) diag{ 1; − ; − } ˆ τ = λ τ → ε v ev, dev ev, dev = ˆ λ = ˆ λ Für monotone einachsige Belastung gilt: ev n ev n-1 2 3 . 2 3 2 τ τ ev ev 2 diag 1 1 { 1; − ; − } 2 2 (4.6) τ > τ . (4.7) Daraus abgeleitet ist die folgende Überlegung: ˆ λ ε ε ev ( ) ˆ ev τ > λ( τ ) v n ev n CAUCHY-Spannung T dev [N/mm²] > ε 6 5 4 3 2 1 v n-1 → 0 0 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 n-1 ε ε v ev n < ε → ε ε ε ε ε 0 . 0 0 0 0 = 0 ev n-1 1 s = 10 = 10 = 10 −2 −1 0 1 s 1 s 1 s Streckung Λ=[−] [−] (4.8)
4 Verifikation 16 Dies bedeutet, daß der einaxiale Spannungsanteil des viskoelastischen Teilmodells asymptotisch auf einen konstanten Wert zuläuft, welcher wie folgt berechnet werden kann: & 0 → = ˆ λ ev = 2 3 = 2 3 2 3 1 η 1 0 3 s ( & η ) . 1 s ev, dev s 2 ev 3 ( ) = ( ) 2 3 η 2 (4.9) Die analytisch berechneten asymptotischen viskosen Spannungswerte sind in Tabelle 4.2 angegeben. Logarithmische Dehnrate Viskose Spannungsanteile & & & 0 0 0 = 0,01 = 0,1 = 1,0 1 s 1 s 1 s T 0,0928 ev = N/mm² T 0,1466 ev = N/mm² T 0,2318 ev = N/mm² Tabelle 4.2: Asymptotische viskose Spannungsanteile Die asymptotischen Spannungswerte der Simulation stimmen genau mit den analytisch berechneten überein. Zur weiteren Verifikation kann der Tangentenmodul im Nullpunkt des Spannungs- Streckungs-Verlaufs dienen. Analytisch ergibt sich für den elastischen Spannungsanteil aus (4.5): ∂T ∂ 0, dev N 1 µ ∑ p p 2 Λ p= 1 0 * 0 ( Λ = 1) = µ α = µ . (4.10) Der Tangentenmodul des viskosen Spannungsanteils erhält man durch folgende Überlegung: & v → ( ) ˆ 2 Λ = 1 = λ( Λ = 1) 3 ev 0 & ( Λ = 1) = & ( Λ = 1) ev ∂T1 ∂T1 = ∂Λ ∂t ev ∂T1 → ∂Λ ev ∂t ev = 2µ & ∂Λ ev ( Λ = 1) = 2µ . = 0 ev 1 Λ& Der Gesamttangentenmodul ist die Summe beider Einzelmoduli und ergibt sich zu: 0 (4.11) dev ∂T1 ev 0 ( Λ = 1) = 2µ + 2µ = 5, 3N/mm². (4.12) ∂Λ
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