4 Wechselstromtechnik – Einführung 4.1 Wechselgrößen

FH Giessen-Friedberg StudiumPlus Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler 

Grundlagen der Elektrotechnik 

Wechselstromtechnik – Einführung 

4 Wechselstromtechnik – Einführung 

4.1 Wechselgrößen 

Nimmt eine Wechselgröße in bestimmten, aufeinander folgenden Zeitabständen 

wieder denselben Augenblickswert an, nennt man sie 

periodische Wechselgröße. Die nachfolgende Abbildung zeigt das 

prinzipielle zeitliche Diagramm. 

Dabei bedeuten: 

T : Periodendauer (Periode) des Wechselvorgangs (kürzeste Zeit 

zw. zwei Wiederholungen) 

f = 1 T : Frequenz (Anzahl der Wiederholungen pro Zeit) 

ɵv : Maximal- oder Scheitelwert (höchster Wert, den die Wechselgröße 

annehmen kann) 

Allgemeine Darstellung periodischer Wechselgrößen: 

v( t) = v( t + k ⋅ T ) mit: k = 0, ± 1, ± 2,... 

(4.1) 

1




4.2 Sinusförmige Wechselgrößen 

Sinusförmige Wechselgrößen ändern sich zeitlich sinusförmig. Sie 

werden grundsätzlich wie folgt beschrieben: 

v( t) = vɵ ⋅ sin( ωt + ϕ) 

(4.2) 

Sinusförmige Wechselgröße in Abhängigkeit von t und ωt: 

Verwandt mit der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Sie ergibt sich 

aus der Sinusfunktion durch eine Phasenverschiebung von π/2 = 90°. In 

der Elektrotechnik verwendet man hauptsächlich Sinus- bzw. Kosinusfunktionen, 

weil bei diesem Kurvenverlauf die geringsten Verluste und 

Verzerrungen auftreten. 

Weiterhin lassen sich kompliziertere Funktionen durch Überlagerung 

(Linearkombination) von theoretisch unendlich vielen Sinus- und 

Kosinusfunktionen konstruieren (Fourier-Reihe). 

Erzeugung einer sinusförmigen Wechselspannung: 

Die wichtigste Möglichkeit zur Erzeugung von sinusförmigen Spannungen 

bietet das Prinzip der Induktion der Bewegung, bei der mechanische 

Arbeit in elektrische Energie gewandelt wird. Um dies zu erreichen, 

muss ein Leiter in einem Magnetfeld gedreht werden, siehe Kapitel 3. 

Dies gilt sowohl für die hier betrachteten Einphasen-Systeme als auch 

für die in ET3 behandelten Dreiphasen-Systeme (Drehstrom). 

2




4.3 Klassifikation von Wechselgrößen 

Arithmetischer Mittelwert – Gleichanteil einer Größe: 

T 

∫ 

v = 1 v( t) ⋅ dt (4.4) 

T 

0 

Gleichrichtwert: 

∫ 

v = 1 v( t) ⋅ dt (4.5) 

T 

T 

0 

Beispiel 4.1: 

Gegeben ist der skizzierte Brückengleichrichter. Ermitteln Sie den 

Gleichrichtwert an den Ausgangsklemmen CD. 

Beispiel 4.2: 

Das Bild zeigt eine gesteuerte Einweg-Gleichrichtung. Welchen Gleichrichtwert 

erhält man? 

20 60 120 

3




Effektivwert: 

Unter dem Effektivwert einer Wechselgröße, auch quadratischer Mittelwert 

genannt, versteht man den Wert, der die gleiche Leistung am 

gleichen Ohmschen Widerstand R erbringt wie eine ebenso große 

Gleichgröße. 

T 

1 

eff T 

0 

[ ] 2 

v( t) 

V = ∫ ⋅ dt 

(4.6) 

2 

Der Flächeninhalt des Rechtecks ⋅ 

I T in Bild a stellt die Wärmearbeit 

dar, die der Gleichstrom I in der Zeit T im Widerstand R = 1Ω 

verrichtet 

2 

hat. Der Flächeninhalt der Kurve i ⋅T 

in Bild b versinnbildlicht die 

Wärmearbeit des Wechselstroms i während der Zeit T am gleichen 

Widerstand. 

Aus der Kurve erkennt man, dass die Arbeit nicht konstant verrichtet 

wird, sondern schwankt. Um einen Mittelwert zu erhalten, legt man in 

Bild c die Fläche so um, dass ein Rechteck entsteht. 

4




4.4 Darstellung von sinusförmigen Wechselgrößen durch 

Zeiger 

Sinusförmige Wechselspannungen und Wechselströme lassen sich als 

sog. rotierende Zeiger darstellen, d.h. die Sinusschwingung wird im 

Zeigerdiagramm durch einen mit der Kreisfrequenz ω im 

Gegenuhrzeigersinn um den Nullpunkt rotierenden Zeiger der Länge ɵ v 

beschrieben. 

Transformation einer sinusförmigen Zeitfunktion in einen rotierenden 

Zeiger: 

Die Projektion des rotierenden Zeigers v( t ) auf die imaginäre Achse ist 

der Augenblickswert v( t ) der sinusförmigen Wechselgröße. Die 

sinusförmige Wechselgröße v( t ) wird somit in eine entsprechende 

komplexe Zeitfunktion v( t ) eindeutig abgebildet (sog. Transformation ins 

Komplexe). 

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4.5 Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert 

Komplexer Widerstand (Impedanz): 

Unter dem komplexen Widerstand versteht man das Verhältnis zwischen 

den komplexen Momentanwerten von Spannung und Strom. Er ist gleich 

dem Verhältnis der komplexen Amplituden. 

uɵ 

( u − i ) 

Z = ⋅ e = Z ⋅ e 

ɵi 

j ϕ ϕ jϕ 

jϕ 

(4.11) 

Z = Z ⋅ e = Z ⋅ cos( ϕ) + j ⋅ Z ⋅ sin( ϕ) 

= R + jX (4.12) 

( ) 

2 2 

Z = R + X ; ϕ = arctan X R (4.13) 

Z nennt man Scheinwiderstand, R den Wirk- und X den Blindwiderstand. 

Widerstandsdreieck für die Reihenschaltung eines Wirkwiderstandes mit 

einem induktiven (a) bzw. kapazitiven Blindwiderstand (b): 

jX c 

Z = R + 

jX c 

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Komplexer Leitwert (Admittanz): 

Der komplexe Leitwert Y ist der Kehrwert des komplexen Widerstandes. 

I 1 1 j 

Y = = = = Y ⋅ e 

jϕ 

U Z Z ⋅ e 

− jϕ 

− ϕ 


Y = Y ⋅ e = Y ⋅ cos( ϕ) − j ⋅Y ⋅ sin( ϕ) 

= G + jB (4.15) 

( ) 

2 2 

Y = G + B ; ϕ = arctan B G (4.16) 

Y nennt man Scheinleitwert, G den Wirk- und B den Blindleitwert. 

Parallelschaltung eines Wirkleitwertes mit einem kapazitiven (a) bzw. 

induktiven Blindleitwert (b): 

jBL 

Y = G + jBL 

Beispiel 4.3: 

Die Reihenschaltung eines Wirkwiderstandes mit RR=100Ω und eines 

induktiven Blindwiderstandes mit XL,R=200Ω soll in eine äquivalente 

Parallelschaltung mit RP und XL,P umgerechnet werden. 

7




4.6 Ohmscher, kapazitiver und induktiver Widerstand im 

Wechselstromkreis 

Ohmscher Widerstand: 

Bei einem Ohmschen Widerstand gibt es zwischen Spannung und Strom 

keine Phasenverschiebung. Im Zeigerdiagramm liegen Stromzeiger I und 

Spannungszeiger U in gleicher Richtung. 

uɵ = R ⋅ ɵ i bzw. U = R ⋅ I (4.18) 

ϕu = ϕi 


Linien- und Zeigerdiagramm des Ohmschen Widerstandes: 

Kapazitiver Widerstand: 

Der kapazitive (Blind-)Widerstand –XC als Quotient der Amplituden von 

Spannung und Strom ist gleich dem Kehrwert des Produktes ω·C, also 

frequenzabhängig. Der Strom durch die Kapazität C eilt der Spannung 

um π/2 voraus. 

1 uɵ 

− XC 

= = 

ωC 

ɵi 

(4.20) 

ɵ i = ωC ⋅ uɵ bzw. I = ωC 

⋅U 

(4.21) 

π π 

ϕ = ϕ − ϕ = − bzw. ϕ = ϕ + 

2 2 

u i i u (4.22) 

8




Linien- und Zeigerdiagramm des kapazitiven Widerstandes: 

Induktiver Widerstand: 

Der induktive (Blind-)Widerstand XL als Quotient der Amplituden von 

Spannung und Strom ist gleich dem Produkt ω·L, also ebenfalls 

frequenzabhängig. Die Spannung an der Induktivität L eilt dem Strom um 

π/2 voraus. 

uɵ 

XL = ωL 

= 

ɵi 

(4.23) 

uɵ = ωL ⋅ ɵ i bzw. U = ωL 

⋅ I (4.24) 

π π 

ϕ = ϕ − ϕ = bzw. ϕ = ϕ + 

2 2 

u i u i (4.25) 

Linien- und Zeigerdiagramm des induktiven Widerstandes: 

9




Beispiel 4.4: 

Für die skizzierte Schaltung soll der komplexe Gesamtwiderstand in der 

jϕ 

Form Zges = R + jX und Z = Z ⋅ e ermittelt werden. 

R 1 = 3Ω 

C2 

ges ges 

X = −4Ω C1 

X = −5Ω 4 X = Ω 

L 

2 1 R = Ω 

Beispiel 4.5: 

Welchen Wert muss in der skizzierten Schaltung der Schaltwiderstand 

R 2 haben, damit der Phasenverschiebungswinkel zwischen der 

Generatorspannung U und dem Gesamtstrom I 45° beträgt? 

Vorgehensweise: Man ermittle zunächst den Scheinleitwert in der 

Normalform der komplexen Zahl und setze dann tan( ϕ ) = Im Re an. 

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4.7 Spannungs- und Stromteilerregel 

Komplexer Spannungsteiler: 

Es gelten für den Spannungsteiler der Wechselstromtechnik die gleichen 

Gesetze wie für den Spannungsteiler an Gleichspannung. 

Beispiel 4.6: 

I 

Z1 2 Z 

U1 2 U 

I2 

Z2 

U 

I1 

Z1 

U Z 

= 1 1 

U 2 Z 2 

(4.26a) 

U 2 Z2 

= 

U Z + Z (4.26b) 

1 2 

Für die skizzierte RC-Schaltung ist 

das Spannungsverhältnis U 2 U 1 

in Abhängigkeit von R , C und ω 

zu ermitteln. Die Hilfsspannung 

U soll die Lösung erleichtern. 

Komplexer Stromteiler: 

Für den Stromteiler der Wechselstromtechnik gelten die gleichen 

Gesetzmäßigkeiten wie für den Stromteiler der Gleichspannungstechnik. 

h 

I1 Z2 

= 

I Z (4.27a) 

2 1 

I1 Z 2 = 

I Z + Z (4.27b) 

1 2 

11




Beispiel 4.7: 

Für die skizzierte Schaltung ist der 

Strom I L in Abhängigkeit von U , ω , 

R Lp , L p und R zu ermitteln. 

Anwendung der Spannungsteilerregel – Oszilloskop: 

In der Oszilloskop-Messtechnik ist man an einer möglichst genauen 

Darstellung interessiert. 

Oszilloskop an Spannungsquelle mit Innenwiderstand und ESB: 

Oszilloskop-Tastkopf und ESB: 

RT ⋅ CT = CK ⋅ R e 

(4.28) 

12




4.8 Leistung im Wechselstromkreis 

In einem Gleichstromkreis ist die Leistung zeitlich konstant, weil die 

Spannung und der Strom zeitlich konstant sind: 

P = U ⋅ I 

In Wechselstromkreisen sind Spannung und Strom sinusförmige 

Größen, d.h. auch das Produkt – die Augenblicksleistung – ist zeitlich 

veränderlich: 

ɵ sin( ω ϕ ) ɵ sin( 

ω ϕ ) 

p = u ⋅ i = u ⋅ t + ⋅ i ⋅ t + = p + p (4.29) 

u i w B 

Die Augenblicksleistung setzt sich aus zwei Komponenten zusammen: 

• Leistungskomponente, die mit 2ω pulsiert, dabei aber ihr Vorzeichen 

nicht wechselt. Die durch sie beschriebene Leistung fließt 

also in einer Richtung und kann somit als dauernde Energieentnahme 

bzw. -aufnahme, d.h. als irreversible Leistungsumwandlung, 

gedeutet werden. Sie wird als Wirkleistung pw bezeichnet. 

• Leistungskomponente, die mit 2ω um die Nulllinie pendelt, d.h. ihr 

Vorzeichen periodisch wechselt. Das bedeutet, dass sich auch die 

Richtung des Leistungsflusses periodisch umkehrt. Es wird in dem 

Verbraucher lediglich Energie gespeichert, die dann wieder 

abgegeben wird. Im Mittel wird dem Verbraucher von dieser 

Leistungskomponente keine Energie zugeführt. Man spricht von 

der Blindleistung pB. 

uɵ ⋅ ɵi p = ⋅ cos( ϕ − ϕ ) ⋅ ⎡ − ⎡⎣ ( ω + ϕ ) ⎤⎦ 

⎤ 

w u i ⎣ 

1 cos 2 t u 

2 

⎦ 

(4.30) 

uɵ ⋅ ɵi pB = − ⋅ sin( ϕu − ϕi ) ⋅ sin ⎡⎣ 2( 

ωt + ϕu 

) ⎤ 

2 

⎦ 

(4.31) 

13




4.8.1 Leistung im ohmschen Widerstand 

Die Wirkleistung PW des rein ohmschen Widerstandes errechnet sich bei 

sinusförmigem Wechselstrom aus dem Produkt der Effektivwerte von 

Wechselspannung und Wechselstrom. Die Abbildung zeigt den zeitlichen 

Verlauf von p(ωt) und PW. Man erkennt, dass p(ωt) mit doppelter Kreisfrequenz 

um den Mittelwert PW schwingt. 

uɵ ⋅ ɵi 

PW = = Ueff ⋅ I eff 

(4.35) 

2 

p ( ωω 

ω t 

) 

u ˆ ⋅ i ˆ 

p ( ωω ω t ) = ⋅ 1 − cos(2 ωω 

ω t ) 

2 

[ ] 

u ˆ ⋅ i ˆ 

P = = U ⋅ I 

2 

W eff eff 

4.8.2 Leistung im kapazitiven Widerstand 

Der Augenblickswert p der Leistung im kapazitiven Widerstand ändert 

sich sinusförmig mit der doppelten Kreisfrequenz. Der ideale Energiespeicher 

nimmt innerhalb einer Periode Energie vom Stromerzeuger auf 

und gibt sie wieder ab, die Wirkleistung PW ist daher Null. 

u ˆ ˆ 

C ⋅iˆ 

C ⋅i 

C 

p ( ωω t ) = 0 + ⋅ 

sin(2 ωω 

t ) 

2 

14




4.8.3 Leistung im induktiven Widerstand 

Auch im induktiven Widerstand ändert sich der Augenblickswert p der 

Leistung sinusförmig mit der doppelten Kreisfrequenz. Die Wirkleistung 

PW ist ebenfalls Null. 

4.8.4 Scheinleistung 

α 

PS 

PW 

PB 

u ˆ ˆ 

L ⋅iˆ 

L ⋅i 

L 

p ( ωω t ) = 0 − ⋅ sin(2 ωω 

t ) 

2 

Die Scheinleistung P S ist die Leistung, die scheinbar zur Verfügung 

steht, wenn man z.B. mit einem Messgerät getrennt zuerst die Spannung 

und dann den Strom misst (Effektivwerte), also die Phasenlage nicht 

berücksichtigt. 

Die Scheinleistung lässt sich auch über das Leistungsdreieck ermitteln. 

uˆ ⋅iˆ 

2 2 

PS = = Ueff ⋅ Ieff = PW + PB 

(4.40) 

2 

uˆ ⋅iˆ 

P 

⋅sin( 

ϕ) 

B tan( α) = = 2 = tan( ϕ) ⇒ α = ϕ 

P ˆ ˆ 

W u ⋅i 

⋅ 

cos( ϕ) 

2 

15




4.8.6 Wirk-, Blind- und Scheinleistung am komplexen 

Widerstand 

• Die Wirkleistung P W ist ein Maß für die im ohmschen Widerstand 

umgesetzte Leistung. 

• Die Blindleistung P B ist ein Maß für die gespeicherte Leistung. 

• Die Scheinleistung P S ist ein Maß für die gesamte Leistung, d.h. 

die im ohmschen Widerstand umgesetzte und die in den induktiven 

und kapazitiven Widerständen gespeicherte Leistung. 

Erklärung für Nicht-Elektrotechniker: 

Sollen für einen beliebigen komplexen Widerstand alle drei Leistungen 

berechnet werden, dann ist zu unterscheiden, ob eine Impedanz 

(Reihenschaltung) oder Admittanz (Parallelschaltung) gegeben ist. 

16




Impedanz: 

I 

Rr jX r 

U R 

X U 

U 

( U cos( ϕ) 

) 

P = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ U 

 

1 1 

W 2 I 2 I R 

U = R ⋅ I 

R 

r 

U 

R 

1 2 1 2 

W 2 I r Z 

2 I 

Zges = Rr + jX r 

{ } 

⇒ P = ⋅ ⋅ R = ⋅ ⋅ Re ges 

(4.41) 

2 2 

( U sin( ϕ) 

) Im{ 

Zges} 

P 1 1 1 

B = ⋅ 2 I ⋅ ⋅ = ⋅ X 

2 I ⋅ R = ⋅ 2 I ⋅ 

 

X ⋅ I 

induktiver Widerstand: 

kapazitiver Widerstand: 

R 

2 2 

ges r r 

U = Z ⋅ I = R + X ⋅ I 

1 2 

B mit: 

2 I ω r r ω r 

(4.42) 

P = ⋅ ⋅ L X = L (4.43a) 

1 1 

P = − ⋅ ⋅ X = − (4.43b) 

1 2 

B mit: 

2 I 

r 

ωCr ωCr 

U ⋅ I 1 2 2 2 

⇒ PS = = ⋅ R 2 I ⋅ r + X r 

(4.44) 

2 

induktiver Widerstand: 

kapazitiver Widerstand: 

1 2 2 2 2 

S 2 I r ω r 

P = ⋅ ⋅ R + L 

(4.45a) 

1 

P = ⋅ ⋅ R + (4.45b) 

1 2 2 

S 2 I r 2 2 

ω Cr 

17




Admittanz: 

I 

IR 

IB 

Gp 

jBp 

U 

( I cos( ϕ) 

) 

P = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ I 

 

1 1 

W 2 U 2 U R 

G I = ⋅ U 

R 

p 

I 

R 

1 2 1 2 

W 2 U p Y 

2 U 

Yges = Gp + jBp 

{ } 

⇒ P = ⋅ ⋅ G = ⋅ ⋅ Re ges 

(4.46) 

2 2 

( I sin( ϕ) 

) Im{ 

Yges} 

P 1 1 1 

B = ⋅ 2 U ⋅ ⋅ − = − ⋅ B 

2 U ⋅ p = − ⋅ 2 U ⋅ 

 

−B ⋅U 

p 

(bei der Admittanz wechselt das Vorzeichen des Winkels ϕ ) 

induktiver Leitwert: 

kapazitiver Leitwert: 

2 2 

ges p p 

I = Y ⋅ U = G + B ⋅ U 

1 2 

B mit: 

2 U 

p 

ωLp ωLp 

(4.47) 

1 1 

P = ⋅ ⋅ B = − (4.48a) 

1 2 

B mit: 

2 U ω p p ω p 

P = − ⋅ ⋅ C B = C (4.48b) 

U ⋅ I 1 2 2 2 

⇒ PS = = ⋅ G 2 U ⋅ p + Bp 

(4.49) 

2 

induktiver Leitwert: 

kapazitiver Leitwert: 

1 1 

P = ⋅ U ⋅ + (4.50a) 

S 

1 2 

2 2 2 2 

Rp ω Lp 

1 

P = ⋅ ⋅ + C 

(4.50b) 

1 2 2 2 

S 2 U ω 2 p 

Rp 

18




4.8.6 Prinzip der durchgehenden Wirkleistung 

Bei einer aus verlustlosen Elementen bestehenden Schaltung muss die 

am Eingang eintretende Wirkleistung voll dem Abschlussverbraucher 

zugeführt werden. Sucht man in einer derartigen, in der Abbildung 

beispielhaft skizzierten Schaltung an einer beliebigen Stelle x die 

Amplituden von Strom und Spannung, so kann die verbraucherseitig 

liegende Restschaltung stets durch eine der angegebenen Ersatzschaltungen 

beschrieben werden. 

PW 

Z = R + jX 

x x x 

Y = G + jB 

x x x 

Ersatzschaltungen: 

Ix 

U x 

1 2 1 2 

W I 2 x x I 2 2 

Z x bzw. Yx 

P = ⋅ ⋅ R = ⋅ ⋅ R 

ˆ 

R 

P W wird auf dem Weg zur Last nicht kleiner; 

2 

I 

x 

R 

x 

U x 

x G 

U x 

U x 

x G 

U x 

X 

a ) 

b ) 

2 

⇒ ix = Ix 

= I2 

⋅ (4.51) 

Rx 

1 2 1 2 

W U 2 x x U 2 2 

P = ⋅ ⋅ G = ⋅ ⋅ G 

ˆ 

G 

2 

2 

⇒ ux = U x = U2 

⋅ (4.52) 

Gx 

x 

I 

x 

U2 

B 

x 

I2 

R2 

19




4.8.7 Wirkleistung der Zweipolquelle mit komplexem Innen- 

widerstand 

Gegeben ist die skizzierte Ersatzspannungs- bzw. –stromquelle mit komplexem 

Innenwiderstand. Ein komplexer Verbraucher a Z bzw. Y a kann 

folgende Wirkleistung aufnehmen: 

Zi 

Ia 

U0 a U a Z i Y 

2 

U 

1 0 

W = ⋅ 2 a ⋅ 

2 

i + a 

P R Z Z 

2 

I 

1 0 

W = ⋅ 2 a ⋅ 

2 

i + a 

P G Y Y 

I0 

I0 = U0 Zi 

4.8.8 Leistungsanpassung bei Zweipolen 

Ia 

U a 

a Z 

(4.53a) 

(4.53b) 

Unter Leistungsanpassung versteht man allgemein die Abgabe der max. 

Leistung einer Quelle an einen Verbraucher. Die Lastimpedanz Z a bzw. 

Lastadmittanz a Y (siehe Abb. oben) nimmt die Wirkleistung P W nach Gl. 

(4.53) auf. Ihr Maximalwert lässt sich nach Gl. (4.55) bestimmen: 

P 

W max 

2 2 

0 0 

U I 

= = (4.55) 

8R 8G 

i i 

An die Lastimpedanz bzw. –admittanz wird die max. Leistung P W max 

nach Gl. (4.55) abgegeben, wenn für a Z bzw. Y a folgende Bedingung 

erfüllt ist: 

* 

a = a + a = i − i = i 

Z R jX R jX Z 

* 

a = a + a = i − i = i 

Y G jB G jB Y 

(4.56) 

20

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