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© 2012 bei Prof. Dr. Uwe Kastens
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Mehrfache Substitution
In einer mehrfachen Substitution σ = [ v 1 / t 1 , ..., v n / t n ] müssen alle Variablen v i paarweise
verschieden sein. In jedem v i / t i müssen v i und t i jeweils derselben Sorte s i angehören.
σ wird dann auf einen Term u wie folgt angewandt:
• u σ = t i , falls u = v i für ein i ∈ {1, ..., n},
• u σ = u , falls u eine Konstante ist oder eine Variable, die nicht unter v i für ein i ∈ {1, ..., n}
vorkommt,
• u σ = f (u 1 σ, u 2 σ, ..., u n σ) , falls u = f (u 1 , u 2 , ..., u n )
D. h. σ ist die gleichzeitige Substitution aller Vorkommen jeder Variablen v i jeweils durch
den Term t i .
Beispiele: σ = [ x / 2∗b, y / 3 ] (x + y) σ = (2∗b + 3)
(y + a∗y) σ = (3 + a∗3)
(x ∗ y) [ x / y, y / y∗y ] = (y ∗ (y ∗ y))
Die leere Substitution wird [ ] notiert. Für alle Terme t gilt t [ ] = t.
Außerdem gilt [v / v] = [ ] für jede Variable v.
Hintereinanderausführung von Substitutionen
Auf einen Term können mehrere Substitutionen hintereinander ausgeführt werden,
z. B. u σ 1 σ 2 σ 3 = ((u σ 1 ) σ 2 ) σ 3
(x+y) [x/y∗x] [y/3] [x/a] = (y∗x+y) [y/3] [x/a] = (3∗x+3) [x/a] = (3∗a+3)
Mod - 3.8
Mehrere Substitutionenen hintereinander können als eine Substitution angesehen werden:
z. B. u σ 1 σ 2 σ 3 = u (σ 1 σ 2 σ 3) = u σ
Mehrere einfache Substitutionen hintereinander kann man in eine mehrfache Substitution
mit gleicher Wirkung umrechnen:
Die Hintereinanderausführung [ x 1 / t 1, ..., x n / t n ] [ y / r ]
hat auf jeden Term die gleiche Wirkung wie
falls y unter den x i vorkommt [ x 1 / (t 1[ y / r ]), ..., x n / (t n [ y / r ])]
falls y nicht unter den x i vorkommt [ x 1 / (t 1 [ y / r ]), ..., x n / (t n [ y / r ]), y / r ]
Beispiel: [ x / y∗x ] [ y / 3 ] [ x / a ] = [ x / 3∗x, y / 3] [ x / a ] = [ x / 3∗a, y / 3 ]
Mod - 3.8a