Lösungen zu nicht besprochenen Aufgaben der 5. Übung

S2: Wir bestimmen eine partikuläre Lösung der Ausgangsgleichung. Dazu machen wir
den Ansatz
1
yp(x) = K(x)·
x+1 .
Abgeleitet nach x ergibt
y ′ p(x) = K ′ (x)·
1
x+1 −K(x)·
1
(x+1) 2.
Setzen wir yp und y ′ p in die Ausgangsgleichung ein, heben sich alle Terme mit K(x)
erwartungsgemäß weg und wir erhalten
K ′ 1
(x)·
x+1 = 4e2x
⇒ K(x) = 4
(x+1)e 2x dx.
Das Integral kann mit partieller Integration oder mithilfe der Integraltabelle im
Tafelwerk gelöst werden. Für K(x) ergibt sich
K(x) = (2x+1)e 2x .
Die Integrationskonstante wurde dabei vernachlässigt, weil nur eine partikuläre Lösung
gesucht ist. Die partikuläre Lösung sieht dann wie folgt aus:
yp(x) = 2x+1
x+1 e2x .
S3: Die allgemeine Lösung ist die Summe aus yp und yh:
y(x) = 2x+1
x+1 e2x 1
+K · , K ∈ R.
x+1
2