Lösungen zu nicht besprochenen Aufgaben der 5. Übung

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• h = 1 4 . Wir stellen den Verlauf des Verfahrens in einer Tabelle dar. Man beachte, dass dieses Mal x4 = 1 ist und somit y4 der gesuchte Näherungswert. Wir berechnen noch den Fehler: n xn yn 0 0.00 1.00000000 1 0.25 1.25000000 2 0.50 1.56250000 3 0.75 1.95312500 4 1.00 2.44140625 |y4 −y(1)| = |2.44140625−e| = 0.276876. • h = 1 8 . Wir stellen den Verlauf des Verfahrens in einer Tabelle dar. Man beachte, dass dieses Mal x8 = 1 ist und somit y8 der gesuchte Näherungswert. Wir berechnen noch den Fehler: n xn yn 0 0.000 1.00000000 1 0.125 1.12500000 2 0.250 1.26562500 3 0.375 1.42382813 4 0.500 1.60180664 5 0.625 1.80203247 6 0.750 2.02728653 7 0.875 2.28069735 8 1.000 2.56578451 |y8 −y(1)| = |2.56578451−e| = 0.152497. • h = 1 16 . Wir stellen den Verlauf des Verfahrens in einer Tabelle dar. Man beachte, dass dieses Mal x16 = 1 ist und somit y16 der gesuchte Näherungswert. 4
Wir berechnen noch den Fehler: n xn yn 0 0.0000 1.00000000 1 0.0625 1.06250000 2 0.1250 1.12890625 3 0.1875 1.19946289 4 0.2500 1.27442932 5 0.3125 1.35408115 6 0.3750 1.43871123 7 0.4375 1.52863068 8 0.5000 1.62417010 9 0.5625 1.72568073 10 0.6250 1.83353577 11 0.6875 1.94813176 12 0.7500 2.06988999 13 0.8125 2.19925812 14 0.8750 2.33671175 15 0.9375 2.48275623 16 1.0000 2.63792850 |y16 −y(1)| = |2.63792850−e| = 0.080353. Wir erkennen, dass der Fehler umso kleiner ist, je kleiner h ist. Genauer kann man in etwa sagen, dass sich der Fehler halbiert, wenn die Schrittweite h halbiert wird. (b) Implizites Euler-Verfahren. Auch hier wird zunächst eine Schrittweite h gewählt. Die Aufdatierungsvorschrift lautet dann: yn+1 = yn +hf(xn+1,yn+1). Das Verfahren ist implizit, weil die Gleichung nicht nach yn+1 aufgelöst ist (auf der rechten Seite kommt yn+1 ebenfalls vor). In unserem Beispiel ist f(x,y) = y und somit f(xn+1,yn+1) = yn+1. Daher sieht das Verfahren für unser Beispiel wie folgt aus: yn+1 = yn +hyn+1 ⇒ (1−h)yn+1 = yn ⇒ yn+1 = 1 1−h yn. Wir führen das Verfahren wieder für verschiedene Schrittweiten aus, um eine Näherung für y(1) zu erhalten. • h = 1 2 . In diesem Fall ist x1 = 1 2 und y1 ergibt sich wie folgt: y1 = 1 1/2 y0 = 2·1 = 2. Dies ist also eine Näherung für y( 1) – den wahren Funktionswert an der Stelle x1. 2 Weiter ist x2 = 1 und y2 = 1 1/2 y1 = 2·2 = 4. 5
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Seite 9 und 10: Dies ist der gesuchte Näherungswer
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