Lösungen zu nicht besprochenen Aufgaben der 5. Übung

ist aber, dass die Näherunfswerte wesentlich besser sind wie wir gleich sehen werden.
Konkret für unser Beispiel ist f(x,y) = y, sodass sich bei uns die ki wie folgt berechnen:
k1 = yn,
k2 = yn + 1
2 hk1,
k3 = yn + 1
2 hk2,
k4 = yn +hk3.
Wir führen nun das Runge-Kutta-Verfahren zumindest mal für die Schrittweite h = 1/2
durch.
In diesem Fall ist x1 = 1
2 . Bevor y1 berechnet werden kann, müssen die einzelnen ki
berechnet werden:
k1 = y0 = 1,
k2 = y0 + 1
2 hk1 = 1+ 1 1
· ·1 = 1.25,
2 2
k3 = y0 + 1
2 hk2 = 1+ 1 1
· ·1.25 = 1.3125,
2 2
k4 = y0 +hk3 = 1+ 1
·1.3125 = 1.65625.
2
Nun sind wir in der Lage, y1 auszurechnen:
1
y1 = y0 +h·
6 k1 + 1
3 k2 + 1
3 k3 + 1
6 k4
= 1+ 1
2 ·
1 1 1 1
·1+ ·1.25+ ·1.3125+
6 3 3 6 ·1.65625
= 1.6484375.
Dies ist also eine Näherung für y( 1
2 ) – den wahren Funktionswert an der Stelle x1. Weiter
istx2 = 1. Umy2 zu berechnen, sind erneut dieki zu ermitteln – nur dieses Mal ausgehend
von (x1,y1):
k1 = y1 = 1.6484375,
k2 = y1 + 1
2 hk1 = 1.6484375+ 1 1
· ·1.6484375 = 2.06054688,
2 2
k3 = y1 + 1
2 hk2 = 1.6484375+ 1 1
· ·2.06054688 = 2.16357422,
2 2
k4 = y1 +hk3 = 1.6484375+ 1
·2.16357422 = 2.73022461.
2
Für y2 ergibt sich:
1
y2 = y1 +h·
6 k1 + 1
3 k2 + 1
3 k3 + 1
6 k4
= 1.6484375+ 1
2 ·
1 1 1 1
·1.6484375+ ·2.06054688+ ·2.16357422+
6 3 3 6 ·2.73022461
= 2.71734619.
8