Chaos und Fraktale - Mathematik

B. Hafenbrak Wintersemester 2004/05
Chaos und Fraktale
Kap. 1 Die Verhulst-Gleichung
Der belgische Mathematiker Pierre Francois Verhulst untersuchte um 1845
dynamische Modelle für das Wachstum einer Bevölkerung. Ein einfaches Modell wird
durch die folgende Iterationsgleichung beschrieben, die nach ihm benannte Verhulst-
Gleichung.
pn+1 = pn + k (1-pn) pn , n ∈ N
Dabei ist pn die Bevölkerung zum Zeitpunkt n (normiert bezüglich einer gegebenen
Grenze), k ist die durchschnittliche Anzahl von Kindern pro Individuum (unter der
Bedingung dass pn sehr klein gegen 1 ist).
A1.1 Untersuchen Sie in Gruppenarbeit mit dem Taschenrechner, wie sich die
Bevölkerung entwickelt. Variieren Sie dazu bei gleichem k innerhalb der
Gruppe den Anfangswert p0. Variieren Sie dann auch k. Wählen Sie k nicht zu
groß (k < 3).
Bequemer geht die Untersuchung mit dem Computer, bei dem die Wiederholungen
schneller gelingen als mit dem Taschenrechner. Außerdem ist hier eine grafische
Darstellung möglich, die einen besseren Überblick über den zeitlichen Verlauf der
Bevölkerung gestattet.
A1.2 Versuchen Sie die Aufgabe A1.1 mit einem Tabellenkalkulationssystem zu
lösen.
A1.3 Nachfolgend sehen Sie zwei Python-Programme, die dasselbe leisten sollen
wie die zwei ersten Aufgaben. Versuchen Sie diese kleinen Programme zu
verstehen. Untersuchen Sie jetzt vertieft die Abhängigkeit vom Parameter k
mit Hilfe der Programme (diese sind im Laufwerk O abgelegt). Bei welchen
Parameterwerten ändert sich das Verhalten grundlegend?
1. Programm (Verhulst.py)
# Verhulst
k=1.2
p=0.1
for n in range(100):
print p,
p=p+k*p*(1-p)
2. Programm (Verhulstgra.py), zeichnerisch
# Verhulst graphisch dargestellt
from Tkinter import Tk, Canvas
fenster=Tk()
bild=Canvas(fenster,width=900,height=400,
bg="white")
bild.grid()
k=2.2
p=0.1
bild.create_line(10,200,900,200)
bild.create_line(10,200,10,10)
for n in range(100):
p=p+k*p*(1-p)
x=18+8*n
y=200-int(100*p)
bild.create_line(x,y,x,y,width=3)
fenster.update()

B. Hafenbrak Chaos und Fraktale Kap 1 Verhulst-Gleichung WS 2004/05
Das Diagramm wird noch übersichtlicher, wenn man die Punkte verbindet. Dies
geschieht im folgenden Programm verhulstgra2.py
# Verhulst, graphisch dargestellt, 2. Version
from Tkinter import Tk, Canvas
fenster=Tk()
bild=Canvas(fenster,width=900,height=400, bg="white")
bild.grid()
k=2.5
p=0.1
xneu=10
yneu=200-int(100*p)
bild.create_line(10,200,900,200)
bild.create_line(10,200,10,10)
for n in range(100):
xalt=xneu
yalt=yneu
p=p+k*p*(1-p)
xneu=xalt+8
yneu=200-int(100*p)
bild.create_line(xalt,yalt,xneu,yneu)
fenster.update()
A1.4 Fassen Sie Ihre bisherigen Erkenntnisse zusammen. Wie hängt das Verhalten
der Funktion p vom Parameter k ab?
Um das Verhalten genauer zu beschreiben sind die folgenden Bezeichnungen
hilfreich:
D1.1 Es sei eine Iterationsvorschrift x n+1 = f(xn) gegeben.
Die Zahl x heißt Fixpunkt dieser Iteration, wenn gilt x = f(x)
Die Zahl x heißt Fixpunkt der Periode 2 wenn gilt x = f(f(x))
- Die Zahl x heißt Fixpunkt der Periode 3 wenn gilt x = f(f(f(x)))
Die Zahl x heißt Fixpunkt der Periode k wenn gilt x = f k (x)
Ein Fixpunkt x der Periode k heißt Attraktor wenn für wachsendes n der Wert
f nk (x0) gegen x konvergiert, falls x0 in der Nähe von x liegt.
Ein Fixpunkt der Periode k heißt Repellor, falls er kein Attraktor ist.
A1.5 Fassen Sie mit Hilfe dieser Definitionen nochmals das Verhalten zusammen.
Wie viele Fixpunkte gibt es? Wo sind die Fixpunkte Attraktoren?
A1.6 Versuchen Sie bei der Verhulst-Gleichung die Fixpunkte und die Fixpunkte der
Periode 2 rechnerisch zu finden.
Einen guten Überblick erhält man mit dem Feigenbaum-Diagramm.
# Feigenbaum zu Verhulst
from Tkinter import Tk, Canvas
fenster=Tk()
bild=Canvas(fenster,width=900,height=500, bg="white")
bild.grid()
def punkt(x,y):
bild.create_line(x,y,x,y+1)
def achsenkreuz():
bild.create_line(50,400,850,400,fill="blue")
bild.create_line(50,400,50,0,fill="blue")
2

B. Hafenbrak Chaos und Fraktale Kap 1 Verhulst-Gleichung WS 2004/05
for i in range(1,4):
bild.create_line(i*250+50,385,i*250+50,415,fill="blue")
for i in range(1,30):
bild.create_line(i*25+50,392,i*25+50,408,fill="blue")
bild.create_line(40,200,60,200, fill="blue")
for i in range(1,20):
bild.create_line(45,400-i*20,55,400-i*20,fill="blue")
achsenkreuz()
k=0
while k < 3:
p=0.1
for n in range(800):
p=p+k*p*(1-p)
x=250*k+50
y=400-int(200*p)
if n>600:
punkt(x,y)
k = k + 0.004
fenster.update()
fenster.update()
Erläuterung des Programms:
Die Prozedur achsenkreuz dient zum Zeichnen des Achsenkreuzes, sie ist hier nicht
wichtig. Die Abszisse dient als k-Achse, die Ordinate als p-Achse. Das Programm
besteht aus zwei geschachtelten FOR-Schleifen. In der äußeren Schleife wird der
Parameter k zwischen 0 und 3 variiert. Für jedes k wird in der inneren FOR-Schleife
die Iteration der Verhulst-Gleichung 800-mal durchgeführt, wobei nur die letzten 200
p-Werte im Diagramm aufgetragen werden.
Es entsteht das folgende Bild:
Interpretation des Feigenbaumdiagramms:
Für k

B. Hafenbrak Chaos und Fraktale Kap 1 Verhulst-Gleichung WS 2004/05
Für 2

B. Hafenbrak Chaos und Fraktale Kap 1 Verhulst-Gleichung WS 2004/05
Exaktere Untersuchung der bisherigen Beobachtungen
Bis jetzt haben wir nur am Computer beobachtet. Wir wollen nun soweit wie möglich
die Beobachtungen durch exaktere Überlegungen stützen und teilweise erklären.
Berechnung der Fixpunkte
Ein Fixpunkt p ist definiert durch p = f(p), in unserem Fall also
oder
p = p + k (1 - p) p
0 = k (1 -p) p
Das Produkt auf der rechten Seite ist genau dann gleich Null, wenn einer der drei
Faktoren gleich Null ist. Nehmen wir k positiv an, so erhalten wir
p = 0 oder p = 1
Für alle k-Werte ungleich Null gibt es also genau zwei Fixpunkte, nämlich 0 und 1.
Wann handelt es sich dabei um Attraktoren bzw. Repelloren? Um das zu
untersuchen, starten wir dicht neben einem Fixpunkt und untersuchen, was nach
einer Iteration los ist.
Wir starten in der Nähe von 0. Das drücken wir so aus:
p1 =δ, wobei δ betragsmäßig sehr klein sei.
Wir erhalten für das nächste Folgenglied
p2 = δ + k(1 - δ) δ
Für positives k ist p2 sicher weiter von 0 entfernt als p1, mithin ist 0 ein Repellor.
5

B. Hafenbrak Chaos und Fraktale Kap 1 Verhulst-Gleichung WS 2004/05
Wir starten in der Nähe von 1. Das drücken wir so aus:
p1 =1+δ, wobei δ betragsmäßig sehr klein sei.
Wir erhalten für das nächste Folgenglied
p2 = 1+δ + k( - δ) (1+δ)
p2 = 1+δ - k δ - δ 2
Da δ sehr klein sein soll, ist δ 2 vernachlässigbar, so dass ungefähr gilt
p2 = 1+δ - k δ
Für 0 < k 2 ist p2 weiter von der Zahl 1 entfernt als p1. Der Wert 1 ist also Repellor.
(Für k=2 können diese Überlegungen keine Entscheidung bringen.)
Fixpunkte der Periode 2
Ein Fixpunkt der Periode 2 liegt vor, wenn gilt
Nun ist
pn+2 = pn
pn+2 = pn+1 + k (1 - pn+1 ) pn+1
= pn + k (1 - pn ) pn + k(1 - (pn + k (1 - pn ) pn ) (pn + k (1 - pn ) pn )
In die obige Gleichung eingesetzt ergibt das
pn + k (1 - pn ) pn + k(1 - (pn + k (1 - pn ) pn ) (pn + k (1 - pn ) pn ) = pn
k (1 - pn ) pn + k(1 - (pn + k (1 - pn ) pn ) (pn + k (1 - pn ) pn ) = 0
Im folgenden schreiben wir statt pn einfacher p und versuchen diese Gleichung
vierter Ordnung zu lösen.
k (1 - p ) p+ k(1 - (p + k (1 - p ) p ) (p + k (1 - p ) p ) = 0
Dabei kommt es uns zu gute, dass wir schon zwei Lösungen kennen, nämlich 0 und
1 (jeder Fixpunkt ist auch Fixpunkt der Periode 2).
Die Lösung 0 sieht man der Gleichung auch sofort an, da p als Faktor in den beiden
Summanden der linken Seite enthalten ist. Suchen wir Lösungen ungleich 0, so
dürfen wir die Gleichung durch p dividieren:
k (1 - p) + k (1 - (p + k (1 - p) p) ( 1 + k (1 - p)) = 0
Eine schnelle Kopfrechnung zeigt, dass auch p = 1 eine Lösung ist, also sollte es
möglich sein, den Faktor (p-1) bzw. (1-p) auszuklammern. Mit diesem Ziel vor Augen
formen wir die Gleichung um
k (1 - p) + k (1 - p - k (1 - p) p) ( 1 + k (1 - p)) = 0
k (1 - p) + k (1 - p) (1 - k p) ( 1 + k (1 - p)) = 0
(1 - p)(k + k(1 - k p)(1 +k(1 - p))) = 0
Suchen wir Lösungen ungleich 1, so können wir die Gleichung durch (1 - p)
dividieren und erhalten eine quadratische Gleichung für p
6

B. Hafenbrak Chaos und Fraktale Kap 1 Verhulst-Gleichung WS 2004/05
k + k(1 - k p)(1 +k(1 - p)) = 0
1 + (1 - k p)(1 +k(1 - p)) = 0 für k>0
k 2 p 2 - (2k + k 2 ) p + 2 + k = 0
Das ergibt die Lösungen
p
p
1
2
+ k 1
= + ⋅ k
2k
2k
2 2
+ k 1
= − ⋅ k
2k
2k
2 2
− 4
− 4
Für k

B. Hafenbrak Chaos und Fraktale Kap 1 Verhulst-Gleichung WS 2004/05
k = 1,8
y
k = 2,2
y
1 x
8

B. Hafenbrak Chaos und Fraktale Kap 1 Verhulst-Gleichung WS 2004/05
Der Startwert ist hier in der Nähe von 1, man sieht, wie der Wert 1 abstoßend wirkt
und wie sich Fixpunkte der Periode 2 als attraktiv erweisen.
A1.8 Berechnen Sie die beiden Fixpunkte der Periode 2 für k = 2.2 und vergleichen
Sie mit dem obigen Diagramm.
A 1.9 Zeichnen Sie ein entsprechendes Diagramm für k = 2,35 und berechnen Sie
auch hier die beiden Fixpunkte der Periode 2.
A 1.10 Suchen Sie im Feigenbaum-Diagramm einen k-Wert, bei dem Fixpunkte der
Periode 4 attraktiv sind. Veranschaulichen Sie das in einem Schaubild.
Die Diagramme führen uns auf eine Bedingung, mir der wir das Attraktor- bzw.
Repellorverhalten untersuchen können. Der Fixpunkt ist bestimmt durch den
Schnittpunkt des Schaubildes von f mir der ersten Winkelhalbierenden. Ob dieser
Schnittpznkt anziehend oder abstoßend wirkt, wird durch die Steigung des
Schaubildes an diesem Schnittpunkt verursacht. Denken wir uns die Umgebung des
Schnittpunktes stark vergrößert dargestellt, so können wir die Kurve durch ihre
Tangente ersetzen. Dadurch wird einsichtig, dass für einen Fixpunkt xF gilt:
Falls |f´( xF)| 1, ist xF ein Repellor.
Das sieht am unmittelbar an den beiden Diagrammtypen ein:
9

B. Hafenbrak Chaos und Fraktale Kap 1 Verhulst-Gleichung WS 2004/05
Rechnerisch kann man sich das folgendermaßen überlegen:
Es sei xF ein Fixpunkt der Funktion f.
In der nahen Umgebung von xF gilt näherungsweise
f(x) - f(xF) = f´( xF)*(x - xF)
f(x) - xF = f´( xF)*(x - xF)
Daraus kann man die obige Behauptung schließen.
Fixpunkte der Periode 2 im Diagramm
Die obigen Überlegungen lassen sich auf Fixpunkte einer Periode p verallgemeinern,
etwa auf Fixpunkte der Periode 2. Um diese im Diagramm zu veranschaulichen
betrachten wir das Schaubild der Funktion f 2 . Dabei ist hier f 2 definiert durch
f 2 (x) = f(f(x)).
In unserem Beispiel der Verhulstgleichung ist
F2(x) = f(f(x))
= f(x) + k(1-f(x)) f(x)
= x + k (1 - x) x + k (1 - (x + k (1 - x)) x ) ( x + k ( 1 - x) x )
Für k = 2,3 ergibt sich z.B. folgendes Diagramm:
Man erkennt die 4 Fixpunkte der Periode 2, Die Fixpunkte 0 und 1 sind Repelloren,
die beiden anderen Fixpunkte der Periode 2 sind Attraktoren, wie aus der Steigung
ersichtlich ist.
10