0 - MatheNexus

Aufgabe:
(1a)
(1b)
(1c)
(1d)
(2)
f2( c , x)
(3)
f3( p , x)
(4)
Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom reellen Parameter c die maximalen Monotonieintervalle und
Extrempunkte, machen Sie eine Skizze für c = 1.
Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom reellen Parameter p die maximalen Monotonieintervalle und die
Extrempunkte.
Bestimmen Sie den reellen Parameter q so, dass die Funktion f4 an der Stelle x = 2 ein Extremum besitzt.
Berechnen Sie dann die maximalen Monotonieintervalle und die Extrempunkte.
f4( q , x)
Berechnen Sie den Parameter u so, dass Funktion f5 symmetrisch wird. Berechnen Sie dann die
maximalen Monotonieintervalle und die Extrempunkte. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Tangenten, die
−1
auf der Geraden g( x)
x 3
2 +
(5)
:= senkrecht stehen.
f5( u , x)
f1a( k , x)
x 3 9
2 x2 − ⋅ :=
f1b( k , x)
f1c( k , x)
f1d( k , x)
:=
:=
:=
:=
2 x 3
⋅
15
:=
:=
1
5 x5 ⋅ x 4 − ⋅ p
1
4 x4 ⋅
1
4 x4 1
3 x3
4
+ − k ⋅ x3 2k x
3 2
− ⋅ x 2
:=
− + 8k ⋅ x + 4
+
1
10 x5 ⋅
Übung: Monotonie und Extrempunkte mit Parameter
Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom reellen Parameter k die Stellen mit den waagrechten Tangenten.
1
4 x4 ⋅
1
3 x3 ⋅ 2 x 2
− ⋅ + k ⋅ x − 3
⎛
⎜
⎝
1
3 x3
5
⋅
3 k
5
− ⋅ ⋅ x3
2 k
+ − ⋅ ⋅ x2 3 k 2
⋅ x 2
+ ⋅ 6 k 2
+ ⋅ ⋅ x
⎞
2 c
− ⎟
5 5⎠
x2
4 ⋅ c ⋅ x
⋅ − − 10
5
1
3 x3 − ⋅ ⋅ q 3 x 2
⋅ q 2
− ⋅ +
1
8 x4 − ⋅ ⋅ u
3
4 k
9
− ⋅ ⋅ x2
2 k ⋅ x ⋅ + 1 +
1
2 x4
8
⋅
3 x3
+ − ⋅ ⋅ p − 2
1
4 x4 − ⋅
1
2 x3 ⋅
3
4 x2 − ⋅ ⋅ q 9 ⋅ x q 2
− ⋅ − 3
1
3 x3
1
+ ⋅ ⋅ u
6 x3
1
− ⋅
4 x2
1
+ ⋅ ⋅ u
2 x2 + ⋅ − x ⋅ u
MK 2.2.2009 MonoEx_Ueb2.mcd

Lösungen:
Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom reellen Parameter k die Stellen mit den waagrechten Tangenten.
(1a)
(1b)
(1c)
(1d)
f1a( k , x)
x 3 9
2 x2 − ⋅ :=
f1as( k , x)
f1as( k , x)
= 0 auflösen, x
f1b( k , x)
f1bs( k , x)
f1bs( k , x)
= 0 auflösen, x
f1c( k , x)
f1cs( k , x)
f1c k x
x ,
d
( ) x
d
2
:=
→ − 4 ⋅ x + k
f1d( k , x)
:=
:=
f1ds( k , x)
f1a k x
x ,
d
( ) 3 x
d
2 3
⋅ − 9 ⋅ x
2 k ⋅ x ⋅ − +
→
:=
1
4 x4 ⋅
f1b k x
x ,
d
( ) x
d
3
x 2
5 ⋅ k x 2
+ − ⋅ − 5 ⋅ k ⋅ x 6 k 2
+ ⋅ ⋅ x 6 k 2
:=
→
+ ⋅
1
3 x3 ⋅ 2 x 2
− ⋅ + k ⋅ x − 3
1
4 x4 1
3 x3
4
+ − k ⋅ x3 2k x
3 2
− ⋅ x 2
:=
− + 8k ⋅ x + 4
f1d k x
x ,
d
( ) x
d
3
x 2
4 ⋅ k x 2
:=
→ + − ⋅ − 4 ⋅ k ⋅ x − 2 ⋅ x + 8 ⋅ k
f1ds( k , x)
= 0 auflösen, x
3
4 k
9
− ⋅ ⋅ x2
2 k ⋅ x ⋅ + 1 +
1
3 x3
5
⋅
3 k
5
− ⋅ ⋅ x3
2 k
+ − ⋅ ⋅ x2 3 k 2
⋅ x 2
+ ⋅ 6 k 2
+ ⋅ ⋅ x
→
→
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎝
−1
2 ⋅ k
3 ⋅ k
−2
1
3
1
2 k ⋅
4 ⋅ k
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞ ⎟⎟⎟⎠
⎞ ⎟⎟⎠
9
2 k ⋅
f1cs( k , x)
= 0 auflösen, x
→
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
2
2 + ( 4 − k)
1
2
2 − ( 4 − k)
⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦

(2) Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom reellen Parameter c die maximalen Monotonieintervalle und
Extrempunkte, machen Sie eine Skizze für c = 1.
f2( c , x)
2. Fall: −2 < c
2 x 3
⋅ ⎛ 2 c⎞
⎜ − ⎟
15 ⎝ 5 5⎠
x2
4 ⋅ c ⋅ x
:= + ⋅ − − 10
f2s( c , x)
5
:=
f2s( c , x)
= 0 auflösen, x
1. Fall: c < −2
f2( c , −2)
vereinfachen
f2s( 0 , x)
→
−142
f2 ist streng monoton zunehmend für x ≤ −2
oder c ≤ x
f2 ist streng monoton abnehmend für −2 ≤ x ≤ c
Maximum bei x = -2 f2( c , −2)
vereinfachen
Minimum bei x = c f2( c , c)
vereinfachen
→
f2s( − 4 , x)
⎛
⎜
⎝
−2
f2 ist streng monoton zunehmend für x ≤ c oder −2 ≤ x
c
⎞
⎟
⎠
f2 ist streng monoton abnehmend für c ≤ x ≤ −2
Maximum bei x = c f2( c , c)
vereinfachen
Minimum bei x = -2
15
+
4
5 c ⋅
4 3 2 1 0 1 2
x
steigen fallen steigen
Maximum Minimum
→
→
−142
15
−1
15 c3 ⋅
+
4
5 c ⋅
2
5 c2 − ⋅ − 10
2
5 x2 ⋅
3. Fall: −2 = c f2 ist streng monoton zunehmend in ganz R, es gibt keine Extrempunkte
−
5
5
2 ⋅ c
5
⋅ x +
4
5 x ⋅
4
5 c ⋅ −
6 5 4 3 2 1 0 1
steigen fallen steigen
Maximum Minimum
→
−1
15 c3 ⋅
2
5 c2 − ⋅ − 10
x
5
5

(3) Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom reellen Parameter p die maximalen Monotonieintervalle und die
Extrempunkte.
f3( p , x)
:=
f3s( p , x)
1
5 x5 ⋅ x 4 − ⋅ p
2. Fall: 0 < p
p := 0.5
f3s( p , x)
1
2 x4
8
⋅
3 x3
+ − ⋅ ⋅ p − 2
f3 p x
x ,
d
( ) x
d
4
4 x 3
− ⋅ ⋅ p 2 x 3
⋅ 8 x 2
:= →
+ − ⋅ ⋅ p f3s( p , x)
= 0 auflösen, x
−1
1. Fall: p < p := −1
2
2. Fall: 1 −
2
< p 0
f3s( p , x)
steigen fallen steigen
Maximum Minimum nix
5
3 2 1 0 1 2 3
5
x
steigen fallen fallen steigen
Maximum nix Minimum
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
4p
0
0
−2
4 ⋅ p
5
4p
4 3 2 1 0 1
steigen fallen steigen
Maximum Minimum nix
< p := −0.25
f3s( p , x)
x
4p
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1
x
5
5
10
⎞ ⎟⎟
⎟
⎟
⎠

(4)
Bestimmen Sie den reellen Parameter q so, dass die Funktion f4 an der Stelle x = 2 ein Extremum besitzt.
Berechnen Sie dann die maximalen Monotonieintervalle und die Extrempunkte.
f4( q , x)
:=
f4s( p , x)
f4s( q , x)
= 0 auflösen, x
1. Fall: q := −1
f4s( q , x)
2
2. Fall: q :=
3
f4s( q , x)
1
4 x4 ⋅
1
3 x3 − ⋅ ⋅ q 3 x 2
⋅ q 2
− ⋅ +
f4 p x
x ,
d
( ) x
d
3
x 2 − ⋅ p 6 ⋅ x p 2
:=
→
− ⋅ +
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
5 4 3 2 1 0 1 2 3
fallen
−3
2
−2 ⋅ q
3 ⋅ q
Minimum
5 4 3 2 1 0 1 2 3
fallen
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
steigen
1
2 x3 ⋅
Maximum
Minimum
x
x
steigen
3
4 x2 − ⋅ ⋅ q 9 ⋅ x q 2
− ⋅ − 3
3
2 x2 ⋅
10
10
Maximum
3
2 x ⋅ p ⋅ − − 9 ⋅ p2
fallen
fallen
Minimum
Minimum
steigen
steigen

(5) Berechnen Sie den Parameter u so, dass Funktion f5 symmetrisch wird. Berechnen Sie dann die maximalen
Monotonieintervalle und die Extrempunkte. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Tangenten, die auf der
−1
Geraden g( x)
x 3
2 + := senkrecht stehen.
f5( u , x)
:=
1
10 x5 ⋅
−1
senkrecht zu g: msenkrecht := → 2 f5s( u , x)
= 2 auflösen, x
− 1
( ) 0
x1 := 0 f5 u , x1 1
8 x4 − ⋅ ⋅ u
1
4 x4 − ⋅
= => t1( x)
:= 2 ⋅ x + 0
x2 := 5
1
y2 f5( u , x2) 3 5
1
2
:= → ⋅ y2 = 2 ⋅ x2 + t auflösen, t
2
1
3 x3
1
+ ⋅ ⋅ u
6 x3
1
− ⋅
4 x2
1
+ ⋅ ⋅ u
2 x2 + ⋅ − x ⋅ u
f5s( u , x)
f5 u x
x ,
d
1
( )
d
2 x4
1
⋅
2 x3 − ⋅ ⋅ u x 3
− x 2 1
⋅ u
2 x2
1
+ − ⋅
2 x ⋅ u ⋅ + x u − +
→
:=
f5s( u , x)
= 0 auflösen, x
f5( u , x)
f5s( u , x)
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
2
−1
u
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
u := −2
1
10 x5
5
⋅
6 x3
→ − ⋅ + 2 ⋅ x punktsymmetrisch zun Ursprung
→
f5s( u , x)
1
2 x4 ⋅
5
2 x2 − ⋅ + 2
5
3 2 1 0 1 2 3
5
Minimum
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
1
2
5
1
2
−5
1
−5
2
→ ⋅ 5
3
=> t2( x)
:= 2 ⋅ x +
1
x3 := − 5
−1
2
y3 := f5( u , x3) → ⋅ 5
3
y3 = 2 ⋅ x3 + t auflösen, t
5
3 5
1
2
→ ⋅ => t3( x)
:= 2 ⋅ x +
5
⋅
3
x
steigen fallen steigen fallen steigen
Maximum Minimum Maximum
⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
−5
3
⋅
5
5

f5( − 2 , x)
g( x)
t1( x)
t2( x)
t3( x)
5
4
3
2
1
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
x
c

f1a( 1 , x)
f1b( 1 , x)
f1c( 1 , x)
f1d( 1 , x)
20
10
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
10
20
x

f2( 1 , x)
− 2
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
5
10
15
x
c

4. Fall: p := −0.5
nur steigen
5. Fall: p := 0
f3s( p , x)
f3s( p , x)
4p
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1
x
3 2 1 0 1 2 3
steigen fallen steigen
Maximum Minimum
5
5
4p
x
5
5

f4( − 1 , x)
⎛
⎝
⎞ ⎟⎠
f4 2
3 x , ⎜
10
5
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
x
c
2