Die quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 - MatheNexus

⎛
⎜
⎝
x +
b
2 ⋅ a
2
⎞
⎟⎠
Abkürzung: Sei
⎛
⎜
⎝
Also x +
Durch a.
b 2
− 4ac
4 a 2
= Hauptnenner.
⋅
b
2 ⋅ a
b 2
− 4ac
2
⎞
⎟⎠
4 a 2
⋅
= D (Mit D=Diskriminante, Bestimmende)
= D Auf der linken Seite steht ein Quadrat. Links kann der Ausdruck also nie negativ
werden. Der Ausdruck rechts schon. Dann hätte die Gleichung keine Lösung.
Man braucht also eine Fallunterscheidung.
(1) Fall: Sei D
⎝
⎝
b
2 ⋅ a
2
⎞
⎟⎠
= 0 Es gibt genau eine Lösung: L = {
b
− }
2 ⋅ a
(3) Fall: Sei D>0 Dann kann man die Wurzel ziehen und man bekommt endlich zwei Lösungen:
b
x + = D
2 ⋅ a
⎤
⎥
⎦
MK 3.6.2003 QuadGleichung.mcd
a x 2
2
2
b b
⎢
⎛ ⎞
+ 2 ⋅ ⋅ x + ⎜ ⎟⎠ ⎥ ⎛ b ⎞
⋅ − a ⋅ ⎜ ⎟⎠ + c = 0 Alles, was stört, aus der großen Klammer raus.
2 ⋅ a 2 ⋅ a 2 ⋅ a
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
a x 2 b
⋅ + 2 ⋅ ⋅ x +
2 ⋅ a
a x 2 b
⋅ + 2 ⋅ ⋅ x +
2 ⋅ a
a ⋅ x +
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
x +
b
2 ⋅ a
b
2 ⋅ a
2
⎞
⎟⎠
2
⎞
⎟⎠
=
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
b
2 ⋅ a
b
2 ⋅ a
⎤
⎦
2
⎞
⎤
⎟⎠ ⎥
⎦
2
⎞
⎤
⎟⎠ ⎥
⎦
⎝
b 2
− + c = 0 Vereinfachen.
4 ⋅ a
b 2
= − c Reste auf die andere Seite.
4 ⋅ a
b 2
= − c Binom ausnutzen.
4 ⋅ a
b 2
4 a 2
⋅
c
−
a

−4
x := − → 1 L = { 1 }
2 ⋅ 2
Bsp.: 2x 2
8
+ 8x + 10 = 0 D
2
− 4 ⋅ 2 ⋅ 10
4 2 2
:= → −1
D0, also (3) Fall.
1
0
x1 := − −
2 ⋅ 2
2
D → −4
0
x2 := − +
2 ⋅ 2
2
D → 4 L = { -2 ; 2 }
Bsp.: 2x 2
( −4)
− 4x + 2 = 0 D
2
− 4 ⋅ 2 ⋅ 2
4 2 2
:= → 0 D=0, also (2) Fall.
⋅
D neu
4 a 2
⋅
D neu
4 a 2
⋅

Ein letztes Face-Lifting:
b
x1 = −
2 ⋅ a
−
Dneu −b b
2 ⋅ a
2
− − 4ac
−b b
= analog x2 2 ⋅ a
2
+ − 4ac
=
2 ⋅ a
Bemerkung: Wenn man die Gleichung als erstes durch a dividiert
x 2
+
b
a x
c
+ = 0
a
und die Koeffizienten dann umtauft
x 2
+ p ⋅ x + q = 0
erhält man die beliebte (weil effiziente) p-q-Formel (Herleitung analog):
x1 =
−p
2
−p
x2 =
2
−
+
D pq
D pq
2
⎛ −p
⎞
mit Dpq = ⎜ ⎟ − q zur Bestimmung der Fälle
2
⎝
⎠