Übung: Quadratische Funktionen und ... - MatheNexus

(1)
(2)
(3)
(4)
Führen Sie die Polynomdivision aus und berechnen Sie die Lösungen der resulierenden quadratischen Gleichungen
in Abhängigkeit von k.
(5)
(6)
(7)
(8)
Übung: Quadratische Funktionen und Polynomdivision mit Parametern
Berechnen Sie die Nullstellen und den Scheitelpunkt in Abhängigkeit von k.
(Geben Sie die Ortskurve des Scheitelpunkts an.)
f( k , x)
f( k , x)
f( k , x)
f( k , x)
⎛
⎜
⎝
1
5 x3
2
⋅
5 x2
3
+ ⋅
5 x ⋅ −
1
5 k
2
− ⋅ ⋅ x2
5 k ⋅ x ⋅ −
3
5 k ⋅ +
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
:=
:=
:=
:=
1
3 x2 ⋅ + k ⋅ x
1
3 x2 ⋅ + 2 ⋅ x
1
2 x2 ⋅
1
2 x2 ⋅
2
3 x ⋅ − 2 k ⋅ −
2
3 k ⋅ x ⋅ − 4 k ⋅ −
3
2 x ⋅ + k x ⋅ + 3 k ⋅ +
3
2 k ⋅ x ⋅ − 2 x ⋅ − 6 k ⋅ +
1
5 x3
4
⋅
5 x2
1
+ ⋅ − x
5 k
4
+ ⋅ ⋅ x2
5 k ⋅ x ⋅ + k −
1
5 x3
1
⋅
5 x2
2
− ⋅ − 6 ⋅ x
5 k
2
+ ⋅ ⋅ x2
5 k ⋅ x ⋅ − 12 k ⋅ −
1
5 x3
36 2
⋅ − ⋅ x
5 5 k
72
+ ⋅ ⋅ x2 − ⋅ k
5
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
÷ ( x + 6)
÷ ( x + 5)
=
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
÷ ( x + 3)
=
÷ ( x − 6)
=
=
MK 28.1.2005 Quad_Pol_Ueb.mcd

Lösungen:
Berechnen Sie die Nullstellen und den Scheitelpunkt in Abhängigkeit von c.
(Geben Sie die Ortskurve des Scheitelpunkts an.)
(1)
Scheitel:
xs( k)
Eine Lösung, falls
Sonst gibt es zwei Lösungen:
x1( k)
f( k , x)
:=
Nullstellen:
:=
Ortskurve des Scheitelpunktes:
kk( x)
xs( k)
= x auflösen k ,
:=
yk( x)
:= ys( kk( x)
) vereinfachen
kz := −2 , −1.5
.. 2
f( kz , xz)
yk( xz)
ys( kz)
:=
−b(
k)
2 ⋅ a( k)
1
3 x2 ⋅ + k ⋅ x
−b( k)
− WD( k)
2 ⋅ a( k)
vereinfachen
D( k)
b( k)
2
− 4 ⋅ a( k)
⋅ c( k)
vereinfachen k 2 4
3 k ⋅ +
4
:=
→
+
9
ks := WD( k)
= 0 auflösen, k
vereinfachen → −3 ⋅ k
xa := −4
2
3 x ⋅ − 2 k ⋅ −
→
→
−3
2
3
→
2
2
3 x ⋅ −
−4
3
xb := 6
⋅ k + 1
+
4
3 x ⋅
1
3 x2 − ⋅
xz := xa − 0.01 , xa..
xb + 0.01
20
15
10
5
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
5
10
→
ys( k)
:= f( k , xs( k)
) vereinfachen
−2
3
a( k)
:=
x2( k)
ys( kk( x)
)
1
3
dann ist
:=
→
−3
4
xz , xz , xs( kz)
2
b( k)
:= k −
3
−b( k)
+ WD( k)
2 ⋅ a( k)
2 2
3 3 x ⋅ −
2
⎛ ⎞
⋅ ⎜ ⎟ − 1 +
⎝
D( k)
faktor
WD( k)
xs( ks)
= 2
1
:= ⋅ ( 3 ⋅ k + 2)
3
⎠
c( k)
:= −2k →
−3
4
1
( 3 ⋅ k + 2)
9
2
→ ⋅
vereinfachen → 2
2
3 x ⋅
k 2
⋅ − k
1
−
3

(2)
Scheitel:
xs( k)
D( k)
b( k)
2
− 4 ⋅ a( k)
⋅ c( k)
vereinfachen 4 +
:=
→
Eine Lösung, falls
Sonst gibt es zwei Lösungen:
x1( k)
f( k , x)
:=
Nullstellen:
:=
Ortskurve des Scheitelpunktes:
kk( x)
:= xs( k)
= x auflösen, k → x + 3
1
yk( x)
ys( kk( x)
) vereinfachen −12 − 4 ⋅ x
3 x2
:=
→
− ⋅
kz := −2 , −1.5
.. 2
f( kz , xz)
yk( xz)
ys( kz)
:=
−b(
k)
2 ⋅ a( k)
1
3 x2 ⋅ + 2 ⋅ x
−b( k)
− WD( k)
2 ⋅ a( k)
vereinfachen → −3 + k
ks := WD( k)
= 0 auflösen, k → −3
vereinfachen → −6
xa := −7
2
3 k ⋅ x ⋅ − 4 k ⋅ −
xb := 3
1
a( k)
:=
3
1
ys( k)
f( k , xs( k)
) vereinfachen −3 − 2 ⋅ k
3 k2
:=
→ − ⋅
8
3 k ⋅
+
x2( k)
4
9 k2 ⋅
dann ist
1
ys( kk( x)
) −9 − 2 ⋅ x ( x + 3)
3
2
→ − ⋅
xz := xa − 0.01 , xa..
xb + 0.01
7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3
:=
xz , xz , xs( kz)
2
b( k)
2
3 k ⋅ − :=
D( k)
faktor
WD( k)
xs( ks)
= −6
−b( k)
+ WD( k)
2 ⋅ a( k)
20
15
10
5
5
10
:=
2
3
→
4
9
⋅ ( k + 3)
c( k)
:= −4k ( k + 3)
2
⋅
vereinfachen → 2 ⋅ k

(3)
Scheitel:
xs( k)
Sonst gibt es zwei Lösungen:
x1( k)
f( k , x)
:=
Nullstellen:
Eine Lösung, falls
:=
Ortskurve des Scheitelpunktes:
kk( x)
:= xs( k)
= x auflösen, k
yk( x)
:= ys( kk( x)
) vereinfachen
kz := −2 , −1.5
.. 2
f( kz , xz)
yk( xz)
ys( kz)
:=
−b(
k)
2 ⋅ a( k)
1
2 x2 ⋅
−b( k)
− WD( k)
2 ⋅ a( k)
3
2 x ⋅ + k x ⋅ + 3 k ⋅ +
vereinfachen
D( k)
b( k)
2
:= − 4 ⋅ a( k)
⋅ c( k)
vereinfachen
ks := WD( k)
= 0 auflösen, k
vereinfachen → −2 ⋅ k
xa := −5
→
→
−3
−3
2
→
2
− x
−9
− k
2
xb := 5
−
→
3 ⋅ x
9
4
− 3 ⋅ k k 2
+
→
3
2
ys( kk( x)
)
1
2 x2 − ⋅
a( k)
ys( k)
:= f( k , xs( k)
) vereinfachen
xz := xa − 0.01 , xa..
xb + 0.01
10
5
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
5
10
:=
x2( k)
1
2
dann ist
:=
→
xz , xz , xs( kz)
−b( k)
+ WD( k)
−27
8
b( k)
D( k)
faktor
WD( k)
xs( ks)
= −3
2 ⋅ a( k)
3
2 x ⋅ −
3
:= + k
2
:=
1
2
1
− ⋅
2
⋅ ( 2k − 3)
vereinfachen → −3
⎛
⎜
⎝
→
1
( 2 ⋅ k − 3)
4
2
→ ⋅
2
−3
− x
2
c( k)
:= 3k
⎞
⎟
⎠
−9
8
+
3
2 k ⋅
1
2 k2 − ⋅

(4)
Scheitel:
xs( k)
Eine Lösung, falls
Sonst gibt es zwei Lösungen:
x1( k)
f( k , x)
:=
Nullstellen:
D( k)
b( k)
2
:= − 4 ⋅ a( k)
⋅ c( k)
vereinfachen
:=
Ortskurve des Scheitelpunktes:
kk( x)
xs( k)
= x auflösen, k
:=
1
yk( x)
ys( kk( x)
) vereinfachen −8 4 ⋅ x
2 x2
:=
→ + − ⋅
kz := −2 , −1.5
.. 2
f( kz , xz)
yk( xz)
ys( kz)
:=
−b(
k)
2 ⋅ a( k)
1
2 x2 ⋅
−b( k)
− WD( k)
2 ⋅ a( k)
3
2 k ⋅ x ⋅ − 2 x ⋅ − 6 k ⋅ +
vereinfachen
ks := WD( k)
= 0 auflösen, k
vereinfachen → 4
xa := −2
3
2 k ⋅ 2 + →
→
10
5
2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
5
10
15
20
−4
3
+
xb := 7
2
3 x ⋅
→
9
4 k2 ⋅ − 6 ⋅ k + 4
→
ys( k)
:= f( k , xs( k)
) vereinfachen
4
3
a( k)
:=
x2( k)
ys( kk( x)
)
1
2
dann ist
:=
→
−9
xz := xa − 0.01 , xa..
xb + 0.01
8
xz , xz , xs( kz)
b( k)
−b( k)
+ WD( k)
2 ⋅ a( k)
⎛
⎝
3
:= − k − 2
2
D( k)
faktor
WD( k)
:=
1
2
xs( ks)
= 4
⋅ ( 3k − 4)
vereinfachen → 3 ⋅ k
2
⎞
⎟⎠
c( k)
:= 6k
→
−9
1
( 3 ⋅ k − 4)
4
2
→ ⋅
−4
2
3 3 x ⋅ + ⋅ ⎜
+ 2 ⋅ x − 6
8
k 2
⋅ + 3 ⋅ k − 2

Führen Sie die Polynomdivision aus und berechnen Sie die Lösungen der resulierenden quadratischen Gleichungen
in Abhängigkeit von k.
(5)
⎛
⎜
⎝
D( k)
b( k)
2
:= − 4 ⋅ a( k)
⋅ c( k)
vereinfachen
x1( k)
f( k , x)
f( k , x)
faktor
kz := −4 , −3
.. 4
f( kz , xz)
0
:=
:=
1
5 x3 ⋅
−b( k)
− WD( k)
2 ⋅ a( k)
2
5 x2
3
+ ⋅
5 x ⋅ −
1
5 k
2
− ⋅ ⋅ x2
5 k ⋅ x ⋅ − +
1
5 x3
2
⋅
5 x2
3
+ ⋅
5 x ⋅ −
1
5 k
2
− ⋅ ⋅ x2
5 k ⋅ x ⋅ −
3
5 k ⋅ +
vereinfachen → 1
1
→ ⋅ ( x + 3)
⋅ ( x − 1)
⋅ ( x − k)
5
xa := −5
xb := 5
⎞
⎟
⎠
r( k , x)
vereinfachen
1
25 k2
2
⋅
25 k ⋅ −
→
+
x2( k)
xz := xa − 0.01 , xa..
xb + 0.01
4
2
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
2
4
3
5 k ⋅
÷ ( x + 3)
:=
xz , x2( kz)
=
1
5 x2
1
⋅
5 k ⋅ x ⋅ −
1
5 x ⋅ − +
→
a( k)
1
25
:=
r( k , x)
1
5
WD( k)
−b( k)
+ WD( k)
2 ⋅ a( k)
D( k)
faktor
:=
:=
1 1
b( k)
:= − k −
5 5
1
5
f( k , x)
x + 3
→
⋅ ( k − 1)
1
25
1
5 k ⋅
c( k)
( k − 1)
2
⋅
vereinfachen → k
:=
1
5 k

(6)
⎛
⎜
⎝
D( k)
b( k)
2
:= − 4 ⋅ a( k)
⋅ c( k)
vereinfachen
x1( k)
f( k , x)
faktor
kz := −4 , −3
.. 4
f( kz , xz)
0
f( k , x)
:=
1
5 x3
4
⋅
5 x2
1
+ ⋅ − x
5 k
4
+ ⋅ ⋅ x2
5 k ⋅ x ⋅ + k −
:=
1
5 x3
4
⋅
5 x2
1
+ ⋅ − x
5 k
4
+ ⋅ ⋅ x2
5 k ⋅ x ⋅ + k −
−b( k)
− WD( k)
2 ⋅ a( k)
vereinfachen → −k
1
→ ⋅ ( x + 5)
⋅ ( x − 1)
⋅ ( x + k)
5
xa := −6
r( k , x)
vereinfachen
xb := 5
⎞
⎟
⎠
→
÷ ( x + 5)
a( k)
1
25 k2 ⋅
2
25 k ⋅
x2( k)
xz := xa − 0.01 , xa..
xb + 0.01
6 4 2 0 2 4
+
=
→
:=
1
5 x2 ⋅
15
10
5
5
1
5
:=
xz , x1( kz)
+
+
1
5 k ⋅ x ⋅
1
5 x ⋅ −
1
5 k ⋅ −
b( k)
1
25
r( k , x)
:=
1
5 k
WD( k)
−b( k)
+ WD( k)
2 ⋅ a( k)
1
−
5
D( k)
faktor
:=
:=
1
5
f( k , x)
x + 5
c( k)
→
⋅ ( k + 1)
1
:= − k
5
1
25
( k + 1)
2
⋅
vereinfachen → 1

(7)
⎛
⎜
⎝
D( k)
b( k)
2
− 4 ⋅ a( k)
⋅ c( k)
vereinfachen
:=
x1( k)
f( k , x)
f( k , x)
faktor
kz := −4 , −3
.. 4
f( kz , xz)
0
:=
1
5 x3
1
⋅
5 x2
2
− ⋅ − 6 ⋅ x
5 k
2
+ ⋅ ⋅ x2
5 k ⋅ x ⋅ − 12 k ⋅ −
:=
1
5 x3
2
⋅
5 x2
3
+ ⋅
5 x ⋅ −
1
5 k
2
− ⋅ ⋅ x2
5 k ⋅ x ⋅ −
3
5 k ⋅ +
−b( k)
− WD( k)
2 ⋅ a( k)
vereinfachen → −2 ⋅ k
1
→ ⋅ ( x + 5)
⋅ ( x − 6)
⋅ ( x + 2 ⋅ k)
5
xa := −10
xb := 10
r( k , x)
vereinfachen
→
⎞
⎟
⎠
4
25 k2 ⋅
÷ ( x − 6)
4
5 k ⋅ − 1 +
x2( k)
xz := xa − 0.01 , xa..
xb + 0.01
60
40
20
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
20
40
60
:=
xz , x1( kz)
=
→
1
a( k)
:=
5
r( k , x)
1
5 x2 ⋅
WD( k)
−b( k)
+ WD( k)
2 ⋅ a( k)
2
5 k ⋅ x ⋅ + + x 2 k ⋅ +
b( k)
D( k)
faktor
:=
:=
1
5
f( k , x)
x − 6
:=
2
5
k 1 +
⋅ ( 2k − 5)
1
( 2 ⋅ k − 5)
25
2
→ ⋅
vereinfachen → −5
c( k)
:= 2k

(8)
⎛
⎜
⎝
D( k)
b( k)
2
:= − 4 ⋅ a( k)
⋅ c( k)
vereinfachen
x1( k)
f( k , x)
f( k , x)
faktor
kz := −4 , −3
.. 4
f( kz , xz)
0
:=
1
5 x3
36 2
⋅ − ⋅ x
5 5 k
72
:=
+ ⋅ ⋅ x2 − ⋅ k
5
1
5 x3
36 2
⋅ − ⋅ x
5 5 k
72
+ ⋅ ⋅ x2 − ⋅ k
5
−b( k)
− WD( k)
2 ⋅ a( k)
r( k , x)
vereinfachen
vereinfachen → −2 ⋅ k
1
→ ⋅ ( x − 6)
⋅ ( x + 6)
⋅ ( x + 2 ⋅ k)
5
xa := −10
⎞
⎟
⎠
÷ ( x + 6)
xb := 10
→
=
→
a( k)
:=
4
25 k2 ⋅
1
5 x2 ⋅
1
5
+
x2( k)
xz := xa − 0.01 , xa..
xb + 0.01
50
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
50
2
5 k ⋅ x ⋅
6
5 x ⋅ −
12
+
− ⋅ k
5
b( k)
24
25 k ⋅
:=
xz , x1( kz)
+
:=
36
25
2
5 k
r( k , x)
6
−
5
WD( k)
−b( k)
+ WD( k)
2 ⋅ a( k)
D( k)
faktor
:=
:=
c( k)
2
5
f( k , x)
x + 6
12
:= − k
5
→
⋅ ( k + 3)
4
25
( k + 3)
2
⋅
vereinfachen → 6

f( k , x)
faktor
1
→
⋅ ( x − 2)
⋅ ( x + 3 ⋅ k)
3

f( k , x)
faktor
1
→
⋅ ( x + 6)
⋅ ( x − 2 ⋅ k)
3

f( k , x)
faktor
1
→
⋅ ( x + 3)
⋅ ( x + 2 ⋅ k)
2

f( k , x)
faktor
1
→
⋅ ( x − 4)
⋅ ( x − 3 ⋅ k)
2