1. Klausur Mechanik I SS 05, Prof. Dr. V. Popov T 1 2 3 4 ? 1 (10 ...

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Studiengang:
1. Klausur Mechanik I SS 05, Prof. Dr. V. Popov
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1 (10 Punkte)
Die Lagerung des Gabelbolzens einer schwenkbaren Laufrolle
ist mit zwei Rillenkugellagern ausgeführt. Das obere Lager A
wirkt hier als Festlager, das untere Lager B als Loslager. Die
Radkraft sei F .
PSfrag replacements
(a) Bestimmen Sie die Lagerkräfte in A (Festlager) und B
(Loslager) in Abhängigkeit vom Abstand a.
(b) Skizzieren Sie die Beträge der Lagerkräfte in A und B als
Funktion von a.
(c) Wie groß muß der Abstand a mindestens gewählt werden,
wenn die Lagerkräfte den Wert 2F nicht überschreiten
dürfen.
Geg.: F , b
2 (5 Punkte)
Ein Balken BD ist in B durch ein fünfwertiges Lager
und in D durch eine Pendelstütze gelagert und wird
durch eine Kraft F = F e x belastet. Das fünfwertige
Lager in B läßt nur eine translatorische Bewegung
entlang der raumfesten Schiene AC zu.
Berechnen Sie die Kraft in der Pendelstütze DE.
Wird die Pendelstütze auf Zug
PSfrag
oder Druck
replacements
beansprucht?
Geg.: a, F
z
F
e y
e x
A(0, 3a, 0)
y
c
D(a, 2a, 6a)
E(a, 0, 6a)
d
A
B
b
F
B(a, 2a, 0)
T
1
2
3
4
a
2b
C(3a, 0, 0)
x

cements
PSfrag replacements
3 (15 Punkte)
Die skizzierten Balken sind statisch bestimmt
in den Punkten A, B und C gelagert. Sie
werden im Bereich AB durch eine linear von
Null auf q0 ansteigende Streckenlast sowie im
Bereich BC durch eine entgegengesetzte konstante
Streckenlast q0 belastet.
3l 2l
A B C
Die Verläufe von Biegemoment M(x) und z
Querkraft Q(x) sollen in den folgenden
Schritten bestimmt werden.
Benutzen Sie für alle Berechnungen das eingezeichnete Koordinatensystem.
(a) Wie lauten (allgemein) die Differentialgleichungen, die die Berechnung der gesuchten Schnittlasten
Q(x), M(x) ermöglichen?
(b) Nehmen Sie eine Bereichseinteilung vor und stellen Sie die Funktion der Streckenlast qj für alle
Abschnitte j auf.
(c) Geben Sie die Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur Berechnung der Schnittlasten
benötigt werden. Weist die Querkraft einen Knick oder Sprung an der Stelle x = 3l auf?
Begründen Sie.
(d) Bestimmen Sie nun die gesuchten Größen M(x) und Q(x) im Abschnitt BC.
(e) Skizzieren Sie den Querkraft- und den Biegemomentenverlauf im Abschnitt BC.
Geg.: q0, l
4 Bekannte Aufgabe (10 Punkte)
Das skizzierte System, das sich im Schwerefeld der Erde befindet, besteht aus einer ebenen Scheibe,
die mit drei Pendelstützen gelagert ist. Die Scheibe setzt sich aus zwei Teilen mit den Dichten ρ1 PSfrag replacements
und
ρ2 zusammen. Beide Teile haben die konstante Dicke t. Der Lagerungspunkt B kann so verändert
werden, daß sich verschiedene Winkel 0 o < β < 90 o einstellen lassen.
(a) Bestimmen Sie ρ2 in Abhängigkeit von
ρ1 so, daß der Schwerpunkt der Scheibe
im Ursprung des in der Skizze eingetragenen
Koordinatensystems befindet.
(b) Bestimmen Sie die Kraft in der Pendelstütze
BE als Funktion von β.
(c) Für welchen Winkel βk existiert kein
Gleichgewichtszustand? Begründen
Sie.
Geg.: g, t, s, l, ρ1
Schwerpunkt des Kreisausschnittes:
y
r
2r sin α
xS = 3α
2α
x
A
B
β
l
l
D
E
ρ1
l
y
ρ2
q0
l
l
F
3s
g
C
x
q0
x
2s

Theorieaufgaben (je 1 Punkt)
1. Wie groß ist der Betrag der Kraft F = F (e x − e y + e z)?
|F | =
2. Wie groß ist das durch die Kraft F verursachte Moment
bezüglich O? Geben Sie das Moment als Vektor an.
M =
PSfrag replacements
3. Geben Sie zu jedem Lager die Wertigkeit im ebenen
Fall an. PSfrag replacements
z
y
O x
Lagersymbol
Wertigkeit
4. Das abgebildete Fachwerk besteht aus vier Stäben. Welche Stäbe sind
bei der gegebenen Belastung Nullstäbe?
Nullstäbe:
5. Kann man die Stabkräfte in den Stäben 1,2,3 direkt
durch einen einzigen Ritterschnitt PSfrag replacements berechnen?
Begründen Sie.
F1
PSfrag replacements
F = Fxe x + Fye y
6. Die Abbildung zeigt einen freigeschnittenen Knoten aus einem Fachwerk.
Für den Stab 2 wurde für die Stabkraft S2 = −3 kN ermittelt. PSfragIst replacements der Stab
auf Druck oder Zug belastet?
1
3
P (xP , yP , zP )
1
2
2
4
S1
S2
3
F
F2
S3

7. Können bei dem abgebildeten Fachwerk alle Auflagerreaktionen
PSfrag replacements
und Stabkräfte allein aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet
werden? Begründen Sie. Hinweis: Die Stäbe 1 und 5
sind nicht miteinander verbunden.
8. Die Lagerkraft im Lager A hat im eingezeichneten Koordinatensystem
die Komponentendarstellung PSfragA replacements = Axex +
Ayey. Welche Beziehung muß zwischen den Koordinaten
Ax und Ay aufgrund der Lagerung gelten?
9. Welche Aussagen zur Querkraft Q(x)
sind richtig?
Die Querkraft im horizontalen Balken
weist bei x = l einen Sprung auf.
ist überall Null.
PSfrag replacements
l
weist bei x = 3l einen Knick auf.
z
PSfrag replacements
ist bei x = 3l Null.
10. Wie groß ist die Normalkraft (Kraft in x–Richtung)
im Balken für den folgenden Belastungsfall? Bitte
+
ankreuzen!
N(x) = F
N(x) = −F tan(45 o )
N(x) = − 1
√
2F 2
N(x) = − 1
√
1 2F + 2
2q0l 1 2
q0
l
z
x
l
1
5
4
2
3
e y
F
A B
q0
l
3
l
q(x)
α
4
l
5
F
l
e x
x
45 o

eplacements
Mechanik I Prof. Popov SS 05, Lösungshinweise Seite 1
1. Klausur Mechanik I
Version 8. Juni 2005
Aufgabe 2
Freikörperbild
F
D
F S
Das Kräftegleichgewicht lautet
B
M B
F B
0 = ΣF i = F + F S + F B , (1)
wobei F = F e x , F S = FSe y . Das Lager läßt eine Bewegung
entlang der raumfesten Schiene AC zu. Für die
Lagerkraft F B muß daher gelten
rAC · F B = 0 , PSfrag replacements (2)
mit r AC = −3ae x + 3ae y. Gleichung (1) liefert dann durch
skalare Multiplikation mit r AC die Gleichung
−F + FS = 0 ⇔ FS = F . (3)
Die Pendelstütze ist demnach auf Druck belastet.
Aufgabe 1
rag replacements
(a) A ist ein Festlager und B ein Loslager. Somit ergibt
sich der gezeigte Freischnitt.
Ax
Bx
Ay
Die Gleichgewichtsbedingungen
0 = ΣFx = Ax + Bx
0 = ΣFy = Ay + F
0 = ΣM (A) = Bxa + F b
b
F
a
e y
e x
führen auf die gesuchten Größen
Bx = −F b
a
Ax = F b
a
Ay = −F
(b) Die Beträge der Lagerkräfte sind
A = |A| = A2 x + A2
2 b
y = F 1 +
a
B = |B| = F b
a
.
Das Diagramm zeigt die entsprechenden Kurven.
4
3
2
1
0
0
1
2
a/b
|B|/F
|A|/F
(c) Die Lagerkraft A ist stets größer als die Lagerkraft
B. Damit die Beträge der Lagerkräfte den Wert 2F nicht
überschreiten, muss demnach gelten
A ≤ 2F ⇔ a ≥ 1√
3b .
3
Aufgabe 3
(a) Die Schnittlastendifferentialgleichungen lauten
dM (x)
dx
= Q (x) ,
dQ (x)
dx
3
4
,
= −q (x) . (4)
(b) Der Träger wird in zwei Bereiche geteilt: Bereich 1 mit
0 < x < 3l und Bereich 2 mit 3l < x < 5l. Die Teilung
bei x = 3l ist nötig, da dort die Streckenlast einen Sprung
hat. Für die Streckenlast gilt
q1 (x) = q0
3l x
q2 (x) = −q0 .
5

lacements
Mechanik I Prof. Popov SS 05, Lösungshinweise Seite 2
1. Klausur Mechanik I
Version 8. Juni 2005
(c) Die Rand- und Übergangsbedingungen lauten
M2 (5l) = 0 (5)
Q2 (5l) = 0 (6)
M2 (3l) = M1 (3l) (7)
Q2 (3l) = Q1 (3l) (8)
2.5
Die Querkraft weist bei x = 3l einen Knick auf, da dort
die Streckenlast von q0 auf −q0 springt.
(d) Durch Integration von (4) im Abschnitt BC (Bereich
2) erhält man
Q2 (x) = q0x + c1
M2 (x) = 1
2 q0x 2 + c1x + c2 .
Einsetzen der Randbedingungen (5) und (6) führt auf die
Gleichungen
0 = 5q0l + c1
0 = 25
2 q0l 2 + 5c1l + c2
und schließlich auf die Konstanten
c1 = −5q0l , c2 = 25 2
q0l
2
Einsetzen ergibt
x
Q2 (x) = q0l
M2 (x) = q0l 2
l
1
2
− 5
x
2 − 5
l
x 25
+
l 2
(e) Die Diagramme zeigen die entsprechenden Kurven.
Q
q0l
0.0
−0.5
−1.0
−1.5
−2.0
3.0 3.5 4.0
x
l
4.5 5.0
.
PSfrag replacements
.
M
q0l2 2.0
1.5
1.0
0.5
Aufgabe 4
0.0
3.0 3.5 4.0
x
l
4.5 5.0
(a) Die Schwerpunktskoordinaten bei zusammengesetzten
Körpern berechnen sich allgemein als
ximi
yimi
xS = , yS =
mi
mi
wobei die Einzelmassen mit mi und die Schwerpunktskoordinaten
der Einzelkörper mit xi und yi bezeichnet sind.
Hier erhält man gemäß der Skizze
xS = −yS =
1 − 2l3ρ1 + 1
3l3ρ2 3l2ρ1 + 1
4πl2 .
ρ2
Der Schwerpunkt der untersuchten Scheibe soll laut Aufgabenstellung
im Ursprung des Koordinatensystems sein
xS = 0 , yS = 0 .
PSfrag replacements
Das ist der Fall, wenn
(b)
− 1
2 l3 ρ1 + 1
3 l3 ρ2 ⇔ ρ2 = 3
2 ρ1 .
2s
3s
ρ1
ρ2
B
A
β
l
l
D
E
l
P
y
l
Im Freikörperbild sind die Stabkräfte so eingezeichnet,
dass ein positiver Wert einer Zugbeanspruchung entspricht.
Der Punkt P ist der Schnittpunkt der Wirkungslinien
der Kräfte A und C. Das Momentengleichgewicht
G
l
F
C
g
x

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1. Klausur Mechanik I
Version 8. Juni 2005
um diesen Punkt liefert eine Bestimmungsgleichung für
die gesuchte Kraft B.
0 = M (P ) = − 1
1
lG − 2l cos βB + l sin βB
2 2
⇒
G
B =
sin β − 4 cos β
Die Gewichtskraft G berechnet sich zu
G = 3ρ1l 2
tg 1 + 1
8 π
.
(c) Für
sin βk − 4 cos βk = 0
wird die Lagerkraft in B unendlich groß. Wie man aus
der Skizze erkennt, schneiden sich in diesem Fall die Wirkungslinien
aller drei Stabkräfte im Punkt P. Das Momentengleichgewicht
kann dann i.a. nicht erfüllt werden. Der
kritische Winkel βk berechnet sich zu
βk = arctan 4 ≈ 76 o .