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Theoretische Grundlagen eines<br />
schnellen Berechnungsverfahrens<br />
für den Kontakt rauer<br />
Oberflächen<br />
vorgelegt von<br />
Dipl.-Ing. Thomas Geike<br />
aus Berlin<br />
von der<br />
Fakultät V Verkehrs- und Maschinensysteme<br />
der Technischen Universität Berlin<br />
zur Erlangung des akademischen Grades<br />
Doktor der Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.)<br />
genehmigte Dissertation<br />
Promotionsausschuss<br />
Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. Henning Jürgen Meyer<br />
Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov<br />
Prof. Dr.-Ing. Georg-Peter Ostermeyer<br />
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 21. Dezember 2007<br />
Berlin, 2008<br />
D83
Vorwort<br />
Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als Wissenschaftlicher<br />
Mitarbeiter am Fachgebiet Systemdynamik und Reibungsphysik am Institut für<br />
Mechanik der Technischen Universität Berlin.<br />
Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov, der diese<br />
Arbeit anregte und mich in all den Jahren hervorragend betreute. Ich danke zudem<br />
Herrn Prof. Dr.-Ing. Georg-Peter Ostermeyer, Technische Universität Braunschweig,<br />
für seine Tätigkeit als Gutachter und die hilfreichen Gespräche während<br />
zahlreicher Workshops und Tagungen. Herrn Prof. Dr.-Ing. Henning Jürgen Meyer<br />
danke ich für die Übernahme des Vorsitzes im Prüfungsausschuss.<br />
Den Kollegen am Institut für Mechanik danke ich für die gute Zusammenarbeit<br />
und das angenehme Arbeitsklima während der vergangenen Jahre.<br />
Berlin, September 2007<br />
Thomas Geike<br />
i
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Einführung 1<br />
1.1 Kontakt- und Reibungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
1.2 Stand der Forschung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.2.1 Bowden und Tabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.2.2 Greenwood und Williamson . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.2.3 Persson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.2.4 Numerische Kontaktmechanik selbstaffiner Oberflächen . . 7<br />
1.3 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
1.4 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
2 Elastischer Einzelkontakt 11<br />
2.1 Dimensionsproblematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
2.2 Elastische Energie im 3D-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.3 Hertzscher Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.4 1D-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
2.5 Änderung des Kappenradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.6 Spannungen und Fließkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.7 Innere Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
2.7.1 Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
2.7.2 Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
3 Elastischer Kontakt rauer Oberflächen 23<br />
3.1 Charakterisierung rauer Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
3.2 Eigenschaften von 1D- und 2D-Oberflächen . . . . . . . . . . . . . 24<br />
3.2.1 Vorüberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
3.2.2 1D-Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
3.2.3 2D-Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
3.3 Umrechnung der Oberflächentopographie . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
3.3.1 Analytische Überlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3.3.2 Numerische Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
3.3.3 Längenumrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
3.3.4 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
3.4 Simulation mit rauen Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
4 Numerische Aspekte 37<br />
4.1 Lösung von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
4.1.1 Übersicht über Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
4.1.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
4.1.3 Differentialgleichungen mit Rauschen . . . . . . . . . . . . 39<br />
iii
iv INHALTSVERZEICHNIS<br />
4.2 Lösung des statischen Kontaktproblems . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
4.2.1 Numerisch approximierte Jacobimatrix . . . . . . . . . . . 40<br />
4.2.2 Verwendung der expliziten Jacobimatrix . . . . . . . . . . 42<br />
4.2.3 Mehrgitter-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
4.2.4 Adhäsiver Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
4.3 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
5 Adhäsiver Kontakt 47<br />
5.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
5.2 Raue Oberflächen und Adhäsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
5.3 Adhäsion im 1D-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
5.4 Ein erstes Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
5.5 Herleitung des Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
5.6 Steifigkeitsstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
5.6.1 Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
5.6.2 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
5.7 Modell mit zwei Teilchenfreiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
5.7.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
5.7.2 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
5.8 Simulation mit rauen Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
5.8.1 Wellige Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
5.8.2 Oberflächen mit festem Kappenradius . . . . . . . . . . . . 67<br />
6 Geschmierte Kontakte 71<br />
6.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
6.2 Klassisches Newton-Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
6.2.1 Vorüberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
6.2.2 Wechselwirkungsgesetz im 2D-Fall . . . . . . . . . . . . . 73<br />
6.2.3 Wechselwirkungsgesetz im 1D-Fall . . . . . . . . . . . . . 74<br />
6.2.4 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
6.3 Beispiele für andere Schmiermittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76<br />
6.3.1 Druckabhängige Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76<br />
6.3.2 Schmiermittel mit Momentenspannungen . . . . . . . . . . 78<br />
6.4 Kavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
6.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
7 Zusammenfassung und Ausblick 83<br />
7.1 Erreichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />
7.2 Offene Fragen und zukünftige Entwicklungen . . . . . . . . . . . . 84<br />
A Simulationsmethoden 89<br />
A.1 Mehrkörpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />
A.2 Finite Elemente Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
A.3 Molekulardynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
A.4 Teilchenmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
A.5 Geschmierte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
INHALTSVERZEICHNIS v<br />
B Bedeutung der Dimension 99<br />
B.1 3D Kontaktprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
B.1.1 Analytische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
B.1.2 Simulation mit Randelementen . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
B.2 2D Kontaktprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />
B.2.1 Halbraumlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />
B.2.2 DQ-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
B.2.3 Hierarchisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
B.3 2D Problem mit veränderlichem Modul . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
B.4 Adhäsiver Normalkontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
B.5 2D Modelle des 3D Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
B.5.1 Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
B.5.2 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br />
C DQM Scheibenproblem 117<br />
C.1 Gleichungen und Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117<br />
C.2 Einfluss des Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
D Winklerbettung 121<br />
D.1 Isotropes Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />
D.2 Anisotropes Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br />
E Oberflächengenerierung 125<br />
E.1 Oberflächenerzeugung 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125<br />
E.2 2D Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127<br />
F Kontaktformulierung mittels LCP 131
vi INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1<br />
Einführung<br />
1.1 Kontaktmechanik und Reibungsphysik – Bedeutung,<br />
Anwendungen, Probleme<br />
Die Bestimmung des Reibungsgesetzes für trockene Reibung als Funktion der<br />
Material- und Lastparameter bleibt nach wie vor ein aktuelles und ungelöstes<br />
tribologisches Problem. Obwohl wichtige ” Gesetze“ der trockenen Reibung, (1)<br />
Reibungskraft ist proportional zur Normalkraft, (2) Reibungskraft ist unabhängig<br />
von der scheinbaren Kontaktfläche und (3) kinetische Reibungskraft ist nahezu<br />
unabhängig von der Gleitgeschwindigkeit, schon seit langem bekannt sind, scheint<br />
es so, als ob trockene Reibung zu den am wenigsten verstandenen Gebieten der<br />
Technik gehört 1 .<br />
Reibung wird mittlerweile von vielen Autoren als dynamischer Prozess aufgefasst.<br />
Die Formulierung eines geeigneten Modells der Reibungsprozesse setzt Kenntnisse<br />
bezüglich der charakteristischen Skalen und der physikalischen Natur der relevanten<br />
Prozesse voraus. Experimente zeigen, dass technische Oberflächen häufig in<br />
einem großen Bereich von Skalen selbstähnlich sind [14]. Ob jedoch alle Skalen<br />
für die Reibungsprozesse relevant sind, ist Gegenstand experimenteller und theoretischer<br />
Forschung [100].<br />
Es gibt bis heute keine leistungsfähigen und umfassenden Modelle zur Berechnung<br />
der Reibungskraft in Abhängigkeit vom Zustand des Systems, den Material- und<br />
den Lastparametern. Der Bedarf nach solchen Modellen wächst jedoch ständig, da<br />
das Verständnis und die Berechenbarkeit von Reibungsphänomenen für die Auslegung,<br />
Optimierung und Steuerung von Systemen mit Reibkontakten äußerst wichtig<br />
sind. Anwendungen reichen von der Fertigungstechnik (Umformtechnik [70],<br />
chemisch-mechanisches Polieren [94]) über die Fahrzeugtechnik (Kraftfahrzeugbremsen<br />
[85], Verbrennungsmotoren [98], Rad-Schiene-Kontakt [99], Primärfesselung<br />
von Güterwagen [59]) bis zur Robotertechnik [1]. Selbst etwas Alltägliches<br />
wie Laufen wäre ohne Reibung unmöglich! Aktuelle Bestrebungen bei der Entwicklung<br />
mikromechanischer Systeme und die Entwicklung neuer Messmethoden,<br />
z. B. Atomkraftmikroskop, geben der tribologischen Forschung neuen Schwung<br />
1 Die klassischen Untersuchungen sind vor allem mit den Namen da Vinci (1452-1519), Amonton<br />
(1663-1705) und Coulomb (1736-1806) verbunden [11]. Der Artikel von Dowson [27] gibt<br />
Einblick in die geschichtliche Entwicklung der Tribologie. Insbesondere werden die Entwicklungen<br />
des 20. Jahrhunderts besprochen. Das Lehrbuch von Ludema [72] wendet sich vor allem<br />
an Ingenieure in Konstruktion und Entwicklung und gibt einen aktuellen Überblick über die<br />
Themen Reibung und Verschleiß aus Sicht des Anwendungsingenieurs.<br />
1
2 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG<br />
[88]. Es zeigt sich jedoch, dass der Brückenschlag zwischen den theoretischen<br />
Erkenntnissen der letzten zwei Jahrzehnte und den Anwendungen z. B. in der<br />
Umformtechnik bisher nicht gelungen ist.<br />
Neben der Weiterentwicklung von Schmiermitteln, Additiven, Oberflächenbehandlungen<br />
und Messmethoden ist die Entwicklung geeigneter Simulationsmethoden<br />
zur Simulation von Mehrkörpersystemen mit Reibkontakten eine der zentralen<br />
Aufgaben der tribologischen Forschung. In seinem Ausblick auf die Entwicklung<br />
der Tribologie im 21. Jahrhundert prognostiziert Spikes [113] eine weiterhin<br />
starke Aktivität im Bereich Modellierung und Simulation. Dabei erwartet er vor<br />
allem weitere Fortschritte im Bereich der geschmierten Kontakte (raue Oberflächen,<br />
Nichtnewtonsche Fluide, gemischte elastohydrodynamische Schmierung<br />
und Grenzflächenschmierung). Zusätzlich prognostiziert Spikes stärkeres Interesse<br />
im Bereich Modellierung von Mehrkörpersystemen und Simulation von komplexen<br />
tribologischen Systemen wie Motoren oder Getrieben über die Betriebslebensdauer.<br />
An die Stelle von aufwendigen Feldversuchen soll nach und nach das virtuelle<br />
Testlabor treten 2 . Als Folge des Bestrebens, möglichst wartungsfreie technische<br />
Systeme (lifetime zero maintenance) zu entwickeln, sieht Spikes einen Trend weg<br />
von geschmierten Systemen und hin zu Systemen mit trockener Reibung.<br />
Jedes tribologische Probelm ist zuerst auch ein Kontaktproblem. Basis aller Reibungssimulationen<br />
ist daher eine sichere Beherrschung des Kontaktproblems.<br />
Makroskopische tribologische Systeme sind typischerweise Probleme mit vielen<br />
Kontakten (multi-contact systems). Die Mikrokontakte bestimmen zum einen die<br />
übertragenen Normalkräfte, die sich makroskopisch als Reaktionskraft (Kontaktkraft)<br />
äußern. Zum anderen bestimmen sie die reale Kontaktfläche und damit die<br />
Reibungskraft. Die Verteilung der Normal- und Tangentialkräfte sowie die Verteilung<br />
der Kontaktgebiete sind die wichtigsten Größen für das Verständnis des<br />
tribologischen Systems auf der Mikroskala.<br />
Was macht nun die Simulation von Reibungs- und Kontaktproblemen so schwierig?<br />
Im wesentlichen gibt es zwei Gründe: den Mehrskalencharakter der Reibung<br />
(multi-scale) und die Komplexität bzw. die große Zahl an Parametern und beteiligten<br />
physikalischen Prozessen.<br />
Mehrskalencharakter Für die meisten Kontakt- und Reibungsprobleme sind<br />
viele Längenskalen von der Nano- bis zur Makroskala wichtig. Eine wenige<br />
Atomlagen dicke Schmierschicht kann das Reibungsverhalten eines ansonsten<br />
” trockenen“ Kontaktes deutlich verändern und muss daher berücksichtigt<br />
werden. Auf der anderen Seite erstrecken sich Rauheiten bis zur<br />
Makroskala.<br />
Komplexität Neben der Elastizität der Kontaktpartner spielen je nach Anwendung<br />
auch Adhäsion, Schmierung (einschließlich Kavitation), Plastizität,<br />
Bruch, Herauslösen und Wiedereinbau von Teilchen sowie chemische Reaktionen<br />
(einschließlich Korrosion) eine Rolle.<br />
2 Einen Überblick über bestehende Simulationsmethoden für trockene und geschmierte Kon-<br />
takte gibt der Anhang A.
1.2. STAND DER FORSCHUNG 3<br />
Dem Mehrskalencharakter kann mit vollständigen dreidimensionalen Modellen<br />
nur schwer Rechnung getragen werden, weil die Zahl der Freiheitsgrade das rechentechnisch<br />
Mögliche oft weit überschreitet. Beispiel: Die Diskretisierung eines<br />
makroskopischen Kontaktbereichs mit linearer Abmessung von 10 mm mit einer<br />
Auflösung von 10 nm erfordert ungefähr 10 18 Freiheitsgrade. Rechentechnisch<br />
möglich sind 10 6 ÷ 10 9 Freiheitsgrade.<br />
Es können drei verschiedene Ansätze zur Simulation von solchen Problemen unterschieden<br />
werden. Beim ” seriellen“ Ansatz werden Simulationen auf der Mikroskala<br />
benutzt, um Konstanten für Simulationen auf einer Mesoskala zu gewinnen. Diese<br />
Simulationen dienen wiederum, um andere Konstanten für die nächst höhere<br />
Skala zu erhalten. Als Beispiel sei die Arbeit von Clementi [23] erwähnt, bei der<br />
mit den Methoden der Quantenmechanik (kleinste Skala) die Wechselwirkungspotentiale<br />
bei Wassermolekülen für eine Molekulardynamiksimulation (größere<br />
Skala) gewonnen wurden. Mittels Molekulardynamik konnte dann die Viskosität<br />
des Wassers bestimmt werden. Die Viskosität wurde anschließend in einer CFD-<br />
Simulation 3 zur Berechnung des makroskopischen Strömungsproblems eingesetzt.<br />
Dieser serielle Ansatz wird z.B. auch für die Simulation des Werkstoffverhaltens<br />
eingesetzt, wobei atomistische Simulationen Eingangsgrößen für Versetzungssimulationen<br />
liefern, deren Ergebnisse wiederum für Simulationen makroskopischer<br />
Festigkeitsprobleme genutzt werden können [109].<br />
Alternativ kann ein ” paralleler“ Ansatz verfolgt werden. Dabei werden verschiedene<br />
Methoden innerhalb eines Simulationsmodells verbunden. Zur Simulation von<br />
Kontakt- und Reibungsphänomenen werden dazu z. B. Molekulardynamik und<br />
die Finite Elemente Methode (FEM) miteinander verbunden. Der Kontakbereich<br />
wird dann mittels Molekulardynamik auf atomarer Skala aufgelöst, während der<br />
Grundkörper deutlich gröber mit der FEM beschrieben wird [62, 71]. Die Herausforderung<br />
liegt in der korrekten Kopplung der Methoden.<br />
Die Simulation innerhalb einer Methode hat gewiss Vorteile, denn Übergangsbedingungen<br />
müssen dann nicht formuliert werden. Zudem werden alle Skalen<br />
berücksichtigt und nicht nur die kleinste und die größte. Ein Ansatz zur Reduzierung<br />
der Zahl der Freiheitsgrade ist ein hierarchischer Aufbau (Abschnitt A.4).<br />
In der Nähe der Oberfläche wird sehr fein diskretisiert, im Innern gröber.<br />
Neben hierarchischen Modellen sind Modelle mit reduzierter Dimension besonders<br />
Erfolg versprechend. Insbesondere eindimensionale Modelle erlauben die Simulation<br />
über viele Größenordnungen bei gleichzeitiger Möglichkeit, viele physikalische<br />
Phänomene zu berücksichtigen. In der vorliegenden Arbeit werden solche Modelle<br />
entwickelt. Wie bereits erwähnt, muss für die Simulation des Reibungsproblems<br />
zuvor das Kontaktproblem beherrscht werden. Thema der vorliegenden Arbeit ist<br />
daher die Entwicklung eines effizienten Simulationsmodells für Kontaktprobleme.<br />
1.2 Stand der Forschung<br />
Im folgenden werden die heute verwendeten Kontakttheorien kurz vorgestellt. Für<br />
viele Berechnungen und Überlegungen sind nach wie vor die Modellvorstellungen<br />
von Bowden und Tabor [10, 11] ausreichend; daher beginnt die Darstellung mit<br />
diesem Klassiker.<br />
3 CFD. . . computational fluid dynamics
4 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG<br />
Es sei an dieser Stelle schon auf den Anhang A verwiesen. Dort wird eine etwas<br />
andere Sicht auf den Stand der Forschung dargeboten. Die dortigen Ausführungen<br />
geben einen Überblick über verschiedene Simulationsmethoden und die besonderen<br />
Schwierigkeiten und Herausforderungen, die Kontakt- und Reibungsprobleme<br />
bei der Anwendung der jeweiligen Methode verursachen.<br />
1.2.1 Bowden und Tabor<br />
Bowden und Tabor verdanken wir das Konzept der wahren Kontaktfläche. Zuvor<br />
war man davon ausgegangen, dass der Kontakt über die gesamte sichtbare Kontaktfläche<br />
geschieht. Eine Adhäsionstheorie der Reibung konnte sich vor Bowden<br />
und Tabor nicht durchsetzen, weil schon aus Da Vinci’s Experimenten bekannt<br />
war, dass die Reibungskraft nicht von der (scheinbaren) Kontaktfläche abhängt.<br />
Den Unterschied zwischen realer und scheinbarer Kontaktfläche zu erkennen, ist<br />
ein wichtiges Ergebnis von Bowden und Tabor.<br />
Das Gesetz von Amonton Reibungskraft proportional zur Normalkraft ist aus der<br />
Annahme erklärbar, dass die Reibungskraft proportional zur realen Kontaktfläche<br />
ist. Nach Bowden und Tabor [11] kommt es bei Metallen in den Kontaktpunkten<br />
zu Kaltverschweißungen, die für eine Gleitbewegung geschert werden müssen. Je<br />
größer die reale Kontaktfläche, desto größer die notwendige Kraft zum Scheren<br />
der Kaltverschweißungen.<br />
Bowden und Tabor lieferten auch eine Begründung, warum die reale Kontaktfläche<br />
Areal proportional zur Normalkraft FN ist. Unter der Annahme, dass sich<br />
alle Asperiten plastisch verformen, stellt sich die reale Kontaktfläche gerade so<br />
ein, dass<br />
FN = HAreal<br />
(1.1)<br />
gilt. Der Fließdruck entspricht näherungsweise der Härte H der Oberflächenschicht<br />
4 . Die Oberflächentopographie tritt in Gleichung (1.1) nicht auf. Zudem ist<br />
keine Aussage möglich, wie groß die einzelnen Kontakte sind bzw. wie viele Kontakte<br />
zur realen Kontaktfläche betragen. Aus (1.1) lässt sich jedoch abschätzen,<br />
dass die reale Kontaktfläche meist sehr viel kleiner als die scheinbare Kontaktfläche<br />
ist und dass für viele raue Oberflächen die Einzelkontakte weit voneinander<br />
entfernt sind.<br />
Die Annahme plastischer Deformation aller im Kontakt befindlichen Asperiten<br />
kann jedoch nicht stets richtig sein. Reibkontakte in Maschinen werden oft über<br />
Jahre beansprucht. Die Deformationen müssen dann elastisch sein, denn ständige<br />
plastische Deformation würde unweigerlich zu Ermüdung führen.<br />
Elastische Deformationen können mit der Theorie von Hertz (siehe Abschnitt 2.3)<br />
beschrieben werden. Es ergibt sich dann ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen<br />
Normalkraft und Kontaktfläche. Die Lösung dieses Widerspruchs – elastische<br />
Deformationen müssen in vielen Kontaktproblemen dominieren und gleichzeitig<br />
soll direkte Proportionalität zwischen Normalkraft und Kontaktfläche bestehen<br />
– ist vor allem mit den Namen Archard und Greenwood verbunden.<br />
4 siehe dazu Kommentar von Akkurt in [41]
1.2. STAND DER FORSCHUNG 5<br />
1.2.2 Greenwood und Williamson<br />
Archard [2, 81] schlägt ein Modell vor, bei dem immer kleinere Hügel auf bestehende<br />
gesetzt werden 5 . Heutzutage würde man eine solche Oberfläche fraktal<br />
nennen. Um so komplexer das Modell gewählt wird, um so deutlicher tritt folgendes<br />
Ergebnis hervor: die Zahl der Kontakte nimmt proportional zur Normalkraft<br />
zu, die Größe eines einzelnen Kontaktes ist nahezu unabhängig von der Normalkraft.<br />
Eine wesentliche Schwierigkeit im Modell von Archard besteht in der<br />
Zuordnung von gemessenen Rauheiten zu Größen des Modells.<br />
Ein Modell, das sich leichter an gemessene Größen anpassen lässt, wurde 1966<br />
von Greenwood und Williamson (GW-Modell) [43] vorgestellt. Es weist die<br />
folgenden Eigenschaften auf [41, 44]:<br />
• Die Asperiten haben eine Höhenverteilung, die sich im relevanten Bereich<br />
der Höhen durch eine Exponentialfunktion approximieren lässt. Die in Experimenten<br />
häufig gemessene Normalverteilung kann durch eine Exponentialfunktion<br />
approximiert werden. Greenwood und Wu [44] merken zudem an,<br />
dass die Höhen der höheren Abschnitte der Oberfläche selbst dann als normalverteilt<br />
angesehen werden können, wenn die Höhenverteilung im ganzen<br />
hochgradig schief ist. Die höheren Abschnitte sind für den Kontakt relevant.<br />
• Die Asperiten werden als Kugelkappen behandelt, die bis auf ihre Höhen<br />
identisch sind. Greenwood und Wu merken dazu an, dass weder durch die<br />
Betrachtung von Ellipsoiden anstelle von Kugeln noch durch die Einführung<br />
einer Verteilung von Asperitengrößen viel hinzu gewonnen wird.<br />
• Wie gelangt man aus den Messungen zu Informationen über die Asperiten?<br />
Greenwood und Williamson entschieden sich dafür, Spitzen 6 des gemessenen<br />
Oberflächenprofils als Asperiten zu identifizieren. Spitzen sind Punkte, die<br />
bei dem verwendeten Abtastintervall höher als ihre direkten Nachbarn sind.<br />
Sie studieren die Höhenverteilung dieser Spitzen und berechnen die zugeordnete<br />
Krümmung (peak curvature) durch Anpassen einer Parabel durch<br />
die Spitze und ihre zwei Nachbarn [41]. Greenwood und Wu [44] revidieren<br />
diesen Punkt teilweise.<br />
Die Untersuchungen von Greenwood und Williamson zeigten, dass eine zufällige<br />
Verteilung der Höhen bei elastischer Deformation zu einem linearen Zusammenhang<br />
zwischen Normalkraft und Kontaktfläche führt (zumindest bei kleinen Lasten).<br />
Für eine exponentielle Verteilung folgt dieses Ergebnis exakt, für die Normalverteilung<br />
näherungsweise. Damit war Areal ∝ FN gezeigt, sowohl bei plastischer<br />
Deformation (Bowden und Tabor), als auch bei elastischer Deformation<br />
(Greenwood und Williamson).<br />
Im allgemeinen werden einige Kontakte plastisch deformiert sein, andere hingegen<br />
elastisch. Greenwood und Williamson führen einen Plastizitätsindex 7<br />
ψ = E∗<br />
H<br />
<br />
4 〈h2 〉<br />
5 Im englischen Original: protuberances on protuberances on protuberances.<br />
6 peaks bzw. speziell 3-point-peaks<br />
7 Der Plastizitätsindex wird von verschiedenen Autoren unterschiedlich eingeführt.<br />
R 2
6 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG<br />
ein, der eine Aussage über die Zahl plastisch deformierter Asperiten erlaubt [41].<br />
Dabei bezeichnet H wiederum die Härte. Eine Aussage zum Zustand (elastisch<br />
oder plastisch) der Asperiten ist u. a. deshalb von Interesse, weil bei rein elastischer<br />
Deformation ein Aufbrechen der Oberflächenschicht (Oxide) unwahrscheinlich<br />
ist.<br />
Bush und Gibson[15] untersuchten, basierend auf den Vorstellungen von Greenwood<br />
und Williamson, den Fall ellipsenförmiger Kappen. Zudem verzichteten Sie<br />
auf die Gleichheit aller Kappen. In diesem Fall wird der lineare Zusammenhang<br />
zwischen Normalkraft und Kontaktfläche exakt erzielt. Es ergibt sich für den<br />
dimensionslosen Parameter κ der Zusammenhang<br />
κ = E∗ ∇hAreal<br />
FN<br />
≈ 2,51 , (1.2)<br />
mit dem (effektiven) elastischen Modul E ∗ , der rms-Steigung ∇h der Oberfläche,<br />
der realen Kontaktfläche Areal und der Normalkraft FN.<br />
Die Erweiterung der Modellvorstellungen von Greenwood und Williamson für den<br />
elasto-plastischen Kontakt erfolgte durch eine Vielzahl von Autoren [54, 55, 68,<br />
124]. Fuller und Tabor [34] wandten die Ideen von Greenwood und Williamson<br />
auf den adhäsiven Fall an (siehe Abschnitt 5.2).<br />
1.2.3 Persson<br />
Fraktale Beschreibungen rauer Oberflächen werden mittlerweile von vielen Autoren<br />
für kontaktmechanische Berechnungen genutzt, u. a. [63, 74, 76, 120].<br />
Perssons Beiträge zur Kontaktmechanik stochastischer Oberflächen (mit und ohne<br />
Adhäsion) sind in einer Vielzahl von Veröffentlichungen dargelegt [89, 90, 91].<br />
Viele Oberflächen sind in guter Näherung selbstaffin, d.h. eine Vergrößerung eines<br />
Teils der Oberfläche sieht genauso aus wie die Oberfläche selbst:<br />
z = λ H h (x/λ, y/λ) sieht so aus wie z = h (x, y) ,<br />
d.h. bei einer selbstaffinen Oberfläche bleiben die statistischen Eigenschaften der<br />
Oberfläche invariant unter einer Skalentransformation. Dabei sind unterschiedliche<br />
Skalierungsfaktoren für die Transformationen in lateraler Richtung und senkrechter<br />
Richtung zulässig. Der Hurst-Exponent 8 H charakterisiert diesen Unterschied<br />
der Skalierungsfaktoren. Bei selbstaffinen Oberflächen folgt das Leistungsspektrum<br />
einem Potenzgesetz<br />
C (q) ∝ q −2(H+1)<br />
. (1.3)<br />
Ein Potenzgesetz gemäß (1.3) gilt nur in einem bestimmten Wellenzahlbereich<br />
q0 < q < q1. Unterhalb des Wellenvektors q0 (roll-off) ist das Leistungsspektrum<br />
konstant. Der kleinstmögliche Wellenvektor qL = 2π ist durch die laterale Ausdeh-<br />
L<br />
nung der untersuchten Oberfläche gegeben. Das Leistungsspektrum C (q) ist für<br />
8 Zwischen fraktaler Dimension Df und Hurst-Exponent H besteht der Zusammenhang H =<br />
3−Df. Für den Hurst-Exponent gilt 0 ≤ H ≤ 1, wobei H = 1 für eine selbstähnliche Oberfläche<br />
steht.
1.2. STAND DER FORSCHUNG 7<br />
isotrope Oberflächen ausschließlich eine Funktion des Betrags q des Wellenvektors<br />
q.<br />
Der quadratische Mittenrauwert Rq (root-mean-square roughness) wird durch<br />
die längste Wellenlänge dominiert sofern q1 ≫ q0, die mittlere Neigung und<br />
Krümmung hingegen werden durch die kürzeste Wellenlänge dominiert.<br />
Persson baut seine Kontaktmechanik auf der fraktalen Beschreibungsweise der<br />
Oberflächen auf. Als Eingangsgröße wird nur das Leistungsspektrum C (q) benötigt.<br />
Die beobachtete reale Kontaktfläche hängt dann von der Vergrößerung ζ<br />
ab.<br />
Persson gelangt für kleine Normalkräfte ebenfalls zu einem linearen Zusammenhang<br />
zwischen Normalkraft und Kontaktfläche. Die dimensionslose Größe κ hat<br />
jedoch einen anderen Wert: κ ≈ 1,60.<br />
Die eine Sorte von Ansätzen (Greenwood, Bush) geht von einer statistischen<br />
Verteilung der Asperiten aus und vernachlässigt die Wechselwirkungen zwischen<br />
ihnen. Die Kontaktfläche ist dann die Summe der Teilkontaktflächen der unabhängigen<br />
Asperiten. Perssons Theorie benutzt das Skalierungsverhalten der<br />
Oberflächen. Trotz der Verschiedenartigkeit der Ansätze ergibt sich stets strukturell<br />
die gleiche Formel und der Wert κ ist in beiden Fällen von gleicher Größenordnung.<br />
1.2.4 Numerische Kontaktmechanik selbstaffiner Oberflächen<br />
Campañá und Müser [18] benutzen eine auf der Greenschen Funktion basierende<br />
Molekulardynamik (GFMD) für kontaktmechanische Berechnungen. Sie<br />
untersuchen den reibungsfreien Kontakt zwischen glatten elastischen Körpern<br />
(ν = 0,25) mit starren rauen Unterlagen. Die benutzten rauen Oberflächen entstammen<br />
entweder Messungen mit einem Atomkraftmikroskop oder werden als<br />
selbstaffine Oberflächen numerisch erzeugt.<br />
Hauptziel der Untersuchungen ist die Bestimmung der Verteilung der Drücke im<br />
Kontakt, genauer die Wahrscheinlichkeitsdichte P (p). Zudem wird die Abhängigkeit<br />
der wahren Kontaktfläche von der Normalkraft untersucht, insbesondere<br />
wird der Koeffizient κ mit den analytischen Ergebnissen von Persson und Bush<br />
verglichen. Für kleine Normalkräfte (besser Areal/A0 ≤ 0,1) besteht eine lineare<br />
Abhängigkeit zwischen Normalkraft und (wahrer) Kontaktfläche. Wird die Diskretisierung<br />
so fein wie die kleinsten Rauheiten gewählt, wird die wahre Kontaktfläche<br />
geringfügig zu groß berechnet.<br />
Hyun et al. [51, 52] untersuchen den elastischen, reibungsfreien, nicht-adhäsiven<br />
Kontakt mit der Finite Elemente Methode (FEM). Dabei untersuchen sie den<br />
Einfluss des betrachteten Wellenzahlbereichs. Der Koeffizient κ unterscheidet<br />
sich kaum für (synthetische) selbstaffine Oberflächen und reale Oberflächen; die<br />
räumliche Verteilung der Kontaktfläche unterscheidet sich jedoch deutlich.<br />
Sowohl bei Campañá und Müser als auch bei Hyun et al. hängt der Koeffizient<br />
κ vom Hurst-Exponenten ab und liegt stets zwischen den analytisch bestimmten<br />
Werten von Persson und Bush. Es ergibt sich zudem eine (grobe)<br />
Übereinstimmung zwischen den numerischen Ergebnissen der beiden Gruppen.<br />
Liu et al. [69] untersuchen thermische Effekte beim Kontakt gemessener rauer<br />
Oberflächen mit der FEM. Insbesondere wird die Veränderung des mittleren<br />
Druckes in Abhängigkeit von der zugeführten Wärme untersucht. Die Oberflächen
8 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG<br />
werden nicht spezifiziert, der Einfluss der Oberflächentopographie auf die Kontaktmechanik<br />
wird nicht untersucht.<br />
Neben den oben angeführten Berechnungen gibt es auch numerische Simulationen,<br />
bei denen aus einer selbstaffinen Oberfläche ein Modell mit sphärischen Asperiten<br />
erzeugt wird, z. B. von Komvopoulos und Ye [63]. Das elasto-plastische Verhalten<br />
eines Asperiten wird mit der FEM ermittelt; das Gesamtverhalten folgt<br />
dann aus statistischen Betrachtungen.<br />
1.3 Zielsetzung<br />
Im Abschnitt 1.1 wurde bereits erläutert, dass der Mehrskalencharakter eine wesentliche<br />
Hürde für die Simulation des Kontaktes rauer Oberflächen darstellt. Eine<br />
erhebliche Reduzierung des Rechenaufwandes kann offensichtlich erzielt werden,<br />
wenn zur Simulation dreidimensionaler Kontaktprobleme Modelle niedrigerer Dimension<br />
benutzt werden. Das Problem bei der Reduktion von Modellen zur Kontaktsimulation<br />
besteht nun darin, dass Modelle niedrigerer Dimension u. U. nicht<br />
die korrekten Zusammenhänge wiedergeben. Als Beispiel seien die Systeme Kugel-<br />
Ebene und Zylinder-Ebene genannt. Die Hertzsche Theorie liefert im ersten Fall<br />
für die Abplattung d und die Normalkraft F den Zusammenhang F ∝ d 3/2 , im<br />
zweiten Fall hingegen F ∝ d [56]. D. h. der Kontakt Kugel-Ebene kann nicht<br />
einfach durch den Kontakt Zylinder-Ebene ersetzt werden 9 .<br />
In der vorliegenden Arbeit wird ein einfaches eindimensionales Modell vorgestellt,<br />
mit dem einige Aspekte des dreidimensionalen Kontaktproblems korrekt<br />
simuliert werden können. Das Modell wird ausführlich in den folgenden Kapiteln<br />
vorgestellt. Zur Motivation soll eine zentrale Überlegung schon an dieser Stelle<br />
dargelegt werden:<br />
Beim Hertzschen Kontakt 10 gilt für die Kontaktsteifigkeit beim Normalkontakt<br />
knorm<br />
knorm = 2E ∗ a , (1.4)<br />
mit dem effektiven elastischen Modul E ∗ und dem Kontaktradius a. Das Ergebnis<br />
ist bemerkenswert, weil die Steifigkeit knorm linear vom Kontaktradius a abhängt<br />
und nicht von der Kontaktfläche. Das Verhalten ist Ausdruck der vorhandenen<br />
Korrelationen im Kontinuumsmodell. Zudem tritt der Krümmungsradius R in<br />
Gl. (1.4) nicht auf.<br />
Welche Konsequenz hat Gl. (1.4) für die Simulation von Kontaktproblemen? Die<br />
Proportionalität zur linearen Abmessung (Kontaktradius) statt zur Fläche bedeutet,<br />
dass sich die gleiche Steifigkeit in einem Modell erreichen lässt, bei dem<br />
unabhängige Federn entlang einer Linie angeordnet sind.<br />
Wie sieht es mit dem Tangentialkontaktproblem aus? Für die Steifigkeit beim<br />
Tangentialkontakt ktang zweier Körper aus gleichem Material ergibt sich<br />
ktang = 4<br />
Ga , (1.5)<br />
2 − ν<br />
mit dem Schubmodul G und der Querkontraktionszahl ν. Auch beim Tangentialkontakt<br />
ergibt sich die Proportionalität zum Kontaktradius a. Somit ist ein Weg<br />
zur Dimensionsreduktion aufgezeigt!<br />
9 Im Kapitel 2 und im Anhang B wird die Dimensionsproblematik ausführlich behandelt.<br />
10 Für weitere Informationen siehe Abschnitt 2.3, Seite 15ff.
PSfrag replacements<br />
1.3. ZIELSETZUNG 9<br />
Elastischer Kontakt<br />
2 Einzelkontakt 3 Raue Oberflächen<br />
Erweiterungen Technische Anm.<br />
5 Adhäsion<br />
6 Schmierung<br />
Hauptteil<br />
4 Numerik<br />
Einordnung<br />
A Simulationsmethoden<br />
B Dimensionsproblematik<br />
Abbildung 1.1: Überblick über die vorliegende Arbeit<br />
Mit dem Modell soll der Brückenschlag von den theoretischen Erkenntnissen auf<br />
dem Gebiet der Reibungsphysik zu den Anwendungen gelingen. Kurz gefasst lautet<br />
das Ziel der Arbeit:<br />
Entwickle ein Modell, das im Detail grob ist, dafür aber die Simulation<br />
von Kontaktproblemen über viele Skalen und unter Einbeziehung<br />
vieler physikalischer Phänomene erlaubt.<br />
Dass es gelingt, Kontaktprobleme mit einem eindimensionalen Modell unter enormer<br />
Einsparung von Rechenzeit zu simulieren, ist die gute Botschaft der vorliegenden<br />
Arbeit.<br />
Im Kapitel 2 werden erste Ideen zum Aufbau des 1D-Modells entwickelt (Abbildung<br />
1.1). Die dort dargestellten Erkenntnisse sind Motivation, solche eindimensionalen<br />
Federmodelle eingehender auf ihre Eignung zur Simulation von<br />
Kontaktproblemen zu untersuchen.<br />
Im Kapitel 3 werden raue Oberflächen ausführlich untersucht. Die zentrale Frage<br />
ist, wie die 2D-Oberflächentopographie auf eine 1D-Oberflächentopographie<br />
umgerechnet werden kann.<br />
Kapitel 4 gibt einen Überblick über numerische Aspekte. Simulationen mit dem<br />
vorgestellten Modell sollen erheblich Rechenzeit gegenüber herkömmlichen 3D-<br />
Modellen einsparen. Dabei kommt den numerischen Lösungsverfahren eine bedeutende<br />
Rolle zu. Auch die Wahl des Lösungsverfahrens entscheidet über Erfolg<br />
oder Misserfolg.<br />
Schließlich wird in den Kapiteln 5 und 6 das Modell auf adhäsive bzw. geschmierte<br />
Kontakte erweitert. Diese Ausführungen sind als Basis für weiter gehende<br />
Untersuchungen zu verstehen. Damit ist die Entwicklung eines möglichst<br />
einfachen Modells zur Berechnung von Kontakt- und Reibungsproblemen unter<br />
Berücksichtigung von rauen Oberflächen, Elastizität, Adhäsion und Schmierung<br />
vorerst abgeschlossen.<br />
Die Anhänge A und B dienen der Einordnung der Methode und sollen dem Leser<br />
eine bessere Orientierung ermöglichen.
10 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG<br />
1.4 Anwendungsbeispiele<br />
Bei der Herstellung von Festplatten und Computerchips wachsen die Anforderungen<br />
an die Qualität der Oberflächenbearbeitung beständig [27]. Ein typisches<br />
Herstellungsverfahren, mit dem qualitativ hochwertige Oberflächen erzeugt werden<br />
können, ist das chemisch-mechanische Polieren (CMP). Das zum Einsatz<br />
kommende Schmiermittel enthält häufig abrasive Teilchen. In einem beim<br />
CMP typischen Regime gibt es keinen direkten Kontakt zwischen den abrasiven<br />
Teilchen und der zu polierenden Oberfläche. Vielmehr wird die irreversible<br />
Veränderung der Oberfläche durch Druckänderungen im dünnen Schmierfilm zwischen<br />
Teilchen und Oberfläche hervorgerufen.<br />
Um auch in Zukunft den wachsenden Anforderungen an die Qualität der Oberflächen<br />
gerecht zu werden, ist die Entwicklung von Simulationsprogrammen notwendig.<br />
Am Fachgebiet wurde von Popov, Filippov und Herbrich auf Basis dieser<br />
Untersuchungen ein Simulationsmodell für das CMP im oben beschriebenen Regime<br />
entwickelt. Erst die Reduktion auf ein 1D-Modell macht hier die Simulation<br />
über lange Zeiträume unter Berücksichtigung vieler physikalischer Phänomene<br />
möglich. In diesem Anwendungsfall erfolgt die gesamte Simulation des Polierprozesses<br />
innerhalb des eindimensionalen Modells.<br />
Ein anderer Anwendungsfall ist die Simulation in der Umformtechnik, z. B. in<br />
der Kaltmassiv- und Blechumformung. Die Simulation des eigentlichen Umformprozesses<br />
würde wie gehabt mittels Finiter Elemente durchgeführt werden.<br />
Das Reibungsgesetz 11 bzw. das Zusammenspiel von Reibungskraft und Änderung<br />
der Oberflächentopographie hingegen könnte mit dem hier entwickelten Modell<br />
bestimmt werden.<br />
11 Zur Zeit wird in den Simulationen der Umformtechnik das Coulombsche Gesetz verwendet.<br />
Die experimentelle Bestimmung der Reibungskoeffizienten ist dabei durchaus problematisch;<br />
i. d. R. kann nur eine Rangfolge zwischen verschiedenen Kontaktkonfigurationen angegeben<br />
werden.
Kapitel 2<br />
Elastischer Einzelkontakt<br />
2.1 Bedeutung der räumlichen Dimension bei<br />
Kontaktproblemen, Reduktion der Dimension<br />
zu Simulationszwecken<br />
Ein wesentlicher Gedanke der vorliegenden Arbeit zur Entwicklung von Simulationsmodellen<br />
für Kontaktprobleme ist die Reduktion der räumlichen Dimension<br />
von drei auf eins bei Erhaltung einiger wichtiger Eigenschaften. Bei Kontaktproblemen<br />
ist die Dimension des Problems von großer Bedeutung. Wie aus<br />
den klassischen Arbeiten der Kontaktmechanik bekannt ist, liefern z.B. die Untersuchung<br />
der Kontaktprobleme Zylinder-Ebene bzw. Kugel-Ebene sehr unterschiedliche<br />
Resultate [56]. Abbildung 2.1 zeigt drei verschiedene Kontaktprobleme:<br />
Kugel-Kugel, Zylinder-Zylinder und den Kontakt zwischen zwei starren Zylindern<br />
mit dünner elastischer Schicht. Beim dreidimensionalen Problem ist die<br />
elastische Energie im Kontaktbereich lokalisiert; die Deformation beschränkt sich<br />
im wesentlichen auf einen räumlichen Bereich, dessen lineare Dimension von der<br />
Größenordnung des Kontaktradius ist. Beim dreidimensionalen Kontaktproblem<br />
kommt es daher nicht auf die genauen Abmaße bzw. die Form des Körpers an; lediglich<br />
der unmittelbare Kontaktbereich entscheidet. Das berühmte Ergebnis von<br />
Hertz für den Kugelkontakt wird in der Tat aus einer Halbraumbetrachtung hergeleitet.<br />
Beim zweidimenisonalen Problem hingegen ist die Geometrie des gesamten<br />
Körpers von Bedeutung. Es ergibt sich eine direkte Proportionalität zwischen<br />
Normalkraft F und Abplattung d. Das ist abweichend vom Ergebnis des dreidimensionalen<br />
Problems. Dementsprechend kann eine (normale) zweidimensionale<br />
Simulation (z. B. mit Finiten Elementen) nicht den korrekten Zusammenhang<br />
zwischen Normalkraft und Abplattung wiedergeben.<br />
Wird nun das Kontaktproblem zwischen zwei starren Zylindern mit elastischer<br />
Schicht betrachtet, ergibt sich das bekannte Ergebnis des dreidimensionalen Problems<br />
1 . Es sei darauf hingewiesen, dass nicht nur der Zusammenhang zwischen<br />
Normalkraft F und Abplattung d korrekt ist, sondern auch die Abhängigkeit vom<br />
Krümmungsradius R in beiden Fällen übereinstimmt. Erst das macht die in den<br />
folgenden Kapiteln vorgestellte Simulationsmethode so robust.<br />
Es sei zudem an die Ausführungen des Abschnittes 1.3 (Seite 8f) erinnert. Danach<br />
sind im dreidimensionalen Problem die Steifigkeiten knorm, ktang des Normal-<br />
1 Genauere Ausführungen dazu erfolgen in Abschnitt 2.3, Seite 15.<br />
11
12 KAPITEL 2. ELASTISCHER EINZELKONTAKT<br />
Kugel<br />
Zylinder<br />
Zylinder mit elastischer Schicht<br />
PSfrag replacements F ∝ √ Rd 3 F ∝ d F ∝ √ Rd 3<br />
elastisch<br />
starr<br />
elastisch<br />
Abbildung 2.1: Vergleich verschiedener Kontaktprobleme<br />
bzw. Tangentialkontaktes vom Kontaktradius a und nicht von der Kontaktfläche<br />
abhängig. Das ist Ausdruck der Korrelationen zwischen benachbarten Regionen<br />
im elastischen Kontinuum. Die direkte Proportionalität zwischen den Steifigkeiten<br />
und dem Kontaktradius ermöglicht den Übergang auf das eindimensionale<br />
Modell!<br />
Eine Anmerkung zur Oberflächentopographie soll schon an dieser Stelle erfolgen:<br />
Zweidimensionale Modelle behandeln die Körper als unendlich ausgedehnt<br />
in eine Richtung. Raue (eindimensionale) Oberflächen solcher zweidimensionalen<br />
Modelle unterstellen somit eine Aneinanderreihung von unendlich ausgedehnten<br />
Strukturen. Statt Kugelkappen werden zylindrische Strukturen modelliert.<br />
Bei der Verwendung von Modellen mit zweidimensionaler Oberfläche kann die<br />
gemessene Oberflächentopographie direkt verwendet werden. Bei Modellen mit<br />
eindimensionaler Oberfläche hingegen müssen, falls überhaupt möglich, Umrechnungsvorschriften<br />
gefunden werden.<br />
Abbildung 2.2 zeigt vier verschiedene Möglichkeiten, dass dreidimensionale Kontaktproblem<br />
zu simulieren:<br />
3D Modell Das nahe liegendste Modell ist ein vollständiges dreidimensionales<br />
Modell z.B. auf Basis der FE-Methode. Dazu wird das gesamte Volumen mit<br />
geeigneten Elementen diskretisiert; üblicherweise hat jeder Knoten 3 Freiheitsgrade.<br />
Zur Untersuchung des Kontaktes zwischen rauen Oberflächen<br />
ist eine sehr feine Diskretisierung der Oberflächenschichten nötig. Unter<br />
Umständen muss die Diskretisierung an der Oberfläche von der Größenordnung<br />
10 nm sein. Im Innern kann gröber diskretisiert werden. Vorteile dieses<br />
Modells sind die Verwendung der Originalgeometrie (Dimension, Oberflächentopographie)<br />
und die Möglichkeit, Deformationen an der Oberfläche<br />
und im Innern der Körper bestimmen zu können. Zudem ist die Methode<br />
vielen Ingenieuren bekannt und es sind eine Vielzahl kommerzieller Programme<br />
verfügbar. Nachteilig wirkt sich die sehr hohe Rechenzeit aus, vor<br />
allem vor dem Hintergrund, dass mit den Simulationsmodellen nicht nur
2.1. DIMENSIONSPROBLEMATIK 13<br />
PSfrag replacements<br />
3D Kontaktproblem<br />
3D Modell<br />
3D hierarchisches Modell<br />
2D hierarchisches Modell<br />
1D Modell<br />
Abbildung 2.2: Modelle zur Simulation des dreidimensionalen Kontaktproblems<br />
einzelne Berechnungen durchgeführt werden sollen, sondern ausgiebige numerische<br />
Experimente und Optimierungsrechnungen. Berechnungen über<br />
viele Skalen (Nanometer bis Millimeter oder Meter) sind mit der heutigen<br />
Rechenkapazität praktisch unmöglich. Vorsicht ist zudem bei den Kontaktalgorithmen<br />
in kommerziellen FE-Programmen geboten. Vollständige<br />
dreidimensionale Modelle können auch mittels Feder-Masse-Modellen bzw.<br />
Teilchenmodellen umgesetzt werden.<br />
3D hierarchisches Modell Hierarchische Modelle können z.B. als Feder-Masse-Modelle<br />
mit ausschließlich vertikalen Freiheitsgraden aufgebaut werden.<br />
Eine hierarchische Anordnung der Teilchen verbunden mit der Beschränkung<br />
auf einen Freiheitsgrad je Teilchen gewährleistet einen vergleichsweise<br />
geringen Gesamtfreiheitsgrad des Modells bei gleichzeitig sehr feiner Diskretisierung<br />
der Oberfläche. Bei einem dreidimensionalen Modell kann die<br />
Originaloberflächentopographie genutzt werden und Deformationen können<br />
auch im Innern der Körper berechnet werden.<br />
2D hierarchisches Modell Bei zweidimensionalen Modellen wird auf Freiheitsgrade<br />
in Dickenrichtung verzichtet. Die Oberfläche ist dann eindimensional;<br />
eine Umrechnung von der gemessenen zweidimensionalen Oberflächentopographie<br />
auf eine eindimensionale ist notwendig. Dafür erlaubt das 2D Modell<br />
die Berechnung der Deformation im Innern. In Abschnitt B.5 wird<br />
ausführlicher darauf eingegangen, wie die fiktiven konstitutiven Gesetze<br />
aussehen könnten, damit die Simulation des dreidimensionalen Kontaktproblems<br />
mit einem zweidimensionalen Modell erfolgen kann.<br />
1D Modell Eindimensionale Modelle, Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit, bestehen<br />
aus Teilchen, die entlang einer Linie angeordnet sind (Abbildung<br />
2.3). Die Oberfläche ist dann eindimensional; eine Umrechnung von der<br />
gemessenen zweidimensionalen Oberflächentopographie auf eine eindimensionale<br />
ist genau wie beim zweidimensionalen Modell notwendig. Außerdem<br />
sind die Deformationen nur an der Oberfläche bekannt. Vorteil des eindimensionalen<br />
Modells ist die geringe Rechenzeit, die es erlaubt, Kontaktprobleme<br />
über viele Skalen und unter Einbeziehung vieler physikalischer<br />
Phänomene zu simulieren.
14 KAPITEL 2. ELASTISCHER EINZELKONTAKT<br />
PSfrag replacements<br />
z<br />
x<br />
Körper 1<br />
Körper 2<br />
Abbildung 2.3: Eindimensionales Modell<br />
Im Anhang B wird auf die Frage der Dimension etwas näher eingegangen. Die<br />
Ausführungen unterstreichen, dass bei der Reduktion nicht beliebig vorgegangen<br />
werden kann. Insbesondere zeigt sich, dass 2D-Modelle durchaus 3D-Probleme<br />
wesentlich schlechter simulieren können als 1D-Modelle. Mitnichten kann eine<br />
Reduktionshierarchie 1D-2D-3D im Sinne aufsteigender Güte aufgestellt werden.<br />
Viele praktische Anwendungen führen in der Tat auf 2D Modelle. In einem breiten<br />
zylindrischen Gleitlager kann (unter Vernachlässigung von Randeffekten) mit<br />
einem 2D Modell gerechnet werden. Die Simulation von Mischreibungszuständen<br />
erfordert die Betrachtung der rauen Oberflächen. Dann gibt es, wie bereits oben<br />
ausgeführt, kaum eine Alternative zur 3D Modellierung, da Asperiten in der Regel<br />
kugel- oder ellipsenförmig nicht jedoch zylinderförmig sind.<br />
Das Lesen von Anhang B ist für das weitere Verständnis nicht zwingend erforderlich.<br />
Im folgenden wird eine kurze Übersicht über den Anhang gegeben. In den<br />
beiden Abschnitten B.1 und B.2 werden drei- bzw. zweidimensionale Probleme<br />
näher betrachtet. Auf einige analytische Ergebnisse folgen numerische Berechnungen.<br />
Die numerischen Berechnungen dienen zum einen der Illustration der<br />
typischen drei- bzw. zweidimensionalen Ergebnisse. Sie dienen zum anderen auch<br />
der Vorstellung möglicher Berechnungsverfahren für Kontaktprobleme (konkreter<br />
als im Anhang A ). Die im Abschnitt B.1 vorgestellte Methode zur Berechnung<br />
dreidimensionaler Kontaktprobleme wird z. B. in Abschnitt 3.4 (Seite 34)<br />
für Vergleichsrechnungen 3D-1D benutzt. Abschnitt B.1 dient demnach auch der<br />
Überprüfung meiner Routinen mittels bekannter Lösungen (Hertzsches Kontaktproblem).<br />
Für das zweidimensionale Kontaktproblem wird u. a. das von Heß und Popov<br />
entwickelte hierarchische Modell (Teilchenmethode) des Normalkontaktes näher<br />
betrachtet.<br />
In Abschnitt B.4 wird kurz das adhäsive Kontaktproblem betrachtet. Auch dort<br />
zeigen sich deutliche Unterschiede zwischen drei- und zweidimensionalen Kontaktproblemen.<br />
Der letzte Abschnitt B.5 des Kapitels behandelt die Frage, ob zweidimensionale<br />
Modelle (mit eindimensionaler Oberfläche) so geschaffen werden können, dass sie<br />
sich in ausgewählten Situationen wie dreidimensionale Modelle verhalten. Dazu<br />
wird das in Abschnitt B.2 vorgestellte hierarchische Modell wieder aufgegriffen.
2.2. ELASTISCHE ENERGIE IM 3D-PROBLEM 15<br />
2.2 Elastische Energie im 3D-Problem<br />
Bevor der Hertzsche Kontakt näher betrachtet wird, erfolgt, bezugnehmend auf<br />
den vorhergehenden Abschnitt, eine kurze Erläuterung der Aussage die elastische<br />
Energie ist im Kontaktbereich lokalisiert. Die Erläuterungen folgen [97].<br />
Es wird der Eindruck eines starren Stempels (Durchmesser D) in einen elastischen<br />
Körper betrachtet (Indentierung). Die Eindrucktiefe sei d. Die Eindruckgeschwindigkeit<br />
sei klein im Vergleich zur Schallgeschwindigkeit, so dass der Eindruckprozess<br />
als quasistatisch betrachtet werden kann.<br />
Für die Verschiebung im elastischen Körper in großer Entfernung r vom Punkt<br />
der Indentierung gilt<br />
u Dd<br />
. (2.1)<br />
r<br />
Die Energiedichte kann damit abgeschätzt werden zu GD2d2 /r4 , wobei G den<br />
Schubmodul bezeichnet. Für die elastische Energie ergibt sich durch Integration<br />
<br />
Eel <br />
G D2 d 2<br />
r 4 2πr2 dr = 2πGD 2 d 2<br />
dr<br />
r 2<br />
. (2.2)<br />
Das Integral in Gl. (2.2) konvergiert auf der oberen Grenze (auch wenn diese zu<br />
unendlich gewählt wird). Da die Asymptote (2.1) nur für r > D gilt, muss die<br />
untere Grenze von der Größenordnung von D sein. Für die untere Grenze 0 würde<br />
das Integral divergieren.<br />
Die elastische Energie ist somit in einem Volumen mit der linearen Abmessung<br />
von der Größenordnung D konzentriert; i. a. W. die elastische Energie ist eine<br />
lokale Größe, die nur von der Konfiguration und Deformation in der Nähe des<br />
Mikrokontaktes abhängt. Die Größe und Form des makroskopischen Körpers ist<br />
für die Kontaktmechanik dieses Problems bedeutungslos.<br />
2.3 Hertzscher Kontakt<br />
Raue Oberflächen bestehen aus einer Vielzahl von Asperiten. In guter Näherung<br />
[44] können diese als Kugelkappen angenommen werden. Daher soll zuerst der<br />
elastische Normalkontakt von Kugeln näher betrachtet werden.<br />
Betrachtet wird zunächst der nichtadhäsive Kontakt zwischen zwei Kugeln mit<br />
Radius R1 und R2. Zwischen Abplattung d und Normalkraft F gilt der von Hertz<br />
[49] gefundene Zusammenhang<br />
wobei<br />
und<br />
F = 4<br />
3 E∗√ Rd 3 , (2.3)<br />
R = R1R2<br />
R1 + R2<br />
1<br />
E ∗ = 1 − v2 1<br />
E1<br />
+ 1 − v2 2<br />
E2<br />
Ei und νi bezeichnen den Elastizitätsmodul bzw. die Querkontraktionszahl des<br />
Materials i. Ist einer der Körper starr, so erhält man<br />
E ∗ el−st<br />
E 2G<br />
= =<br />
1 − v2 1 − v<br />
.<br />
;
16 KAPITEL 2. ELASTISCHER EINZELKONTAKT<br />
Fall elastische Energie Eel<br />
zwei identische Kugeln<br />
elastische Kugel gegen starre Ebene<br />
elastische Kugel gegen elastische Ebene<br />
4 √ √<br />
2G RKd 15(1−ν)<br />
5<br />
√<br />
16G RKd 15(1−ν)<br />
5<br />
√<br />
8G RKd 15(1−ν)<br />
5<br />
Tabelle 2.1: Elastische Energien für den Hertzschen Kontakt für drei spezielle<br />
Fälle<br />
PSfrag replacements<br />
kv = cn∆x<br />
Abbildung 2.4: Starrer Zylinder mit elastischer Schicht, ∆x sei der Teilchenabstand<br />
haben beide Körper die gleichen elastischen Konstanten, so ergibt sich<br />
E ∗ el−el =<br />
E<br />
2 (1 − v 2 )<br />
x<br />
= G<br />
1 − v<br />
Die gespeicherte elastische Energie ergibt sich aus (2.3) durch Integration:<br />
Eel =<br />
d<br />
0<br />
.<br />
F d ˜ d = 8<br />
15 E∗√ Rd 5 . (2.4)<br />
Tabelle 2.1 zeigt die elastischen Energien für drei spezielle Fälle, wobei RK stets<br />
der Kugelradius ist.<br />
2.4 1D-Modell<br />
Betrachtet wird nun ein starrer Zylinder (Radius R) mit einer elastischen Schicht<br />
konstanter Dicke. Die elastische Schicht wird durch eine dichte Aneinanderreihung<br />
von linearen, untereinander unbeeinflussten Federn der Steifigkeit je Länge cn<br />
gebildet (Abbildung 2.4). Beim Kontakt des Zylinders mit einer starren Ebene<br />
wird die elastische Energie<br />
Eel = 1<br />
2<br />
a<br />
cn<br />
−a<br />
<br />
d 1 − x2<br />
a2 2 dx = 8 2<br />
cnad<br />
15<br />
(2.5)<br />
gespeichert. Hierbei sind d die Abplattung (in der Mitte) und a die Kontakthalbweite.<br />
Wie in der Kontaktmechanik üblich, wurde das Kontaktgebiet durch eine<br />
Parabel genähert. Zudem gilt für d ≪ a der Zusammenhang<br />
a = √ 2Rd .
2.4. 1D-MODELL 17<br />
Schließlich ergibt sich<br />
Eel = 8√2 15 cn<br />
√<br />
Rd5 . (2.6)<br />
Der Vergleich von (2.4) und (2.6) zeigt, dass die elastische Energie in beiden<br />
Fällen in gleicher Weise von R und d abhängt. Wird<br />
cn = 1√<br />
∗<br />
2E<br />
2<br />
(2.7)<br />
gewählt, sind beide Ausdrücke (2.4) und (2.6) identisch. Das dreidimensionale<br />
Normalkontaktproblem (ohne Adhäsion) zwischen zwei Kugeln kann auf ein eindimensionales<br />
Modell zurückgeführt werden. Die Steifigkeit cn ist nur von den<br />
Materialkonstanten abhängig, nicht aber vom Krümmungsradius R oder der Position<br />
x.<br />
Es sei betont, dass die makroskopische Beziehung zwischen Kraft F und Abplattung<br />
d im 1D-Modell korrekt ist. Bisher wurde noch nicht untersucht, wie die<br />
Spannungsverteilung im Kontaktgebiet aussieht. Für die makroskopische Dynamik<br />
ist die Spannungsverteilung jedoch von untergeordneter Bedeutung.<br />
In einem diskreten Modell sind die Federn mit einem Abstand ∆x anzuordnen.<br />
Die Steifigkeit jeder Feder ist dann kv = cn∆x. Der Abstand ∆x der Federn<br />
ist klein gegenüber der charakteristischen Wellenlänge der Oberfläche zu wählen.<br />
Die Kontaktgebiete müssen aus vielen Federn bestehen. Weitere Einschränkungen<br />
gibt es nicht. Wird der Abstand zwischen zwei Teilchen als Längeneinheit des<br />
Problems LE gewählt und √ die Steifigkeit als 1 KE/LE, so folgt für die Krafteinheit<br />
∗ 2<br />
2E LE .<br />
des Problems KE = 1<br />
2<br />
In der Kontaktmechanik und Reibungsphysik ist die Beziehung zwischen Normalkraft<br />
und Kontaktradius von herausragender Bedeutung. Beim Hertzschen<br />
Kontakt ergibt sich aus (2.3) und<br />
a 2 = dR<br />
die Beziehung<br />
F = 4 E<br />
3<br />
∗<br />
R a3 . (2.8)<br />
Beim Kontakt zwischen starrer Ebene und Zylinder mit elastischer Schicht gilt<br />
aufgrund der Unabhängigkeit der einzelnen Federn hingegen<br />
a 2 = 2Rd<br />
und somit<br />
F = 2 cn<br />
3 R a3 . (2.9)<br />
Auch die Beziehungen (2.8) bzw. (2.9) zwischen Kraft und Kontaktradius weisen<br />
identische Abhängigkeiten vom Kontaktradius a und Krümmungsradius R auf.<br />
Allerdings stimmen die Kräfte quantitativ nicht überein, wenn die Steifigkeit cn<br />
gemäß (2.7) gewählt wird.<br />
Die Druckverteilung beim Hertzschen Kontakt ist<br />
σ3D (r) = 3F<br />
2πa2 <br />
1 − r2<br />
a2 .
18 KAPITEL 2. ELASTISCHER EINZELKONTAKT<br />
Bei dem untersuchten 1D-Modell gilt für die lokale Federkraft hingegen<br />
<br />
˜F (x) ∝ 1 − x2<br />
a2 <br />
.<br />
Die Druckverteilungen unterscheiden sich. Mikroskopisch, also auf der Ebene der<br />
einzelnen Teilchen, wird das Verhalten nicht korrekt simuliert. Die Gesamtkraft,<br />
die relevante Größe auf der Ebene eines Asperiten, wird hingegen korrekt simuliert.<br />
2.5 Übergang von 3D auf 1D mit Änderung des<br />
Kappenradius<br />
Wie bereits herausgearbeitet, gelten die folgenden Beziehungen<br />
und<br />
F3D (a) = 4 E<br />
3<br />
∗<br />
F1D (a) = 2 cn<br />
3<br />
a<br />
R3D<br />
3<br />
a<br />
R1D<br />
3<br />
(2.10a)<br />
(2.10b)<br />
F3D (d) = 4<br />
3 E∗R3Dd3 (2.11a)<br />
<br />
R1Dd3 . (2.11b)<br />
F1D (d) = 4√ 2<br />
3 cn<br />
Es wurde bereits gezeigt, dass bei R3D = R1D die Steifigkeit cn entweder so<br />
gewählt werden kann, dass die Beziehungen zwischen Kraft F und Durchdringung<br />
d übereinstimmen oder so, dass die Beziehungen zwischen Kraft F und Kontaktgröße<br />
a übereinstimmen. Wird R3D = R1D zugelassen, können beide Relationen<br />
übereinstimmen. Es folgen dann aus (2.10) und (2.11) die Beziehungen<br />
R3D<br />
R1D<br />
= 2 (2.12)<br />
cn = E ∗<br />
Falls R3D = 2R1D ist, stimmt F (d), wenn<br />
und F (a), wenn<br />
cn =<br />
√<br />
2<br />
2 E∗<br />
<br />
R3D<br />
R1D<br />
cn = 2 R1D<br />
R3D<br />
2.6 Spannungen und Fließkriterium<br />
E ∗<br />
. (2.13)<br />
Sollen neben elastischen Deformationen auch plastische Deformationen zugelassen<br />
werden, wird ein Fließkriterium benötigt. Die Berücksichtigung plastischer<br />
.
2.7. INNERE SPANNUNGEN 19<br />
Deformationen ist zum Beispiel bei der Simulation des chemisch-mechanischen<br />
Polierens [94] notwendig.<br />
In der Regel werden Fließkriterien über Spannungen definiert. Die räumliche Verteilung<br />
der lokalen Federkräfte ist im 1D-Modell parabolisch und weicht somit von<br />
der Hertzschen Spannungsverteilung ab. Im folgenden wird gezeigt, dass auch im<br />
1D-Modell eine Spannung definiert werden kann, die im Fall elastischer Deformationen<br />
mit der Hertzschen Spannungsverteilung übereinstimmt.<br />
Für die Kraft in einer Feder gilt<br />
<br />
˜Fi = ∆xcnδi = ∆xcn d − x2 <br />
i<br />
, (2.14)<br />
2R<br />
wobei δi die Deformation der Feder i und ∆x der Teilchenabstand sind. Nun wird<br />
die Spannung als<br />
σi =<br />
˜ Fi<br />
b √ (2.15)<br />
δiR<br />
eingeführt. b sei die Breite in Richtung der Zylinderachse. Die Spannung an einer<br />
Stelle wird aus der lokalen Kraft und Verschiebung berechnet. Zudem geht noch<br />
der Krümmungsradius R in die Spannung ein. Bei plastischer Deformation ändert<br />
sich der Krümmungsradius. Die Spannung ist damit eine nichtlokale Größe.<br />
Aus (2.15) ergibt sich durch Einsetzen und Umformen der Ausdruck<br />
σi = 3√ 2<br />
4<br />
F<br />
a 2<br />
∆x<br />
b<br />
<br />
1 − x2 i<br />
a 2 . (2.16)<br />
Beim Hertzschen Kugelkontakt ist die Spannungsverteilung bekanntermaßen<br />
σ = 3F<br />
2πa2 <br />
1 − x2<br />
a2 . (2.17)<br />
Die Spannungsverteilungen sind dann gleich, wenn<br />
b<br />
∆x =<br />
√<br />
2π<br />
≈ 2,22<br />
2<br />
gesetzt wird. Die Größe b ist als effektive Breite des 1D-Modells zu verstehen.<br />
Sie ist 2,22 mal größer als der Teilchenabstand ∆x. In der Simulation wird die<br />
Spannung aus lokaler Federkraft ˜ Fi und lokaler Deformation δi dann gemäß<br />
σi =<br />
˜ Fi<br />
b √ δiR =<br />
√<br />
˜Fi 2<br />
π∆x √ δiR<br />
(2.18)<br />
berechnet. Fazit: Für ein Fließkriterium sollte nicht die lokale Kraft ˜ Fi herangezogen<br />
werden, sondern die nichtlokale Größe σi gemäß Gleichung (2.18).<br />
2.7 Innere Spannungen<br />
2.7.1 Idee<br />
Die Schwierigkeit des Kontaktproblems steckt in der Notwendigkeit, sowohl die<br />
Kontaktspannungen als auch deren ” Wirkungsort“ berechnen zu müssen; i.a.W.
20 KAPITEL 2. ELASTISCHER EINZELKONTAKT<br />
zu Beginn ist auch die Lage und Größe des Kontaktgebietes unbekannt. Das<br />
1D-Programm liefert für raue Oberflächen die Kontaktspannungen und das Kontaktgebiet.<br />
Für den Fall linearer Elastizität können dann durch numerische Integration<br />
mittels der Fundamentallösung die Spannungen im Innern berechnet<br />
werden. Wenn das Kontaktproblem gelöst ist, kann aber auch mit einer beliebigen<br />
anderen Methode das Innere untersucht werden, insbesondere auch mit der<br />
FEM.<br />
2.7.2 Berechnungen<br />
Die Spannungen bei Wirkung einer Einzelnormalkraft P im Koordinatenursprung<br />
(Boussinesq) sind durch<br />
σxx = P<br />
<br />
−3<br />
2π<br />
x2 2 z<br />
x (2R + z)<br />
+ (1 − 2ν)<br />
R5 R3 (R + z) 2 − R2 − Rz − z2 R3 <br />
(R + z)<br />
σyy =<br />
(2.19)<br />
P<br />
<br />
−3<br />
2π<br />
y2 2 z<br />
y (2R + z)<br />
+ (1 − 2ν)<br />
R5 R3 (R + z) 2 − R2 − Rz − z2 R3 <br />
(R + z)<br />
(2.20)<br />
σzz = − 3P z<br />
2π<br />
3<br />
R5 τxy =<br />
(2.21)<br />
P<br />
<br />
−3<br />
2π<br />
xyz<br />
xy (2R + z)<br />
+ (1 − 2ν)<br />
R5 R3 (R + z) 2<br />
<br />
(2.22)<br />
τyz = 3P yz<br />
2π<br />
2<br />
R5 (2.23)<br />
τxz = 3P xz<br />
2π<br />
2<br />
R5 (2.24)<br />
bestimmt [46], wobei R2 = x2 + y2 + z2 . Die Berechnung der Spannungen bei beliebiger<br />
Normaldruckverteilung p an der Oberfläche gelingt durch Superposition.<br />
Für die Normalspannung σzz in z-Richtung ergibt sich exemplarisch<br />
wobei <br />
σzz (x, y, z) = − 3z3<br />
2π<br />
(A)<br />
<br />
(A)<br />
p (ˆx, ˆy)<br />
2 2<br />
5/2 dˆxdˆy , (2.25)<br />
(x − ˆx) + (y − ˆy) + z2 die Integration über das druckbeaufschlagte Gebiet meint.<br />
Für die Hertzsche Druckverteilung<br />
p (x, y) = p0<br />
<br />
1 − x2 + y 2<br />
a 2<br />
(2.26)<br />
werden im folgenden einige Ergebnisse gezeigt. Abbildung 2.5 zeigt die Spannungen<br />
auf der z-Achse für ν = 0,33 (Punkte: numerische Lösung, Kurven: analytische<br />
Lösung). Die Schubspannungen sind sämtlich 0; für die Punkte auf der<br />
z-Achse sind die Koordinatenrichtungen gleichzeitig die Hauptrichtungen. Nume-<br />
rische Integration und analytische Lösung [56]<br />
σzz = −p0<br />
<br />
1 + z2<br />
σxx = σyy = −p0<br />
a 2<br />
<br />
−1<br />
(1 + ν)<br />
<br />
1 − z<br />
a<br />
a<br />
<br />
arctan +<br />
z<br />
1<br />
<br />
1 +<br />
2<br />
z2<br />
a2 <br />
−1<br />
(2.27)<br />
(2.28)
2.7. INNERE SPANNUNGEN 21<br />
0,4<br />
0,2<br />
0,0<br />
-0,2<br />
-0,4<br />
-0,6<br />
-0,8<br />
σxx<br />
p0<br />
= σyy<br />
p0<br />
σzz<br />
0 0,5 1<br />
z/a<br />
1,5 2<br />
Abbildung 2.5: Spannungen entlang der z-Achse (x = y = 0) bei Hertzscher<br />
Druckverteilung; Vergleich numerische Integration und analytische Lösung<br />
stimmen hervorragend überein. Zudem ist die maximale Schubspannung τ1 =<br />
1<br />
2 |σzz − σxx| abgebildet. Es ergibt sich das bekannte Ergebnis, dass die maximale<br />
Schubspannung im Innern liegt; für ν = 0,33 bei z ≈ 0,49a. Abbildung 2.6 zeigt<br />
die Vergleichsspannung<br />
σV = 1 √ 2<br />
(σxx − σyy) 2 + (σxx − σzz) 2 + (σzz − σyy) 2 +<br />
+6 τ 2 xy + τ 2 xz + τ 2 yz<br />
1/2<br />
nach Gestaltänderungsenergiehypothese [53] in der x-z-Ebene.<br />
p0<br />
.<br />
τ1<br />
p0<br />
(2.29)
Sfrag replacements<br />
0.5<br />
22 KAPITEL 2. ELASTISCHER EINZELKONTAKT<br />
z<br />
σxx<br />
τxz<br />
σzz<br />
σyy<br />
2<br />
1<br />
0<br />
−2 −1.5 −1 −0.5 0 x 1 1.5 2<br />
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5<br />
σV<br />
σV /p0<br />
Abbildung 2.6: Vergleichsspannung σV gemäß Gl. (2.29) bei Hertzscher Druckverteilung<br />
(x-z-Ebene)
Kapitel 3<br />
Elastischer Kontakt rauer<br />
Oberflächen<br />
Technische Oberflächen sind rau. Selbst hochpolierte Oberflächen weisen im Vergleich<br />
zu atomaren Abmessungen riesige Unebenheiten auf. Beim Kontakt zweier<br />
rauer Oberflächen wird die Last durch die Spitzen der Oberflächen übertragen;<br />
große Teile der Oberfläche sind, gemessen an der Reichweite der atomaren Wechselwirkungen,<br />
sehr weit voneinander entfernt 1 .<br />
3.1 Charakterisierung rauer Oberflächen<br />
Zu Messmethoden und zur Oberflächenbeschreibung sei der Leser auf [11, 41, 56,<br />
121] verwiesen. Ergebnis der Messungen ist die Oberflächentopographie<br />
z = h (x) , x = (x, y) ,<br />
wobei häufig nur entlang einer Richtung gemessen wird, d. h. z = h(x). Zur<br />
Charakterisierung rauer Oberflächen werden in der Technik u. a. die Größen Mittenrauwert<br />
Ra und quadratischer Mittenrauwert Rq benutzt, wobei<br />
l<br />
Ra = 1<br />
|h (x)| dx , (3.1)<br />
l 0<br />
<br />
l<br />
1<br />
Rq = h<br />
l<br />
2 (x) dx . (3.2)<br />
0<br />
Beide Kennwerte geben keine Auskunft über die Profilform. Eine Größe, die Informationen<br />
zum inneren Zusammenhang des gemessen Signals z = h (x) enthält, ist<br />
die Autokorrelationsfunktion 〈h (x) h (x + x ′ )〉. Der Ausdruck 〈.〉 steht für einen<br />
Ensemblemittelwert. Bei gegebenem Höhenprofil h (x) wird nun das Leistungsspektrum<br />
der Rauheiten gemäß<br />
C (q) = 1<br />
(2π) 2<br />
<br />
〈h (x) h (0)〉 e −iq·x d 2 x (3.3)<br />
1 Bowden [11] fasste diese Tatsache so zusammen: Putting two solids together is rather like<br />
turning Switzerland upside down and standing it on Austria - the area of intimate contact will<br />
be small.<br />
23
24 KAPITEL 3. ELASTISCHER KONTAKT RAUER OBERFLÄCHEN<br />
definiert 2 . Die Höhen h (x) sind von der Mittelebene gemessen, so dass gilt 〈h〉 = 0.<br />
Das Leistungsspektrum der Rauheiten besagt, wie viel eine bestimmte Wellenzahl<br />
zum quadratischen Mittenrauwert beiträgt. Gleichung (3.3) unterstellt bereits,<br />
dass die statistischen Eigenschaften der Oberfläche invariant gegen Translation<br />
sind und die Oberfläche zudem isotrop ist. Insbesondere hängt das Leistungsspektrum<br />
dann nur vom Betrag q = |q| des Wellenvektors q ab.<br />
Die Untersuchung stochastischer Oberflächen von Persson (siehe Abschnitt 1.2.3)<br />
baut darauf auf, dass das Leistungsspektrum C (q) alle für die Kontaktmechanik<br />
wesentlichen Informationen enthält. Allerdings kann aus dem Leistungsspektrum<br />
die Oberflächentopographie nicht eindeutig zurückgewonnen werden, da die Informationen<br />
über die (zufälligen) Phasen nicht in C (q) enthalten sind.<br />
3.2 Eigenschaften von 1D- und 2D-Oberflächen<br />
3.2.1 Vorüberlegungen<br />
Oberflächen sind, wie bereits erwähnt, selbstaffin; sie weisen Rauheiten auf vielen<br />
Skalen auf. Im folgenden werden numerisch erzeugte 1D- und 2D-Oberflächen<br />
hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersucht. 2D-Oberflächen sind Oberflächen, bei<br />
denen die Höhe von zwei Koordinaten abhängt, h = h (x, y); bei 1D-Oberflächen<br />
gilt entsprechend h = h(x).<br />
Die statistischen Kenngrößen 〈h2 〉 und 〈κ2 〉 des Profils können direkt aus dem<br />
Leistungsspektrum mittels (3.16) und (3.18) berechnet werden. Die erzeugten<br />
Oberflächen können dann daraufhin überprüft werden; sollten diese beiden Werte<br />
nicht stimmen, wurde die Oberfläche falsch erzeugt.<br />
Im Mittelpunkt der Untersuchungen steht die Statistik der Kappen, genauer die<br />
Verteilungen der Kappenhöhen und Kappenkrümmungen. Für den Kontakt ist<br />
nämlich die Kappenverteilung entscheidend. Informationen zur Verteilung der<br />
Kappenhöhen und Kappenkrümmungen können nur durch numerische Experimente<br />
gewonnen werden.<br />
Dabei wird wie folgt vorgegangen: Aus dem Leistungsspektrum werden die Oberflächen<br />
mit den im Anhang E dargestellten Methoden erzeugt. Ergebnis ist die<br />
Höhenverteilung h(x) bzw. h(x, y). Anschließend werden Krümmungen und Höhen<br />
aller Kappen berechnet. Aus den Höhen- und Krümmungsverteilungen werden<br />
dann die charakteristischen Werte h2 <br />
p , 〈κp〉 und κ2 <br />
p berechnet. Dabei<br />
können sowohl alle Kappen berücksichtigt werden, als auch nur die 10% höchsten<br />
Kappen.<br />
Es werden die Umrechnungsfaktoren<br />
f1 =<br />
h <br />
2<br />
p<br />
〈h2 〉<br />
, f2 = 〈κp〉<br />
〈κ 2 〉<br />
, f3 =<br />
κ <br />
2<br />
p<br />
〈κ2 〉<br />
eingeführt, wobei nur die 10% höchsten Kappen berücksichtigt werden.<br />
Alle untersuchten Oberflächen weisen ein schmalbandiges Spektrum auf.<br />
(3.4)<br />
2 Bei Gleichung (3.3) ist zu beachten, dass, im Gegensatz zur Darstellung in vielen Büchern,<br />
der Vorfaktor (2π) −2 hier bei der Hintransformation auftritt.
3.2. EIGENSCHAFTEN VON 1D- UND 2D-OBERFLÄCHEN 25<br />
4<br />
PSfrag replacements<br />
1<br />
2<br />
0<br />
10<br />
q0<br />
−3 10−2 10−1 1<br />
Umrechnung für 〈κp〉 alle<br />
Umrechnung für 〈κp〉 top<br />
Umrechnung für h2 alle p<br />
Umrechnung für h2 top p<br />
Umrechnung für κ2 alle p<br />
Umrechnung für κ2 top p<br />
q1 = 2q0 q1 = 4q0 q1 = 6q0 q1 = 10q0<br />
f1 0,36 0,36 0,36 0,36<br />
f2 2,42 2,32 2,29 2,28<br />
f3 0,46 0,54 0,56 0,56<br />
Abbildung 3.1: oben: Umrechnungsfaktoren für eine 1D-Oberfläche mit einem Leistungsspektrum<br />
nach Gleichung (3.5) und q1 = 2q0; unten: Umrechnungsfaktoren<br />
gemäß (3.4) für die Topkappen für verschiedene q1/q0-Verhältnisse<br />
3.2.2 1D-Oberflächen<br />
Numerische Untersuchungen<br />
Im folgenden werden die statistischen Eigenschaften von 1D-Oberflächen mit einem<br />
Leistungsspektrum der Form<br />
C1D =<br />
cq für q0 ≤ q ≤ q1<br />
0 sonst<br />
(3.5)<br />
numerisch untersucht, wobei c > 0. Zudem ist das Spektrum schmalbandig; bei<br />
den folgenden Berechnungen wurde 1,5 ≤ q1/q0 ≤ 10 gesetzt.<br />
Für sechs verschiedene Werte q0 und fünf verschiedene Werte q1/q0 wurden jeweils<br />
200 Oberflächen mit 20 20 Punkten erzeugt. Anschließend wurde die Höhen- und<br />
Radienverteilungen der Kappen für alle Oberflächen bestimmt. Insbesondere wurden<br />
die Mittelwerte und die zentralen Momente (bis zur 4. Ordnung) bestimmt.<br />
Abbildung 3.1 zeigt die Umrechnungsfaktoren zwischen den statistischen Kenngrößen<br />
der Kappenverteilung h2 <br />
p , 〈κp〉 und κ2 <br />
p und den statistischen Kenngrößen<br />
〈h2 〉 und 〈κ2 〉. Dabei wird nochmals unterschieden zwischen allen Kappen<br />
und den 10% höchsten Kappen (Topkappen). Für ein gegebenes Verhältnis q1/q0
26 KAPITEL 3. ELASTISCHER KONTAKT RAUER OBERFLÄCHEN<br />
sind die Umrechnungsfaktoren konstant. Die Umrechnungsfaktoren für h2 <br />
p sind<br />
sogar unabhängig vom Verhältnis q1/q0 (siehe Tabelle in Abbildung 3.1).<br />
Analytische Überlegungen<br />
Betrachtet wird eine harmonische 1D-Oberfläche<br />
mit Wellenlänge λ = 2π.<br />
Es gilt dann<br />
k<br />
Die Krümmung ergibt sich zu<br />
〈y〉 = 0 und<br />
y = a sin kx , (3.6)<br />
y 2 = 1<br />
2 a2<br />
ak<br />
κ = −<br />
2 sin kx<br />
(1 + a2k2 cos2 kx) 3/2 . (3.7)<br />
Der Betrag der Krümmung in der Nähe des Maximums ist dann<br />
κp = ak 2<br />
.<br />
. (3.8)<br />
Für den Quotienten aus der Asperitenkrümmung und der Wurzel der mittleren<br />
quadratischen Profilkrümmung ergibt sich<br />
was für ak ≪ 1 zu<br />
wird.<br />
3.2.3 2D-Oberflächen<br />
κp<br />
= 4<br />
〈κ2 〉 (1 + a2k2 ) 3/4<br />
<br />
2 (4 + 3a2k2 )<br />
κp<br />
〈κ 2 〉 ≈ √ 2<br />
, (3.9)<br />
Im folgenden werden die statistischen Eigenschaften der 2D-Oberflächen genauer<br />
untersucht. Ausgangspunkt ist stets ein Leistungsspektrum der Form<br />
<br />
c für q0 ≤ q ≤ q1<br />
C2D =<br />
(3.10)<br />
0 sonst<br />
wobei c > 0. Zudem ist das Spektrum schmalbandig (2 ≤ q1/q0 ≤ 10).<br />
Für sieben verschiedene Werte q0 und vier verschiedene Werte q1/q0 wurden jeweils<br />
1000 Oberflächen mit 2048×2048 Punkten erzeugt. Anschließend wurden die<br />
Höhen- und Radienverteilung der Kappen für alle Oberflächen bestimmt. Insbesondere<br />
wurden die Mittelwerte und die zentralen Momente (bis zur 4. Ordnung)<br />
bestimmt.<br />
Abbildung 3.2 zeigt die Abhängigkeit der Umrechnungsfaktoren f1, f2 und f3<br />
(sowie die entsprechenden Umrechnungsfaktoren bei Berücksichtigung aller Kappen)<br />
von der Wellenzahl q0 für den Fall q1 = 2q0. Die Umrechnungsfaktoren sind<br />
nur schwach von der Wellenzahl q0 abhängig. Die in Abbildung 3.2 dargestellte
3.2. EIGENSCHAFTEN VON 1D- UND 2D-OBERFLÄCHEN 27<br />
2<br />
PSfrag replacements 1<br />
0<br />
10<br />
q0<br />
−2 10−1 1<br />
Umrechnung für h2 alle p<br />
Umrechnung für h2 top p<br />
Umrechnung für 〈κp〉 alle<br />
Umrechnung für 〈κp〉 top<br />
Umrechnung für κ2 alle p<br />
Umrechnung für κ2 top p<br />
q1 = 2q0 q1 = 4q0 q1 = 6q0 q1 = 10q0<br />
f1 0,34 0,34 0,35 0,35<br />
f2 1,35 1,32 1,30 1,30<br />
f3 0,23 0,27 0,28 0,28<br />
Abbildung 3.2: oben: Umrechnungsfaktoren für eine 2D-Oberfläche mit einem<br />
Leistungsspektrum nach Gleichung (3.10) und q1 = 2q0; unten: Umrechnungsfaktoren<br />
für die Topkappen für verschiedene q1/q0-Verhältnisse (Oberflächentopographie<br />
2048 × 2048 Punkte)
28 KAPITEL 3. ELASTISCHER KONTAKT RAUER OBERFLÄCHEN<br />
PSfrag replacements<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
0.04 0.042<br />
<br />
2 hp 0.044<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
5.1 5.2 5.3 5.4<br />
〈κp〉<br />
×10 −3<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
2.05 2.1 2.15<br />
<br />
2 κp 2.2<br />
×10 −3<br />
Abbildung 3.3: Häufigkeitsverteilungen von h2 <br />
p , 〈κp〉 und κ2 <br />
p bei 1000 erzeugten<br />
Oberflächen (Oberflächentopographie 2048 × 2048 Punkte, q0 = 0,2, q1 = 0,4,<br />
C = 10−2 )<br />
Tabelle zeigt die Abhängigkeit der Umrechnungsfaktoren für die Topkappen vom<br />
q1/q0-Verhältnis.<br />
Für den Fall q0 = 0,2, q1 = 2q0 zeigt die Abbildung 3.3 exemplarisch die Häufig-<br />
keitsverteilungen der drei Kenngrößen h2 <br />
p , 〈κp〉 und κ2 <br />
p für die 1000 erzeugten<br />
Oberflächen. Es ist erkennbar, dass sich für alle drei Kenngrößen feste Werte<br />
ergeben. Bei unendlich großen Oberflächen müsste jede der 1000 Realisierungen<br />
exakt die gleichen Werten h2 <br />
p , 〈κp〉 und κ2 <br />
p aufweisen.<br />
3.3 Umrechnung der Oberflächentopographie<br />
Die Nutzung von Modellen niedrigerer Dimension (1D oder 2D anstelle von 3D)<br />
erfordert auch eine Umrechnung der Oberflächentopographie. Im folgenden wird<br />
gezeigt, wie 1D-Oberflächen erzeugt werden können, deren Kappenstatistik mit<br />
der Kappenstatistik einer gegebenen 2D-Oberfläche in gewünschter Beziehung<br />
zueinander steht 3 .<br />
Zwei Varianten sind denkbar<br />
1. Aus C2D wird eine 2D-Oberfläche h (x, y) erzeugt. Anschließend werden für<br />
die erzeugte Oberfläche die Höhen und Krümmungen der Kappen bestimmt.<br />
Schließlich wird ein 1D-Kappenmodell aus diesen Daten erzeugt.<br />
2. Aus C2D wird mittels einer geeigneten Transformation ein Spektrum C1D<br />
<br />
3 2 Gemäß Abschnitt 2.5 sind die Beziehungen hp 1D = h2 <br />
p 2D und 〈κp〉<br />
wünschenswert.<br />
1D = 2 〈κp〉 2D
3.3. UMRECHNUNG DER OBERFLÄCHENTOPOGRAPHIE 29<br />
berechnet. Anschließend wird aus diesem Spektrum eine 1D-Oberfläche erzeugt.<br />
Falls Variante 2 funktioniert, ist diese klar zu bevorzugen.<br />
3.3.1 Analytische Überlegungen<br />
Für die 2D-Oberfläche sei das gemessene Höhenprofil z = h (x) mit x = (x, y).<br />
Dann ist, wie bereits in Abschnitt 3.1 ausgeführt, das Leistungsspektrum der<br />
Rauheiten bei isotropen Oberflächen<br />
C2D (q) = 1<br />
(2π) 2<br />
Analog kann für die 1D-Oberfläche<br />
C1D (q) = 1<br />
<br />
2π<br />
<br />
〈h (x) h (0)〉 e −iq·x d 2 x . (3.11)<br />
〈h (x) h (0)〉 e −iqx dx (3.12)<br />
eingeführt werden. Die Dimension von C2D ist Länge hoch 4, von C1D ist es Länge<br />
hoch 3. Die Oberflächentopographie kann aus dem Leistungsspektrum wie folgt<br />
gewonnen werden [90]:<br />
h (x) = <br />
B2D (q) exp (i (q · x + φ (q))) , (3.13)<br />
q<br />
wobei φ (q) = −φ (−q) im Intervall [0, 2π) gleichverteilte Zufallszahlen sind und<br />
B2D (q) = 2π <br />
C2D (q) =<br />
L<br />
¯ B2D (−q) . (3.14)<br />
Analog erfolgt die Generierung des Profils im 1D-Fall:<br />
h (x) = <br />
B1D (q) exp (i (qx + φ (q))) (3.15a)<br />
B1D (q) =<br />
Für den quadratischen Mittenrauwert gilt<br />
h 2 <br />
h 2 <br />
2D =<br />
1D =<br />
∞<br />
−∞ −∞<br />
∞<br />
<br />
−∞<br />
q<br />
2π<br />
L C1D (q) = ¯ B1D (−q) . (3.15b)<br />
∞<br />
C2D (q) d 2 <br />
q = 2π<br />
<br />
C1D (q) dq = 2<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
∞<br />
qC2D (q) dq (3.16a)<br />
C1D (q) dq . (3.16b)<br />
Die quadratischen Mittenrauwerte sind für beliebige Wellenzahlen q0 und q1<br />
gleich, sofern<br />
C1D (q) = πqC2D (q) (3.17)<br />
gilt. Wenn von einer Normalverteilung der Höhen ausgegangen wird, ist 〈h 2 〉 die<br />
charakteristische Größe der Höhenverteilung.
30 KAPITEL 3. ELASTISCHER KONTAKT RAUER OBERFLÄCHEN<br />
Für die mittleren quadratischen Profilkrümmungen (rms profile curvature) gilt<br />
κ 2 <br />
κ 2 <br />
2D =<br />
1D =<br />
∞<br />
∞<br />
−∞ −∞<br />
∞<br />
<br />
−∞<br />
q 4 C2D (q) d 2 <br />
q = 2π<br />
0<br />
∞<br />
q 5 C2D (q) dq (3.18a)<br />
q 4 C1D (q) dq . (3.18b)<br />
Wenn die Bedingung (3.17) erfüllt ist, sind auch die mittleren quadratischen<br />
Profilkrümmungen für beliebige Wellenzahlen q0 und q1 gleich.<br />
3.3.2 Numerische Experimente<br />
Die in den Abschnitten 3.2.2 und 3.2.3 untersuchten Oberflächen sind aus Spektren<br />
C1D bzw. C2D erzeugt, die der Umrechnungsvorschrift (3.17) genügen. Für<br />
den Fall q1 = 2q0 lässt sich aus den Abbildungen 3.1 und 3.2 das folgende Ergebnis<br />
ablesen:<br />
2<br />
hp 1D ≈ h 2 p 2D<br />
〈κp〉 1D ≈ 1,8 〈κp〉 2D<br />
<br />
<br />
κ 2 p<br />
1D ≈ 2,0 κ 2 p<br />
Gemäß Abschnitt 2.5 muss für die Krümmungsradien R3D = 2R1D gelten. Wird<br />
die Steifigkeit cn so gewählt, dass die Relation F (d) stimmt, dann ergibt sich<br />
wegen 〈κp〉 1D ≈ 1,8 〈κp〉 2D ein Fehler in der Kontaktgröße a. Für das Verhältnis<br />
der Kontaktradien in beiden Modellen ergibt sich<br />
a1D<br />
a3D<br />
=<br />
<br />
2 R1D<br />
R3D<br />
Im Fall q1 = 2q0 folgt aus R3D = 1,8R1D für die Kontaktradien a1D = 1,05a3D.<br />
Der Kontaktradius wird im 1D-Modell in diesem Fall um 5% zur groß berechnet.<br />
Angesichts der Einfachheit des Modells ein akzeptables Ergebnis.<br />
Auch für 2 < q1/q0 ≤ 10 funktioniert die Umrechnung für die Topkappen gut.<br />
Für den Kontaktradius im 1D-Modell ergibt sich a1D ≈ 1,07a3D.<br />
Die in Abbildung 3.2 gezeigten Ergebnisse basierten auf der Approximation durch<br />
Kugelkappen. Werden statt dessen zur Approximation Ellipsoiden genutzt, ändert<br />
sich der Umrechnungsfaktor f2 geringfügig. Es ist dann f2 ≈ 1,25. Das führt<br />
zu einem Fehler im Kontaktradius von 2%, was erwartungsgemäß ein besseres<br />
Ergebnis im Vergleich zu Kugelkappen ist.<br />
3.3.3 Längenumrechnung<br />
Vorüberlegung<br />
Für eine konkrete gegebene 2D-Oberfläche soll die äquivalente 1D-Oberfläche<br />
erzeugt werden. Dazu ist neben der Umrechnung des Spektrums auch die Berechnung<br />
der Länge der 1D-Oberfläche notwendig. Betrachtet wird eine Oberfläche<br />
2D<br />
.<br />
.
3.3. UMRECHNUNG DER OBERFLÄCHENTOPOGRAPHIE 31<br />
mit einer einzigen Wellenzahl λ. Für die Zahl der Kappen gilt dann näherungsweise<br />
2 L2<br />
NK =<br />
λ<br />
bzw. NK = L1<br />
λ<br />
, (3.19)<br />
wobei L1 die Länge der 1D-Oberfläche und L2 die lineare Abmessung der 2D-<br />
Oberfläche sind. Die Umrechnung der Längen ist dann<br />
Numerische Experimente<br />
L1 = 1<br />
λ L2 q<br />
2 =<br />
2π L22 ≈ 0,159qL22 . (3.20)<br />
Umfangreiche numerische Experimente mit C1D = πqC2D und 2 ≤ q1/q0 ≤ 10<br />
zeigen, dass die absolute Zahl der (hohen) Kappen für 2D- und 1D-Oberflächen<br />
übereinstimmt, wenn die einfache Beziehung<br />
L1 = ˜qL 2 2 = 0,15q1L 2 2<br />
(3.21)<br />
erfüllt ist.<br />
Für kleinere Verhältnisse q1/q0 gilt das Ergebnis (3.21) nicht mehr. Zudem sollte<br />
der Umrechnungsfaktor im allgemeinen das Spektrum enthalten. Bei einem Spektrum<br />
ohne obere Grenze4 q1 kann die Formel (3.21) auch nicht funktionieren.<br />
Ein Ansatz für den Umrechnungsfaktor, bei dem die Dimension stimmt und der<br />
das Spektrum in integraler Form enthält, lautet<br />
˜q = Ã<br />
<br />
n C(q)q dq<br />
. (3.22)<br />
C(q)qn−1dq Für ein konstantes Spektrum C im Intervall [q0, q1] und q1 ≫ q0 ergibt sich der<br />
experimentell festgestellte Zusammenhang ˜q ∝ q1.<br />
In weiteren numerischen Experimenten wurden 1D- und 2D-Oberflächen mit verschiedenen<br />
Werten q0 und q1/q0 ≥ 1,1 und unter Beachtung der Umrechnungsvorschrift<br />
C1D = πqC2D erzeugt. Anschließend wurde der Faktor ˜q in der Umrechnungsformel<br />
(3.23)<br />
L1 = ˜qL 2 2<br />
für die Längen bestimmt. Die Längen L1 und L2 müssen so umgerechnet werden,<br />
dass die Zahl der Kappen in beiden Fällen übereinstimmt. Anschließend werden<br />
die Koeffizienten A und n des Ansatzes<br />
ξ<br />
˜q = Aq0<br />
n+1 − 1<br />
ξn − 1<br />
; ξ = q1<br />
q0<br />
(3.24)<br />
so bestimmt, dass der Approximationsfehler möglichst klein ist. Es ergeben sich<br />
die Werte A = 0,152, n = 4,41. Für große Werte von ξ (z. B. ξ > 2) gilt<br />
˜q = Aq1. Für ξ → 1 ist der Wert ˜q = A n+1.<br />
Der kleinste in den Simulationen<br />
n<br />
berücksichtigte Wert ist ξ = 1,1.<br />
A ist der Wert, der sich für große q1/q0 ergeben hatte (linearer Zusammenhang<br />
(3.21)).<br />
Abbildung 3.4 gibt Aufschluss über die Sensitivität des Fehlers gegenüber Änderungen<br />
der Parameter A und n. Gezeigt ist das Verhältnis des Fehlers für ein<br />
4 z.B. ein Spektrum, das exponentiell nach außen abfällt
eplacements<br />
32 KAPITEL 3. ELASTISCHER KONTAKT RAUER OBERFLÄCHEN<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
0<br />
0<br />
5<br />
10<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
PSfrag replacements<br />
n 2<br />
A<br />
0.1<br />
0<br />
0.145 0.15 0.155 0.16<br />
Abbildung 3.4: Sensitivität der Approximation (3.24) gegenüber Änderungen der<br />
Parameter A und n (Abweichung der Approximation (3.24) für Paare (A, n) bezogen<br />
auf die minimale Abweichung)<br />
Paar (A, n) bezogen auf den Fehler 5 bei der optimalen Lösung. Es ist erkennbar,<br />
dass der Fehler nicht sehr sensitiv gegenüber Änderungen des Parameters n ist.<br />
Praktische Konsequenzen<br />
Gemäß Gleichung (3.23) ist das 1D-System sehr groß zu wählen; soll die gleiche<br />
Zahl an Kappen vorhanden sein wie im 3D-System, muss die Oberfläche in beiden<br />
Fällen mit einer ähnlichen Zahl an Punkten modelliert werden. Das widerspricht<br />
dem Bestreben, ein Simulationsmodell mit deutlich weniger Freiheitsgraden aufzubauen.<br />
Es kann, solange das 1D-System ausreichend groß für eine repräsentative Darstellung<br />
der Oberfläche gewählt wird, nur ein Teil des 1D-Systems für die Simulation<br />
herangezogen werden. Wird z.B. nur 1% der Länge genommen, müssen die Kräfte<br />
mit dem Faktor 100 skaliert werden.<br />
3.3.4 Überblick<br />
Abbildung 3.5 zeigt im Überblick das Verfahren zur Berechnung des Kontaktproblems<br />
mit dem eindimensionalen Modell.<br />
Ausgehend von gemessenen Oberflächen wird das Leistungsspektrum C2D berechnet.<br />
Dazu ist es sicher sinnvoll, die Oberfläche an mehreren Stellen und mit<br />
verschiedenen Auflösungen zu vermessen.<br />
Anschließend werden das Leistungsspektrum C1D und daraus die eindimensionale<br />
Oberfläche berechnet. Unter Berücksichtigung der Materialeigenschaften wird<br />
schließlich das eindimensionale Simulationsmodell erzeugt. Während der Simulation<br />
werden die Bewegungsgleichungen der Teilchen numerisch gelöst 6 . Aus<br />
den Berechungsergebnissen können anschließend die Größen von Interesse extrahiert<br />
werden. Dies sind insbesondere die Größe und Lage der Kontaktgebiete,<br />
die Druckverteilung und die Normalkraft sowie die Reibungskraft und die<br />
Veränderung der Oberflächentopographie.<br />
52-Norm der Abweichung zwischen Simulation und Ergebnis der Approximationsformel<br />
(3.23)<br />
6Ausführungen zu numerischen Aspekten erfolgen in Kapitel 4.<br />
n<br />
10<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
A<br />
18<br />
16<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4
PSfrag replacements<br />
3.3. UMRECHNUNG DER OBERFLÄCHENTOPOGRAPHIE 33<br />
Messung der Oberfläche<br />
C2D gemäß Gl. (3.3) berechnen<br />
C1D gemäß Gl. (3.17) aus C2D berechnen<br />
1D Oberfläche aus C1D erzeugen<br />
Bezugslänge L1 gemäß Gl. (3.21) berechnen<br />
Simulation<br />
Lösen der Bewegungsgleichungen (5.23) und (5.24)<br />
Spannungsberechnung gemäß Gl. (2.18)<br />
Federsteifigkeiten aus<br />
Materialparametern<br />
bestimmen<br />
Ergebnisse: Kontaktgebiete (Druckverteilung, Größe), Normalkraft,<br />
Reibungskraft, Veränderung der Oberflächentopographie<br />
Abbildung 3.5: Überblick über das Verfahren zur Dimensionsreduktion dreidimensionaler<br />
Kontaktprobleme auf eindimensionale
34 KAPITEL 3. ELASTISCHER KONTAKT RAUER OBERFLÄCHEN<br />
Abbildung 3.6: Zweidimensionale Oberflächentopographie (links) und für einen<br />
Wert der Normalkraft resultierende Mikrokontakte (rechts)<br />
Die Richtigkeit des Vorgehens kann geeigneter weise durch numerische Vergleichsrechnungen<br />
erfolgen. Dazu können eine Vielzahl von Kontaktproblemen mit stochastischen<br />
Oberflächen numerisch mit dem 1D-Modell und einem 3D-Modell<br />
gelöst und anschließend verglichen werden. Einige Ergebnisse von Vergleichsrechnungen<br />
werden in Abschnitt 3.4 vorgestellt. Dabei wird das dreidimensionale<br />
Problem mit der Randelementemethode behandelt.<br />
Als 3D-Modell bietet sich zudem das hierarchische Modell von Heß und Popov<br />
an. Sobald das hinsichtlich numerischer Aspekte optimierte 3D-Modell zur Verfügung<br />
steht, sollten diese Vergleichsrechnungen weitergeführt werden. Dabei ist<br />
u. a. zu untersuchen, ob die Umrechnung der Spektren gemäß Gleichung (3.17)<br />
auch hinsichtlich anderer kontaktmechanischer Fragestellungen geeignet ist und<br />
wie sich die Beschränkung auf einen Krümmungsradius beim adhäsiven Kontakt<br />
auswirkt.<br />
3.4 Simulation mit rauen Oberflächen<br />
Zunächst sollen nun elastische Kontakte mit stochastisch rauen Oberflächen simuliert<br />
werden 7 . Dazu werden zweidimensionale Oberflächen mittels (3.13) für ein<br />
gegebenes Spektrum erzeugt. Die Untersuchungen beziehen sich auf das bereits<br />
untersuchte Spektrum (3.10).<br />
Anschließend werden mit der in Abschnitt B.1.2 beschriebenen Randelementemethode<br />
die Beziehungen zwischen Normalkraft F und Annäherung d sowie zwischen<br />
Normalkraft F und Kontaktfläche A bestimmt.<br />
Abbildung 3.6 zeigt exemplarisch für eine Oberfläche (links) und einen Wert der<br />
Normalkraft das resultierende Kontaktgebiet (rechts). Die (gesamte, wahre) Kontaktfläche<br />
ist die Summe der Flächen aller Mikrokontakte.<br />
Die eindimensionle Oberfläche wurde mit einem Spektrum gemäß der Umrechnungsvorschrift<br />
(3.17) erzeugt. Bei der Berechnung der Kraft und Kontaktfläche<br />
wurde die Beziehung (3.21) für die Längenumrechnung berücksichtigt, d. h. es<br />
wurden eindimensionale Oberflächen mit einer bestimmten Länge ˜ L1 benutzt,<br />
7 In Abschnitt 5.8 werden numerische Simulationen von adhäsiven Kontakten mit gewellten<br />
Oberflächen und rauen Oberflächen mit festem Kappenradius durchgeführt.
PSfrag replacements<br />
3.4. SIMULATION MIT RAUEN OBERFLÄCHEN 35<br />
A/Ages<br />
0.12<br />
0.08<br />
0.04<br />
0<br />
0 1 2 3<br />
3D Ergebnis 1D Ergebnis<br />
3D Approx.<br />
Abbildung 3.7: Beziehung zwischen Normalkraft F und Kontaktfläche A, Vergleich<br />
1D (blau, gepunktet) und 3D (rot, Fehlerbalken (Standardabweichung aus<br />
450 Werten), grün, gestrichelt: lineare Approximation der Mittelwerte). Die Kurven<br />
für die 1D-Simulation und die lineare Approximation der 3D-Simulation sind<br />
kaum voneinander zu unterscheiden, weil sie nahezu übereinstimmen.<br />
und die Ergebnisse wurden dann mit dem Faktor L1/ ˜ L1 skaliert. Im eindimensionalen<br />
Modell werden die Mikrokontakte durch ihre Länge ai charakterisiert.<br />
In der Simulation werden zusammenhängende Kontaktgebiete als Mikrokontakte<br />
identifiziert. Die Gesamtkontaktfläche im eindimensionalen Modell wird dann aus<br />
der Länge der einzelnen Kontaktgebiete ai gemäß<br />
F<br />
A1D = π <br />
2<br />
ai 4<br />
(3.25)<br />
berechnet.<br />
Abbildung 3.7 zeigt die Beziehung zwischen Normalkraft F und Kontaktfläche<br />
A im Vergleich zwischen dem dreidimensionalen und dem eindimensionalen Modell.<br />
Da nur zweidimensionale Oberflächen mit maximal 64 × 64 Punkten untersucht<br />
werden können, gibt es sichtbare Abweichungen zwischen den Kurven<br />
für verschiedene Oberflächen. Diese Abweichungen sind in Abbildung 3.7 durch<br />
Fehlerbalken dargestellt, wobei diese die Standardabweichung von den jeweiligen<br />
Mittelwerten zeigen. Die Kurve für die zweidimensionalen Oberflächen basieren<br />
auf Berechnungen mit 450 unterschiedlichen Oberflächen.<br />
Es ergibt sich erwartungsgemäß ein annähernd linearer Zusammenhang zwischen<br />
Normalkraft und Kontaktfläche. Zudem wird eine gute Übereinstimmung zwischen<br />
den beiden Modellen (1D und 3D) festgestellt. Die lineare Approximation<br />
der Mittelwerte der 2D-Ergebnisse (grün, gestrichelt) und das 1D-Ergebnis (blau,<br />
gepunktet) sind nahezu identisch.<br />
Für Vergleiche verschiedener numerischer Berechnungen für den elastischen Kontakt<br />
von Körpern mit selbstaffiner Oberfläche wird der dimensionslose Parameter<br />
κ herangezogen (siehe Gl. (1.2), Seite 6). Für die Berechnungen aus Abbildung<br />
3.7 ergibt sich κ = 2,9. Das ist größer, als die von Persson (1,6) und Bush (2,5)
PSfrag replacements<br />
36 KAPITEL 3. ELASTISCHER KONTAKT RAUER OBERFLÄCHEN<br />
0.02<br />
0.01<br />
0<br />
−0.01<br />
−0.02<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
−10<br />
20 40 60 80 100 120<br />
σV<br />
20 40 60 80 100 120<br />
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2<br />
Abbildung 3.8: Ausschnitt aus einem 1D-Modell, oben: Oberfläche und gedachte<br />
Linie der Durchdringung, unten: Vergleichsspannung nach Gl. (2.29)<br />
theoretisch vorhergesagten und von Campana et al. [18] und Hyun et al. [51, 52]<br />
numerisch berechneten Werte. Dazu ist jedoch anzumerken, dass bei den oben<br />
genannten Berechnungen stets selbstaffine Oberflächen betrachtet wurden. Hier<br />
hingegen wurden stochastische Oberflächen betrachtet, die in einem bestimmten<br />
Wellenzahlbereich ein konstantes Spektrum aufweisen.<br />
Die in diesem Abschnitt diskutierten numerischen Berechnungen sind unabhängig<br />
vom Greenwood-Williamson-Modell. Die Bezugnahme auf dieses Modell in den<br />
Abschnitten 3.2 und 3.3 diente der Motivation und gab Hilfestellung beim Auffinden<br />
der Umrechnungsformel (3.17) für die Leistungsspektren der Rauheiten. Die<br />
Gültigkeit und Güte des Simulationsmodells müssen durch Vergleichsrechnungen<br />
sichergestellt werden.<br />
Innere Spannungen<br />
Mit der in Abschnitt 2.7 vorgestellten Methode können für den elastischen Kontakt<br />
auch die Spannungen im Innern berechnet werden. Für die Asperiten wird<br />
aus Gl. (2.15) die Spannung an der Oberfläche berechnet, um anschließend mittels<br />
der Fundamentallösung die inneren Spannungen zu berechnen. Abbildung 3.8<br />
zeigt für einen kleinen Ausschnitt aus einem eindimensionalen Berechnungsmodell<br />
die auf diesem Wege berechneten Vergleichsspannungen σV gemäß Gl. (2.29).<br />
Es sei darauf hingewiesen, dass die Abbildung 3.8 keinen Schnitt durch ein dreidimensionales<br />
System darstellt, sondern eine repräsentative Darstellung der inneren<br />
Spannungen beim dreidimensionalen Problem mit stochastischer Oberfläche.
Kapitel 4<br />
Numerische Aspekte für den<br />
elastischen Kontakt<br />
Im folgenden Kapitel werden einige numerische Aspekte im Zusammenhang mit<br />
den diskutierten Simulationsmodellen eingehender besprochen. Oft entscheidet<br />
die Wahl der richtigen numerischen Methode über Erfolg oder Misserfolg einer<br />
Simulation.<br />
Der Hauptteil der Berechnungen sind dynamische Simulationen. Entsprechend<br />
wird die Lösung der zugrunde liegenden gewöhnlichen Differentialgleichungen zuerst<br />
besprochen. Ein Teil der Probleme sind eigentlich statische Kontaktprobleme.<br />
Daher wird im Anschluss an die Ausführungen zu den dynamischen Simulationen<br />
das statische Problem näher betrachtet.<br />
Bei dynamischen Problemen müssen die Bewegungsdifferentialgleichungen für jedes<br />
Teilchen aufgestellt werden. Zur numerischen Lösung können, abhängig von<br />
den genauen Wechselwirkungen, verschiedene Differentialgleichungslöser verwendet<br />
werden. Statische Kontaktprobleme können ebenso durch dynamische Simulationen<br />
(mit überkritischer Dämpfung) gelöst werden. Im Bereich der Simulation<br />
von Mehrkörpersystemen (MKS) wird dieses Verfahren häufig angewendet. Vorteile<br />
dieses Vorgehens sind:<br />
• Es kann das gleiche Computerprogramm für dynamische und statische Simulationen<br />
verwendet werden.<br />
• Die dynamische Simulation konvergiert zu einer statischen Lösung (bei ausreichend<br />
Dämpfung). Numerische Verfahren zur Lösung von nichtlinearen<br />
Gleichungssystemen (insbesondere Newton-Verfahren) konvergieren bei erratbaren<br />
Startwerten u. U. nicht.<br />
• Dynamische Simulationen können Phänomene wie Abreißen beim zugbelasteten<br />
adhäsiven Kontakt oder Gedächniseffekte berücksichtigen.<br />
4.1 Lösung von Differentialgleichungen<br />
4.1.1 Übersicht über Verfahren<br />
Methoden zur Lösung von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen können<br />
auf verschiedene Arten klassifiziert werden; insbesondere werden explizite<br />
37
ag replacements<br />
38 KAPITEL 4. NUMERISCHE ASPEKTE<br />
ode45<br />
ode15s ohne Jacobimatrix<br />
ode15s mit Muster der Jacobimatrix<br />
ode15s mit expliziter Jacobimatrix<br />
10 0 10 1 10 2 10 3 10 4<br />
tR [s]<br />
Abbildung 4.1: Berechnungszeiten tR für 2000 Teilchen<br />
und implizite Löser unterschieden und Einschritt- und Mehrschrittverfahren [101,<br />
108].<br />
Implizite Löser sind bei steifen Differentialgleichungssystemen notwendig. Sie erlauben<br />
bei steifen Problemen i. a. eine sehr viel größere Schrittweite als vergleichbare<br />
explizite Löser. Bei einem impliziten Löser ist die Berechnung jedes<br />
einzelnen Zeitschritts hingegen sehr viel aufwendiger, da stets ein lineares Gleichungssystem<br />
gelöst werden muss. Matlab stellt u. a. die Löser ode15s (implizit)<br />
und ode45 (explizit) zur Verfügung. Bei dem impliziten Löser ode15s gibt es die<br />
Möglichkeit, die Jacobimatrix explizit als Funktion der Zeit und des Zustandes<br />
anzugeben oder mittels finiter Differenzen zu approximieren. Die zweite Methode<br />
ist die gängige, weil die explizite Angabe der Jacobimatrix aufwendig, manchmal<br />
praktisch unmöglich ist. Beide Routinen, ode15s und ode45, haben eine automatisch<br />
Schrittweitensteuerung. Die Schrittweite wird so gewählt, dass vorgegebene<br />
Fehlerschranken eingehalten werden.<br />
4.1.2 Beispiel<br />
Betrachtet wird das 1D Modell mit einem elastischen und einem starren Körper.<br />
Alle Teilchen können sich nur in vertikaler Richtung bewegen. Jedes Teilchen<br />
der elastischen Oberfläche erfährt in Abhängigkeit vom Abstand von der starren<br />
Oberfläche eine Kraft gemäß Abbildung 5.6. Es werden die Differentialgleichungen<br />
des überkritisch gedämpften Systems<br />
˙x = Λf(x) (4.1)<br />
gelöst für den Kontakt einer ebenen mit einer gekrümmten Oberfläche.<br />
Abbildung 4.1 gibt einen Überblick über die notwendigen Rechenzeiten bei Verwendung<br />
von 2000 Teilchen. Vier verschiedene Varianten werden untersucht:<br />
1. Das Lösen mit dem expliziten Löser ode45 erfordert wenig Speicher, die<br />
Rechenzeiten sind bei vorgegebener Fehlerschranke jedoch sehr hoch.<br />
2. Das Lösen mit dem impliziten Löser ode15s geht im vorliegenden Fall sehr<br />
viel schneller, auch wenn die Jacobimatrix numerisch mit der Methode der<br />
Finiten Differenzen approximiert wird. Bei 3000 Teilchen ist ein Lösen des<br />
Differentialgleichungssystem aus Speichergründen nicht mehr möglich.
4.2. LÖSUNG DES STATISCHEN KONTAKTPROBLEMS 39<br />
3. Gibt man das Muster der Jacobimatrix beim Aufruf von ode15s explizit an,<br />
ist die Rechenzeit nochmals kürzer und ein System mit 3000 Teilchen kann<br />
noch berechnet werden. Bei 4000 Teilchen ist jedoch auch hier Schluss. Mit<br />
Muster der Jacobimatrix ist gemeint, an welcher Stelle von 0 verschiedene<br />
Einträge in der Jacobimatrix auftreten können. Das Muster anzugeben ist<br />
sehr viel einfacher, als die Jacobimatrix explizit anzugeben, denn für das<br />
Muster reicht die Information welche Teilchen einander beeinflussen.<br />
4. Wird beim Aufruf von ode15s die Jacobimatrix explizit als Funktion von<br />
Zeit und Zustand angegeben, geschehen die Berechnungen nochmals deutlich<br />
schneller. Zudem können auch Systeme mit 10000 Teilchen mühelos<br />
berechnet werden (siehe unten). Allerdings muss die Jacobimatrix in sparse-<br />
Form angegeben werden.<br />
Wird ein System aus 10000 Teilchen betrachtet, ergibt sich folgendes Bild: der explizite<br />
Löser ode45 benötigt 7 Stunden, der implizite Löser ode15s mit expliziter<br />
Jacobimatrix benötigt 7 Sekunden.<br />
4.1.3 Differentialgleichungen mit Rauschen<br />
Bei der Simulation mikroskopischer oder mesoskopischer Teilchensysteme treten<br />
häufig stochastische Terme in den Differentialgleichungen auf. Dieses Rauschen<br />
ist z.B. durch thermische Fluktuationen bedingt.<br />
Erfahrungen mit Molekulardynamik (MD) und der Methode der beweglichen zellulären<br />
Automaten (MCA) zeigen, dass in diesem Fall Verfahren höherer Ordnung<br />
oder Mehrschrittverfahren nicht sinnvoll sind [106]. Zum einen lassen die Rauschterme<br />
nur eine bestimmte Schrittweite zu, und zum anderen ist die Vorhersage<br />
des Zustandes aus den Zuständen der letzten Zeitschritte nicht besser als die Vorhersage<br />
aus dem Zustand des letzten Zeitschritts. Zudem neigen solche Verfahren<br />
bei großen Systemen zu Instabilität.<br />
Bei MD und MCA Simulationen ist zudem die Berechnung der Wechselwirkungskräfte<br />
der zeitaufwendigste Teil. Daher werden Verfahren genutzt, die möglichst<br />
wenig Funktionsaufrufe je Iteration benötigen. Gängige Verfahren sind das einfache<br />
Euler-Verfahren und der Verlet-Algorithmus.<br />
4.2 Effiziente Lösung des statischen Kontaktproblems<br />
In den folgenden Ausführungen wird gezeigt, wie statische Kontaktprobleme mit<br />
dem 1D Teilchenmodell und dem im Anhang B vorgestellten hierachischen Modell<br />
maßgeschneidert numerisch gelöst werden können. Dies schließt eine Diskussion<br />
der Rechenzeiten und des Speicherbedarfs der verschiedenen Algorithmen ein.<br />
Das Standardverfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen<br />
f (x) = 0<br />
ist das Newton-Verfahren. In der Regel ist die zugehörige Jacobimatrix J explizit<br />
(in analytischer Form) nicht bekannt. Dann muss die Jacobimatrix J mittels<br />
der Funktion f numerisch approximiert werden. Das erfordert eine hohe Zahl
40 KAPITEL 4. NUMERISCHE ASPEKTE<br />
von Funktionsaufrufen [108]. Große Systeme schwach gekoppelter nichtlinearer<br />
Gleichungen können mit dem SOR-Newton-Verfahren [83, 118] gelöst werden.<br />
Bei diesem Verfahren wird nicht die Jacobimatrix J berechnet, sondern nur deren<br />
Diagonalelemente.<br />
Die untersuchten Modelle liefern ein System schwach gekoppelter nichtlinearer<br />
Gleichungen. Die Jacobimatrix J kann (mit etwas Mühe) sowohl für das 1D Teilchenmodell<br />
als auch für das hierarchische Modell analytisch angegeben werden.<br />
Mit herkömmlichen Matrixmethoden kann dennoch aus Speicherplatzgründen<br />
nicht gearbeitet werden. Schon bei 10 3 Teilchen hat die Jacobimatrix 10 6 Einträge.<br />
Da die Gleichungen jedoch schwach gekoppelt sind, können Methoden für<br />
dünn besetzte Matrizen (sparse matrix methods) angewendet werden. Bei dem<br />
vorliegenden hierachischen Modell mit N Teilchen hat die Jacobimatrix N 2 Einträge.<br />
Davon sind allerdings nur sehr wenige von 0 verschieden. Es ist daher<br />
sinnvoll, nur die von 0 verschiedenen Elemente der Jacobimatrix zu berechnen<br />
und zu speichern. Bei der Lösung des linearen Gleichungssystems im Newton-<br />
Iterationsschritt müssen entsprechend modifizierte Algorithmen (sparse matrix<br />
methods) benutzt werden.<br />
Untersucht man Modelle, bei denen nur ein beteiligter Kontaktpartner elastisch<br />
ist, ergeben sich für das hierarchische Modell ungefähr 6N von 0 verschiedene<br />
Einträge, für das 1D Modell ca. 4N.<br />
Das SOR-Newton-Verfahren kommt demnach nicht zur Anwendung, weil das klassische<br />
Newton-Verfahren kombiniert mit der explizit bekannten Jacobimatrix und<br />
den speziellen Methoden für dünn besetzte Matrizen sehr viel effizienter ist.<br />
Der Kontakt mit der starren Wand wird über eine Exponentialfunktion modelliert<br />
(Abschnitt B.2.3). Um einen Überlauf zu verhindern, muss die Schrittweite<br />
beschränkt werden. Numerische Experimente zeigen, dass die Vorgabe einer maximalen<br />
Schrittweite die Zahl der nötigen Iterationen nicht wesentlich beeinflusst.<br />
In den folgenden Abschnitten werden verschiedene Verfahren zur Lösung des statischen<br />
Kontaktproblems auf Basis des in Abschnitt B.2.3 vorgestellten hierarchischen<br />
Modells verglichen. Alle Ausführungen zu den Rechenzeiten beziehen<br />
sich auf die Berechnung der Gleichgewichtslage beim Andrücken des elastischen<br />
Körpers gegen eine starre Ebene. Diese Aussagen zu den Rechenzeiten sind auf<br />
das 1D Modell übertragbar.<br />
4.2.1 Numerisch approximierte Jacobimatrix<br />
Die Abbildungen 4.2 und 4.3 geben Auskunft über die Rechenzeiten bei Verwendung<br />
einer numerisch approximierten Jacobimatrix. Schon bei 2047 Teilchen<br />
beträgt die Rechenzeit zur Ermittlung der statischen Ruhelage 18 Minuten. Der<br />
größte Teil der Rechenzeit wird zur näherungsweisen Bestimmung der Jacobimatrix<br />
benötigt.<br />
Ein Modell mit nT Teilchen führt auf ein nichtlineares Gleichungssystem mit nT<br />
Gleichungen. Die zugeordnete Jacobimatrix hat n2 T Einträge. Jede gespeicherte<br />
Zahl (double) erfordert 8 Byte Speicherplatz. Bei nT = 2047 ergibt sich somit<br />
ein Speicherbedarf von ca. 32 MB. Bei nT = 4095 werden fast 130 MB benötigt;<br />
in der benutzten Matlab-Version führt das zum Abbruch1 .<br />
Werden hingegen nur die von 0 verschiedenen Elemente gespeichert, ist bei nT =<br />
1 Fehlermeldung: Out of memory
PSfrag replacements<br />
PSfrag replacements<br />
4.2. LÖSUNG DES STATISCHEN KONTAKTPROBLEMS 41<br />
tR [s]<br />
150<br />
100<br />
50<br />
nIt<br />
<br />
f(x) <br />
10 −4<br />
10 −6<br />
10 −8<br />
10 −10<br />
10−12 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6<br />
Abbildung 4.2: Numerisch approximierte Jacobimatrix: Rechenzeit (links) und<br />
Residuum (rechts) für verschiedene Iterationszahlen nIt (10 Schichten, 1023 Teilchen)<br />
10 2<br />
tR [s]<br />
10 4<br />
10 3<br />
10 2<br />
10 1<br />
10 0<br />
10 −1<br />
(2)<br />
(2)<br />
(3)<br />
nT<br />
tR/nIt [s]<br />
10 3<br />
10 2<br />
10 1<br />
10 0<br />
10 −1<br />
104 103 103 101 101 102 10 2<br />
(4)<br />
(4)<br />
(5)<br />
Abbildung 4.3: Numerisch approximierte Jacobimatrix: Rechenzeit gesamt (links)<br />
und je Iteration (rechts) für nT Teilchen (in Klammern Zahl der Iterationen bei<br />
gegebenem Abbruchkriterium)<br />
nT<br />
nIt<br />
10 4
42 KAPITEL 4. NUMERISCHE ASPEKTE<br />
tR [s]<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
nIt<br />
<br />
f(x) <br />
10 −4<br />
10 −6<br />
10 −8<br />
10 −10<br />
10−12 2 3 4 5 6<br />
2 3 4 5 6<br />
Abbildung 4.4: Explizit gegebene Jacobimatrix: Rechenzeit (links) und Residuum<br />
(rechts) für verschiedene Iterationszahlen nIt (10 Schichten, 1023 Teilchen)<br />
4095 der Speicherbedarf ungefähr 160 kB. Neben dem Speicherbedarf lässt sich<br />
auch die Rechenzeit durch Nutzung von maßgeschneiderten Methoden für dünn<br />
besetzte Matrizen erheblich verkürzen. Beim Lösen der entsprechenden linearen<br />
Gleichungssysteme werden dann nur die tatsächlich von 0 verschiedenen Elemente<br />
manipuliert. Iterative Methoden werden anstelle der direkten Methoden verwendet.<br />
4.2.2 Verwendung der expliziten Jacobimatrix<br />
Bei gegebener Zahl an Iterationen liefert die Methode mit der numerisch approximierten<br />
Jacobimatrix das gleiche Residuum wie die Methode mit explizit<br />
bekannter Jacobimatrix. Die numerische Approximation der Jacobimatrix funktioniert<br />
im vorliegenden Fall vermutlich deshalb exzellent, weil das zu lösende<br />
Gleichungssystem numerisch ” gutmütig“ ist. Nichtlinearitäten treten nur im Zusammenhang<br />
mit der Modellierung der Wand auf.<br />
In der Rechenzeit unterscheiden sich die beiden Verfahren jedoch erheblich. Für<br />
2047 Teilchen spart man durch die explizit bekannte Jacobimatrix ungefähr 99%<br />
der Rechenzeit gegenüber der numerischen Approximation. Im Detail läßt sich<br />
durch Vergleich der Abbildungen 4.2 und 4.3 mit 4.4 und 4.5 der Geschwindigkeitsvorteil<br />
ablesen.<br />
Der Rechenzeitvorteil liegt, wie bereits erwähnt, darin begründet, dass bei nT<br />
Teilchen zur numerischen Approximation der Jacobimatrix N Funktionsaufrufe<br />
nötig sind. Jeder Funktionsaufruf ist zeitaufwendig.<br />
In Kombination mit der ausschließlichen Speicherung der von 0 verschiedenen<br />
Elemente können auf diese Weise auch große Systeme berechnet werden. Bei<br />
nT = 16383 werden für die Jacobimatrix ca. 640 kB Speicherplatz benötigt. Die<br />
Rechenzeit für das gestellte Problem beträgt weniger als 15 Minuten 2 .<br />
2 Erfahrungen des Autors mit Matlab- und C-Routinen lassen vermuten, dass durch Implementierung<br />
der rechten Seite des Gleichungssystems in C eine Geschwindigkeitssteigerung um<br />
den Faktor 5 erreicht werden kann.<br />
nIt
4.2. LÖSUNG DES STATISCHEN KONTAKTPROBLEMS 43<br />
tR [s]<br />
10 3<br />
10 2<br />
nT<br />
(7)<br />
(7)<br />
tR/nIt [s]<br />
10 3<br />
10 2<br />
101 101 100 100 10−1 10−1 (6)<br />
(5)<br />
(5)<br />
(4)<br />
(3)<br />
(3)<br />
(8)<br />
104 104 103 103 101 101 102 102 10−2 10−2 105 105 Abbildung 4.5: Explizit gegebene Jacobimatrix: Rechenzeit gesamt (links) und je<br />
Iteration (rechts) für nT Teilchen (in Klammern Zahl der Iterationen bei gegebenem<br />
Abbruchkriterium)<br />
4.2.3 Mehrgitter-Verfahren<br />
Mit dem Begriff Mehrgitter-Verfahren werden im weiteren Sinne Verfahren bezeichnet,<br />
die zur Lösung verschieden feine Diskretisierungen benutzen. Besonders<br />
weit verbreitet sind diese Verfahren bei der Simulation von Problemen aus der<br />
Strömungmechanik einschließlich der Schmierungstechnik [118].<br />
Grundidee des hier zur Anwendung kommenden Verfahrens Numerische<br />
Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme benötigen meist einen<br />
Startwert. Abhängig vom Verfahren gibt es Konvergenz nur bei einem hinreichend<br />
guten Startwert. Zudem hängt, wenn das Verfahren vom gegebenen Startwert beginnend<br />
konvergiert, die Konvergenzgeschwindigkeit vom Startwert ab.<br />
Bei Problemen der Elastizitätstheorie ist der unverformte Zustand ein leicht anzugebender<br />
Startwert; ein besserer Startwert ist häufig nicht oder nur mit viel<br />
Mühe zu erhalten.<br />
Eine mögliche Idee zur Verkürzung der Rechenzeit ist eine mehrstufige Berechnung.<br />
Mit einem groben Gitter wird eine Lösung berechnet. Da deutlich weniger<br />
Gleichungen zu lösen sind, wird nur eine vergleichsweise kurze Rechenzeit<br />
benötigt. Das Ergebnis dieser Berechnungen wird dann auf das feine Gitter interpoliert.<br />
Der auf diese Weise bestimmte Startwert ist (in der Regel) sehr viel<br />
besser als ein geratener Startwert. Unter Umständen genügt dann eine Iteration<br />
mit dem feinen Gitter, um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen. Denkbar sind<br />
sowohl Verfahren mit zwei verschiedenen Gittern, als auch Verfahren mit mehr<br />
als zwei Gittern.<br />
Anwendung auf hierarchisches Modell Die Verfeinerung des Gitters wird<br />
im betrachteten Modell wie folgt vorgenommen: Es wird eine Schicht unten hinzugefügt,<br />
wodurch sich die Teilchenanzahl (ungefähr) verdoppelt. Der Abstand<br />
der Teilchen in der untersten Schicht wird wieder auf 1 gesetzt, so dass sich die<br />
Längeneinheit des Modells halbiert. Anschließend werden die Verschiebungen der<br />
Teilchen des feineren Gitters mittels linearer Interpolation aus den Verschiebungen<br />
des gröberen Gitters berechnet.<br />
nT
g replacements<br />
44 KAPITEL 4. NUMERISCHE ASPEKTE<br />
Teilchenzahl nT = 511<br />
Rechenzeit: 20 s (4 Iter.)<br />
Residuum: 1,4 · 10 −7<br />
Teilchenzahl nT = 1023<br />
Rechenzeit: 28 s (1 Iter.)<br />
Residuum: 2,4 · 10 −10<br />
2 Gitter 1 Gitter<br />
Interpolation<br />
Teilchenzahl nT = 1023<br />
Rechenzeit: 167 s (6 Iter.)<br />
Residuum: 3,2 · 10 −12<br />
Abbildung 4.6: Vergleich zwischen ein- und zweistufigem Verfahren: gesparte Rechenzeit:<br />
71%; Berechnungen mit numerisch approximierter Jacobimatrix<br />
Ergebnisse Abbildung 4.6 zeigt exemplarisch den Rechenzeitvorteil des zweistufigen<br />
Verfahrens, wenn die numerisch approximierte Jacobimatrix verwendet<br />
wird. Das Verfahren in 2 Schritten benötigt weniger als 30% der Rechenzeit des<br />
direkten Verfahrens, d.h. gegenüber der direkten Berechnung werden mehr als<br />
70% der Rechenzeit eingespart 3 .<br />
Nutzt man die explizite Jacobimatrix, kann Rechenzeit in ähnlicher Größe gespart<br />
werden. Für nT = 16383 (14 Schichten) kann man entweder direkt rechnen (8<br />
Iterationsschritte) oder in zwei Schritten (7 Iterationsschritte mit nT = 8191 und<br />
ein Iterationsschritt mit nT = 16383), wobei die zweite Variante ca. 65% weniger<br />
Rechenzeit benötigt.<br />
Es bleibt zu untersuchen, ob dieses Verfahren auch dann noch deutliche Rechenzeitvorteile<br />
besitzt, wenn die Unterlage rau (und nicht glatt) ist und wenn das<br />
Materialverhalten nichtlinear ist.<br />
4.2.4 Adhäsiver Kontakt<br />
Beim bislang diskutierten nicht-adhäsiven Kontakt ist die Gleichgewichtslage eindeutig.<br />
Beim adhäsiven Kontakt gibt es im Zugbereich des Wechselwirkungsgesetzes<br />
4 stets zwei Lösungen für den Abstand, die umso weiter auseinander liegen,<br />
umso kleiner die Zugkraft ist. Bei einer dynamischen Simulation stellt sich ausgehend<br />
von der Ausgangslage stets die dynamisch erreichbare statische Lösung<br />
ein. Was bei einer statischen Analyse eines Systems aus sehr vielen Teilchen im<br />
Kontakt mit einer stochastisch rauen Oberfläche passiert, lässt sich nicht ohne<br />
weiteres vorhersagen. Demzufolge scheint es in diesem Fall günstiger (sicherer),<br />
die dynamische Simulation zu wählen.<br />
3 Beim direkten Lösen für nT = 1023 ist das Residuum nach 5 Iterationen noch 2,4 · 10 −8 ;<br />
siehe auch Abbildung 4.2.<br />
4 siehe Wechselwirkungsgesetz zwischen Teilchen von gegenüberliegenden Oberflächen in Ab-<br />
bildung 5.6
4.3. FAZIT 45<br />
4.3 Fazit<br />
Die Ausführungen dieses Kapitels haben gezeigt, dass die richtige Wahl des numerischen<br />
Verfahrens für das Gelingen der Simulation von großer Bedeutung ist. Die<br />
Besonderheiten des Modells sollten möglichst vollständig genutzt werden, um eine<br />
möglichst schnelle Simulation zu ermöglichen. Erst kurze Rechenzeiten erlauben<br />
ausgiebige Studien mit dem Simulationsmodell. Ob beim statischen Kontaktproblem<br />
statische oder dynamische Simulationen gewählt werden, muss im Einzelfall<br />
entschieden werden.
46 KAPITEL 4. NUMERISCHE ASPEKTE
Kapitel 5<br />
Adhäsiver Kontakt<br />
In den vorangegangenen Kapiteln wurde der elastische Kontakt näher untersucht.<br />
Es wurde gezeigt, wie das eindimensionale Simulationsmodell aufgebaut<br />
werden muss. Insbesondere wurde auch gezeigt, wie bei rauen Oberflächen mit der<br />
Oberflächentopographie umzugehen ist. In den folgenden beiden Kapiteln werden<br />
mögliche Erweiterungen des Modells diskutiert: Adhäsion und Schmierung.<br />
5.1 Einführung<br />
Das Problem des elastischen Normalkontakts (ohne Adhäsion) zwischen elastischen<br />
Körpern mit leicht gekrümmter Oberfläche wurde 1882 von Hertz gelöst<br />
[49]. Bradley [12] präsentierte 50 Jahre später die Lösung für den adhäsiven Normalkontakt<br />
zwischen einer starren Kugel und einer starren Ebene. Als Ergebnis<br />
erhält er für die Adhäsionskraft<br />
FA = −4πγR . (5.1)<br />
Die Größe γ wird Oberflächenenergie genannt. Die Lösung für den adhäsiven<br />
Kontakt zwischen elastischen Körpern wurde 1971 von Johnson, Kendall und<br />
Roberts [58] präsentiert. Sie erhalten für die Adhäsionskraft<br />
und für den kritischen Kontaktradius<br />
acr = 3<br />
<br />
9πγR2 4E∗ FA = −3πγR (5.2)<br />
. (5.3)<br />
In der JKR-Theorie ist die Adhäsionskraft (5.2) unabhängig von elastischen Konstanten.<br />
Das widerspricht auf den ersten Blick dem Ergebnis (5.1) von Bradley,<br />
da (5.2) auch für den Grenzfall der starren Körper gelten sollte. Die Klärung<br />
dieser Frage ist u. a. Tabor [116], Johnson und Greenwood [57] zu verdanken. Die<br />
JKR-Theorie gilt nur, wenn der Parameter<br />
2 4Rγ<br />
µ =<br />
E ∗2 ε 3<br />
1/3<br />
(5.4)<br />
hinreichend groß ist. Der Parameter µ kann als Verhältnis der elastischen Deformation<br />
der Oberflächen vor dem Abreißen zur Reichweite der Oberflächenkräfte<br />
47
48 KAPITEL 5. ADHÄSIVER KONTAKT<br />
lg<br />
PSfrag replacements<br />
F<br />
γR<br />
Hertz<br />
Bradley<br />
DMT MD JKR<br />
Abbildung 5.1: Schematische Einteilung der Gültigkeitsbereiche der verschiedenen<br />
Adhäsionstheorien; die Abgrenzung erfolgt über die Parameter F/(γR) und µ<br />
(aus [57])<br />
(beschrieben durch ε) verstanden werden. Das der JKR-Theorie zugrunde liegende<br />
Modell ist das folgende: Die Kugel deformiert sich auch aufgrund der Oberflächenkräfte;<br />
die Größe des Kontaktgebietes unterscheidet sich damit von der<br />
Hertzschen Lösung. Die Oberflächenkräfte haben allerdings eine kurze Reichweite,<br />
so dass außerhalb des Kontaktgebietes keine Kräfte wirken. Die DMT-<br />
Theorie [24] hingegen basiert auf der Annahme, dass sich die Körper durch die<br />
Oberflächenkräfte nicht deformieren; die Deformationen entsprechen denen der<br />
Hertzschen Lösung. Außerhalb des Kontaktgebietes werden Zugkräfte übertragen.<br />
Johnson und Greenwood [57] fassen zusammen: die JKR-Theorie gilt für große,<br />
weiche Kugeln, die DMT-Theorie hingegen für kleine, steife Kugeln.<br />
Somit ist die JKR-Theorie im Grenzfall starrer Körper nicht gültig; einen Widerspruch<br />
zwischen den Ergebnissen von Bradley und Johnson et al. gibt es nicht.<br />
Johnson und Greenwood [57] zeigen im Detail, wie die Adhäsionskraft vom Parameter<br />
µ abhängt. Die Autoren präsentieren eine Karte (adhesion map), der<br />
die Gültigkeitsbereiche der einzelnen Theorien entnommen werden können. Abbildung<br />
5.1 zeigt diese Karte schematisch. Johnson und Greenwood [57] betonen,<br />
dass die JKR-Theorie selbst außerhalb des eigentlichen Gültigkeitsbereichs gute<br />
Ergebnisse für den Kontaktradius und die Kontaktsteifigkeit liefert. Johnson und<br />
Greenwood zeigen zudem, wie die Beziehung zwischen Normalkraft und Kontaktradius<br />
für verschiedene Werte von µ aussieht. Für µ = 5 liegt die entsprechende<br />
Kurve fast perfekt auf der JKR-Kurve und zwar bis zum Abreißpunkt. Für<br />
µ = 0,1 gibt es schon deutliche Abweichungen zwischen der JKR-Kurve und dem<br />
Ergebnis numerischer Berechnungen. Abbildung 5.2 zeigt die Relation zwischen<br />
der Normalkraft und dem Kontaktradius für die JKR-Theorie und für den Fall<br />
µ = 0,1. Die Bezugsgrößen für die Einführung dimensionsloser Größen sind hier<br />
die Adhäsionskraft FA und der Kontaktradius a0 ohne äußere Kraft. Beide Größen<br />
sind von µ abhängig 1 und können [42] bzw. [57] entnommen werden.<br />
Welche Werte des Parameters µ sind für die vorliegende Arbeit relevant? Wenn<br />
als Material Stahl gewählt wird, ergeben sich die Werte ε = 0,29 nm (Atomradius<br />
r = 0,124 nm), E = 200 GPa, ν = 0,3 [111] und γ = 2,4 N m −1 [88]. Wenn zudem<br />
1 Der Wert von a0 ist für µ ≥ 0,5 konstant.<br />
lg µ
PSfrag replacements<br />
5.2. RAUE OBERFLÄCHEN UND ADHÄSION 49<br />
˜F<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
µ = 0,1<br />
JKR<br />
-1<br />
0,8 1,0 1,2<br />
ã<br />
1,4 1,6<br />
Abbildung 5.2: Beziehung zwischen Normalkraft und Kontaktgröße (beide dimensionslos)<br />
für den Fall µ = 0,1 und für die JKR-Theorie.<br />
R [m] 10 −3 10 −6 10 −9<br />
µ 42,7 4,27 0,427<br />
Tabelle 5.1: Werte von µ für die Stahl-Stahl-Paarung in Abhängigkeit vom<br />
Krümmungsradius R.<br />
beide Körper elastisch sind, ergibt sich daraus E ∗ = 110 GPa und schließlich<br />
Tabelle 5.1. Bei 10 µm Krümmungsradius ist µ immerhin noch 9,2.<br />
5.2 Raue Oberflächen und Adhäsion<br />
Meist wird beim Kontakt zwischen harten Festkörpern (z.B. Metalle) keine nennenswerte<br />
Adhäsion festgestellt. Genauer: es wird beim Trennen der Kontaktpartner<br />
keine Adhäsionskraft/Abzugskraft festgestellt. Das könnte sowohl durch<br />
Oberflächenfilme oder durch die Rauheit der Oberflächen verursacht sein. Oberflächenfilme<br />
können starke Bindungen zwischen den Kontaktpartnern verhindern<br />
und sind zudem möglicherweise selbst nur schwach an die Festkörper gebunden.<br />
In Experimenten haben Gane et al. [35] den Kontakt zwischen harten Festkörpern<br />
(z.B. Titancarbid) mit atomar reinen Oberflächen (Entfernung der Oberflächenfilme)<br />
im Vakuum untersucht. Die gemessene Adhäsionskraft war 100 bis<br />
1000 mal kleiner als theoretisch vorhergesagt. Das legt nahe, dass die Oberflächenrauheit<br />
von entscheidender Bedeutung für die Adhäsion ist. Der Effekt<br />
der Rauheit beruht darauf, dass die Fläche direkten Kontaktes verkleinert ist. Die<br />
Verteilung der Höhen sorgt dafür, dass einige wenige hohe Asperiten die Oberflächen<br />
weit auseinander halten bzw. drücken [34]. Zudem führt Tabor an, dass<br />
beim Kontakt rauer Oberflächen die Einzelkontakte nach und nach gebrochen
50 KAPITEL 5. ADHÄSIVER KONTAKT<br />
werden statt gleichzeitig.<br />
Experimentelle und theoretische Untersuchungen zeigen, dass der Einfluss der<br />
Oberflächenrauheit umso größer ist, je größer der elastische Modul der Kontaktpartner<br />
ist.<br />
Persson et al. [5] heben hervor, dass die reale Kontaktfläche durch die Adhäsion<br />
um ein Vielfaches größer sein kann als ohne Adhäsion, auch wenn in Abreißversuchen<br />
praktisch keine Adhäsion festgestellt wird. Da die reale Kontaktfläche<br />
für die Größe der Reibungskraft ausschlaggebend ist, kommt der Adhäsion bei<br />
Reibungsphänomenen eine große Bedeutung zu.<br />
Eingehende experimentelle und theoretische Untersuchungen zum Einfluss der<br />
Oberflächenrauheit auf die Adhäsion wurden von Fuller und Tabor [34] durchgeführt.<br />
In den Experimenten wurden glatte Gummikugeln gegen eine raue (nahezu<br />
starre) Platte gedrückt. Der elastische Modul und der Radius der Kugeln<br />
sowie die Rauheit der Platte wurden variiert. Die durch Sandstrahlen hergestellten<br />
Oberflächen wiesen Krümmungsradien zwischen 50 µm und 200 µm auf, die<br />
abradierten zwischen 70 µm und 300 µm. Die Mittelwerte betrugen 100 µm bzw.<br />
150 µm. Die gemessenen Mittenrauwerte wurden zwischen 0,12 µm und 1,40 µm<br />
variiert. Zudem nehmen die Autoren in Übereinstimmung mit den Ergebnissen<br />
von Greenwood und Williamson an, dass die Höhen bei den so erzeugten Oberflächen<br />
normalverteilt sind und der Mittenrauwert in guter Näherung der Standardabweichung<br />
entspricht.<br />
Es zeigte sich, dass selbst Rauheiten, die klein im Vergleich zur Gesamtdeformation<br />
im Kontaktgebiet sind, einen starken Abfall der Adhäsionskraft verursachen.<br />
Der beobachtete Abfall der Adhäsionskraft ist umso deutlicher, je höher der elastische<br />
Modul der Kugel ist.<br />
Die theoretische Behandlung des Problems erfolgt in Anlehnung an Greenwood<br />
und Williamson [43], nur dass jetzt die JKR-Theorie [58] für die einzelnen Asperiten<br />
zugrunde gelegt wird. Insbesondere gehen auch Fuller und Tabor von<br />
identischen Asperiten aus, die sich lediglich in der Höhe unterscheiden.<br />
Zudem berücksichtigen die Autoren nur elastische Verformungen (d.h. ohne viskoelastische<br />
oder plastische Effekte) und sie nehmen an, dass die Trennung in der<br />
Grenzfläche zwischen den Kontaktpartnern geschieht (kein Materialtransfer von<br />
einem Körper zum anderen).<br />
Anstelle des Kontaktes einer glatten Kugel mit einer rauen Platte wird der Kontakt<br />
zwischen einer glatten und einer rauen Platte untersucht. Wie sich zeigt,<br />
stimmen die Ergebnisse von Experiment und theoretischer Untersuchung dennoch<br />
zufrieden stellend überein.<br />
Das Ergebnis der theoretischen Überlegungen ist die Abhängigkeit der bezogenen<br />
Adhäsionskraft ˜ FA von der bezogenen Rauheit ˜ hσ. Die Adhäsionskraft wird<br />
auf die Adhäsionskraft bezogen, die sich bei gleicher Höhe aller Asperiten ergeben<br />
würde. Die Bezugsgröße ist also das Produkt aus der Zahl der Asperiten<br />
und der Adhäsionskraft eines einzelnen Asperiten mit dem entsprechenden<br />
Krümmungsradius. Die bezogene Rauheit, von Fuller und Tabor adhesion parameter<br />
genannt, berechnet sich als<br />
1<br />
∆c<br />
= ˜ hσ = 1<br />
3<br />
4<br />
π<br />
2/3 E ∗<br />
γ<br />
2/3 R −1/3 hσ .
5.3. ADHÄSION IM 1D-MODELL 51<br />
Werden die Zusammenhänge<br />
γ = FA<br />
3πR , E∗ = 3FAR<br />
a 3 0<br />
. (5.5)<br />
der JKR-Theorie eingesetzt, ergibt sich eine Darstellung der dimensionslosen Rauheit<br />
ausschließlich in Größen, die direkt im Simulationsmodell auftreten:<br />
˜hσ = 3√ 48 hσR<br />
a 2 0<br />
≈ 3,6342 · hσR<br />
a 2 0<br />
Wie in Abschnitt 5.6 ist a0 der Kontaktradius, der sich bei einem einzelnen Asperiten<br />
ohne Einwirkung einer äußeren Kraft einstellt. Für ˜ hσ = 0 ist demnach<br />
˜FA = 1. Im Bereich 0 < ˜ hσ < 3 fällt die Adhäsionskraft praktisch auf 0 ab.<br />
Dieses Ergebnis wird auch in den numerischen Simulationen in Abschnitt 5.8.2<br />
reproduziert.<br />
5.3 Adhäsion im 1D-Modell<br />
Der adhäsive Kontakt zwischen einer starren Ebene und einem starren Zylinder<br />
mit dünner, elastischer Schicht kann analytisch untersucht werden. Die elastische<br />
Schicht wird wieder als aus unabhängig wirkenden Federn zusammengesetzt verstanden<br />
(Abbildung 2.4, Seite 16). Die gekrümmte Oberfläche wird, wie in der<br />
Kontaktmechanik allgemein üblich, quadratisch approximiert. Damit ergibt sich<br />
für die ortsabhängige Verschiebung<br />
u (x) = d − x2<br />
2R<br />
.<br />
, (5.6)<br />
wobei d die maximale Verschiebung (Abplattung) ist. Das Kontaktgebiet habe<br />
die Breite 2a. Da im Außenbereich aufgrund der Adhäsion auch Zugspannungen<br />
übertragen werden können, gilt a2 = 2Rd. Die Größe des Kontaktgebietes<br />
ergibt sich nicht mehr aus rein geometrischen Überlegungen2 sondern aus dem<br />
” Wechselspiel der Kräfte“.<br />
Die gespeicherte elastische Energie ist<br />
Eel = cn<br />
a<br />
die Oberflächenenergie<br />
Die gespeicherte Energie<br />
0<br />
<br />
d − x2<br />
2R<br />
2<br />
dx = cn<br />
<br />
d 2 a − da3 a5<br />
+<br />
3R 20R2 <br />
, (5.7)<br />
Eγ = −2γa . (5.8)<br />
Eg = Eel + Eγ<br />
ist von den (unabhängigen) geometrischen Größen a (Kontakthalbweite) und d<br />
(Abplattung) abhängig. Nach dem Prinzip der virtuellen Arbeiten muss zwischen<br />
der virtuellen Arbeit der äußeren Kraft F und der Variation der gespeicherten<br />
Energie im Gleichgewichtszustand gelten:<br />
F δd − δEg = 0 . (5.9)<br />
2 Beim nichtadhäsiven Kontakt ergibt sich wegen der Unabhängigkeit der Federn aus rein<br />
geometrischen Überlegungen der Zusammenhang a 2 = 2Rd.
52 KAPITEL 5. ADHÄSIVER KONTAKT<br />
Die Kraft F ist positiv, wenn es sich um eine Druckkraft handelt. Aus (5.9) folgen<br />
die zwei Gleichungen<br />
F = ∂Eg<br />
∂d<br />
(5.10)<br />
0 = ∂Eg<br />
(5.11)<br />
∂a<br />
für den Gleichgewichtszustand. Aus (5.11) ergibt sich ein Zusammenhang zwischen<br />
d und a<br />
d = a2<br />
2R −<br />
<br />
2γ<br />
. (5.12)<br />
cn<br />
Für γ = 0 ergibt sich das bekannte Ergebnis a2 = 2Rd, für γ > 0 ist die Kontaktbreite<br />
größer als beim nichtadhäsiven Kontakt. Einsetzen von (5.12) in (5.10)<br />
liefert den Zusammenhang zwischen Kraft und Kontakthalbweite<br />
F = 2cn<br />
3R a3 − 2 2γcna . (5.13)<br />
Die Adhäsionskraft FA und die kritische Kontaktgröße acr folgen nun aus der<br />
Forderung<br />
Es ergibt sich<br />
dF<br />
da<br />
<br />
<br />
<br />
acr<br />
= 0 .<br />
FA = − 4 <br />
4<br />
8γ3cnR 3<br />
2 ,<br />
acr = 4<br />
<br />
2γR2 .<br />
cn<br />
Insbesondere ergibt sich FA ∝ √ R und acr ∝ √ R. Bezieht man Kraft und Kontakthalbweite<br />
auf die kritischen Werte, genauer<br />
ˇF = − F<br />
, ǎ = a<br />
,<br />
FA<br />
ergibt sich die von Parametern freie Form<br />
ˇF = 1<br />
2 ǎ3 − 3<br />
ǎ .<br />
2<br />
Für den Vergleich mit den Simulationsergebnissen ist es günstiger, als Bezugsgröße<br />
die Kontakthalbweite<br />
a0 = 4<br />
<br />
18γR2 = √ 3acr<br />
zu verwenden, die sich ohne äußere Kraft einstellt. Aus<br />
˜F = − F<br />
, ã = a<br />
FA<br />
cn<br />
folgt<br />
˜F = 3√3 3<br />
ã − ã . (5.14)<br />
2<br />
Abbildung 5.3 zeigt Relation (5.14) und die entsprechende Beziehung für die JKR-<br />
Theorie [58] (adhäsiver Kontakt zwischen elastischer Kugel und starrer Ebene,<br />
siehe Gleichung (B.24)).<br />
acr<br />
a0
5.4. EIN ERSTES MODELL 53<br />
˜F<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
1D<br />
JKR<br />
0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5<br />
ã<br />
Abbildung 5.3: Beziehung zwischen Normalkraft und Kontaktgröße für den Zylinder<br />
mit elastischer Schicht (1D) und die elastische Kugel (JKR)<br />
5.4 Ein erstes Modell<br />
Betrachtet wird das abgebildete Modell (Abbildung 5.4). Die dargestellten Teilchen<br />
haben nur einen vertikalen Freiheitsgrad. Sie sind an die starre, gekrümmte<br />
Platte über Federn der Steifigkeit kv gekoppelt. Benachbarte Teilchen üben mittels<br />
Schubfedern Kräfte aufeinander aus. Die Federsymbole stehen allgemein für<br />
Wechselwirkungen, die linear in den Relativverschiebungen sind. Die Federn, die<br />
die Teilchen miteinander verbinden, sind also keine Dehnfedern, sondern wirken<br />
einer vertikalen Relativverschiebung der Teilchen entgegen. Der Freischnitt (Abbildung<br />
5.5) verdeutlicht dies.<br />
Auf jedes Teilchen wirkt zudem eine von der vertikalen Position z abhängige<br />
Kraft Fw (z), die die Wechselwirkungen mit dem Gegenkörper modelliert. Der<br />
Gegenkörper ist im Modell eine starre Platte. Abbildung 5.6 zeigt einen typischen<br />
Verlauf für die Kraft Fw (z). Ist ein Teilchen sehr nah am Gegenkörper,<br />
wirken Abstossungskräfte. In größerer Entfernung wirken Anziehungskräfte, die<br />
mit zunehmendem Abstand asymptotisch gegen Null gehen. Bei diesem einfachen<br />
Modell wird der Gegenkörper nicht durch Teilchen modelliert. Die Wechselwirkungskraft,<br />
die nur von der vertikalen Position des Teilchens abhängt, soll gerade<br />
so bemessen sein, dass es der Wechselwirkung des Teilchens mit allen Teilchen<br />
des Gegenkörpers entspricht.<br />
Der starre Grundkörper hat ebenfalls einen vertikalen Freiheitsgrad. Auf den<br />
Grundkörper kann eine äußere Kraft F in vertikaler Richtung aufgebracht werden<br />
(Zug oder Druck).<br />
Das tatsächliche Simulationsmodell unterscheidet sich demnach in zwei Punkten<br />
von dem im vorherigen Abschnitt analytisch untersuchten Modell. Erstens ist<br />
die Reichweite der Wechselwirkungskräfte endlich. Zweitens gibt es Wechselwirkungen<br />
zwischen benachbarten Teilchen. Die Deformationen benachbarter Federn
54 KAPITEL 5. ADHÄSIVER KONTAKT<br />
PSfrag replacements<br />
kh<br />
kv<br />
Abbildung 5.4: 1D-Teilchenmodell: Jedes Teilchen ist an den Grundkörper über eine<br />
Feder (Steifigkeit kv) gekoppelt. Zudem sind benachbarte Teilchen über Schubfedern<br />
(Steifigkeit kh) gekoppelt.<br />
kh(zj − zj−1)<br />
PSfrag replacements<br />
z<br />
Fext<br />
x<br />
kv(zj − zG − ˜zj)<br />
Fw(zj)<br />
kh(zj − zj+1)<br />
Abbildung 5.5: Freischnitt eines Teilchens; zj ist die vertikale Position des Teilchens<br />
j, zG ist die vertikale Position des Grundkörpers, ˜zj ist die Position des<br />
Teilchens j in Bezug auf den Grundkörper in der undeformierten Lage
5.5. HERLEITUNG DES POTENTIALS 55<br />
PSfrag replacements<br />
Fw(z)<br />
Gleichgewichtsabstand<br />
Abbildung 5.6: Wechselwirkungskraft Fw(z), hervorgerufen durch den Gegenkörper<br />
sind nicht unabhängig.<br />
Die Bewegungsgleichung für ein einzelnes Teilchen lautet dann<br />
mj ¨zj = Fj , (5.15)<br />
wobei mj die Masse des Teilchens j ist. Die resultierende Kraft Fj auf der rechten<br />
Seite beinhaltet die beschriebenen Wechselwirkungen zwischen den Teilchen,<br />
viskose Dämpfung und stochastische Kräfte (thermische Fluktuationen). Für den<br />
Grundkörper lautet die Bewegungsgleichung entsprechend<br />
mG¨zG = <br />
Fj + Fext . (5.16)<br />
j<br />
Die Bewegungsgleichungen (5.15) und (5.16) werden numerisch gelöst. In der<br />
Tat wird jedoch der überkritisch gedämpfte Fall betrachtet. Anmerkungen zu<br />
numerischen Aspekten sind in Kapitel 4 zu finden.<br />
5.5 Herleitung des Potentials<br />
Prinzipiell ist jede Wechselwirkung, die den typischen Verlauf (Abbildung 5.6)<br />
aufweist, zur Modellierung des Kontaktes denkbar. Im ersten Schritt soll angenommen<br />
werden, dass die Wechselwirkungen zwischen den Teilchen durch das<br />
Lennard-Jones-Potential<br />
Utt = c1 c2<br />
−<br />
12r12 6r6 z<br />
(5.17)<br />
beschrieben werden. Dieses Potential beschreibt in guter Näherung die Wechselwirkung<br />
zwischen neutralen Atomen. Das heißt keinesfalls, dass die Teilchen des<br />
vorgestellten Modells Atome sind. Die Teilchen haben keine physikalische Bedeutung.<br />
Die Kraft zwischen zwei Teilchen ist dann<br />
Ftt (r) = − ∂U<br />
∂r<br />
c1 c2<br />
= −<br />
r13 r7 .
56 KAPITEL 5. ADHÄSIVER KONTAKT<br />
PSfrag replacements<br />
h<br />
z<br />
Abbildung 5.7: Berechnung der Wechselwirkungen zwischen einem Teilchen und<br />
einem Körper mit glatter Oberfläche<br />
Wird der Gleichgewichtsabstand r0 gefordert, folgt für die Konstanten c1 und c2<br />
Ftt (r0) = 0 ⇔ c1<br />
c2<br />
= r 6 0<br />
Das Wechselwirkungspotential zwischen einem Festkörper mit glatter Oberfläche<br />
und einem Teilchen im Abstand h ergibt sich durch Integration über alle Teilchen<br />
des Festkörpers (Abbildung 5.7)<br />
∞<br />
<br />
∞<br />
<br />
c1<br />
Utp (h) =<br />
12<br />
0 0<br />
(h + z) 2 −<br />
+ r26 6 (h + z) 2 + r23 <br />
c1 c2<br />
= 2π −<br />
1080h9 72h3 <br />
.<br />
.<br />
c2<br />
r<br />
<br />
2πrdrdz<br />
Wird eine Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung gemäß (5.17) zugrunde gelegt, ergibt<br />
sich für die Kraft zwischen einem glatten Körper und einem Teilchen im<br />
Abstand z von diesem Körper 3<br />
Fw (z) = − ∂Utp (z)<br />
∂z<br />
<br />
c1 c2<br />
= 2π −<br />
120z10 24z4 <br />
. (5.18)<br />
Der Abstand z0, der sich ohne weitere auf das Teilchen wirkende Kräfte einstellt,<br />
ist gegeben durch<br />
Fw (z0) = 0 ⇔ z0 = 6<br />
c1<br />
5c2<br />
= r0<br />
6√ 5<br />
Die Steifigkeit bei Abstand z0 folgt dann aus (5.18) und (5.19)<br />
k0 = ∂Fw<br />
<br />
<br />
<br />
∂z<br />
<br />
c1<br />
= −2π<br />
12z11 0<br />
− c2<br />
6z5 <br />
= −<br />
0<br />
55/6π c2<br />
2 r5 0<br />
z0<br />
3 Nun wird wieder die Variable z für den vertikalen Abstand benutzt.<br />
. (5.19)<br />
.
5.6. STEIFIGKEITSSTUDIE 57<br />
PSfrag replacements<br />
Fw(z) [KE]<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0.0<br />
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0<br />
z [LE]<br />
Abbildung 5.8: Wechselwirkungskraft gemäß Gleichung (5.20)<br />
Für die Simulation können der Gleichgewichtsabstand r0 zwischen zwei Teilchen<br />
zu 1 LE und die Steifigkeit k0 zu −1 KE/LE gesetzt werden. Dabei ist die<br />
Längeneinheit LE des Problems der Teilchenabstand und die Krafteinheit KE<br />
ist dann gerade −k0r0. Bei dieser Wahl folgt für die Kraft<br />
Fw/KE = 0,0087177 · (z/LE) −10 − 0,0435887 · (z/LE) −4<br />
. (5.20)<br />
Abbildung 5.8 zeigt den Verlauf. Für das Potential (5.20) ist das Maximum der<br />
Anziehungskraft bei zmax = 0,891 LE und beträgt Fw max = 0,0415 KE. Im Abstand<br />
1,5 LE ist die Wechselwirkungskraft auf 20% des Maximalwertes abgesunken,<br />
bei 2,0 LE auf 6,5%.<br />
Wie eingangs bereits erwähnt wurde, können die Wechselwirkungsgesetze beliebig<br />
gewählt werden, solange sie qualitativ das abgebildete Verhalten zeigen. Die<br />
Kraftgesetze<br />
und<br />
Fw/KE = 0,0069586 · (z/LE) −14 − 0,0324735 · (z/LE) −6<br />
Fw/KE = 0,0030185 · (z/LE) −10 − 0,0452768 · (z/LE) −2<br />
(5.21)<br />
(5.22)<br />
zeigen qualitativ ebenfalls das abgebildete Verhalten und es gilt r0 = 1 LE und<br />
k0 = −1 KE/LE.<br />
5.6 Steifigkeitsstudie<br />
5.6.1 Vorgehen<br />
Das Wechselwirkungspotential ist durch die Gleichung (5.20) vollständig vorgegeben.<br />
Die Steifigkeiten kv und kh können nun noch frei gewählt werden. Für<br />
verschiedene Steifigkeiten werden die folgenden Untersuchungen durchgeführt:<br />
• Für jeden Krümmungsradius R wird der Zusammenhang zwischen Normalkraft<br />
F und Kontakthalbweite a bestimmt. Aufgetragen wird stets die
58 KAPITEL 5. ADHÄSIVER KONTAKT<br />
Normalkraft bezogen auf die Adhäsionskraft ˜ F = −F/FA und die Kontakthalbweite<br />
bezogen auf die Kontakthalbweite ohne Normalkraft ã = a/a0.<br />
• Die Adhäsionskraft FA und die Kontakthalbweite a0 ohne äußere Normalkraft<br />
werden in Abhängigkeit vom Krümmungsradius R berechnet.<br />
Die Berechnung der Adhäsionskraft erfolgt iterativ. Zuerst wird der obere Körper<br />
mit einer Kraft FD gegen den (festgehaltenen) unteren Körper gedrückt. Anschließend<br />
wird der obere Körper mit einer Kraft FZ vom unteren Körper gezogen.<br />
In der dynamischen Simulation stellt sich entweder ein Gleichgewichtszustand<br />
ein (wie in Abbildung 5.9) oder es kommt zur Trennung der beiden<br />
Körper. Im ersten Fall wird im nächsten Versuch mit einer etwas größeren Kraft<br />
FZ gezogen; im zweiten Fall mit einer etwas geringeren. Auf diesem Weg kann<br />
die Adhäsionskraft mit gewünschter Genauigkeit iterativ bestimmt werden. Alternativ<br />
kann die Adhäsionskraft FA auch durch sehr langsame kontinuierliche<br />
Steigerung der Zugkraft FZ bestimmt werden.<br />
Numerische Experimente zeigen, dass die Adhäsionskraft FA und der kritische Radius<br />
acr nur sehr schwach von der zuvor aufgebrachten Druckkraft FD abhängen.<br />
In der JKR-Theorie hängen beide Größen überhaupt nicht von FD ab. In Abschnitt<br />
5.7 wird dieser Aspekt kurz diskutiert.<br />
Nachdem die Adhäsionskraft FA bestimmt wurde, wird nun der Zusammenhang<br />
zwischen Normalkraft F und Kontakthalbweite a bestimmt. Dazu kann die Normalkraft<br />
stufenweise gesteigert werden. Für jeden Wert der Normalkraft wird in<br />
einer dynamischen Simulation die sich einstellende Gleichgewichtslage bestimmt.<br />
Alternativ kann die Normalkraft sehr langsam kontinuierlich gesteigert werden.<br />
Der momentane Wert des Kontaktradius wird dann anstelle des Gleichgewichtskontaktradius<br />
verwendet.<br />
Das oben beschriebene Vorgehen wird mit verschiedenen Steifigkeiten kh und kv<br />
wiederholt. Mit der Matlab-Funktion fminsearch 4 kann der optimale Satz von<br />
Steifigkeiten bestimmt werden. Als Zielfunktion wird die Norm der Abweichung<br />
zwischen berechneter Kurve und JKR-Kurve benutzt. Die Begriffe Kontaktradius<br />
bzw. Kontakthalbweite wurden in den bisherigen Ausführungen des öfteren<br />
benutzt. Aber wie ist der Kontaktradius im Simulationsmodell zu definieren? In<br />
der JKR-Theorie tritt bei r = a eine Singularität in der Spannung auf. Theoretisch<br />
sind die Zugspannungen am Rand unendlich groß. Im Simulationsmodell<br />
ist die Reichweite der Wechselwirkungskräfte endlich. Daher tritt keine Singularität<br />
auf. Abbildung 5.10 zeigt schematisch die räumliche Verteilung der Wechselwirkungskräfte<br />
zwischen den beiden Körpern. In der Mitte ist die maximale<br />
Druckspannung; im Zugbereich gibt es auf jeder Seite ein ausgeprägtes Maximum.<br />
Greenwood [42] spricht im Zusammenhang mit dem Kontaktradius von<br />
einem ” ill-defined concept“. Er betont, dass es im Zugbereich nur einen ausgezeichneten<br />
Punkt gibt – den maximaler Zugspannung. Zudem liegt das Maximum<br />
der Zugspannung in der Nähe der Singularität in der JKR-Theorie. Im folgenden<br />
wird daher bei der Untersuchung des Kontaktes Kugel-Ebene das Maximum<br />
der Zugspannung zur Berechnung des Kontaktradius herangezogen. Der genaue<br />
Wert für den Kontaktradius wird durch Interpolation zwischen den diskreten<br />
Teilchenpositionen bestimmt. Dazu wird die ” Druckverteilung“ in der Nähe des<br />
4 Die Matlab-Funktion fminsearch basiert auf dem Nelder-Mead-Simplex Algorithmus.
PSfrag replacements<br />
5.6. STEIFIGKEITSSTUDIE 59<br />
Schritt 1: Drücken<br />
Schritt 2: Ziehen<br />
FD<br />
FZ<br />
Körper 1<br />
Körper 2<br />
FZ<br />
−FD<br />
Abbildung 5.9: Berechnungsschritte zur Ermittelung der Adhäsionskraft: Das<br />
Diagramm rechts unten zeigt die vertikale Position des Grundkörpers. Im abgebildeten<br />
Fall stellt sich nach Aufbringen der Zugkraft FZ eine Gleichgewichtslage<br />
ein; es kommt nicht zum Abreißen. Die aufgebrachte Zugkraft FZ ist somit kleiner<br />
als die Adhäsionskraft.<br />
PSfrag replacements<br />
Fw<br />
2a<br />
Abbildung 5.10: Zur Bestimmung der Kontakthalbweite beim adhäsiven Kontakt:<br />
Verteilung der lokalen Wechselwirkungskräfte<br />
F<br />
zG<br />
x<br />
t<br />
t
60 KAPITEL 5. ADHÄSIVER KONTAKT<br />
PSfrag replacements<br />
˜F<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
0 0.5 1 1.5<br />
ã<br />
Abbildung 5.11: Steifigkeitsstudie Punkte: Simulationsergebnis für kv = 0,4k0<br />
und kh = 0,1k0, gestrichelte Linie: JKR-Kurve gemäß (B.24), Strichpunktlinie:<br />
adhäsives 1D-Problem gemäß (5.14), durchgezogene Linie: adhäsives 2D-Problem<br />
gemäß (B.25)<br />
Maximums durch eine Parabel approximiert. Der Scheitelpunkt der Parabel gibt<br />
dann den Kontaktradius.<br />
5.6.2 Ergebnisse<br />
Abhängig von den Steifigkeiten kv und kh ergeben sich sehr unterschiedliche Ergebnisse<br />
für die ˜ F (ã)-Kurve. Für das Potential (5.20) erhält man für kv = 0,4k0<br />
und kh = 0,1k0 die abgebildeten Simulationsergebnisse (Abbildung 5.11). Die Simulationsergebnisse<br />
liegen sehr gut auf der Kurve, die durch die JKR-Theorie gegeben<br />
ist (gestrichelte Linie). Nur für F < −0.5·|FA| ergeben sich Abweichungen.<br />
Nahezu unveränderte Resultate werden für kv = 0,4k0 und kh beliebig (kh < k0)<br />
erzielt. Es ist zu beachten, dass die ˜ F (ã)-Kurve für beliebige Krümmungsradien<br />
R getroffen wird.<br />
Demnach liefert diese Wahl der Steifigkeiten und der Wechselwirkungskräfte ein<br />
Simulationsmodell, mit dem der Zusammenhang zwischen Kontaktgröße und Normalkraft<br />
für den adhäsiven Kontakt richtig wiedergegeben werden kann. Der korrekte<br />
Zusammenhang zwischen Kontaktgröße und Normalkraft ist sowohl für die<br />
Kontaktdynamik (Kontaktzeit) als auch für die Reibung wichtig.<br />
Die JKR-Theorie sagt für das 3D Problem einen linearen Zusammenhang zwischen<br />
Adhäsionskraft und Krümmungsradius (FA ∝ R) vorher. Zudem gilt a0 ∝<br />
3√ R 2 . Das Simulationsmodell liefert hingegen die Zusammenhänge FA ∝ √ R und<br />
a0 ∝ √ R (Abbildung 5.12). Hat man Oberflächen mit festem Krümmungsradius<br />
(alle Asperiten haben den gleichen Krümmungsradius R), ist dies unproblematisch.<br />
Abbildung 5.13 zeigt die Ergebnisse für kv = 0,1k0 und kh = 0,01k0. In diesem<br />
Fall liegen die Simulationsergebnisse (Punkte) sehr gut auf der Kurve, die für<br />
eine elastische Schicht auf einem Zylinder gilt.
5.6. STEIFIGKEITSSTUDIE<br />
0,2<br />
0,4<br />
0,6<br />
0,8<br />
61<br />
1,8<br />
1,6<br />
1,4<br />
51,2<br />
10<br />
150,8<br />
200,6<br />
250,4<br />
30<br />
0,2<br />
0<br />
FA<br />
200<br />
400<br />
600<br />
R<br />
800<br />
1000<br />
1,2<br />
1,430<br />
1,6<br />
1,8<br />
25<br />
a0<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
200<br />
400<br />
600<br />
R<br />
Abbildung 5.12: Adhäsionskraft FA (links) und Kontaktradius a0 ohne äußere<br />
Normalkraft (rechts) in Abhängigkeit vom Krümmungsradius R<br />
PSfrag replacements<br />
F<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
0 0.5 1 1.5 2<br />
a<br />
800<br />
1000<br />
Abbildung 5.13: Steifigkeitsstudie Punkte: Simulationsergebnis für kv = 0,1k0<br />
und kh = 0,01k0, gestrichelte Linie: JKR-Kurve gemäß (B.24), Strichpunktlinie:<br />
adhäsives 1D-Problem gemäß (5.14), durchgezogene Linie: adhäsives 2D-Problem<br />
gemäß (B.25)
62 KAPITEL 5. ADHÄSIVER KONTAKT<br />
Wird das Kraftgesetz (5.21) gewählt, ergibt sich für kv = 0,4k0 und kh < k0<br />
wiederum eine gute Übereinstimmung der Simulationsergebnisse mit der JKR-<br />
Kurve. Die Adhäsionskraft FA und die Kontaktgröße a0 sind hingegen deutlich<br />
verschieden.<br />
5.7 Modell mit vertikalen und horizontalen Teilchenfreiheitsgraden<br />
5.7.1 Aufbau<br />
Die Oberflächen werden in Anlehnung an das einfache Federmodell aus Abbildung<br />
5.4 aus einer Reihe von Teilchen gebildet. Jedes Teilchen hat nun zwei Freiheitsgrade<br />
(vertikal und horizontal). Die Teilchen unterliegen, wie gehabt, Wechselwirkungen<br />
mit dem Grundkörper und den anderen Teilchen. Die Wechselwirkungen<br />
der Teilchen mit dem Grundkörper und mit den benachbarten Teilchen des gleichen<br />
Körpers werden durch lineare Federn beschrieben.<br />
Beide Körper seien nun elastisch und haben raue Oberflächen. Die Wechselwirkung<br />
mit dem gegenüberliegenden Körper erfolgt über ein abstandsabhängiges<br />
Wechselwirkungspotential U (r) unter Einbeziehung einer gewissen Anzahl von<br />
Teilchen 5 .<br />
Die Bewegungsgleichungen für ein einzelnes Teilchen lauten dann<br />
mi,k¨xi,k = F x<br />
i,k , mi,k¨zi,k = F z<br />
i,k , (5.23)<br />
wobei mi,k die Masse des Teilchens i auf Körper k ist. Die Kräfte F x<br />
i,k<br />
bzw. F z<br />
i,k<br />
auf der rechten Seite beinhalten die beschriebenen Wechselwirkungen zwischen<br />
den Teilchen, viskose Dämpfung und stochastische Kräfte (thermische Fluktuationen).<br />
Der obere Körper hat ebenfalls zwei Freiheitsgrade. In den entsprechenden<br />
Bewegungsgleichungen<br />
mG¨xG = F x G , mG¨zG = F z G , (5.24)<br />
sind die äußeren Vorgaben (gegebene Geschwindigkeit oder Kraft) zu berücksichtigen.<br />
Der untere Körper ist fest. Es sei nochmals darauf hingewiesen, dass<br />
die Teilchen keine realen Elemente wie Atome, Moleküle oder Körner sind.<br />
5.7.2 Ergebnisse<br />
Es wird wiederum das folgende numerische Experiment eingehender betrachtet:<br />
ein in vertikaler Richtung beweglicher Körper mit gekrümmter Oberfläche<br />
(Krümmungsradius R) wird gegen einen fest eingespannten Körper mit ebener<br />
Oberfläche gedrückt. Es werden die Adhäsionskraft FA, der Kontaktradius a0<br />
5 Beim Modell von Abschnitt 5.4 wurde der Kontakt zwischen einem elastischen Körper mit<br />
rauer Oberfläche und einer starren, ebenen Platte simuliert. Die Wechselwirkungen der Teilchen<br />
des elastischen Körpers mit der starren Unterlage wurden auf eine nur vom Abstand des<br />
Teilchens von der Unterlage abhängige Kraft reduziert. Die Unterlage wurde nicht diskretisiert.<br />
Wenn nun beide Körper elastisch sind und raue Oberflächen aufweisen, müssen die Wechselwirkungen<br />
zwischen je zwei Teilchen definiert sein. Theoretisch gibt es Wechselwirkungen zwischen<br />
einem Teilchen des einen Körpers mit allen Teilchen des anderen Körpers. Praktisch wird in<br />
der Simulation eine Zahl von einbezogenen Nachbarn festgelegt.
R<br />
5.7. MODELL MIT ZWEI TEILCHENFREIHEITSGRADEN 63<br />
1.02<br />
1.00<br />
1.5<br />
0.98<br />
0.5<br />
0.0<br />
2.0<br />
1.0<br />
F A<br />
〈F A〉<br />
acr<br />
〈acr〉<br />
0.96<br />
-1 0 FN<br />
1 2<br />
〈FA〉<br />
Abbildung 5.14: Abhängigkeit der Adhäsionskraft FA und des kritischen Radius<br />
acr von der aufgebrachten Normalkraft FN, 〈.〉 bezeichnet den Mittelwert der<br />
entsprechenden Größe über alle numerischen Experimente.<br />
ohne äußere Kraft und der Zusammenhang zwischen Normalkraft und Kontaktradius<br />
bestimmt.<br />
Abbildung 5.14 zeigt, dass Adhäsionskraft FA und kritischer Radius acr nur<br />
schwach von der zuvor aufgebrachten Normalkraft FN abhängen.<br />
Abbildung 5.15 zeigt, dass auch bei diesem Modell zwischen Adhäsionskraft und<br />
Krümmungsradius die Beziehung FA ∝ √ R gilt. Die JKR-Theorie hingegen sagt<br />
den linearen Zusammenhang (5.2) voraus. Zudem liefert das Modell a0 ∝ √ R<br />
(Abbildung 5.16).<br />
Abbildung 5.17 zeigt den Zusammenhang zwischen Normalkraft und Kontaktgröße.<br />
Die durchgezeichnete Linie ist das Ergebnis (B.24) der JKR-Theorie, die<br />
Punkte sind Ergebnisse von numerischen Berechnungen mit fünf verschiedenen<br />
Krümmungsradien. Eine gute Übereinstimmung ist erkennbar. Die Ergebnisse der<br />
numerischen Experimente können damit wie folgt zusammengefasst werden:<br />
• Die Beziehung zwischen Krümmungsradius R und Adhäsionskraft FA (sowie<br />
Kontaktradius a0) wird mit dem Modell nicht richtig wiedergegeben.<br />
• Die Beziehung zwischen Normalkraft und Kontaktgröße wird für beliebige<br />
Krümmungsradien korrekt wiedergegeben.<br />
Das Modell kann daher zur Simulation des 3D adhäsiven Kontaktes benutzt<br />
werden, wenn man sich auf einen beliebigen aber festen Krümmungsradius beschränkt.<br />
Bei Oberflächen mit verschiedenen Krümmungsradien ergeben sich Abweichungen.<br />
Es sei daran erinnert, dass beim rein-elastischen trockenen Kontakt auch die Abhängigkeit<br />
vom Krümmungsradius stimmt. Daher können solche Kontakte für<br />
Oberflächen mit verschiedenen Krümmungsradien simuliert werden.
64 KAPITEL 5. ADHÄSIVER KONTAKT<br />
PSfrag replacements<br />
FA<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0<br />
100 Teilchen<br />
600 Teilchen<br />
FA ∝ √ R<br />
FA ∝ 3√ R<br />
1000 2000 3000 4000<br />
R<br />
Abbildung 5.15: Zusammenhang zwischen Adhäsionskraft FA und Krümmungsradius<br />
R<br />
PSfrag replacements<br />
a0<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
0<br />
100 Teilchen<br />
600 Teilchen<br />
a0 ∝ √ R<br />
1000 2000 3000 4000<br />
R<br />
Abbildung 5.16: Zusammenhang zwischen Kontaktradius a0 und Krümmungsradius<br />
R
PSfrag replacements<br />
PSfrag replacements<br />
5.8. SIMULATION MIT RAUEN OBERFLÄCHEN 65<br />
1.8<br />
2.0<br />
1.5<br />
˜F<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
0.6 0.8<br />
1.0 1.2 1.4 1.6<br />
ã<br />
g(x)<br />
"xkreisn200r200.txt" using 2:1<br />
"xkreisn200r1000.txt" using 2:1<br />
"xkreisn200r2000.txt" using 2:1<br />
"xkreisn200r4000.txt" using 2:1<br />
"xkreisn200r8000.txt" using 2:1<br />
Abbildung 5.17: Zusammenhang zwischen aufgebrachter Normalkraft ˜ F und<br />
Kontaktradius ã in dimensionsloser Form; durchgezogene Kurve: JKR-Ergebnis<br />
gemäß (B.24), Punkte: Simulationsergebnisse mit 5 verschiedenen Krümmungsradien<br />
elastisch L<br />
starr<br />
Abbildung 5.18: Wellige Oberfläche<br />
5.8 Simulation mit rauen Oberflächen<br />
In diesem Abschnitt werden Simulationen für zwei besondere Arten der rauen<br />
Oberfläche vorgestellt. Zuerst werden wellige (harmonische) Oberflächen betrachtet<br />
und danach Greenwood-Williamson-Oberflächen. Für letztere zeigt sich die<br />
von Fuller und Tabor beschriebene Abnahme der Adhäsionskraft mit der Rauheit.<br />
5.8.1 Wellige Oberflächen<br />
Als Spezialfall der nicht-glatten Oberflächen wird zuerst der Kontakt zwischen<br />
einer gewellten, elastischen Oberfläche und einer starren Oberfläche untersucht.<br />
Unter gewellten Oberflächen sollen Oberflächen verstanden werden, die durch<br />
eine einzige Sinusfunktion beschrieben werden können. Abbildung 5.18 zeigt eine<br />
solche Oberfläche mit Amplitude h und Wellenlänge L.<br />
Folgenden Fragestellungen sollen mit dem 1D Modell untersucht werden:<br />
2h
66 KAPITEL 5. ADHÄSIVER KONTAKT<br />
PSfrag replacements<br />
h [LE]<br />
nK n<br />
1<br />
0.1<br />
0.01 0.1 1 10<br />
h<br />
100<br />
2E∗ Lγ<br />
Abbildung 5.19: Anteil der Teilchen im Kontakt (ohne äußere Normalkraft) für<br />
eine wellige Oberfläche gemäß Abbildung 5.18 (sechs identische Kurven für verschiedene<br />
Punktezahlen und Längen)<br />
• Für welche Abmessungen (h, L) tritt ohne äußere Kraft ein vollständiger<br />
Kontakt auf?<br />
• Wie ändert sich die Kontaktfläche in Abhängigkeit von der aufgebrachten<br />
Normalkraft?<br />
Zum vollständigen Kontakt ohne äußere Kraft kommt es nur, wenn die elastische<br />
Energie, die infolge der Deformation im System gespeichert werden muss, kleiner<br />
als die gewonnene Oberflächenenergie ist. Eine theoretische Abschätzung liefert<br />
als Bedingung, dass der dimensionslose Parameter h 2 E ∗ /(γL) höchstens von der<br />
Größenordnung 1 sein darf.<br />
Das beschriebene Problem soll nun mit dem einfachen 1D Modell untersucht werden.<br />
Die gewellte, elastische Oberfläche hat Sinusform; es wird stets eine Periode<br />
betrachtet. Variiert wird die Amplitude der Welligkeit h und die Länge L. Bestimmt<br />
wird die Größe der Kontaktfläche für den Fall, dass keine äußere Kraft<br />
wirkt. Zur Kontaktfläche gehören alle Teilchen, die einen kritischen Abstand zkr<br />
zur ebenen, starren Platte unterschreiten.<br />
Abbildung 5.19 zeigt den Anteil der Teilchen, die sich im Kontakt befinden, aufgetragen<br />
über dem Parameter h 2 E ∗ /(γL). Die Berechnungen wurden mit sechs<br />
verschiedenen Werten n = 100 ÷ 1000 durchgeführt, die alle zu den gleichen Ergebnissen<br />
führten. Für die untersuchten Parameter ist vollständiges Ausfüllen der<br />
Rauheit für h 2 E ∗ /(γL) < 3,6 gegeben; dieses Ergebnis passt zu der theoretischen<br />
Abschätzung.<br />
Konzipiert ist das 1D Modell für die Berechnung von Kontaktproblemen, bei denen<br />
nur die Spitzen in Kontakt sind. Diese Spitzen sind durch einen Krümmungsradius<br />
charakterisiert. Beim vollständigen Ausfüllen geschieht der Kontakt jedoch<br />
nicht mehr ausschließlich über die Spitzen. Dennoch liefert das Modell eine sinnvolle<br />
Vorhersage, bei welchen Werten des Parameters h 2 E ∗ /(γL) ein vollständiges<br />
Ausfüllen der Oberflächenrauheiten geschieht.
5.8. SIMULATION MIT RAUEN OBERFLÄCHEN 67<br />
PSfrag replacements<br />
PSfrag replacements<br />
nK n<br />
nK n<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0.0<br />
0 2 4 6 8 10<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
F<br />
F A<br />
0.0<br />
0 200 400 600 1000 1200 1400<br />
Abbildung 5.20: Anteil der Teilchen im Kontakt in Abhängigkeit von der Normalkraft<br />
für eine wellige Oberfläche gemäß Abbildung 5.18; oben: h = 1 LE, unten:<br />
h = 10 LE<br />
Auf den oberen Körper wird nun eine kontinuierlich steigende Normalkraft aufgebracht.<br />
Es wird die Zahl der am Kontakt beteiligten Teilchen ermittelt. Abbildung<br />
5.20 zeigt exemplarisch die Ergebnisse für h 2 E ∗ /(γL) = 200. Bezugsgröße für die<br />
Normalkraft ist die Adhäsionskraft. Die Kontaktfläche nimmt kontinuierlich mit<br />
der Normalkraft zu; es gibt keine Sprünge.<br />
F<br />
F A<br />
5.8.2 Oberflächen mit festem Kappenradius<br />
Abbildung 5.21 zeigt die Ergebnisse von numerischen Experimenten zur Bestimmung<br />
der Adhäsionskraft in Abhängigkeit von der Rauheit. Die numerischen Experimente<br />
lehnen sich an Experimente und analytische Berechnungen von Fuller<br />
und Tabor [34] an. Grundlage der Simulation sind Greenwood-Williamson-<br />
Oberflächen (Abbildung 5.22). Die raue, elastische Oberfläche besteht aus 200<br />
Asperiten (jeweils 20 Teilchen) mit normalverteilten Höhen und gleichem Krümmungsradius.<br />
Der Gegenkörper ist starr und glatt.
68 KAPITEL 5. ADHÄSIVER KONTAKT<br />
PSfrag replacements<br />
˜FA<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0.0<br />
0 2 4 6 8 10<br />
Abbildung 5.21: Adhäsionskraft in Abhängigkeit von der Rauheit für eine raue<br />
Oberfläche gemäß Abbildung 5.22<br />
Abbildung 5.22: Stochastische Oberfläche aus Kugelkappen<br />
Die numerisch berechnete Kurve liegt im Übergangsbereich etwas oberhalb der<br />
theoretisch vorhergesagten. In ihren Experimenten haben Fuller und Tabor jedoch<br />
auch teilweise deutliche Abweichungen nach oben festgestellt. Zudem ist die<br />
verwendete Anzahl von Asperiten nicht sehr hoch.<br />
In weiteren numerischen Experimenten wurde der Zusammenhang zwischen Normalkraft<br />
und Kontaktfläche bestimmt. Abbildung 5.23 zeigt für jeweils 10 mit<br />
einem Zufallsgenerator erzeugte Höhenverteilungen (200 Asperiten, hσ = (0,02 ±<br />
0,002)R ) den Zusammenhang zwischen Normalkraft und Anzahl der im Kontakt<br />
befindlichen Teilchen. Die Normalkraft wurde auf die Adhäsionskraft eines<br />
einzelnen Asperiten bezogen. Die Kontaktfläche nimmt kontinuierlich mit der<br />
Normalkraft zu; es gibt keine Sprünge; sowohl bei den gezeigten Berechnungen<br />
als auch bei weiteren Berechnungen für hσ = 0,15R.<br />
˜hσ
PSfrag replacements<br />
5.8. SIMULATION MIT RAUEN OBERFLÄCHEN 69<br />
nK n<br />
1,0<br />
0,8<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
0,0<br />
0<br />
500 1000 1500 2000<br />
F<br />
FA 2500 3000 3500<br />
Abbildung 5.23: Anteil der Teilchen im Kontakt in Abhängigkeit von der Normalkraft<br />
für 10 verschiedene GW-Oberflächen gemäß Abbildung 5.22
70 KAPITEL 5. ADHÄSIVER KONTAKT
Kapitel 6<br />
Geschmierte Kontakte<br />
6.1 Einführung<br />
In den vorangegangenen Kapiteln wurden trockene Kontakte ausführlich untersucht.<br />
Tatsächlich sind Kontakte in den meisten technischen Anwendungen geschmiert.<br />
Absichtlich geschmierte Kontakte liegen z.B. in den meisten Lagern vor.<br />
Schmierung liegt aber auch im Rad-Schiene-Kontakt vor, wenn auf der Schiene<br />
eine Schicht (feuchter) Blätter liegt.<br />
Der Simulation von Reibung und Verschleiß in geschmierten Systemen kommt<br />
demnach große Bedeutung zu, sowohl aus wissenschaftlicher Sicht als auch aus<br />
Sicht der Anwendung. Insbesondere geht es um die Frage, wie Reibung und Verschleiß<br />
von den aufgebrachten Lasten, der Oberflächentopographie und den Materialparametern<br />
abhängen.<br />
Exemplarisch sei das Beispiel des Verbrennungsmotors (speziell Hubkolbenmotor)<br />
in Kraftfahrzeugen erwähnt. Diese Motorenart hat sich wegen ihrer Performance,<br />
Zuverlässigkeit und Vielseitigkeit durchgesetzt, obwohl sie eine vergleichsweise<br />
geringe Effizienz aufweist. Reibungsverluste machen den größten Teil des Energieverbrauchs<br />
aus. Insbesondere die Reibung der Kolbenringe (Mischreibung oder<br />
hydrodynamische Schmierung) und des Kolbenschafts (hauptsächlich hydrodynamische<br />
Schmierung) machen einen großen Teil der Reibungsverluste im Antriebsstrang<br />
aus [27, 117]. Aufgrund der hohen Zahl von im Einsatz befindlichen<br />
Verbrennungsmotoren können selbst kleine Verbesserungen in den Bereichen Effizienz,<br />
Emissionen und Haltbarkeit großen Einfluss auf den globalen Ölverbrauch<br />
und die Umwelt haben. Fortschritte hinsichtlich der drei großen Ziele, Effizienz,<br />
Emissionen und Haltbarkeit, verbinden Tung und McMillan [117] mit den folgenden<br />
Hauptbetätigungsfeldern: (1) Entwicklung neuer und bezahlbarer Oberflächenmodifikationen,<br />
(2) Erarbeitung eines besseren Verständnis der Chemie<br />
der Schmiermittel und (3) Erarbeitung eines besseren Verständnis der Wirkungsweise<br />
von Additiven. Verbesserungen in der Simulation von geschmierten Systemen<br />
können zweifelsfrei ebenfalls zu Verbesserungen von Verbrennungsmotoren<br />
beitragen.<br />
Hydrodynamische Schmierung und elastohydrodynamische Schmierung werden<br />
seit langen beherrscht [47, 115]. Gegenstand aktueller Forschung ist der Bereich<br />
der Mischreibung. Ein wesentlicher Grund für die hohe Komplexität erwächst aus<br />
der Notwendigkeit, simultan das elastische Problem und das Strömungsproblem<br />
zu lösen.<br />
71
72 KAPITEL 6. GESCHMIERTE KONTAKTE<br />
PSfrag replacements<br />
R<br />
V<br />
F<br />
h0<br />
a<br />
h(r)<br />
Abbildung 6.1: Annäherung einer gekrümmten Oberfläche an eine Ebene mit der<br />
Geschwindigkeit V unter der Wirkung einer Kraft F<br />
In diesem Kapitel wird gezeigt, dass das Mischreibungsproblem erheblich reduziert<br />
werden kann, wenn die Schmierfilmdicke so gering ist, dass der Hauptteil der<br />
Kontaktwechselwirkungen von wenigen Mikrokontakten kommt, deren Abstand<br />
sehr viel kleiner als der mittlere Abstand der Körper ist. Geschmierte Kontakte<br />
können in diesem Fall durch nichtkonservative Wechselwirkungskräfte zwischen<br />
Oberflächenelementen modelliert werden. Die Wechselwirkungskräfte sind sowohl<br />
vom Abstand als auch von der Relativgeschwindigkeit der Oberflächenelemente<br />
abhängig. Die Idee besteht demnach darin, nicht das Verhalten der Flüssigkeit<br />
explizit zu simulieren, sondern nur die hydrodynamischen Kräfte, die auf die<br />
Festkörper wirken. Es wird zudem gezeigt, dass zusätzlich auch eine Reduktion<br />
der Dimension erfolgen kann.<br />
Popov und Filippov [94] nutzen diese Beschreibung der Mischreibung in Zusammenhang<br />
mit dem 1D-Modell zur Simulation des chemisch-mechanischen Polierens<br />
(CMP).<br />
6.2 Klassisches Newton-Fluid mit konstanter Viskosität<br />
6.2.1 Vorüberlegungen<br />
Betrachtet wird die Annäherung einer gekrümmten Oberfläche (Krümmungsradius<br />
R) an eine Ebene (Abbildung 6.1). Beide Körper seien starr, die untere<br />
Platte sei zudem fest, die gekrümmte Platte bewegt sich mit der Geschwindigkeit<br />
V . Die gekrümmte Oberfläche wird in der Nähe des Minimums parabolisch<br />
approximiert<br />
h (r) = h0 + r2<br />
2R<br />
. (6.1)
6.2. KLASSISCHES NEWTON-FLUID 73<br />
Aus der Reynoldsgleichung für die reine Normalbewegung und das symmetrische<br />
Problem (p = p(r))<br />
3 d rh dp<br />
= r<br />
dr 12η dr<br />
dh<br />
(6.2)<br />
dt<br />
ergibt sich für die Druckverteilung<br />
p − p0 =<br />
3ηV R<br />
h 2 , (6.3)<br />
wobei p0 den Druck außerhalb des Kontaktbereichs bezeichnet und V = ˙ h. Die<br />
Normalkraft ergibt sich nun durch Integration<br />
F =<br />
∞<br />
0<br />
2πr (p − p0) dr = 6πηR2 V<br />
h0<br />
, (6.4)<br />
wobei h0 ≪ a2 berücksichtigt wurde. Das Integral in (6.4) konvergiert auf der<br />
2R<br />
oberen Grenze. Das bedeutet, der Hauptanteil der Kraft kommt aus der unmittelbaren<br />
Umgebung des Mikrokontaktes. Der genaue Verlauf der Strömung außerhalb<br />
des Kontaktbereichs hat keinen Einfluss auf die Wechselwirkung zwischen<br />
den Asperiten.<br />
Zudem kann abgeschätzt werden, dass die Normalkräfte dominieren [97]. Die<br />
Schubspannung kann zu<br />
τ ∼ η V<br />
h<br />
V<br />
= η<br />
h0 + r2 /(2R)<br />
abgeschätzt werden. Daraus folgt für die Tangentialkraft<br />
<br />
FT ∼ 2πηV R ln 1 + L2<br />
<br />
. (6.5)<br />
2h0R<br />
L ist hierbei der charakteristische Abstand zwischen den Asperiten. Vergleich von<br />
(6.4) mit (6.5) zeigt, dass die Tangentialkraft in erster Näherung gegenüber der<br />
Normalkraft vernachlässigt werden kann.<br />
Es ist das Ziel dieses Kapitels, einen möglichen Weg zur Berücksichtigung der<br />
Schmierung im vorgestellten Modell aufzuzeigen. Insbesondere soll die Simulation<br />
des geschmierten Kontakts ohne die explizite Berechnung der Strömung auskommen.<br />
Dazu werden Wechselwirkungsgesetze zwischen den Teilchen der Festkörper<br />
definiert, so dass das makroskopische Verhalten gemäß Gleichung (6.4) korrekt<br />
abgebildet wird. Die Wechselwirkungskräfte sind nichtkonservativ und hängen<br />
vom Relativabstand und der Relativgeschwindigkeit ab.<br />
Wie bereits in Kapitel 2.1 ausführlich dargestellt, ist die Dimension bei Kontaktproblemen<br />
von großer Bedeutung. Für geschmierte 3D-Kontakte werden die<br />
Wechselwirkungsgesetze für 1D- und 2D-Oberflächen hergeleitet. Es zeigt sich,<br />
dass die Wechselwirkungsgesetze in den beiden Fällen verschieden vom Teilchenabstand<br />
abhängen.<br />
6.2.2 Wechselwirkungsgesetz im 2D-Fall<br />
Die Teilchen sind auf den Oberflächen z1 = z1 (x, y) und z2 = z2 (x, y) der Körper<br />
verteilt. Die Wechselwirkungskraft zwischen den einzelnen Teilchen sei<br />
F t 2D<br />
= Cv<br />
ρ 4 dA1dA2 , (6.6)
PSfrag replacements<br />
74 KAPITEL 6. GESCHMIERTE KONTAKTE<br />
V<br />
h<br />
Abbildung 6.2: Die Kraft auf ein Oberflächenteilchen des oberen Körpers verursacht<br />
durch ein Oberflächenteilchen des unteren Körpers ist durch (6.6) bzw.<br />
(6.7) gegeben.<br />
wobei ρ den Abstand zwischen den Teilchen und v die Relativgeschwindigkeit<br />
entlang der Verbindungslinie bezeichnen (Abbildung 6.2). Wie eingangs erwähnt,<br />
hängen die Teilchen-Teilchen-Wechselwirkungen vom Abstand und der Relativgeschwindigkeit<br />
ab. Die vertikale Komponente der Kraft zwischen einem Teilchen<br />
auf der gekrümmten Oberfläche und der (unendlichen) Halbebene ist dann<br />
∞<br />
0<br />
r<br />
2πrCV h 2<br />
(h 2 + r 2 ) 3 drdA2 = πCV<br />
2h 2 dA2 .<br />
V ist die Geschwindigkeit, mit der sich die starren Körper normal annähern. Die<br />
Kraft zwischen der gekrümmten Oberfläche und der Halbebene ergibt sich unter<br />
der Annahme einer quadratischen Approximation der gekrümmten Oberfläche<br />
durch nochmalige Integration<br />
Für h0 ≪ a2<br />
2R<br />
F2D =<br />
a<br />
erhält man schließlich<br />
0<br />
ρ<br />
π2rCV <br />
h0 + r2<br />
2 dr .<br />
2R<br />
2 CV R<br />
F2D = π<br />
h0<br />
Das makroskopische Ergebnis (6.4) ergibt sich für<br />
C = 6<br />
ηR .<br />
π<br />
6.2.3 Wechselwirkungsgesetz im 1D-Fall<br />
Zur schnellen Simulation von Kontakt- und Reibungsproblemen sollen möglichst<br />
eindimensionale Modelle eingesetzt werden. Im folgenden wird gezeigt, wie das<br />
.
6.2. KLASSISCHES NEWTON-FLUID 75<br />
Wechselwirkungsgesetz in einem 1D-Modell zu wählen ist, um dennoch das makroskopische<br />
Ergebnis (6.4) zu erzielen. Alle Teilchen sind entlang einer Linie<br />
angeordnet, z1 = z1 (x) und z2 = z2 (x). Das Wechselwirkungsgesetz lautet nun<br />
F t 1D = Cv<br />
ρ 5/2 dr1dr2 . (6.7)<br />
Der Vergleich von (6.7) mit (6.6) zeigt, dass die Abstandsabhängigkeit verschieden<br />
ist; F t 1D ∝ r−5/2 und F t 2D ∝ r−4 . Die vertikale Komponente der Kraft zwischen<br />
einem Teilchen der gekrümmten Oberfläche und der Halbebene ist in diesem Fall<br />
mit<br />
∞<br />
0<br />
2CV h2 (h2 + r2 ) 9/4 drdr2 = β CV<br />
h<br />
<br />
β = 2<br />
0<br />
∞<br />
3/2 dr2<br />
dξ<br />
(1 + ξ2 ≈ 1,4378 .<br />
9/4<br />
)<br />
Die Kraft zwischen den beiden Körpern im 1D-Fall berechnet sich zu<br />
und mit h0 ≪ a2<br />
2R<br />
folgt endlich<br />
F1D =<br />
a<br />
0<br />
2βCV<br />
<br />
h0 + r2<br />
dr 3/2<br />
2R<br />
F1D = 2 √ 2β CV √ R<br />
Das makroskopische Verhalten (6.4) wird korrekt abgebildet, falls<br />
C = ˜ βηR 3/2<br />
h0<br />
, ˜ β = 3 √ 2π<br />
2β<br />
.<br />
≈ 4,6352<br />
gewählt wird. In beiden Fällen muss der effektive Krümmungsradius zur Berechnung<br />
der Wechselwirkungskräfte bekannt sein. Im allgemeinen kann der effektive<br />
Krümmungsradius aus den Krümmungsradien der beiden in Kontakt befindlichen<br />
Asperiten berechnet werden.<br />
6.2.4 Ergebnisse<br />
Beide Modelle (1D und 2D) wurden implementiert. Exemplarisch ist in Abbildung<br />
6.3 die mit dem 1D-Modell berechnete Beziehung zwischen Normalkraft F<br />
und minimalem Abstand h0 gezeigt. Sowohl im 1D- als auch im 2D-Modell wird<br />
eine sehr gute Übereinstimmung zwischen dem Simulationsergebnis und dem analytischen<br />
Ergebnis (6.4) erzielt.<br />
Die minimale Schmierfilmdicke h0 sollte jedoch größer sein, als der Teilchenabstand.<br />
Zudem sei daran erinnert, dass das Ergebnis (6.4) nur für h0 ≪ a2<br />
2R gilt.<br />
Das Verhalten in Regionen, in denen diese Bedingung verletzt ist, spielt jedoch<br />
bei den betrachteten Kontaktproblemen keine Rolle, weil diese Regionen kaum<br />
zur Gesamtkraft zwischen den rauen Oberflächen beitragen.
76 KAPITEL 6. GESCHMIERTE KONTAKTE<br />
F<br />
6πηRV<br />
PSfrag replacements<br />
10 4<br />
10 3<br />
10 2<br />
10 1<br />
10 0 10 0<br />
10 1<br />
Abbildung 6.3: Beziehung zwischen Kraft F und Filmdicke h0, Simulation mit<br />
dem 1D-Modell und Wechselwirkungen gemäß (6.7), d horizontaler Abstand zweier<br />
Teilchen, R = 2000d, a2 ≈ 6250d<br />
2R<br />
6.3 Beispiele für andere Schmiermittel<br />
Im vorangegangenen Abschnitt wurde die Idee Modellierung der Schmierung<br />
durch nichtkonservative Wechselwirkungskräfte am Beispiel des klassischen Newtonschen<br />
Fluids mit konstanter Viskosität vorgestellt.<br />
Im nun folgenden Abschnitt werden zwei Erweiterungen diskutiert: das klassische<br />
Newtonsche Fluid mit druckabhängiger Viskosität und ein Schmiermittel mit Additiven.<br />
An diesen Beispielen soll gezeigt werden, dass auch kompliziertere Fälle<br />
im Rahmen der vorgestellten Idee behandelt werden können.<br />
6.3.1 Druckabhängige Viskosität<br />
Das Ausquetschverhalten bei einem klassischen Newtonschen Fluid mit druckabhängiger<br />
Viskosität wurde ausführlich von Christensen [21, 22] für verschiedene<br />
Geometrien untersucht. Es wird angenommen, dass die Viskosität dem Barus-<br />
Gesetz 1<br />
h0<br />
d<br />
η = η0 exp (αp)<br />
folgt, mit der Viskosität bei Umgebungsdruck η0 und dem Druckexponenten α.<br />
Für die Annäherung einer Kugel an eine Halbebene gibt die Integration der<br />
Reynoldsgleichung (6.2) für die Druckverteilung<br />
10 2<br />
p (r) = − 1<br />
α ln<br />
<br />
1 − 3η0αV R<br />
h2 <br />
(r)<br />
10 3<br />
, (6.8)<br />
mit V = − ˙ h . Integration des Drucks über die Oberfläche ergibt die Gesamtnor-<br />
1 Zur Gültigkeit des Barus-Gesetz siehe Diskussion am Ende der Veröffentlichung [22].
6.3. BEISPIELE FÜR ANDERE SCHMIERMITTEL 77<br />
3<br />
αp<br />
2.0<br />
1.5<br />
1.0<br />
0.5<br />
˜h0 = 1.5<br />
˜h0 = 1<br />
F<br />
2π 4<br />
<br />
α3 24η0V R3 2.0<br />
1.5<br />
1.0<br />
0.5<br />
˜h0 = 2<br />
0.0<br />
-2 -1 0 1<br />
√ x<br />
2Rh0<br />
2<br />
0.0<br />
0 2<br />
4 6 8 10<br />
h0 √<br />
6η0αV R<br />
Abbildung 6.4: Newtonsche Flüssigkeit mit druckabhängiger Viskosität: Druckverteilung<br />
(links) und Normalkraft (rechts) für die Annäherung zwischen Zylinder<br />
und Ebene<br />
malkraft für den Fall der Annäherung (V > 0 )<br />
<br />
3η0V R<br />
F = 2π<br />
3<br />
<br />
α<br />
mit der dimensionslosen Filmdicke<br />
˜h0 =<br />
ln ˜ h0 + 1<br />
˜h0 − 1 − ˜ h0 ln<br />
h0<br />
√ 3η0αV R .<br />
˜h 2 0<br />
˜h 2 0 − 1<br />
<br />
, (6.9)<br />
Die Gleichungen (6.8) und (6.9) sind für ˜ h0 ≥ 1 gültig. Für ˜ h0 ≫ 1 geht (6.9)<br />
über in das bekannte Ergebnis<br />
F = 6πη0V R 2<br />
h0<br />
das im Fall konstanter Viskosität gültig ist. Für ˜ h0 = 1 ist die durch (6.9) gegebene<br />
Kraft ungefähr 40% größer als die Kraft im Fall konstanter Viskosität. Der<br />
maximale Druck geht für ˜ h0 = 1 gegen Unendlich.<br />
Bei der Annährung eines Zylinders an die Halbebene ergibt die Integration der<br />
Reynoldsgleichung die Druckverteilung<br />
und die Normalkraft (V > 0)<br />
F = 2π 4<br />
<br />
24η0R3V wobei<br />
p (x) = − 1<br />
α ln<br />
α 3<br />
<br />
1 − 6η0αV R<br />
h2 <br />
(x)<br />
,<br />
<br />
2 ˜h0 − ˜h0 + 1 − ˜h0 − 1<br />
˜h0 =<br />
h0<br />
√ 6η0αRV<br />
.<br />
,
78 KAPITEL 6. GESCHMIERTE KONTAKTE<br />
PSfrag replacements<br />
3%<br />
2%<br />
3<br />
1%<br />
4<br />
0%<br />
-1%<br />
-2%<br />
-2<br />
˜h0 = 1.05<br />
-1<br />
0 1<br />
√ x<br />
2Rh0<br />
Abbildung 6.5: Newtonsches Fluid mit druckabhängiger Viskosität: relativer Fehler<br />
in der Druckverteilung (durchgezogene Linie, linke Achse) und Druckverteilung<br />
(gestrichelte Linie, rechte Achse).<br />
Abbildung 6.4 zeigt die Druckverteilung (links) und die Normalkraft (rechts)<br />
für die Annäherung eines Zylinders an eine Halbebene. Genau wie im Fall der<br />
Kugel strebt der Druck für ˜ h0 = 1 gegen Unendlich, die Normalkraft bleibt jedoch<br />
endlich. Die Relation zwischen Filmdicke und Normalkraft kann auch im<br />
Fall druckabhängiger Viskosität durch geeignete Wechselwirkungskräfte simuliert<br />
werden. Exemplarisch wird die Annäherung des Zylinders im Detail diskutiert.<br />
Ein Wechselwirkungsgesetz vom Typ<br />
F t 1D<br />
= <br />
j<br />
2<br />
1<br />
0<br />
2<br />
αp<br />
cj<br />
ρ κj dr1dr2 (6.10)<br />
wird angesetzt. Drei Terme genügen, um eine sehr gute Übereinstimmung für die<br />
Normalkraft zu erhalten. Die Wechselwirkungskräfte wurden gerade so gewählt,<br />
dass die Normalkraft gut simuliert wird. In diesem Fall stimmt sogar auch die<br />
Druckverteilung hervorragend. Abbildung 6.5 zeigt für ˜ h0 = 1,05 den relativen<br />
Fehler in der Druckverteilung. Die Gesamtkraft weist 0,3% Fehler auf; der Druck<br />
weicht im relevanten Bereich ungefähr um 2% von der korrekten Lösung ab. Die<br />
gestrichelte Linie ist die Druckverteilung und dient der besseren Orientierung.<br />
In der Simulation auf Basis von (6.10) bleibt der maximale Druck stets endlich;<br />
signifikante Unterschiede zwischen dem analytischen Ergebnis und dem Ergebnis<br />
der Simulation ergeben sich jedoch erst, wenn ˜ h0 sehr nahe an 1 ist.<br />
6.3.2 Schmiermittel mit Momentenspannungen<br />
In vielen technischen Anwendungen werden den Schmiermitteln Additive zugesetzt.<br />
Schmiermittel mit Additiven lassen sich in der Regel nicht durch einfache
6.3. BEISPIELE FÜR ANDERE SCHMIERMITTEL 79<br />
PSfrag replacements<br />
F<br />
6πηRV<br />
350<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
τ = 0<br />
τ = 1 · 10 −3<br />
τ = 2 · 10 −3<br />
τ = 3 · 10 −3<br />
0<br />
0.005 0.01 0.015 h0 0.025 0.03 0.035<br />
R<br />
Abbildung 6.6: Ergebnis für das Momentenspannungsfluid nach Stokes, d horizontaler<br />
Abstand zweier Teilchen, R = 2000d, a2<br />
2R ≈ 6250d, für τ = 3 · 10−3 bedeutet<br />
∈ [1.67; 11.67]<br />
dies h<br />
l<br />
Kontinua beschreiben. Stattdessen kommt die Theorie von Kontinua mit Mikrostruktur<br />
für die Beschreibung solcher Schmiermittel zur Anwendung. Ariman<br />
und Sylvester [3, 4] geben eine Übersicht über die verschiedenen Theorien.<br />
Fluide mit Momentenspannungen (couple stress fluids) stellen die einfachste Erweiterung<br />
der klassischen Theorie einfacher Kontinua dar [114]. Stokes [114]<br />
schlägt nicht nur konstitutive Gesetze vor, sondern auch Experimente zur Bestimmung<br />
der Materialkonstanten.<br />
Lin [67] untersucht die Annäherung einer Kugel an eine Halbebene für das Momentenspannungsfluid<br />
nach Stokes. Das Modell von Lin soll die Teilchengrößeneffekte,<br />
die von Schmiermitteln mit Additiven bekannt sind, nachbilden. Neben<br />
der Viskosität enthält das Modell einen Parameter l, der in Zusammenhang mit<br />
den Momentenspannungen steht. Der Parameter l kann als Länge der Additive<br />
interpretiert werden. Anstelle des dimensionsbehafteten Parameters l benutzt<br />
Lin den dimensionslosen Parameter τ = l/R. Für τ = 0 ergibt sich das klassische<br />
Newtonsche Fluid. Lin leitet die modifizierte Reynoldsgleichung her und gibt<br />
numerische Ergebnisse für die Beziehung zwischen Normalkraft und Filmdicke.<br />
Diese Beziehung kann nicht in geschlossener Form angegeben werden. Lin erhält<br />
seine Ergebnisse durch numerische Integration. Momentenspannungen erhöhen<br />
die Normalkraft. Der Effekt ist umso ausgeprägter, je niedriger die Filmdicke. Es<br />
zeigt sich, dass Lin’s Ergebnisse mit guter Genauigkeit durch eine Funktion<br />
¯F = a1<br />
¯h<br />
a2 a3<br />
+<br />
¯h<br />
+<br />
2 ¯h 3<br />
(6.11)<br />
wiedergegeben werden können. ¯ F ist die dimensionslose Kraft und ¯ h ist die dimensionslose<br />
Filmdicke. Für das klassische Newtonsche Fluid (τ = 0) verschwinden<br />
die letzten beiden Terme (a2 = a3 = 0). Für einen gegebenen Wert τ können<br />
die Parameter ai mit der Methode von Lin berechnet werden, um dann mittels<br />
(6.11) in das Simulationsmodell eingebaut zu werden. Die Wechselwirkungsgesetze<br />
können, wie bereits für das klassische Fluid gezeigt, ermittelt werden. Für das
80 KAPITEL 6. GESCHMIERTE KONTAKTE<br />
1D-Modell lautet das Wechselwirkungsgesetz dann<br />
F t 1D =<br />
<br />
C1v C2v C3v<br />
+ +<br />
ρ5/2 ρ7/2 ρ9/2 <br />
dr1dr2 . (6.12)<br />
Abbildung 6.6 zeigt den Vergleich zwischen den von Lin berechneten Werten<br />
(Linien) und den mit dem 1D-Modell berechneten Werten (Punkte) für vier verschiedene<br />
Werte des Parameters τ. Die Übereinstimmung ist sehr gut. Ein Wechselwirkungsgesetz<br />
der Form (6.12) ist demnach für unser Modell geeignet.<br />
6.4 Kavitation<br />
In geschmierten Kontakten können Zustände auftreten, in denen der Druck lokal<br />
einen bestimmten Grenzwert unterschreitet. In diesen Fällen kann das Schmiermittel<br />
zeitweise diskontinuierlich werden; es kommt zur Kavitation. Kavitation<br />
kann nach Gas- und Dampfkavitation unterschieden werden [29] 2 . Gaskavitation<br />
tritt z. B. in belüfteten Schmiermitteln auf, wenn Drücke unterhalb des Umgebungsdrucks<br />
auftreten.<br />
Wenn der Druck unter den Dampfdruck fällt, kann das Schmiermittel verdampfen.<br />
Diese Dampfkavitation kann bei dynamischen Lastfällen auftreten. Kavitation<br />
ist ein dynamischer Prozess; das Verdampfen geschieht nicht schlagartig.<br />
Daher können Schmiermittel für kurze Zeit auch Zugspannungen übertragen. Experimente<br />
haben gezeigt, dass Kavitation in Lagern, z.B. in Pleuellagern in Verbrennungskraftmaschinen,<br />
auftreten kann und dass dies mit teilweise erheblichen<br />
Schäden verbunden ist [82].<br />
Zeitabhängige Kavitation in einer einfachen Anordnung aus parallelen Platten<br />
wurde experimentell von Hays und Feiten [48], Parkins und May-Miller [87] sowie<br />
von Chen et al. [19] untersucht. Hays und Feiten betrachteten den Fall konstanter<br />
Geschwindigkeit, während die anderen beiden Gruppen den Fall periodischer<br />
Bewegung untersuchten. Die Experimente zeigen, dass der Schmierfilm eine Zugspannung<br />
übertragen kann, bevor es zur Störung der Kontinuität kommt. Das<br />
Kavitationsgebiet entsteht in der Mitte und verschwindet dort auch. Alle Experimente<br />
konzentrieren sich auf die Charakterisierung der Kavitationsmuster;<br />
insbesondere werden keine Daten geliefert, mit denen sich numerische Untersuchungen<br />
hinreichend gut überprüfen ließen.<br />
Zudem gibt es keine veröffentlichten Simulationen mit zeitabhängigen Zugspannungen.<br />
Der Großteil der Literatur zur Kavitation bei Schmierungsproblemen<br />
beschäftigt sich mit der Situation in stationär betriebenen Gleitlagern, z.B. [30,<br />
119]. Einige Veröffentlichungen, z. B. [7, 64], betrachten zwar instationäre Vorgänge,<br />
nicht jedoch die zeitliche Dynamik des Druckes. Genauer: der kritische<br />
Druck wird meist als 0 angesetzt. Dann wird bei Auftreten von Zugspannungen<br />
instantan im entsprechenden Zeitschritt der Druck lokal auf 0 gesetzt. Bei diesem<br />
Vorgehen können generell niemals Zugspannungen übertragen werden. In der<br />
Tat muss bei Auftreten von Zugspannungen Kavitation einsetzen. Im Zuge des<br />
Blasenwachstums muss dann der Druck innerhalb einer bestimmten Zeit gegen<br />
0 gehen. Innerhalb dieser Zeit können Zugspannungen übertragen werden. Die<br />
2 Die Veröffentlichung von Dowson und Taylor [29] gibt einen Überblick über das Thema<br />
Kavitation in Lagern auf dem Stand von 1979. Die Autoren beschäftigen sich fast ausschließlich<br />
mit der Gaskavitation.
6.5. ZUSAMMENFASSUNG 81<br />
entsprechenden Simulationen würdigen damit die vorhandenen qualitativen Ergebnisse<br />
der Experimente [19, 48, 87] nicht. Alle Simulationen verzichten auf eine<br />
Abbildung der feinen Strukturen, wie sie in Experimenten beobachtet werden.<br />
Ein Simulationsmodell, das das Auftreten von Zugspannungen abbildet, muss<br />
die Dynamik des Blasenwachstums und -zerfalls berücksichtigen. Ausgehend von<br />
der Rayleigh-Plesset-Gleichung [32, 92] und der Reynoldsgleichung für kompressible<br />
Fluide können partielle Differentialgleichungen für die Dichte und den Druck<br />
hergeleitet werden. Eine ausführliche Behandlung dieses Ansatzes für das Kavitationsproblems<br />
ist in [38] zu finden.<br />
Schließlich kann mit dem Simulationsmodell der Zusammenhang zwischen der<br />
wirkenden Normalkraft F sowie den Größen Filmdicke h und Geschwindigkeit<br />
V bestimmt werden; d. h. gesucht wird der zu (6.4) äquivalente Ausdruck im<br />
Fall kavitierender Strömung. Es zeigt sich jedoch, dass der Zusammenhang nicht<br />
in der Form einer einfachen Gleichung F = F(h, V ) darstellbar ist. Durch die<br />
Berücksichtigung der Kavitation tritt eine neue Feldgröße Dampfanteil α(r, t)<br />
(oder Dichte ρ(r, t)) auf. Sollte die räumliche Verteilung des Dampfanteils keine<br />
Rolle für das makroskopische Verhalten spielen, wird nur ein zusätzlicher Parameter<br />
˜α(t) benötigt. Dieser innere Parameter kann durch Einführung einer kinetischen<br />
Gleichung ˙ F = F(F, h, V ) eliminiert werden. Der zeitliche Verlauf des<br />
Dampfanteils muss dann nicht mehr explizit verfolgt werden. Die Einführung einer<br />
kinetischen Gleichung lässt sich auch aus den berechneten Kraft-Zeit-Verläufen<br />
motivieren.<br />
Nach dem Aufstellen der entsprechenden kinetischen Gleichung für den Kugelkontakt<br />
kann die reduzierte Beschreibung in Analogie zu den Ausführungen aus<br />
Abschnitt 6.2 aufgebaut werden.<br />
6.5 Zusammenfassung<br />
Das Kapitel beschließt die reduzierte Beschreibung des Kontaktproblems. Nach<br />
der Behandlung des trockenen Kontakts mit und ohne Adhäsion sowie der Untersuchung<br />
rauer Oberflächen wurde schließlich der geschmierte Kontakt untersucht.<br />
Grundlage der Simulation sind nichtkonservative Wechselwirkungskräfte<br />
zwischen den Teilchen, die vom Abstand und der Relativgeschwindigkeit der Teilchen<br />
abhängen.<br />
Die Wechselwirkungsgesetze wurden für Simulationsmodelle unterschiedlicher Dimension<br />
und für unterschiedliche Schmiermittel hergeleitet. Es wurde an verschiedenen<br />
Beispielen gezeigt, dass die Grundidee nicht nur für das klassische<br />
Newtonsche Fluid mit konstanter Viskosität funktioniert, sondern auch bei druckabhängiger<br />
Viskosität oder bei polaren Schmiermitteln. Diese reduzierte Beschreibung<br />
wird zur Simulation des chemisch-mechanischen Polierens verwendet 3 .<br />
3 siehe Abschnitt 1.4 in der Einführung
82 KAPITEL 6. GESCHMIERTE KONTAKTE
Kapitel 7<br />
Zusammenfassung und Ausblick<br />
Im folgenden sollen kurz die wesentlichen Erkenntnisse der vorliegenden Arbeit<br />
rekapituliert und zukünftige Forschungsarbeiten skizziert werden.<br />
7.1 Erreichtes<br />
Ausgehend von der Erkenntnis, dass die Simulation von Reibungs- und Kontaktproblemen<br />
durch zwei Phänomene erschwert wird, nämlich (1) den Mehrskalencharakter<br />
und (2) die Komplexität bzw. Vielfalt der beteiligten Prozesse, wird<br />
ein eindimensionales Simulationsmodell vorgestellt.<br />
Der Anspruch an das Simulationsmodell lautet: bilde wesentliche kontaktmechanische<br />
Zusammenhänge richtig ab und ermögliche eine schnelle Simulation.<br />
Schnell ist im Hinblick auf die ingenieurmäßige Anwendung eines aus der vorliegenden<br />
Arbeit entwickelten Computerprogramms sehr wichtig. Schnell bedeutet<br />
insbesondere, dass selbst bei Berücksichtigung vieler Längenskalen (z. B. 6<br />
Größenordnungen) eine Simulation in praktisch vertretbarer Zeit durchführbar<br />
ist.<br />
Kurze Rechenzeiten werden durch Reduktion der räumlichen Dimension erreicht;<br />
statt einer vollständigen Diskretisierung der dreidimensionalen Kontaktpartner<br />
wird ein eindimensionales Teilchenmodell herangezogen. Auf diese Weise bleibt<br />
die Zahl der Freiheitsgrade auch bei sehr feiner Diskretisierung im Bereich des<br />
rechentechnisch möglichen.<br />
Die Proportionalität der Kontaktsteifigkeiten knorm, ktang für Normal- bzw. Tangentialkontakt<br />
zum Kontaktradius a ist ein deutlicher Hinweis auf die Machbarkeit<br />
der Dimensionsreduktion. In der vorliegenden Arbeit wird im einzelnen<br />
gezeigt, wie bei der Dimensionsreduktion vorzugehen ist. Beginnend mit dem<br />
einzelnen elastischen Kontakt wird das Modell Schritt für Schritt ausgebaut.<br />
Von zentraler Bedeutung ist die Umrechnung der Oberflächentopographie. Simulationsrechnungen<br />
für raue Oberflächen mit der Randelementemethode zeigen<br />
schließlich, dass die Beziehung zwischen Normalkraft und Kontaktgröße im eindimensionalen<br />
und dreidimensionalen Modell näherungsweise gleich sind.<br />
Das bemerkenswerte Ergebnis der Arbeit lautet somit: die Reduktion des dreidimensionalen<br />
elastischen Kontaktproblems zwischen Körpern mit stochastischen<br />
Oberflächen auf ein eindimensionales Kontaktproblem gelingt.<br />
Für die Simulation von Kontakt- und Reibungsproblemen sind die Berücksichtigung<br />
der Adhäsion und der Schmierung ebenfalls wichtig. Das eindimensionale<br />
83
84 KAPITEL 7. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK<br />
Simulationsmodell wurde daher so erweitert, dass auch Systeme mit Adhäsion und<br />
Schmierung damit simuliert werden können. Die für die Beschreibung der Schmierung<br />
eingeführten Wechselwirkungen sind nicht nur vom Abstand der Teilchen<br />
sondern auch von der Relativgeschwindigkeit abhängig.<br />
Schließlich gelingen effiziente numerische Simulationen nur, wenn geeignete numerische<br />
Algorithmen benutzt werden. Die im Kapitel 4 zu den numerischen<br />
Aspekten zusammengefassten Erkenntnisse können sicher auch bei anderen Feder-<br />
Masse-Systemen erfolgreich verwendet werden.<br />
7.2 Offene Fragen und zukünftige Entwicklungen<br />
Naturgemäß lässt die vorliegende Arbeit auch viele Fragen offen, die im folgenden<br />
kurz besprochen werden sollen.<br />
Vergleichsrechnungen<br />
Auf der einen Seite sind alle jene Fragestellungen, die mit der direkten Anwendung<br />
des vorgestellten Modells verbunden sind. Dazu gehört z.B. der weiter gehende<br />
Vergleich 1D–3D bei rauen Oberflächen und elastischem sowie adhäsivem<br />
Kontakt. Vergleichsrechnungen können sowohl mit der Randelementemethode als<br />
auch mit dem hierarchischen Modell von Heß und Popov durchgeführt werden.<br />
Zudem sind weiter gehende Vergleiche mit aus der Literatur bekannten analytischen<br />
Ergebnissen und Berechnungen mit der Finite-Elemente-Methode sinnvoll.<br />
Insbesondere kann der in der Literatur oft angegebene dimensionslose Wert κ als<br />
Funktion des Hurst-Exponenten bestimmt und mit den veröffentlichten Ergebnissen<br />
verglichen werden. Zudem sollten Vergleichsrechnungen zum elastohydrodynamischen<br />
Problem durchgeführt werden. Die in dieser Arbeit gezeigten numerischen<br />
Ergebnisse sind mittels Matlab-Programmen berechnet worden. Zur<br />
Zeit wird ein eigenständiges Computerprogramm entwickelt, das ausgehend von<br />
gemessenen Oberflächen das eindimensionale Modell erzeugt und Berechnungen<br />
damit erlaubt.<br />
Auf der anderen Seite stehen die Fragestellungen, die einer Erweiterung des Simulationsmodells<br />
bedürfen.<br />
Hierarchisches Modell<br />
Um die Deformationen und Beanspruchungen im Innern der Kontaktpartner zu<br />
ermitteln, kann ein zweidimensionales hierarchisches Modell (siehe Abschnitte<br />
B.2.3 und B.5) herangezogen werden. Ein solches Modell kann als Stapelung von<br />
eindimensionalen Modellen verstanden werden. Ein zweidimensionales hierarchisches<br />
Modell hat nur ungefähr doppelt so viele Teilchen im Vergleich zum eindimensionalen<br />
Modell; der Zuwachs an Rechenzeit kann daher durchaus akzeptabel<br />
sein angesichts der zusätzlichen Informationen zu Deformationen und Beanspruchungen<br />
im Innern. Es ist jedoch noch zu klären, wie die Wechselwirkungsgesetze<br />
zwischen den einzelnen Schichten genau beschaffen sein müssen, damit das dreidimensionale<br />
Verhalten näherungsweise richtig abgebildet wird.
7.2. OFFENE FRAGEN UND ZUKÜNFTIGE ENTWICKLUNGEN 85<br />
Vollständiger Kontakt<br />
In der vorliegenden Arbeit wurde gezeigt, dass die vorgeschlagene Dimensionsreduktion<br />
gut funktioniert, so lange die wahre Kontaktfläche klein im Vergleich<br />
zur scheinbaren Kontaktfläche ist. Der andere Grenzfall – vollständiger Kontakt<br />
– sollte für den Fall stochastischer Oberflächen zukünftig genauer untersucht werden.<br />
Interessant ist der Grenzfall des vollständigen Kontaktes u. a. aus folgendem<br />
Grund. Wenn der vollständige Kontakt beim eindimensionalen Modell bei<br />
Spannungen der gleichen Größenordnung wie im dreidimensionalen Fall auftritt,<br />
funktioniert das eindimensionale Modell in beiden Grenzfällen. Dann lässt sich<br />
vermuten, dass das eindimensionale Modell auch im Übergangsbereich sinnvolle<br />
Ergebnisse liefert.<br />
Für eine erste Annäherung an das Probelm wird eine wellige Oberfläche gemäß<br />
h = ˆ h cos qx cos qy betrachtet, wobei q = 2π/λ (Wellenlänge λ in x- und y-<br />
Richtung). Im linear elastischen Fall ist die Spannung zum vollständigen Eindrücken<br />
σ ∗ = √ 2q ˆ h(1 − ν)E ∗<br />
Für die notwendige Normalkraft (je Fläche λ 2 ) ergibt sich<br />
F3D = 4 √ 2π 2 (1 − ν)E ∗<br />
1<br />
.<br />
R3Dq 3<br />
mit dem Krümmungsradius der undeformierten Kappen R3D. Für den eindimensionalen<br />
Fall ergibt sich<br />
1<br />
F1D = 2πcn .<br />
R1Dq 3<br />
Es folgt mit den Annahmen cn = E ∗ und 2R1D = R3D für das Verhältnis<br />
F1D<br />
F3D<br />
≈ 1<br />
3<br />
Im betrachteten Fall ist im eindimensionalen Modell die für den vollständigen<br />
Kontakt notwendige Kraft nur ungefähr ein Drittel der Kraft im dreidimensionalen<br />
Modell. Für stochastische Oberflächen ist dieses Verhältnis analytisch<br />
oder numerisch zu ermitteln. Möglicherweise ist das Verhältnis bei stochastischen<br />
Oberflächen näher an 1 als es im betrachteten Fall ist.<br />
In Abschnitt 5.8 wurde zudem der adhäsive Kontakt von welligen Oberflächen<br />
untersucht. Der vollständige Kontakt ohne äußere Normalkraft wurde größenordnungsmäßig<br />
richtig in Abhängigkeit von der Oberflächenrauheit simuliert.<br />
Dynamische Probleme<br />
Für die Simulation dynamischer Kontaktprobleme muss zusätzlich die kinetische<br />
Energie angegeben werden. Popov und Psakhie [97] zeigen, dass bei der Indentierung<br />
die kinetische Energie in guter Näherung nicht von der Kontaktkonfiguration<br />
abhängt, sondern der kinetischen Energie der Starrkörperbewegung entspricht.<br />
Für die Normalbewegung beim Gleiten jedoch sind weitere Überlegungen hinsichtlich<br />
der kinetischen Energie notwendig.<br />
.<br />
,
86 KAPITEL 7. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK<br />
PSfrag replacements<br />
G1<br />
Abbildung 7.1: Linearer Standardkörper bestehend aus zwei Federn und einem<br />
Dämpfer<br />
Viskoelastizität<br />
In der vorliegenden Arbeit wurde ausführlich das elastische Problem behandelt.<br />
Für das linear-viskoelastische Problem kann die Dimensionsreduktion analog<br />
durchgeführt werden. Das soll kurz, basierend auf Ideen von Radok [56, 104] zur<br />
Bestimmung der Spannungen und Deformationen im Falle linearer Viskoelastizität,<br />
erläutert werden. Falls die Lösungen für den linear-elastischen Fall bekannt<br />
sind, können die entsprechenden Lösungen für das linear-viskoelastische Problem<br />
durch Ersetzen der elastischen Konstanten durch die entsprechenden Integraloperatoren<br />
der viskoelastischen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen gefunden werden.<br />
Da die Dimensionsreduktion für den linear-elastischen Fall funktioniert, muss sie<br />
auch für den linear-viskoelastischen Fall funktionieren. Das soll am Beispiel eines<br />
viskoelastischen, inkompressiblen Materials (z. B. für Gummi gilt ν ≈ 0,5) illustriert<br />
werden. Mit der Relaxationsfunktion Ψ lässt sich die Beziehung zwischen<br />
den deviatorischen Spannungs- und Dehnungskomponenten in der Form<br />
s (t) =<br />
t<br />
0<br />
G2<br />
η<br />
Ψ t − ˜t ∂e<br />
∂˜t d˜t (7.1)<br />
schreiben. Für den Kontakt zwischen einer starren Kugel und einer viskoelastischen<br />
Ebene gilt dann statt<br />
F3D = 16<br />
3 GR3Dd3 die Relation<br />
F3D = 16<br />
t <br />
R3D Ψ3D t − ˜t<br />
3<br />
0<br />
d 3/2<br />
d<br />
d˜t<br />
d˜t .<br />
Entsprechend gilt im eindimensionalen Modell<br />
F1D = 4√2 R1D<br />
3<br />
t<br />
<br />
t − ˜t d 3/2<br />
d<br />
d˜t<br />
d˜t .<br />
Ψ1D<br />
0<br />
Mit R3D = 2R1D steht nun an Stelle der Forderung cn = E∗ = 4G die Forderung<br />
Ψ1D (t) = 4Ψ3D (t) .<br />
Für ein Materialmodell nach Abbildung 7.1 gilt<br />
<br />
<br />
G1<br />
Ψ (t) = G2 + G1 exp − t<br />
<br />
T<br />
G1 + G2<br />
, T =<br />
η<br />
G1 + G2<br />
In diesem Fall müssen alle drei Konstanten G1, G2 und η mit dem Faktor 4<br />
multipliziert werden. Die Beschreibung des viskoelastischen Materialverhaltens<br />
muss natürlich nicht mittels Prony-Reihen geschehen.<br />
.
PSfrag replacements<br />
7.2. OFFENE FRAGEN UND ZUKÜNFTIGE ENTWICKLUNGEN 87<br />
(a) (b)<br />
V<br />
Abbildung 7.2: Kavitation in geschmierten Systemen (a) ebene Platte und (b)<br />
Kugelkappe<br />
Schmierung<br />
Im Kapitel 6 wurde eine Möglichkeit behandelt, Schmierung in das eindimensionale<br />
Modell zu integrieren. Andere Wege sind denkbar; insbesondere sollte untersucht<br />
werden, ob Wechselwirkungen nur mit dem nächstliegenden Teilchen des<br />
Kontaktpartners genutzt werden können. Mit den verschiedenen Varianten der<br />
Wechselwirkungen sollten dann Vergleichsrechnungen für Mischreibungszustände<br />
durchgeführt werden.<br />
Weitere Untersuchungen sind zudem im Bereich der Kavitation notwendig. Wie<br />
bereits in Abschnitt 6.4 erwähnt, tritt durch die Berücksichtigung der Kavitation<br />
eine neue Feldgröße Dampfanteil α(r, t) (oder Dichte ρ(r, t)) auf. Dem kann durch<br />
die Einführung einer kinetischen Gleichung ˙ F = F(F, h, V ) für die zeitliche Entwicklung<br />
der Normalkraft Rechnung getragen werden. Der zeitliche Verlauf des<br />
Dampfanteils muss dann nicht mehr explizit verfolgt werden. In [38] wird gezeigt,<br />
wie die kinetische Gleichung für die ebene Platte (Abbildung 7.2a) aussieht.<br />
Für den Kugelkontakt (Abbildung 7.2b) wurde die entsprechende kinetische Gleichung<br />
bisher nicht gefunden. Es bleibt die Frage, ob eventuell die räumliche Verteilung<br />
des Dampfanteils im Fall der Kugelkappe eine Rolle spielt und somit der<br />
Beschreibung durch eine kinetische Gleichung im Wege steht.<br />
Reibung<br />
In der Einführung und im Anhang A wurde auch die Reibungsproblematik diskutiert.<br />
Die vorliegende Arbeit untersucht aber nur das Kontaktproblem. Ein Hauptbetätigungsfeld<br />
für zukünftige Weiterentwicklungen ist die Erweiterung auf tangentiale<br />
Relativbewegungen der Körper. Dann kann detailliert untersucht werden,<br />
zu welchen Reibungsgesetzen bestimmte Teilchen-Teilchen-Wechselwirkungen führen.<br />
Beim bestehenden Modell mit vertikalen und horizontalen Freiheitsgraden<br />
sind bereits Wechselwirkungen eingebaut, die einer tangentialen Relativbewegung<br />
entgegenwirken.<br />
Nichtstochastische Oberflächen<br />
Technische Oberflächen weisen u. U. künstlich erzeugte, deterministische Oberflächenstrukturen<br />
auf. Ein Beispiel sind Vertiefungen für Schmierstoffe in Umformeinrichtungen.<br />
Auch in diesem Fall besteht ein Bedarf für die Berechnung<br />
V
88 KAPITEL 7. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK<br />
des Reibgesetzes. Kann auch in diesem Fall eine Umrechnung auf eindimensionale<br />
Oberflächen gelingen?<br />
Anisotrope Reibung<br />
Bei der Blechumformung wird richtungsabhängiges Reibungsverhalten beobachtet.<br />
Für eine Berechnung des Tiefziehprozesses mit der Finite Elemente Methode<br />
(FEM) ist eine möglichst genaue Kenntnis des Reibgesetzes nötig. Andernfalls<br />
werden die nach dem Tiefziehen vorhandenen Blechdicken falsch vorhergesagt. In<br />
der eindimensionalen Simulation ist es denkbar, verschiedene Leistungsspektren<br />
für unterschiedliche Richtungen zu erzeugen und dann einzelne eindimensionale<br />
Berechnungen durchzuführen. Die so erzeugten Reibgesetze (für jede Richtung<br />
eines) können anschließend in der Berechnung mit der FEM genutzt werden.<br />
Verschleiß<br />
Von großem praktischen Interesse ist die Simulation von Verschleiß z. B. bei<br />
Gummireifen 1 . Dazu bedarf es einer Berücksichtigung der Materialeigenschaften<br />
des Gummis; die nichtlinearen elastischen Eigenschaften müssen ebenso berücksichtigt<br />
werden wie die viskoelastischen Eigenschaften. Zusätzlich muss entschieden<br />
werden, wie der Abtrag von Teilchen und die mit Verschleiß verbundene<br />
Rissausbreitung im eindimensionalen Modell funktionieren sollen.<br />
CMP<br />
Wie bereits in der Einleitung erwähnt, ist die Simulation des chemisch-mechanischen<br />
Polierens (CMP) ein vorgesehener Anwendungsfall des dargestellten Simulationsmodells.<br />
Weiterführende Untersuchungen, insbesondere auch der Vergleich<br />
zwischen Simulation und Experiment, sind hier in der Zukunft nötig.<br />
1 Arbeiten dazu laufen bereits am Fachgebiet Systemdynamik und Reibungsphysik.
Anhang A<br />
Kontakt- und<br />
Reibungsproblematik in<br />
verschiedenen<br />
Simulationsmethoden<br />
Im Abschnitt 1.2 wurde der Stand der Forschung in der Kontaktmechanik rauer<br />
Oberflächen kurz dargestellt. Im folgenden wird ein Überblick über die praktische<br />
Behandlung von Kontakt- und Reibungsproblemen in verschiedenen Simulationsmethoden<br />
gegeben. Obwohl aus theoretischer Sicht eine Einteilung in<br />
Mehrkörpersysteme und Finite Elemente Methode vielleicht nicht notwendig erscheint,<br />
hat sich in der Praxis hier eine klare Trennlinie herausgebildet. Dieser<br />
Anhang mag als Einstieg in die Simulation von Kontaktproblemen dienlich sein,<br />
sein eigentlicher Zweck ist jedoch, das praktische Umfeld der neu entwickelten<br />
Methode zu beleuchten.<br />
A.1 Mehrkörpersysteme<br />
Computersimulationen von Mehrkörpersystemen (MKS) sind aus dem industriellen<br />
Entwicklungsprozess heute nicht mehr wegzudenken. Mit zunehmenden Anforderungen<br />
an die Genauigkeit wächst auch das Interesse, Kontakt- und Reibungsphänomene<br />
möglichst gut abzubilden. Ein erheblicher Teil der Forschung<br />
in diesem Bereich konzentriert sich auf das Finden von Methoden zur Implementierung<br />
von einfachen Kontaktbedingungen und Coulombscher Reibung. Im<br />
Vordergrund steht dabei die Suche nach möglichst effizienten Algorithmen (hinsichtlich<br />
Rechenzeit und Implementierungsaufwand).<br />
Kontakte werden als einseitige starre Bindung angesehen. Die Reibungscharakteristik<br />
wird als gegeben vorausgesetzt und über eine maximale Haftkraft und eine<br />
Abhängigkeit der Gleitkraft von der Gleitgeschwindigkeit definiert. Häufig wird<br />
die Gleitkraft als konstant und gleich der maximalen Haftkraft angenommen.<br />
Die einfachste Methode, Reibung in MKS-Programme zu integrieren, ist die Approximation<br />
des Reibgesetzes durch eine stetige Reibkraftfunktion. Die Reibungskraft<br />
wird als eingeprägte Kraft behandelt, deren Geschwindigkeitsabhängigkeit<br />
bekannt ist. In der einfachsten Variante wird das Haften nicht berücksichtigt.<br />
Kompliziertere Varianten berücksichtigen das Haften durch Einbau einer zusätz-<br />
89
90 ANHANG A. SIMULATIONSMETHODEN<br />
lichen steifen Feder. Die mit großen Steifigkeiten verbundenen hohen Frequenzen<br />
bereiten in der Numerik Schwierigkeiten. Diese Methode wurde z. B. von Keudel<br />
et al. [59] und Bosso et al. [8] bei der Simulation von Primärfesselungen<br />
von Güterwagendrehgestellen und von Oden und Martins [75, 80] bei Untersuchungen<br />
von stick-slip-Phänomenen genutzt. Ähnlich können Kontakte in MKS-<br />
Simulationen durch einseitig wirkende Federn berücksichtigt werden.<br />
Ein gezieltes Umschalten zwischen Haften und Gleiten kann theoretisch erreicht<br />
werden, indem je nach Zustand (Haften oder Gleiten) ein anderer Satz von generalisierten<br />
Koordinaten und Differentialgleichungen genutzt wird. Die Bindungsgleichungen<br />
sind dann stets erfüllt. Dieser Vorteil wird jedoch durch eine große<br />
Zahl von Differentialgleichungssystemen erkauft, die nötig sind, da in der Regel<br />
jedes Reibelement unabhängig von den anderen im Zustand Haften oder Gleiten<br />
sein kann. Beschränkt man sich bei der Fahrsimulation eines Güterwagens mit<br />
Y25 Drehgestell auf 8 Reibkontakte, sind schon 256 verschiedene Sätze von generalisierten<br />
Koordinaten und Differentialgleichungen vorzusehen. Analoges gilt<br />
wiederum für die Kontaktformulierung.<br />
Ein anderes Verfahren ist die Zwangskraftsteuerung. Das Reibelement wird über<br />
einen Lagrangeschen Multiplikator berücksichtigt, der im Gleitfall den Wert der<br />
Gleitreibungskraft erhält und im Haftfall die Haftkraft als Zwangskraft berechnet.<br />
Kölsch [60] stellt dieses Verfahren in seiner Dissertation ausführlich dar und<br />
untersucht u. a. McPherson-Vorderachsen von Kraftfahrzeugen.<br />
Alle bisher beschriebenen Verfahren führen auf Systeme von Differentialgleichungen<br />
bzw. Systeme von algebraischen Gleichungen und Differentialgleichungen.<br />
Alternativ können auch die Methoden der nichtglatten Mechanik (non-smooth<br />
mechanics) herangezogen werden. Die Berücksichtigung von Kontakten und Coulombscher<br />
Reibung führt dann auf lineare Komplementaritätsprobleme (LCP)<br />
[40].<br />
Neben den vielzähligen Arbeiten zu geeigneten numerischen Algorithmen gibt<br />
es Arbeiten, die das dynamische Verhalten in Abhängigkeit vom gewählten Reibungsgesetz<br />
studieren, z. B. Awrejcewicz und Olejnik [5]. Wie bereits erwähnt,<br />
wird die Reibungscharakteristik in diesen Arbeiten fast ausschließlich als gegeben<br />
vorausgesetzt. Doch woher nimmt man die Reibungscharakteristik? Die Reibungscharakteristik<br />
zu messen, ist ein durchaus schwieriges Unterfangen 1 . Oden<br />
und Martins [75, 80] betonen, dass die experimentell ermittelten Reibungskraft-<br />
Geschwindigkeits-Kurven ohne jede Aussagekraft sind, solange die Variation der<br />
Normalkraft nicht korrekt berücksichtigt wird. Dass die Variation der Normalkraft<br />
oft signifikant ist, sehen sie durch Experimente bestätigt. Bild A.1 zeigt<br />
numerische Simulationen mit einem Modell mit zwei Freiheitsgraden [75] und konstantem<br />
Reibungskoeffizienten 2 . Den dargestellten Ergebnissen liegen Berechnungen<br />
mit einem Satz von Parametern (Steifigkeit, aufgebrachte Geschwindigkeit)<br />
zugrunde. Insbesondere ist der Reibungskoeffizient µ als Quotient aus Reibungskraft<br />
zu Normalkraft (Parameter der Reibpaarung) konstant. Dargestellt ist der<br />
1 Madakson [73] It has been demonstrated that the friction of a given material depends also<br />
on the test system. Samples of an identical material were distributed to different laboratories<br />
to measure the friction at given conditions. Using different measuring systems each laboratory<br />
reported a different value of the friction.<br />
2 Der Autor hat das Modell von Martins et al. (zwei Freiheitsgrade: Vertikal- und Horizontalbewegung)<br />
wie bei Glocker [40] allgemein beschrieben in ein LCP überführt und numerisch<br />
gelöst. Die Berechnungen sind mit den in [75] genannten Parametern durchgeführt worden.
PSfrag replacements<br />
A.2. FINITE ELEMENTE METHODE 91<br />
k<br />
m<br />
V<br />
µ<br />
Abbildung A.1: Experimenteller Aufbau zur Bestimmung des Reibgesetzes und<br />
zur Untersuchung von Reibschwingungen (links), typischer Verlauf scheinbarer<br />
Reibkoeffizient FR/FG über Relativgeschwindigkeit vrel (rechts)<br />
Quotient aus Reibungskraft und Gewichtskraft (scheinbarer Reibungskoeffizient)<br />
über der Gleitgeschwindigkeit. Diese Berechnung des Reibungskoeffizienten unterstellt,<br />
dass die Normalkraft zeitlich konstant ist. Im abgebildeten Fall ergibt<br />
sich für den scheinbaren Reibungskoeffizient ein Umlauf entgegen dem Uhrzeigersinn.<br />
Mit einem anderen Parametersatz ergibt sich bei gleichem konstanten<br />
Reibungskoeffizienten ein Umlauf in entgegengesetzer Richtung.<br />
Je nach experimentellem Aufbau und angelegter Geschwindigkeit können Kurven<br />
für den (scheinbaren) Reibungskoeffizienten erzeugt werden, die sich sowohl<br />
in Form als auch in Durchlaufsinn unterscheiden und das bei konstantem<br />
Reibungskoeffizienten. Mit Tribometern gemessene Reibkraftkennlinien FR (v)<br />
können demnach durch die Dynamik des Tribometers verursacht sein und sollten<br />
nicht einfach als Reibgesetze in MKS-Simulationen übernommen werden.<br />
A.2 Finite Elemente Methode<br />
Bei vielen Anwendungen ist die Druckverteilung und die Deformation der Kontaktflächen<br />
von Bedeutung. Zur Berechnung von elastischen und plastischen Deformationen<br />
- und damit prinzipiell auch zur Untersuchung von adhäsiven Kontakten<br />
und Reibungsphänomenen - stehen verschiedene Simulationsmethoden zur<br />
Verfügung. Weithin bekannt sind Verfahren, die auf der Diskretisierung von Kontinuumsgleichungen<br />
beruhen, insbesondere die Methoden der finiten Elemente<br />
(FEM) und der Randelemente.<br />
Kontaktformulierungen im Rahmen der FEM werden seit der Mitte der 70er Jahre<br />
entwickelt [33, 50]. Heute benutzen kommerzielle FE-Programme die so genannte<br />
node-to-surface-Formulierung, bei der die Knoten einer Oberfläche in Relation zu<br />
Elementen der anderen Oberfläche betrachtet werden.<br />
In vielen praktischen Anwendungen (Dichtungen, Umformprozesse, Eindrucktests)<br />
treten große Deformationen, nichtlineares Materialverhalten und große Relativbewegungen<br />
zwischen den beteiligten Kontaktpartnern auf. In diesen Fällen<br />
scheitern kommerzielle FE-Programme häufig. Deutlich robuster und genauer<br />
können Kontaktprobleme mit surface-to-surface-Formulierungen (Mortar Methode)<br />
simuliert werden [102, 103, 122].<br />
vrel
92 ANHANG A. SIMULATIONSMETHODEN<br />
PSfrag replacements<br />
3D-FE-Modell Oberflächentopographie<br />
Abbildung A.2: FE-Modell und Oberflächentopographie; die Berücksichtigung der<br />
gemessenen Oberflächentopographie erfordert eine feine Auflösung im Kontaktbereich.<br />
Rollkontaktprobleme (Rad-Schiene, Reifen-Straße) werden ebenfalls mit der FE-<br />
Methode untersucht. Die Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) Methode [31,<br />
78, 79] ist eine effiziente Methode zur Berechnung solcher Kontaktprobleme. Die<br />
räumlich feste Diskretisierung erlaubt eine Netzverfeinerung an den Kontaktstellen.<br />
Besonders elegant lassen sich mit der Methode stationäre Rollprobleme lösen,<br />
da in diesem Fall die Lösung zeitunabhängig ist. Die Berücksichtigung inelastischen<br />
Materialverhaltens ist hingegen mit Schwierigkeiten verbunden, da das Netz<br />
nicht an die materiellen Punkte geknüpft ist.<br />
Flanschverbindungen in Flugtriebwerken werden heute sowohl mit althergebrachten<br />
überschlägigen Berechnungsformeln als auch mit kommerziellen Finite-Elemente-Programmen<br />
untersucht [37]. Neben der Berechnung der Vergleichsspannungen<br />
in Schrauben und Flanschteilen wird im Hinblick auf die Dichtigkeit der<br />
Verbindung auch die Druckverteilung in der Kontaktzone berechnet.<br />
Bei der Untersuchung rauer Kontakte muss das Netz nahe der Kontaktfläche<br />
sehr fein sein (Abbildung A.2). Vorteil eines 3D-FE-Modells sind (1) die Verwendung<br />
der korrekten Geometrie (Dimension, Oberflächentopographie, Freiheitsgrade)<br />
und (2) die Möglichkeit, Spannungen und Deformationen im gesamten Körper<br />
berechnen zu können. Hyan et al. [51] nutzen die FEM zur Untersuchung der<br />
Normalkraft-Kontaktflächen-Relation und der Kontaktmorphologie bei selbstaffinen<br />
Oberflächen.<br />
Wegen der sehr feinen Netze, die bei rauen Kontakten nötig sind, erfordern 3D-<br />
FE-Modelle hohe Rechenzeiten. Das ist insbesondere im Hinblick auf ausgiebige<br />
Variantenrechnungen und Optimierung ein klarer Nachteil. Hinzu kommt, dass<br />
selbst bei Annahme glatter Oberflächen bei der Verwendung von Kontaktformulierungen<br />
in kommerziellen FE-Programmen äußerste Vorsicht angesagt ist.<br />
Vereinzelt werden mit der FE-Methode auch adhäsive Kontakte untersucht. Cho<br />
und Park [20] nutzen eine Formulierung, bei der adhäsive Kräfte als Volumenkräfte<br />
eingebunden werden. Die Volumenkräfte werden aus dem Lennard-Jones-<br />
Potential hergeleitet. Die Berücksichtigung der Adhäsion bei der Modellierung<br />
des Kontaktes zwischen rauen Oberflächen ist wichtig, auch wenn in Abreissversuchen<br />
keine Adhäsion festgestellt wird. Die reale Kontaktfläche kann nämlich<br />
durch die Adhäsion um ein Vielfaches größer sein als ohne Adhäsion [90]. Die<br />
reale Kontaktfläche wiederum ist von ausschlaggebender Bedeutung für die Größe
A.3. MOLEKULARDYNAMIK 93<br />
der Reibungskraft. Mögliche Anwendungen ihrer Arbeit sehen Cho und Park im<br />
computergestützten Design von Oberflächentopographien mit geringer Adhäsion<br />
für MEMS-Anwendungen.<br />
Große FE-Modelle können mit geeigneten Modellreduktionsverfahren behandelt<br />
werden [25], d.h. durch die Wahl eines geeigneten Unterraums kann die Dimension<br />
des Differentialgleichungssystems deutlich reduziert werden. Bei linearen<br />
Systemen können die Eigenvektoren genutzt werden, die zu den Eigenfrequenzen<br />
gehören, die mutmaßlich angeregt werden. Selbst bei feiner Diskretisierung<br />
genügen oft wenige Eigenformen und damit modalen Koordinaten. Bei nichtlinearen<br />
Systemen muss ein modifiziertes Vorgehen zur Anwendung kommen.<br />
Bei Kontaktproblemen mit stochastischen Oberflächen wird zumindest an der<br />
Oberfläche eine sehr feine Diskretisierung benötigt. In diesem Fall ist bisher nicht<br />
klar, wie eine Modellreduktion vorgenommen werden kann. Wie bereits in Abschnitt<br />
1.1 ausgeführt, kann die Oberflächenschicht mit Teilchenmethoden beschrieben<br />
werden; für das Innere der Körper hingegen kann ein FE-Modell benutzt<br />
werden. Für das FE-Modell können die Methoden der Modellreduktion verwendet<br />
werden.<br />
A.3 Molekulardynamik<br />
Bei der Molekulardynamik werden i. d. R. die Newtonschen Gleichungen für ein<br />
System aus Teilchen (Atome oder Moleküle) gelöst [27]. Die Wechselwirkungen<br />
zwischen den Teilchen folgen entweder aus empirischen Überlegungen oder aus<br />
quantenmechanischen Berechnungen.<br />
Molekulardynamik wird heute für die Simulation sehr dünner Schmierfilme eingesetzt.<br />
Die verfügbare Rechenleistung begrenzt die Anwendbarkeit auf sehr kleine<br />
Systemgrößen und sehr kurze Zeiten. Spikes [113] sieht die Zukunft der Molekulardynamik<br />
u. a. in der Berechnung makroskopischer Materialparameter aus der<br />
Molekülstruktur.<br />
A.4 Teilchenmethoden<br />
Ein anderes Herangehen an die Simulation von Kontakt- und Reibungsproblemen<br />
weisen Teilchenmethoden auf, bei denen diskrete Teilchen die Objekte der<br />
Berechnung sind. Diese Teilchen sind keine realen (physikalischen) Objekte sondern<br />
reine ” Berechnungseinheiten“. Die Wechselwirkungen zwischen den Teilchen<br />
müssen so gewählt werden, dass makroskopisch das elastische und plastische Verhalten<br />
richtig beschrieben wird. Es werden also weder die makroskopischen Kontinuumsgleichungen<br />
noch die mikroskopischen Gleichungen der Molekulardynamik<br />
gelöst, sondern die mikroskopischen Gleichungen eines geeigneten Ersatzsystems.<br />
Die Größe der Teilchen kann dem zu lösenden Problem angepasst werden. Bei der<br />
Untersuchung von Erdbeben kann die Teilchengröße durchaus im Meterbereich<br />
liegen.<br />
Die Reibungskraft ist durch Prozesse wie elastische und plastische Deformation,<br />
Bruch, Herauslösen und Wiedereinbauen von Teilchen sowie Mischungsprozesse<br />
bestimmt. Diese Prozesse finden in den Mikrokontakten statt. Die Methode der<br />
beweglichen zellulären Automaten (movable cellular automata, MCA) stellt
94 ANHANG A. SIMULATIONSMETHODEN<br />
PSfrag replacements<br />
V<br />
fest<br />
Abbildung A.3: Typischer Aufbau einer MCA Simulation<br />
eine Teilchenmethode dar, mit der erfolgreich die Prozesse in den Mikrokontakten<br />
simuliert werden [96]. Insbesondere erlaubt die Methode die Untersuchung, wie<br />
Material- und Lastparameter die Reibungskraft und den Verschleiß beeinflussen.<br />
Zwei Anwendungen, in denen die MCA-Methode bisher eingesetzt wurde, sind<br />
der Rad-Schiene-Kontakt [99] und Verbrennungsmotoren [98].<br />
Reibungssimulationen auf makroskopischer Skala sind trotz der Skalierbarkeit der<br />
Teilchen bisher aus Kapazitätsgründen nicht möglich, da bei Reibungsproblemen<br />
die Mikroskala mit berücksichtigt werden muss.<br />
Abbildung A.3 zeigt den typischen Aufbau einer MCA-Simulation. Die MCA-<br />
Methode betrachtet Teilchen, die mit ihren Nachbarn nach wohldefinierten Gesetzen<br />
wechselwirken. Wird ausschließlich linear-elastisches und isotropes Material<br />
betrachtet, können die Wechselwirkungsgesetze als lineare Federn verstanden werden.<br />
Die Teilchen haben dann nur translatorische Freiheitsgrade. Es ist dennoch<br />
nicht trivial, die Wechselwirkungen korrekt anzugeben, da bestimmte Anforderungen<br />
wie Isotropie und die Existenz zweier unabhängiger Materialparameter<br />
erfüllt sein müssen [96, 107].<br />
Um die mit der Reibung verbundenen Prozesse in den Mikrokontakten zu beschreiben,<br />
müssen plastische Deformationen sowie der Bruch und die Wiederherstellung<br />
von Bindungen berücksichtigt werden. Dies führt zur Einführung neuer<br />
Freiheitsgrade für die Teilchen und zur Definition des Zustandes eines Paares:<br />
zwei benachbarte Teilchen können eine Bindung aufweisen oder auch nicht.<br />
Yang et al. [123] und Popov und Heß beschreiben hierarchische Feder-Masse-<br />
Systeme, mit denen Kontakte zwischen rauen Oberflächen näher untersucht werden<br />
können. Ausgehend von einer sehr feinen Diskretisierung an der Oberfläche<br />
wird die Diskretisierung in den Körper hinein immer gröber. Grundlage dieser<br />
Modellierung ist die Tatsache, dass eine periodische Spannungsverteilung mit<br />
Wellenlänge λ, die auf einen elastischen Halbraum wirkt, Deformationen bis in<br />
eine Tiefe von der Größenordnung von λ bewirkt.<br />
F
PSfrag replacements<br />
A.4. TEILCHENMETHODEN 95<br />
d<br />
V<br />
j = n<br />
j = 1<br />
Abbildung A.4: Auf dem Tomlinson-Modell basierendes Schichtenmodell [39] zur<br />
Untersuchung der quasiflüssigen Schicht<br />
Zudem werden im Modell von Popov und Heß nur die vertikalen Bewegungsmöglichkeiten<br />
berücksichtigt. Genau wie im echten 3D-Modell (z.B. FE-Modell)<br />
hat das hierarchische Modell die korrekte Dimension. Es kann daher auch die<br />
Originaloberflächentopographie verwendet werden. Zudem sind die Deformationen<br />
und Spannungen auch im Innern des Körpers berechenbar.<br />
Das Ziel der hierarchischen Modellierung besteht darin, nur wirklich notwendige<br />
Freiheitsgrade mitzunehmen und auf diesem Weg die Rechenzeit zu reduzieren,<br />
ohne dabei einen deutlichen Verlust an Informationen hinnehmen zu<br />
müssen. Ein 3D-Problem wird genau wie bei einer FE-Rechnung mit einem 3D-<br />
Simulationsmodell berechnet. Bei dem in der vorliegenden Arbeit beschriebenen<br />
Simulationsmodell wird hingegen eine deutliche Reduktion von 3D-Modellen auf<br />
1D-Modelle unter Inkaufnahme von Informationsverlust und Ungenauigkeit im<br />
Detail vorgenommen.<br />
Weitere allgemein geeignete Methoden zur Simulation von Kontakt- und Reibungsproblemen<br />
sind die Methode der Mesoteilchen von Ostermeyer [84, 86]<br />
und die Methode der Gitterteilchen (movable lattice particles) [95]. Bei der<br />
Methode der Mesoteilchen werden thermische Effekte berücksichtigt. Zudem gibt<br />
es Methoden, die speziell auf ein technisches Problem zugeschnitten sind, z.B. das<br />
Simulationsprogramm von Ostermeyer und Müller [85] zur Untersuchung der<br />
Entwicklung der Oberflächentopographie in Scheibenbremsen auf Basis eines zellulären<br />
Automaten.<br />
Andere Teilchenmodelle dienen ausschließlich dem besseren Verständnis der Ergebnisse<br />
von komplizierteren Methoden. Bei der Untersuchung von Reibung mit<br />
der MCA-Methode wurde die Entstehung einer sog. quasiflüssigen Schicht beobachtet,<br />
in der intensive plastische Deformationen und das Umordnen von Teilchen<br />
stattfinden. Um die Ursachen für die Entstehung der quasiflüssigen Schicht besser<br />
zu verstehen, wurde ein auf dem Tomlinson-Modell basierendes Schichtenmodell<br />
des elasto-plastischen Festkörpers untersucht [39]. Abbildung A.4 zeigt das aus n<br />
Schichten bestehende Modell. Die einzelnen Schichten wechselwirken über ein periodisches<br />
Potential. Bei kleinen Schubspannungen zeigt sich ein linear-elastisches<br />
Verhalten. Bei großen Spannungen hingegen bewegen sich die Schichten gegeneinander,<br />
die Fließgrenze wurde überschritten. Durch die passende Wahl der Parameter<br />
des Wechselwirkungspotentials können die makroskopischen Eigenschaften<br />
des elasto-plastischen Körpers eingestellt werden.<br />
Wird nun die mittlere Gleitgeschwindigkeit bei Aufbringung einer Schubspannung<br />
bestimmt, ergibt sich das ” Reibungsgesetz“, d.h. die Abhängigkeit der Reibungskraft<br />
von der Gleitgeschwindigkeit für verschiedene Materialparameter.<br />
U<br />
a<br />
F<br />
x
96 ANHANG A. SIMULATIONSMETHODEN<br />
Es zeigt sich, dass auch im einfachen Schichtenmodell eine quasiflüssige Schicht<br />
entsteht und dass die Entstehung der quasiflüssigen Schicht durch die Bistabilität<br />
des ” Reibungsgesetzes“ bedingt ist. Es zeigt sich ferner, dass die Reibungskraft<br />
und die Dicke der quasiflüssigen Schicht nicht nur von makroskopischen Größen<br />
sondern auch von mikroskopische Größen (Schichtdicke) abhängen.<br />
A.5 Geschmierte Systeme<br />
Im Gegensatz zu Systemen mit trockener Reibung können viele geschmierte Systeme<br />
heute mit hoher Genauigkeit simuliert werden. Das ist darin begründet, dass<br />
geschmierte Systeme häufig im Bereich der reinen hydrodynamischen Schmierung<br />
betrieben werden. In diesem Regime wird das Verhalten durch den Schmierfilm<br />
bestimmt. Der Schmierfilm kann mittels der Reynoldsgleichung mathematisch<br />
beschrieben werden. Für sehr einfache Beispiele können analytische Lösungen<br />
gefunden werden; andernfalls werden numerische Lösungsverfahren genutzt, z.<br />
B. Finite Differenzen und Differential Quadrature Methoden [47, 112].<br />
Bei geschmierten Systemen mit nicht-konformen Oberflächen, wie sie bei Wälzlagern,<br />
Zahnradgetrieben und Nocken auftreten, reichen die Berechnungsmethoden<br />
der hydrodynamischen Schmierung nicht mehr aus. Vielmehr sind dann die<br />
Verformungen der geschmierten Oberflächen bei der Simulation zu berücksichtigen.<br />
Es wird in diesem Fall von elasto-hydrodynamischer Schmierung (EHL)<br />
gesprochen [26, 28]. Im Fall der elasto-hydrodynamischer Schmierung sind im<br />
einzelnen die folgenden Aspekte von Bedeutung [118]:<br />
• die Reynoldsgleichung, die die Strömung des Fluids im Schmierspalt beschreibt,<br />
• die Kavitationsbedingung,<br />
• die Gleichungen für die elastischen Deformationen, die die veränderte Geometrie<br />
des Schmierspaltes beschreiben,<br />
• die Beziehungen zwischen Viskosität und Druck sowie zwischen Dichte und<br />
Druck,<br />
• die globale Gleichgewichtsbedingung, die fordert, dass die aufgebrachte Last<br />
gleich der aus der Druckverteilung resultierenden Kraft ist.<br />
Unter Umständen müssen noch weitere Effekte berücksichtigt werden, z.B. thermische<br />
Effekte.<br />
Neben der Komplexität der Gleichungen kommt beim EHL-Problem erschwerend<br />
hinzu, dass die Lösung an sehr vielen Punkten berechnet werden muss. Das<br />
hat im wesentlichen zwei Gründe: einen physikalischen und einen rein numerischen.<br />
Zum einen spielt die Oberflächenrauheit eine Rolle. Die daher notwendige<br />
Beschreibung der Oberflächentopographie erfordert ein sehr feines Netz. Zum anderen<br />
wird bei groben Netzen die Genauigkeit in den berechneten Filmdicken<br />
sehr schlecht; u. U. werden numerisch negative Filmdicken berechnet. Eine weitverbreitete<br />
Möglichkeit, das elasto-hydrodynamischen Problems effizient zu lösen,<br />
stellen so genannte Multigrid/Multilevel-Methoden dar [118]. Caika et al. [16] vergleichen<br />
am Beispiel des Kurbeltriebes verschiedene Berechnungsverfahren und<br />
gehen dabei auch auf die Bedeutung der thermischen Effekte ein.
A.5. GESCHMIERTE SYSTEME 97<br />
In der Motorentechnik, wie auch in anderen Bereichen, führt das Streben nach<br />
immer höheren Leistungsdichten zum Auftreten von Mischreibungszuständen. In<br />
diesem Fall wird nur ein Teil der Last durch den Druck im Schmiermittel getragen,<br />
der andere Teil der Last wird durch den Kontaktdruck zwischen den Asperiten<br />
getragen. Knoll [61] stellt Methoden zur Berücksichtigung von Mischreibungskontakten<br />
dar.<br />
Spikes [113] weist darauf hin, dass Computersimulationen ein adäquates Verständnis<br />
der zugrunde liegenden physikalischen Prozesse voraussetzt. Er sieht<br />
aktuell viele Bereiche, in denen die Fortentwicklung von Simulationen durch den<br />
Mangel an Grundlagenwissen behindert wird. Insbesondere nennt er im Zusammenhang<br />
mit der EHL mangelndes Wissen zur Schadensakkumulation und zum<br />
Verhalten von Schmierfilmen bei sehr geringen Filmdicken. Offene Fragen sind<br />
u. a. (1) die rheologischen Eigenschaften von sehr dünnen Schmierfilmen, (2) die<br />
Randbedingungen an der Wand (Haften oder Gleiten), (3) die Kinetik der Bildung<br />
von Reaktionsschichten aus Antiverschleißadditiven, (4) das Verhalten in<br />
den Mikrokontakten bei extrem kleinen Filmdicken.
98 ANHANG A. SIMULATIONSMETHODEN
PSfrag replacements<br />
Anhang B<br />
Bedeutung der Dimension bei<br />
Kontaktproblemen<br />
Insbesondere in den Kapiteln 1 und 2 wurde bereits auf die Dimensionsproblematik<br />
eingegangen. Schwerpunkt der Ausführungen war stets die Dimensionsreduktion,<br />
d. h. die Möglichkeit, ein dreidimensionales Kontaktproblem zu Simulationszwecken<br />
durch ein eindimensionales Kontaktproblem zu ersetzen. Um<br />
das Bewusstsein für die Bedeutung der Dimension bei Kontaktproblemen weiter<br />
zu schärfen, werden in diesem Anhang einige zwei- und dreidimensionale Kontaktprobleme<br />
näher betrachtet. Wie bereits in Abschnitt 2.1 erläutert, dient der<br />
Anhang zusätzlich dazu, einige Berechnungsmethoden genauer vorzustellen. Diese<br />
Berechnungsmethoden wurden zum Teil in anderen Kapiteln der Arbeit für<br />
Vergleichsrechnungen benutzt und werden in diesem Kapitel anhand einfacher<br />
Beispiele dargestellt und hinsichtlich ihrer korrekten Implementierung überprüft.<br />
B.1 Dreidimensionale Kontaktprobleme<br />
B.1.1 Analytische Lösungen<br />
Eine konstante Druckverteilung p, die in einem kreisförmigen Gebiet (Radius<br />
a) auf einen elastischen Halbraum wirkt, verursacht folgende Verschiebung der<br />
ūzπE<br />
(1−ν2 )pa<br />
0<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
p<br />
0 1 2<br />
r<br />
a<br />
3 4 5<br />
Abbildung B.1: Normalverschiebung ūz der Oberfläche gemäß Gleichung (B.1)<br />
99
100 ANHANG B. BEDEUTUNG DER DIMENSION<br />
Oberfläche in vertikaler Richtung [56]<br />
ūz = 4 (1 − ν2 ) pa<br />
E (¯r) für ¯r ≤ 1 (B.1a)<br />
πE<br />
ūz = 4 (1 − ν2 <br />
) pa 1<br />
E − 1 −<br />
πE ¯r<br />
1<br />
¯r 2<br />
<br />
1<br />
K ¯r für ¯r > 1 (B.1b)<br />
¯r<br />
mit der dimensionslosen radialen Koordinate ¯r = r/a (Abbildung B.1). Die Funktionen<br />
K und E bezeichnen die vollständigen elliptischen Integrale erster bzw.<br />
zweiter Art. E ist der E-Modul und ν ist die Querkontraktionszahl.<br />
Die Verschiebung ūz ist eindeutig berechenbar, insbesondere kann die Verschiebung<br />
in der Mitte (r = 0) bestimmt werden 1 . Für große Entfernungen von der<br />
Lasteinleitungsstelle ergibt sich aus (B.1b) die Approximation<br />
ūz ≈ (1 − ν2 ) pa 1<br />
E ¯r<br />
für ¯r ≫ 1 .<br />
Das ist das bekannte Ergebnis für eine vertikale Einzelkraft der Größe πa 2 p. In<br />
sehr großer Entfernung von der Lasteinleitungsstelle fällt die Verschiebung mit<br />
¯r −1 . Die elastische Energie ist hauptsächlich auf einen kleinen Bereich um die Lasteinleitungsstelle<br />
konzentriert. Sie ist eine lokale Größe, die praktisch nicht von<br />
den makroskopischen Abmessungen der Körper abhängt, sondern von der Geometrie<br />
des Kontaktes. Bei Kontaktproblemen wird meist auf Halbraumlösungen<br />
aufgebaut; die Grundannahme ist, dass das Kontaktgebiet wesentlich kleiner als<br />
die Abmessungen des betrachteten Körpers ist. Auch auf Asperitenniveau wird<br />
davon ausgegangen (z.B. Modell von Greenwood und Williamson [43, 44]). Das ist<br />
gerechtfertigt, weil die Steigungen rauer Oberflächen nur wenige Grad betragen.<br />
Die analytische Lösung des Hertzschen Kontaktproblems (Punktkontakt) wird in<br />
Kapitel 2 behandelt.<br />
B.1.2 Simulation mit Randelementen<br />
Im folgenden wird die Behandlung des Normalkontaktproblems durch numerisches<br />
Lösen der entsprechenden Integralgleichung des Halbraumproblems vorgestellt.<br />
Dabei handelt es sich um eine Randelementemethode, bei der die am<br />
Kontakt beteiligten Körper als elastische Halbräume modelliert werden. Es sei<br />
schon an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass die beschriebene Methode lineare<br />
Elastizität voraussetzt.<br />
Nach Vorstellung der relevanten Gleichungen wird das direkte Problem ” Normalspannung<br />
gegeben, Verschiebung der Oberfläche gesucht“ näher untersucht. Im<br />
Anschluss wird das Normalkontaktproblem näher betrachtet.<br />
Grundgleichungen<br />
Boussinesq 2 bestimmte die Verschiebungen und Spannungen innerhalb eines elastischen<br />
Halbraums, der an der Oberfläche durch eine konzentrierte Normalkraft<br />
1 Es gibt nicht wie im 2D-Fall eine (zunächst unbestimmte) Konstante, die von den Abmessungen<br />
der beteiligten Körper abhängt (siehe Gleichung (B.10)).<br />
2 Valentin Joseph Boussinesq, 1842-1929, französischer Mathematiker und Physiker
B.1. 3D KONTAKTPROBLEME 101<br />
P belastet ist [9]. Die Lösung in Zylinderkoordinaten lautet für den Fall, dass der<br />
Koordinatenursprung der Kraftangriffspunkt ist,<br />
ur = P<br />
<br />
rz (1 − 2ν) r<br />
− (B.2a)<br />
4πGR R2 R + z<br />
uϑ = 0 (B.2b)<br />
uz = P<br />
<br />
2 (1 − ν) +<br />
4πGR<br />
z2<br />
R2 <br />
, (B.2c)<br />
wobei R2 = r2 +z2 . G ist der Schubmodul. Die Gleichungen (B.2) stellen somit die<br />
Fundamentallösung bzw. Green-Funktion für das Halbraumproblem mit gegebener<br />
Oberflächenspannung dar. Die Herleitung von (B.2) gelingt auf verschiedenen<br />
Wegen [65, 110].<br />
Integration der Fundamentallösung über den belasteten Bereich liefert Spannungen<br />
und Verschiebungen im Halbraum bei beliebigen Oberflächenspannungen.<br />
Insbesondere gilt für die vertikale Verschiebung an der Oberfläche<br />
ūz (x, y, z = 0) =<br />
1 − ν2<br />
πE<br />
<br />
(A)<br />
<br />
p (ˆx, ˆy)<br />
(ˆx − x) 2 + (ˆy − y) 2<br />
dˆxdˆy . (B.3)<br />
Die Integralgleichung (B.3) kann in einfachen Fällen analytisch gelöst werden. Im<br />
allgemeinen ist eine numerische Lösung notwendig; dazu ist eine Diskretisierung<br />
erforderlich.<br />
Wird bei der Diskretisierung mit N × N Elementen von einem im Element konstanten<br />
Druck ausgegangen, ergibt sich folgender diskretisierter Zusammenhang<br />
zwischen Druck pîˆj und vertikaler Oberflächenverschiebung ūij [13]<br />
mit<br />
und<br />
ūij =<br />
N<br />
î=1<br />
N<br />
ˆj=1<br />
Kijîˆjpîˆj<br />
Kijîˆj = ∆<br />
πE∗ <br />
c +<br />
a ln<br />
√ a2 + c2 d + √ a2 + d2 <br />
d +<br />
+ b ln<br />
√ b2 + d2 c + √ b2 + c2 <br />
+<br />
<br />
a +<br />
c ln<br />
√ a2 + c2 b + √ c2 + b2 <br />
b +<br />
+ d ln<br />
√ b2 + d2 a + √ a2 + d2 <br />
a = i − î + 1<br />
2<br />
c = j − ˆj + 1<br />
2<br />
, b = i − î − 1<br />
2<br />
, d = j − ˆj − 1<br />
2<br />
.<br />
(B.4)<br />
Hierbei bezeichnen E ∗ den effektiven elastischen Modul (siehe Gl. (2.3), Seite 15)<br />
und ∆ den Gitterabstand.<br />
In der vorliegenden Implementierung werden die Größen ūij und pîˆj durch spaltenweise<br />
Übertragung in einer Spaltenmatrix (mit N 2 Zeilen) angeordnet. Formal<br />
lässt sich (B.4) dann schreiben als<br />
mit einer Matrix A der Dimension N 2 × N 2 .<br />
u = Ap (B.5)
PSfrag replacements<br />
102 ANHANG B. BEDEUTUNG DER DIMENSION<br />
Druck<br />
Verschiebung<br />
Abbildung B.2: Beispiel: Aus der Hertzschen Druckverteilung (B.6) (links) folgt<br />
die Oberflächenverschiebung (rechts), die im druckbeaufschlagten Bereich parabolisch<br />
ist; Berechnung mit 64 × 64 Punkten.<br />
Beispiel Hertzsche Druckverteilung<br />
Mit der beschriebenen Methode wird nun die Oberflächenverschiebung unter der<br />
Wirkung der Hertzschen Druckverteilung<br />
<br />
p = p0 1 − r2<br />
a2 , r ≤ a (B.6)<br />
numerisch bestimmt. Ausgehend von Gleichung (B.4) muss in diesem Fall weder<br />
ein Gleichungssystem gelöst werden noch ist ein iteratives Vorgehen nötig.<br />
Abbildung B.2 zeigt (qualitativ) die Druckverteilung (links) und die daraus resultierende<br />
Verschiebung der Oberfläche (rechts).<br />
Es ergibt sich erwartungsgemäß eine parabolische Verteilung der Oberflächenverschiebungen<br />
(Abbildung B.3) und zudem stellt sich der korrekte Zusammenhang<br />
zwischen Kraft und Abplattung<br />
ein (ohne Abbildung).<br />
Normalkontaktproblem<br />
F = 4<br />
3 E∗√ Rd 3<br />
Bei Kontaktproblemen ist anfänglich die Größe und Lage des Kontaktgebietes<br />
unbekannt. Daher müssen Kontaktprobleme iterativ gelöst werden 3 .<br />
Im Kontaktgebiet ist die Spaltdicke 0, d.h. die Verschiebung der rauen, elastischen<br />
Oberfläche ist in diesem Bereich bekannt. Außerhalb des Kontaktgebietes ist der<br />
Druck 0; die Verschiebung hingegen ist i. a. von 0 verschieden.<br />
Zu Beginn wird ein Kontaktgebiet angenommen. Die Variablen werden nun partitioniert<br />
in die Variablen pi und ui innerhalb des Kontaktgebietes und pa und ua<br />
außerhalb des Kontaktgebietes. Bekannt sind ui und pa = 0. Nach Umsortieren<br />
ergibt sich aus (B.5)<br />
A1 A2<br />
A3 A4<br />
pi<br />
0<br />
<br />
=<br />
ui<br />
ua<br />
<br />
(B.7)<br />
3 Wenn bei Simulationen der Kontakt über nichtlineare Wechselwirkungskräfte simuliert<br />
wird, ist auch ein iteratives Vorgehen notwendig. Lineare Wechselwirkungskräfte funktionieren<br />
nicht, weil dies u. a. Zug bedeuten würde. Zudem wird progressives Verhalten gewünscht.
B.1. 3D KONTAKTPROBLEME 103<br />
ūz<br />
d<br />
PSfrag replacements<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
0 1 2<br />
r<br />
a<br />
3 4<br />
Abbildung B.3: Oberflächenverschiebung ūz, die sich für die Druckverteilung (B.6)<br />
ergibt (Punkte: numerisches Ergebnis; gestrichelte Kurve: analytisches Ergebnis).<br />
Berechnungen mit N = 64.<br />
und damit schließlich<br />
A1pi = ui<br />
(B.8)<br />
A3pi = ua . (B.9)<br />
Die Lösung des Gleichungssystems (B.8) liefert den Druck pi im Kontaktgebiet.<br />
Mit diesem Ergebnis kann mittels (B.9) die Verschiebung ua im Außenbereich<br />
berechnet werden.<br />
Der erste Iterationsschritt wird i. a. auch negative Drücke (Zugspannungen) im<br />
Kontaktgebiet und negative Spaltdicken außerhalb des Kontaktgebietes liefern.<br />
Das neue Kontaktgebiet wird nun so gewählt, dass alle Punkte mit Zugspannungen<br />
aus dem Kontaktgebiet entfernt werden und alle Punkte mit negativen Spaltdicken<br />
zum Kontaktgebiet hinzugenommen werden. Mit dieser neuen Näherung<br />
für das Kontaktgebiet wird die beschriebene Berechnung wiederholt. Die Iteration<br />
erfolgt, bis (in guter Näherung) keine Zugspannungen und negative Spaltdicken<br />
mehr existieren.<br />
Beispiel Hertzscher Kontakt<br />
Nun wird tatsächlich das Hertzsche Kontaktproblem gelöst, d.h. zu Beginn sind<br />
weder das Kontaktgebiet noch die Druckverteilung bekannt. Die Größe des Kontaktgebietes<br />
und die Druckverteilung ergeben sich iterativ. Abbildung B.4 zeigt<br />
das Verhalten qualitativ für einen Satz von Parametern.<br />
Es zeigt sich eine hervorragende Übereinstimmung zwischen analytischer Lösung<br />
<br />
p 2 d<br />
=<br />
E∗ π R<br />
ūz<br />
d<br />
<br />
<br />
r<br />
<br />
2<br />
2<br />
d<br />
1 −<br />
d a<br />
1<br />
<br />
r<br />
2 d<br />
= 1 − , |r| ≤ a<br />
2 d R<br />
und numerischer Lösung (Abbildung B.5).
104 ANHANG B. BEDEUTUNG DER DIMENSION<br />
PSfrag replacements<br />
20<br />
0<br />
−20<br />
20<br />
0<br />
−20<br />
Druck Verschiebung<br />
−20 0 20 40<br />
−20 0 20 40<br />
20<br />
0<br />
−20<br />
10<br />
5<br />
0<br />
−5<br />
−20 0 20 40<br />
Spaltdicke Kontaktgebiet<br />
−10<br />
−10 0 10<br />
Abbildung B.4: Qualitative Ergebnisse für den Hertzschen Kontakt (N = 64,<br />
R/d = 100, a/d = 10)<br />
PSfrag replacements<br />
ūz/d<br />
1<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
0 10 20 30<br />
r/d<br />
p/E ∗<br />
0.06<br />
0.05<br />
0.04<br />
0.02<br />
0.01<br />
0<br />
0 10 20 30<br />
Abbildung B.5: blau, durchgezogen: numerische Lösung, grün, gestrichelt: analytische<br />
Lösung (Verschiebung nur im Innenbereich) N = 64, R/d = 100, a/d = 10<br />
r/d
B.1. 3D KONTAKTPROBLEME 105<br />
PSfrag replacements<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
A/Ages<br />
0.10<br />
0.08<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
0 0 1 2 3<br />
Druck<br />
Abbildung B.6: Zusammenhang zwischen Normalkraft F und Kontaktfläche A<br />
(bezogen auf die scheinbare Kontaktfläche Ages); Mittelwerte und Standardabweichungen<br />
für 450 Oberflächen, exemplarisch: Oberflächentopographie und zwei<br />
Druckverteilungen<br />
Raue Oberflächen<br />
Nachdem der Hertzsche Kontakt erfolgreich mit der beschriebenen Methode behandelt<br />
wurde, kann nun der Kontakt rauer Oberflächen untersucht werden. Ziel<br />
ist der Vergleich der Simulationsergebnisse für drei- und eindimensionale Berechnungsmodelle<br />
hinsichtlich der Beziehung zwischen Normalkraft F und Kontaktfläche<br />
A.<br />
Mittels Gleichung (3.13) (Seite 29) werden raue Oberflächen erzeugt. Anschließend<br />
werden mit der beschriebenen Methode die Beziehungen zwischen Normalkraft<br />
F und Annäherung d sowie zwischen Normalkraft F und Kontaktfläche A<br />
bestimmt. Da nur Oberflächen mit maximal 64 × 64 Punkten untersucht werden<br />
können, gibt es sichtbare Abweichungen zwischen den Kurven für verschiedene<br />
Oberflächen.<br />
Abbildung B.6 zeigt den Zusammenhang zwischen Normalkraft F und Kontakt-<br />
F
106 ANHANG B. BEDEUTUNG DER DIMENSION<br />
ūzπE<br />
(1−ν2 )p<br />
0<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
−3 −2 −1 0<br />
x<br />
a<br />
1 2 3<br />
Abbildung B.7: Normalverschiebung ūz an der Oberfläche gemäß Gleichung<br />
(B.10), wobei C = 8 gewählt wurde.<br />
fläche A und zwar die jeweiligen Mittelwerte für 450 untersuchte Oberflächen<br />
und die Standardabweichungen (Fehlerbalken). Exemplarisch sind außerdem eine<br />
Oberflächentopographie und zwei Druckverteilungen gezeigt.<br />
B.2 Zweidimensionale Kontaktprobleme<br />
Zum Vergleich werden jetzt zweidimensionale Kontaktprobleme vorgestellt. Dabei<br />
sollen, wie gesagt, die Unterschiede zu dreidimensionalen Problemen herausgearbeitet<br />
werden und Berechnungsmethoden vorgestellt werden.<br />
B.2.1 Halbraumlösung<br />
Untersucht wird zunächst eine konstante Druckverteilung in einem Streifen −a ≤<br />
x ≤ a. Die Verschiebung der Oberfläche in z-Richtung (vertikale Richtung) ist<br />
nach [56]<br />
ūz = − (1 − ν2 2 ) p<br />
x + a<br />
(x + a) ln<br />
πE<br />
a<br />
<br />
(B.10)<br />
2<br />
x − a<br />
− (x − a) ln − C .<br />
a<br />
Die Lösung gilt sowohl innerhalb des druckbeaufschlagten Gebietes (−a ≤ x ≤ a)<br />
als auch außerhalb. Die Verschiebung der Oberfläche ist in der Halbraumannäherung<br />
nur bis auf eine Konstante C berechenbar 4 . Die Verschiebung in der<br />
Nähe der Krafteinleitungsstelle hängt davon ab, wie groß der Körper ist. Wenn<br />
man numerische Berechnungen mit endlichen Modellen durchführt (siehe Abschnitt<br />
B.2.2) bzw. Messungen an realen Körpern vornimmt, ergibt sich die Konstante<br />
letztendlich aus den Randbedingungen. Abbildung B.7 zeigt die vertikale<br />
Verschiebung der Oberfläche für eine bestimmte Wahl von C und die wirkende<br />
Druckverteilung.<br />
Für x ≫ a ergibt sich die Näherung<br />
ūz ≈ − (1 − ν2 ) p<br />
πE<br />
<br />
4a 1 + ln x<br />
<br />
a<br />
p<br />
<br />
− C<br />
4 Eine eindeutige Halbraumlösung gibt es demnach für das 2D-Problem nicht.<br />
. (B.11)
PSfrag replacements<br />
B.2. 2D KONTAKTPROBLEME 107<br />
σx = τxy = 0<br />
τxy = 0<br />
ux = uy = 0<br />
y<br />
p<br />
-0,4 -0,2 0,0<br />
x/L<br />
p<br />
x<br />
σx = τxy = 0<br />
0,2 0,4<br />
Gitterpunkte in<br />
x-Richtung<br />
0,0000<br />
± 0,0712<br />
± 0,1409<br />
± 0,2077<br />
± 0,2703<br />
± 0,3274<br />
± 0,3779<br />
± 0,4206<br />
± 0,4548<br />
± 0,4797<br />
± 0,4949<br />
± 0,5000<br />
Abbildung B.8: Quadratische Scheibe (Abmessungen L×L) aus linear-elastischem<br />
Material, einschließlich Randbedingungen und Diskretisierung in horizontaler<br />
Richtung (23 nicht-äquidistant verteilte Gitterpunkte)<br />
Die Normalverschiebung wächst beim Halbraummodell in großer Entfernung nach<br />
einem logarithmischen Gesetz.<br />
Während beim 2D-Problem die Verschiebung an der Oberfläche von der Größe<br />
des makroskopischen Körpers abhängt, spielen, wie bereits herausgearbeitet, die<br />
makroskopischen Abmessungen beim 3D-Problem keine Rolle. Beim 3D-Kontakt<br />
ist die Deformation in der Nähe des Kontaktgebietes lokalisiert.<br />
2D- und 3D-Problem unterscheiden sich demnach qualitativ deutlich voneinander.<br />
Eine Reduktion eines 3D-Problems auf ein 2D-Problem ist nicht ohne weiteres<br />
möglich.<br />
B.2.2 DQ-Methode<br />
Die Differential Quadrature Methode (DQM) geht von den Kontinuumsgleichungen<br />
aus. Diskretisiert wird unter Nutzung von globalen Ansatzfunktionen [112];<br />
i. d. R. Polynomen.<br />
Abbildung B.8 zeigt das untersuchte Modell und die Diskretisierung in horizontaler<br />
Richtung. Wie zudem in der Abbildung zu erkennen ist, wird auf die inneren<br />
fünf Gitterpunkte des oberen Randes (y = 0) der Druck p aufgebracht. Für alle<br />
anderen Gitterpunkte des oberen Randes ist der Druck 0. Die Schubspannung ist<br />
am oberen Rand durchweg 0. An den seitlichen Rändern (x = ±0,5L) sind Normalspannung<br />
und Schubspannung 0; am unteren Rand sind die Verschiebungen
108 ANHANG B. BEDEUTUNG DER DIMENSION<br />
PSfrag replacements<br />
u/L<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
×10 −5<br />
-0,4<br />
-0,2<br />
0 0,2 0,4<br />
x/L<br />
Abbildung B.9: Vertikale Oberflächenverschiebung ūz, −◦− DQ-Lösung (23 × 17<br />
Gitterpunkte, nicht-äquidistant verteilt), analytisches Ergebnis für den Halbraum:<br />
durchgezogen a = 0,17L, gestrichelt a = 0,14L<br />
als 0 vorgegeben. Im Anhang C sind die zu lösenden Gleichungen zusammengestellt.<br />
Die Diskretisierung in vertikaler Richtung geschieht mit 17 Punkten, so dass das<br />
Netz insgesamt aus 391 Punkten besteht. In der Regel führen Gauß-Lobatto-<br />
Netze zu besseren Ergebnissen; wie dem Anhang C entnommen werden kann,<br />
führt ein äquidistantes Netz hier zu keiner Lösung. Nachteilig wirkt sich ein an<br />
den Rändern verdichtetes Netz bei der Aufbringung der Druckverteilung aus. Die<br />
konstante Druckverteilung wird in einem mittig gelegenen Streifen der Breite a<br />
aufgebracht. Im mittleren Bereich ist die Auflösung allerdings relativ grob.<br />
Abbildung B.9 zeigt das mit der DQM berechnete Ergebnis und die Halbraumlösung<br />
für a = 0,14L und a = 0,17L. Die Konstante C in der Halbraumlösung<br />
(B.10) wurde so gewählt, dass in der Mitte (x = 0) die Verschiebungen übereinstimmen.<br />
Es ergibt sich dann eine gute Übereinstimmung zwischen Halbraumlösung<br />
und numerischer Lösung. Für die Berechnungen galt p = 10 −4 E<br />
und ν = 1<br />
3 .<br />
B.2.3 Hierarchisches Modell<br />
Das Modell (Abbildung B.10) ist so aufgebaut, dass in der Schicht j + 1 genau<br />
doppelt so viele Teilchen sind wie in der Schicht j, beginnend mit einem Teilchen<br />
bei j = 1. Für N Schichten ergibt sich im 2D-Fall eine Teilchenzahl von 2 N − 1.<br />
Der Abstand der Schichten verdoppelt sich von unten nach oben, beginnend mit<br />
dem Teilchenabstand in der untersten Schicht. Die Teilchen sind mit den seitlichen<br />
Nachbarn durch lineare Federn (Steifigkeit kh) verbunden, die einer vertikalen Relativverschiebung<br />
entgegenwirken. Zudem ist jedes Teilchen durch lineare Federn<br />
(Steifigkeit kv) mit einem Teilchen der darüber liegenden Schicht und mit zwei<br />
Teilchen der darunter liegenden Schicht verbunden (Abbildung B.11).<br />
Man kann zeigen, dass zur Modellierung des zweidimensionalen Kontinuums bei
PSfrag replacements<br />
B.2. 2D KONTAKTPROBLEME 109<br />
z<br />
40<br />
35<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
−20 −15 −10 −5 0<br />
x<br />
Abbildung B.10: Anordnung der Teilchen beim hierarchischen Modell (exemplarisch<br />
für 6 Schichten)<br />
PSfrag replacements<br />
Abbildung B.11: Wechselwirkungen der Teilchen beim 2D hierarchischen Modell<br />
kh<br />
5<br />
kv<br />
10<br />
15<br />
20
110 ANHANG B. BEDEUTUNG DER DIMENSION<br />
ūz<br />
∆x<br />
0,007<br />
0,009<br />
0,011<br />
0,013<br />
0,015<br />
−300<br />
−200<br />
−100<br />
p<br />
0<br />
x<br />
∆x<br />
100 200 300<br />
Abbildung B.12: Normalverschiebung ūz an der Oberfläche, wenn Teilchen 1<br />
(oberste Schicht) festgehalten wird, Teilchenabstand in der untersten Schicht ∆x,<br />
p = 10 −4 kv, kh/kv = 0,385.<br />
einem zweidimensionalen hierarchischen Modell die Federsteifigkeiten in allen<br />
Schichten gleich sein müssen.<br />
Für die seitlichen Teilchen sind verschiedene Randbedingungen denkbar. Freie<br />
seitliche Ränder ergeben sich, wenn auf die Randteilchen keine äußeren Kräfte<br />
wirken und es keine Wechselwirkungen zwischen einem Teilchen am linken Rand<br />
mit einem Teilchen am rechten Rand gibt.<br />
Bei periodische Randbedingungen wird hingegen angenommen, dass das Teilchen<br />
am rechten Rand der linke Nachbar des Teilchens am linken Rand ist. Bei dem<br />
konkreten Problem ergibt sich für die Verschiebung der Oberfläche kein Unterschied<br />
zwischen den zwei Varianten von Randbedingungen. Für den Fall, dass<br />
auf die mittleren 100 Teilchen der untersten Schicht die gleiche Kraft aufgebracht<br />
wird, wurden numerische Berechnungen durchgeführt. Dazu wurden insgesamt<br />
1023 Teilchen benutzt, 512 davon in der untersten Schicht. Abbildung B.12 zeigt<br />
die vertikale Verschiebung der Oberfläche für den Fall, dass Teilchen 1 (oberste<br />
Schicht der Hierarchie) festgehalten wird.<br />
Es ist erkennbar, dass auch am Rand eine deutliche Verschiebung auftritt, die<br />
auch bei einer größeren Ausdehnung in x-Richtung nicht (wesentlich) kleiner sein<br />
würde (fast horizontale Tangente am Rand). Dieses wesentliche Kennzeichen des<br />
2D-Problems ist demnach im Modell wiederzufinden. Ein quantitativer Vergleich<br />
der Verschiebung zeigt jedoch Abweichungen zwischen der Halbraumlösung und<br />
der Lösung mit dem hierarchischen Modell.<br />
Zur Numerik sei angemerkt: bei vorgegebener Druckverteilung ist das Modell linear<br />
in den Verschiebungen. Werden die Gleichungen des hierarchischen Modells mit<br />
dem Newton-Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme gelöst, genügt demzufolge<br />
ein Iterationsschritt.<br />
Nachdem der Fall einer konstanten Druckverteilung am oberen Rand untersucht<br />
wurde, soll nun das 2D Kontaktproblem zwischen elastischer Ebene und starrem<br />
Zylinder betrachtet werden. Der elastische Körper mit ebener Oberfläche wird<br />
durch das hierarchische Modell modelliert. Die Wechselwirkungskraft zwischen<br />
dem starren Zylinder und den Teilchen der Nten Schicht wird durch eine Exponentialfunktion<br />
modelliert:<br />
FW = fW exp(−κW (z − zW )) . (B.12)
B.3. 2D PROBLEM MIT VERÄNDERLICHEM MODUL 111<br />
d/∆x<br />
20<br />
16<br />
12<br />
8<br />
4<br />
0<br />
×10 −2<br />
a/∆x<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0 0,05 0,1<br />
0<br />
0 0,05 0,1<br />
FN/(kv∆x) FN/(kv∆x)<br />
p0/kv<br />
3<br />
2<br />
1<br />
×10 −3<br />
0<br />
0 0,05 0,1<br />
FN/(kv∆x)<br />
Abbildung B.13: 2D Kontaktproblem, Abhängigkeiten von der Normalkraft FN:<br />
Eindringtiefe d (links), Kontakthalbweite a (Mitte) und maximaler Druck p0<br />
(rechts)<br />
Das Problem ist nun nichtlinear, weil die Kräfte auf die Teilchen der Nten Schicht<br />
nichtlinear vom Abstand abhängen.<br />
Bei den numerischen Berechnungen sind die Längeneinheit und Krafteinheit so<br />
gewählt, dass der Abstand ∆x zwischen den Teilchen der Nten Schicht und die<br />
Steifigkeit kv gerade die Basiseinheiten sind. Die Abbildung B.13 zeigt die Ergebnisse<br />
von Berechnungen mit kh = 0,385kv, kW = 1000kv, R = 10000∆x, nT =<br />
1023. Die analytisch bekannten Ergebnisse [56] lassen sich in guter Näherung in<br />
den Berechnungsergebnissen wiederfinden. Die Steifigkeit des Kontaktes<br />
kW = ∂FW<br />
∂z = −κW FW (B.13)<br />
soll im Gleichgewichtszustand deutlich größer sein, als die Steifigkeiten im Modell<br />
des elastischen Körpers. Nur dann wird tatsächlich der Kontakt zwischen einer<br />
elastischen Ebene und einem starren Zylinder modelliert. Hierzu muss κW sehr<br />
groß gewählt werden. Umso größer κW , desto problematischer wird das zu lösende<br />
Gleichungssystem. Konvergenz kann nur noch erzielt werden, wenn die maximale<br />
Schrittweite begrenzt wird. Andernfalls kommt es zum Abbruch wegen zu großer<br />
Zahlen (Matlab zulässiger Bereich ±10 307 ).<br />
B.3 Zweidimensionales Problem mit veränderlichem<br />
elastischen Modul<br />
Betrachtet wird das ebene Problem mit konstanter Querkontraktionszahl ν und<br />
elastischem Modul E, der mit der Tiefe nach einem Potenzgesetz zunimmt, E =<br />
Eκz κ [93, 105]. Das ebene Problem mit veränderlichem Modul wird hier aus zwei<br />
Gründen betrachtet. Zum einen zeigt sich, dass für 0 < κ < 1 eine eindeutig<br />
bestimmte Halbraumlösung existiert; die genauen Abmaße der Körper demnach<br />
nicht wichtig sind. Das erleichtert den Vergleich zwischen analytischer Lösung<br />
und numerischer Lösung. Zum anderen werden in Abschnitt B.5 zweidimensio-
112 ANHANG B. BEDEUTUNG DER DIMENSION<br />
fκ<br />
1,0<br />
0,8<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
0,0<br />
−6<br />
−4 −2 0 2 4 6<br />
κ = 0,1 κ = 0,8<br />
κ = 0,5 κ → 1<br />
Abbildung B.14: Graphen der Funktionenschar fκ gemäß Gl. (B.18)<br />
nale Modelle des dreidimensionalen Kontaktproblems erörtert. Dafür sind die<br />
folgenden Ausführungen aufschlussreich.<br />
Die vertikale Oberflächenverschiebung bei Aufbringung einer Druckverteilung<br />
p(x) auf einem Streifen |x| ≤ a lautet<br />
mit<br />
ūz(x) = ˜ Cκ<br />
Cκ = 2κ+1 Γ 1<br />
Eκ<br />
∞<br />
−∞<br />
˜x<br />
p(ξ)<br />
dξ (B.14)<br />
|x − ξ| κ<br />
˜Cκ = (1 − ν2 )γCκ sin( 1<br />
2πγ) (B.15)<br />
κ(1 + κ)<br />
2 (κ + γ + 3) Γ 1<br />
(κ − γ + 3)<br />
2 (B.16)<br />
πΓ(κ + 2)<br />
<br />
γ = (1 + κ) 1 − κν<br />
<br />
. (B.17)<br />
1 − ν<br />
Es wird ein konstanter Druck p auf einem Streifen |x| ≤ a betrachtet. Abbildung<br />
B.14 zeigt die Funktionenschar<br />
∞<br />
1 − κ ˜p(ξ)<br />
fκ(˜x) = dξ (B.18)<br />
2 −∞ |˜x − ξ| κ<br />
<br />
1 |˜x| ≤ 1<br />
˜p =<br />
(B.19)<br />
0 sonst<br />
für drei verschiedene Werte des Scharparameters 0 ≤ κ < 1 und für κ → 1. Der<br />
Vorfaktor 1<br />
2 (1 − κ) führt dazu, dass stets fκ(0) = 1 gilt, so dass die Form der<br />
Lösungen verglichen werden kann. Es ist erkennbar, dass für κ → 1 die Funktion<br />
fκ sich der Stufenform 1 |˜x| ≤ 1<br />
0 sonst<br />
(B.20)
PSfrag replacements<br />
B.4. ADHÄSIVER NORMALKONTAKT 113<br />
ūz/∆x<br />
1,5<br />
1,0<br />
0,5<br />
×10 −3<br />
0<br />
0 100 200 300<br />
x/∆x<br />
400 500<br />
Abbildung B.15: Vertikale Oberflächenverschiebung ūz für κ = 0,5 (a = 10∆x),<br />
Simulation (rot, gestrichelt) und analytisches Ergebnis (blau, durchgezogen)<br />
annähert. Diese Stufenform entspricht einer Winklerbettung. Das ist das Ergebnis<br />
von Calladine und Greenwood [17], das diese für ν = 0,5 (inkompressibles<br />
Material) herleiten 5 .<br />
Für ν = 0,5 und k = 1 ergibt sich für den Vorfaktor ˜ Cκ = 0. Der inkompressible<br />
Fall (ν = 0,5) ist der einzige, bei dem eine eindeutig bestimmte Lösung für κ = 1<br />
existiert.<br />
Es zeigt sich außerdem, dass die Form des 3D-Ergebnis für konstanten Druck<br />
(B.1) sich durch das 2D-Ergebnis für keinen Wert von κ genau wiedergeben lässt.<br />
Abbildung B.15 zeigt die Oberflächenverschiebung ūz für das hierarchische Modell<br />
mit vertikalen Freiheitsgraden und die analytische Lösung. Erwartungsgemäß<br />
ergibt sich für das reine Normalkontaktproblem eine gute Übereinstimmung.<br />
B.4 Adhäsiver Normalkontakt<br />
Für den adhäsiven Normalkontakt zwischen elastischer Kugel und Ebene (3D)<br />
liefert die JKR-Theorie 6 [58] eine Proportionalität zwischen Adhäsionskraft FA<br />
und Krümmungsradius R:<br />
FA ∝ R . (B.21)<br />
Für den adhäsiven Normalkontakt zwischen starrem Zylinder und elastischer Ebene<br />
(2D) ergibt sich [6]<br />
FA ∝ 3√ R . (B.22)<br />
Werden dimensionslose Größen gemäß<br />
˜F = F<br />
FA<br />
und ã = a<br />
a0<br />
(B.23)<br />
eingeführt, lauten die Zusammenhänge zwischen Normalkraft und Kontaktradius<br />
im 3D-Fall (JKR-Theorie)<br />
˜F = 4 ã 3 − ã 3/2<br />
(B.24)<br />
5 siehe auch Anhang D, Seite 121ff<br />
6 siehe dazu auch Abschnitt 5.1
114 ANHANG B. BEDEUTUNG DER DIMENSION<br />
PSfrag replacements<br />
F<br />
3<br />
1<br />
F A 2<br />
0<br />
-1<br />
0<br />
Theorie 2D<br />
Theorie 3D<br />
0,5 1,0<br />
a<br />
a0<br />
1,5 2,0<br />
Abbildung B.16: Zusammenhang zwischen Normalkraft und Kontaktradius beim<br />
adhäsiven Kontakt<br />
und im 2D-Fall (Barquins)<br />
˜F = 4<br />
3<br />
3√ 4 ã 2 − ã 1/2 <br />
. (B.25)<br />
Der Radius a0 stellt sich ohne äußere Normalkraft ein.<br />
Abbildung B.16 zeigt die beide Kurven (B.24) und (B.25). Es ist erkennbar, dass<br />
sich beide Kurven deutlich voneinander unterscheiden.<br />
B.5 Zweidimensionale Modelle zur Simulation<br />
des dreidimensionalen Kontaktproblems<br />
B.5.1 Idee<br />
Wie bereits ausführlich dargelegt, können zweidimensionale Modelle nicht ohne<br />
weiteres zur Simulation von dreidimensionalen Kontaktproblemen benutzt werden.<br />
Im folgenden sollen kurz darauf eingegangen werden, ob maßgeschneiderte<br />
zweidimensionale Modelle existieren, die zur Simulation des dreidimensionalen<br />
Kontaktproblems herangezogen werden können. Zweidimensionale Modelle besitzen<br />
keine Freiheitsgrade in Tiefenrichtung und weisen daher kürzere Rechenzeiten<br />
im Vergleich zum 3D-Modell auf. Wenn es gelingt, die konstitutiven Gesetze<br />
für das 2D-Modell so anzupassen, dass wesentliche kontaktmechanische Zusammenhänge<br />
richtig wiedergegeben werden, ergibt sich ein erheblicher rechentechnischer<br />
Vorteil. Zudem besteht die Möglichkeit, dass auch die Deformationen im<br />
Innern berechnet werden können. Das ist ein klarer Vorteil gegenüber dem 1D-<br />
Modell, insbesondere hinsichtlich der Simulation von Verschleiß. Wird das 2D-<br />
Modell hierarchisch aufgebaut, ist die Zahl der Freiheitsgrade beim 2D-Modell<br />
nur ungefähr doppelt so groß wie beim 1D-Modell. Das hierarchische 2D-Modell
B.5. 2D MODELLE DES 3D PROBLEMS 115<br />
kann damit ein viel genaueres Bild der Vorgänge beim Kontakt geben bei vergleichsweise<br />
geringfügig größerem Rechenaufwand.<br />
Das 2D-Modell hat eine eindimensionale Oberflächentopographie. Die Umrechnung<br />
der Oberflächentopographien wird somit auch für das 2D-Modell benötigt.<br />
Abschätzungen ergeben, dass die Simulation des 3D-Kontaktproblems mit einem<br />
2D-Modell näherungsweise möglich ist, wenn die elastischen Eigenschaften in Abhängigkeit<br />
von der Tiefe skaliert werden. Genauer: die elastischen Module müssen<br />
proportional zur Tiefe zunehmen. Anschaulich kann das wie folgt verstanden werden:<br />
Im hierarchischen 2D-Modell führt die Aufbringung einer konstanten Kraft<br />
F0 auf ein Teilchen der Oberfläche (z. B. bei x = 0) zu einer Verschiebung aller<br />
darüber liegenden Schichten. Da im 2D-Fall die Federn in allen Schichten gleiche<br />
Steifigkeit haben müssen, folgt aus den Gleichgewichtsbedingungen, dass sich die<br />
zweite Schicht von oben gegenüber der obersten Schicht um F0/ (2kv) verschiebt.<br />
Die Verschiebung der zweiten Schicht von oben führt zu einer Verschiebung aller<br />
Teilchen der untersten Schicht. Insbesondere werden auch Teilchen der untersten<br />
Schicht weit verschoben, die sehr weit von der Krafteinleitungsstelle entfernt sind.<br />
Das ist das typische Verhalten des 2D-Kontinuums. Ein schnelles Abklingen der<br />
Oberflächenverschiebung mit der Entfernung von der Krafteinleitungsstelle (x −1 -<br />
Abfall im 3D-Fall) erfordert daher einen Anstieg der Steifigkeit mit der Tiefe;<br />
dann nämlich ist die Verschiebung der zweiten Schicht von oben gegenüber der<br />
obersten Schicht der Quotient aus der Kraft und einer sehr viel höheren Steifigkeit.<br />
Formale (analytische) Umrechnungen für E und G sind für das hierarchische<br />
Modell nicht ohne weiteres nicht angebbar, weil die Beschränkung auf vertikale<br />
Freiheitsgrade zusätzliche Justierungen erfordert.<br />
B.5.2 Ergebnisse<br />
Wie aus Abschnitt B.3 bekannt ist, kann ein linear mit der Tiefe zunehmender<br />
elastischer Modul das dreidimensionale Verhalten nicht vollkommen korrekt abbilden<br />
7 .<br />
Untersucht wurde das Problem eines konstanten Druckes p0 auf einem Streifen<br />
−a ≤ x ≤ a. Die Steifigkeiten der Federn steigen proportional zur Tiefe der<br />
Schicht.<br />
Es zeigt sich, dass im Fernfeld (x > 2a) der Abfall der Oberflächenverschiebung<br />
indirekt proportional zur Entfernung von der Lasteinleitungsstelle ist (ūz ∝<br />
x −1 ). Die Proportionalitätskonstante ist, genau wie im 3D Fall linear von der<br />
Kontaktgröße a abhängig. D. h. unabhängig von der Last (charakterisiert durch<br />
p0 und a) wird aus den Simulationen der gleiche Zusammenhang zwischen dem<br />
elastischen Modul und der Federsteifigkeit im Modell identifiziert.<br />
Im Nahfeld hingegen hängt bei gegebenen Modellparametern (Steifigkeiten als<br />
Funktion der Tiefe) die Übereinstimmung zwischen 2D Simulation und 3D Ergebnis<br />
von der Kontaktgröße a ab. Wird die Identifikation des elastischen Moduls<br />
durch Anpassung der analytischen Lösung an das Simulationsergebnis im<br />
Nahfeld (x ≤ 2a) durchgeführt, ergibt sich für jeden Wert von a ein anderer elastischer<br />
Modul. Anders gesagt: es gelingt eine genaue Anpassung nur für einen<br />
7 Vergleiche dazu Abbildungen B.1 und B.14 bzw. Gl. (B.1) und Gl. (B.14).
116 ANHANG B. BEDEUTUNG DER DIMENSION<br />
Kontaktradius a; für größere und kleinere Kontaktradien gibt es logarithmische<br />
Abweichungen.
Anhang C<br />
DQ-Methode zur Untersuchung<br />
von Scheibenproblemen<br />
C.1 Gleichungen und Diskretisierung<br />
Betrachtet wird eine Rechteckscheibe aus linear elastischem Material. Es wird angenommen,<br />
dass die äußeren Lasten und die Verformungen nur auf die x-y-Ebene<br />
beschränkt sind. Eine Scheibe mit großer Dicke (in z-Richtung) wird simuliert,<br />
wenn der ebene Formänderungszustand angenommen wird. Dann ist entsprechend<br />
in den Navier-Lamé-Gleichungen [45] uz ≡ 0 und ∂(.)/∂z ≡ 0 zu setzen.<br />
Es ergeben sich die partiellen Differentialgleichungen für die Verschiebungen ux<br />
und uy<br />
0 = (λ + 2µ) ∂2 ux<br />
∂x 2 + µ∂2 ux<br />
∂y 2 + (λ + µ) ∂2 uy<br />
∂x∂y<br />
0 = (λ + 2µ) ∂2 uy<br />
∂y 2 + µ∂2 uy<br />
∂x 2 + (λ + µ) ∂2 ux<br />
∂x∂y<br />
mit den Lameschen Konstanten λ und µ. Für die Spannungen gilt<br />
σxx = (λ + 2µ) ∂ux<br />
∂x<br />
σyy = (λ + 2µ) ∂uy<br />
∂y<br />
τxy = µ ∂ux<br />
∂y<br />
+ µ∂uy<br />
∂x<br />
+ λ∂uy<br />
∂y<br />
+ λ∂ux<br />
∂x<br />
(C.1)<br />
(C.2)<br />
(C.3)<br />
(C.4)<br />
. (C.5)<br />
Die Randbedingungen werden wie folgt gewählt: spannungsfreie seitliche Ränder,<br />
keine Verschiebung am unteren Rand, keine Schubspannung am oberen Rand,<br />
Normalspannung am oberen Rand entspricht der aufgebrachten Druckverteilung<br />
(siehe Abbildung B.8, S. 107).<br />
Bei der Differential Quadrature Methode (DQM) [112] auf einem Rechteckgitter<br />
wird die partielle Ableitung nach einer Raumrichtung an einem Gitterpunkt<br />
aus allen Funktionswerten auf der den Gitterpunkt enthaltenden Gitterlinie der<br />
117
g replacements<br />
118 ANHANG C. DQM SCHEIBENPROBLEM<br />
0<br />
−0.2<br />
−0.4<br />
−0.6<br />
−0.8<br />
ux<br />
−1<br />
−0.5 0 0.5<br />
×10 −6 L<br />
5<br />
0<br />
−5<br />
0<br />
−0.2<br />
−0.4<br />
−0.6<br />
−0.8<br />
uy<br />
−1<br />
−0.5 0 0.5<br />
Abbildung C.1: Verschiebungen für den Lastfall aus Abbildung B.8<br />
(xi,yj)<br />
k<br />
×10 −5 L<br />
entsprechenden Raumrichtung berechnet. Insbesondere gilt<br />
<br />
∂ux <br />
<br />
∂x =<br />
(xi,yj)<br />
<br />
c<br />
k<br />
(1)<br />
ik ux (xk, yj) (C.6)<br />
<br />
∂ux <br />
=<br />
∂y<br />
<br />
¯c (1)<br />
jk ux (xi, yk) (C.7)<br />
mit den Wichtungskoeffizienten c (n)<br />
ij<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
und ¯c(n)<br />
ij für die nte Ableitungen nach x bzw.<br />
y. Anwenden der DQM auf die Feldgleichungen und die Randbedingungen führt<br />
auf ein lineares Gleichungssystem für die Verschiebungen an den Gitterpunkten.<br />
Mittels der Randbedingungen können einige Variablen sofort eliminiert werden.<br />
Alternativ kann der komplette Satz an Gleichungen numerisch gelöst werden 1 .<br />
Für die Berechnungen wurde das nicht-äquidistante Gitter<br />
<br />
i − 1<br />
xi = 1 − cos<br />
Nx − 1 π<br />
<br />
i − 1<br />
yi = 1 − cos<br />
Ny − 1 π<br />
Lx<br />
2<br />
Ly<br />
2<br />
, 1 ≤ i ≤ Nx (C.8)<br />
, 1 ≤ i ≤ Ny (C.9)<br />
verwendet. Bei dem vorliegenden Problem einer quadratischen Scheibe gilt Lx =<br />
Ly. Bei der numerischen Lösung wurden die Gleichungen so dimensionslos gemacht,<br />
dass die charakteristische Länge Lx = Ly des Problems und der E-Modul<br />
als Basiseinheiten gewählt wurden.<br />
Der Grenzfall des betrachteten Problems ist eine konstante Druckverteilung auf<br />
dem gesamten oberen Rand. Es ergibt sich eine nahezu homogene Deformation,<br />
die lediglich an den unteren Eckpunkten durch die Verschiebungsrandbedingungen<br />
gestört wird (ohne Abbildung). Das entspricht den Erwartungen.<br />
Abbildung C.1 zeigt die Verschiebungen ux und uy für den Lastfall aus Abbildung<br />
B.8.<br />
1 Insbesondere bei dynamischen Berechnungen ist es sinnvoll, die Randbedingungen, die als<br />
algebraische Gleichungen vorliegen, zur Elimination von Freiheitsgraden zu verwenden. Statt<br />
eines Systems aus algebraischen Gleichungen und Differentialgleichungen kann das Problem<br />
dann auf ein System von Differentialgleichungen reduziert werden.
C.2. EINFLUSS DES GITTERS 119<br />
PSfrag replacements<br />
0<br />
ū/L<br />
-0,1<br />
-0,2<br />
-0,3<br />
-0,4<br />
-0,2<br />
0<br />
x/L<br />
0,2 0,4<br />
Abbildung C.2: Lösung des in Abschnitt B.2.2 diskutierten Modells mit äquidistant<br />
verteilten Gitterpunkten (23 × 17)<br />
C.2 Einfluss des Gitters<br />
Abbildung C.2 zeigt die Verschiebung der Oberfläche, wenn ein äquidistantes<br />
Gitter mit 23 × 17 Punkten verwendet wird. Das numerische Verfahren konvergiert,<br />
d.h. es wird eine Lösung gefunden, die die statischen Gleichungen mit der<br />
vorgegebenen Toleranz erfüllt.<br />
Die Lösung ist physikalisch nicht sinnvoll: bei den gegebenen Randbedingungen<br />
(siehe Abbildung B.8, S. 107) kann die vertikale Verschiebung am Rand nicht<br />
größer sein als in der Mitte. Die numerischen Probleme im Zusammenhang mit<br />
äquidistanten Gittern sind vermutlich in schlecht konditionierten Gleichungssystemen/Matrizen<br />
begründet. Allgemein scheint die DQM für große Punktezahlen<br />
problematisch zu sein, weil die resultierenden Matrizen schlecht konditioniert<br />
sind. Der Vorteil der DQM ist ja gerade die Berechnung von sehr glatten Lösungen<br />
mit wenigen Punkten. Wenn raue Oberflächen untersucht werden sollen, ist die<br />
Methode entweder ungeeignet oder die Berechnungen erstrecken sich nur auf kleine<br />
Gebiete (z.B. nur auf einen Asperiten).<br />
Die Probleme, die bei der DQM bei bestimmten Randbedingungen oder Gittern<br />
entstehen, sind für verschiedene Anwendungen in [36] und [112] dokumentiert.
120 ANHANG C. DQM SCHEIBENPROBLEM
PSfrag replacements<br />
Anhang D<br />
Dimensionsreduktion: Beispiel<br />
Winklerbettung<br />
Für die Berechnung des Setzens von Bauwerken werden häufig Halbraumlösungen<br />
verwendet und es wird angenommen, dass der elastische Modul mit der Tiefe<br />
zunimmt [17]. Es stellt sich somit die Frage, ob der elastische Halbraum mit tiefenabhängigem<br />
Modul (G ∝ z) durch ein einfacheres Modell beschrieben werden<br />
kann, wenn das Interesse lediglich auf die Vertikalverschiebung an der Oberfläche<br />
bei gegebener Druckverteilung beschränkt ist.<br />
Im folgenden werden die Ergebnisse von Calladine und Greenwood [17] gezeigt,<br />
dass sich ein Halbraum, unter der Annahme von linear-elastischem, inkompressibelem<br />
Material, im ebenen Deformationszustand (2D-Modell) und mit tiefenproportionalem<br />
elastischen Modul hinsichtlich der Vertikalverschiebung der Oberfläche<br />
bei Aufbringung einer Normalkraftverteilung durch eine Winklerbettung<br />
(1D-Modell) modellieren lässt. Das gilt sowohl bei Isotropie als auch bei transversaler<br />
Isotropie. Abbildung D.1 zeigt die beiden Modelle.<br />
D.1 Isotropes Material<br />
Zuerst wird der Fall einer Einzelkraft P (genauer: Kraft pro Längeneinheit in<br />
y-Richtung), wirkend im Ursprung, untersucht. Im Fall des isotropen Materials<br />
2D Modell<br />
z<br />
q<br />
1D Modell<br />
Abbildung D.1: Halbraummodell im ebenen Deformationszustand (2D) und<br />
Winklerbettung (1D)<br />
121<br />
q
122 ANHANG D. WINKLERBETTUNG<br />
PSfrag replacements<br />
ergibt sich für<br />
die Lösung<br />
e y<br />
e z<br />
P<br />
ϕ<br />
e x<br />
r<br />
uϕ<br />
ur<br />
Abbildung D.2: Koordinatensysteme<br />
G = mz (D.1)<br />
ur (r, ϕ) = P<br />
und uϕ (r, ϕ) = 0 . (D.2)<br />
2πmr<br />
Abbildung D.2 zeigt die verwendeten Koordinatensysteme.<br />
Die Vertikalverschiebung der Oberfläche ist nur am Lastangriffspunkt von 0 verschieden.<br />
Im Fall eines konstanten Druckes p ergibt sich für den druckbeaufschlagten<br />
Streifen die Vertikalverschiebung der Oberfläche<br />
ūz = p<br />
2m<br />
(D.3)<br />
und 0 außerhalb. Das betrachtete System verhält sich wie eine Winklerbettung<br />
mit Steifigkeit 2m, und zwar unabhängig von der konkreten Druckverteilung.<br />
D.2 Anisotropes Material<br />
Untersucht wird der Fall, bei dem die x-y-Ebene isotropes Verhalten aufweist.<br />
Bei inkompressibelem Material und ebenem Deformationszustand wird das Verhalten<br />
durch zwei Materialparameter bestimmt; die Anisotropie kann durch einen<br />
Koeffizienten µ charakterisiert werden 1 . Für die Verschiebungen unter Wirkung<br />
einer Einzellast ergibt sich dann<br />
mit<br />
F (ϕ)<br />
ur (r, ϕ) = C<br />
r<br />
F (ϕ) =<br />
1 µ = 1: keine Anisotropie, Details siehe [17].<br />
und uϕ (r, ϕ) = 0 (D.4)<br />
1<br />
cos 2 2ϕ + µ sin 2 2ϕ<br />
(D.5)
D.2. ANISOTROPES MATERIAL 123<br />
Die Bettungssteifigkeit der äquivalenten Winklerbettung ist in diesem Fall<br />
k = 2m<br />
π<br />
2<br />
0 F 3 (ϕ) dϕ<br />
π<br />
2<br />
0<br />
F (ϕ) dϕ . (D.6)<br />
Fazit: Das untersuchte zweidimensionale Problem lässt sich hinsichtlich der vertikalen<br />
Oberflächenverschiebung durch ein eindimensionales Modell (Winklerbettung)<br />
ersetzen.
124 ANHANG D. WINKLERBETTUNG
Anhang E<br />
Oberflächengenerierung mittels<br />
inverser FFT<br />
In diesem Anhang wird gezeigt, wie 1D- und 2D-Oberflächen unter Nutzung der<br />
inversen FFT1 erzeugt werden können. Die inverse FFT erweist sich hinsichtlich<br />
der Rechenzeit als weit überlegen gegenüber der direkten Auswertung der Formeln<br />
(E.1). Ein alternatives Verfahren zur Generierung selbstaffiner Oberflächen wird<br />
in [51] beschrieben.<br />
Die Oberflächentopographie kann, wie bereits in Abschnitt 3.3.1 ausgeführt, aus<br />
dem Leistungsspektrum gemäß<br />
h (x) = <br />
B2D (q) exp (i (q · x + φ (q))) , (E.1a)<br />
q<br />
gewonnen werden [90], wobei φ (q) = −φ (−q) im Intervall [0, 2π) gleichverteilte<br />
Zufallszahlen sind und<br />
B2D (q) = 2π <br />
C2D (q) =<br />
L<br />
¯ B2D (−q) . (E.1b)<br />
Analog erfolgt die Generierung des Profils im 1D-Fall:<br />
h (x) = <br />
B1D (q) exp (i (qx + φ (q))) (E.2a)<br />
B1D (q) =<br />
Für den quadratischen Mittenrauwert gilt<br />
h 2 <br />
h 2 <br />
2D<br />
q<br />
2π<br />
L C1D (q) = ¯ B1D (−q) . (E.2b)<br />
1D =<br />
= 2π<br />
∞<br />
0 ∞<br />
E.1 Oberflächenerzeugung 1D<br />
qC2D (q) dq (E.3)<br />
C1D (q) dq . (E.4)<br />
−∞<br />
Das unten stehende Programm erzeugt eine 1D-Oberfläche h(x). Der Diskretisierungsabstand<br />
für die räumliche Variable x sei wie gehabt 1, die Gesamtzahl der<br />
1 Fast Fourier Transform<br />
125
126 ANHANG E. OBERFLÄCHENGENERIERUNG<br />
Punkte sei N − 1. Die Wellenzahlen sind dann<br />
q ∈<br />
<br />
−<br />
N − 2<br />
N<br />
− 4 N − 2<br />
π, −N π, . . . ,<br />
N N π<br />
d.h. die kleinste Wellenzahl ist 2π<br />
N−2<br />
, die größte Wellenzahl ist π ≈ π. Entspre-<br />
N N<br />
chend ist die kürzeste Wellenlänge 2, die größte Wellenlänge N.<br />
Im Wellenzahlbereich [q0, q1] ist das Leistungsspektrum von Null verschieden und<br />
(im vorliegenden Fall) konstant.<br />
Die Berechnung von h in Zeile 8 (Ergebnis h1) entspricht exakt dem Vorgehen<br />
nach Gleichung (E.2). Es ist zu beachten, dass x, q, B und phi Matrizen sind.<br />
Das Matrixprodukt in Zeile 8 führt direkt auf die Höhen an allen Stellen x unter<br />
Berücksichtigung aller Wellenzahlen q.<br />
Die Berechnung von h in Zeile 11 (Ergebnis h2) stützt sich auf die inverse FFT.<br />
Dabei ist zu beachten, dass die Matrizen B und phi dazu umsortiert werden<br />
müssen. Zudem muss eine 0 an geeigneter Stelle eingefügt werden. Abbildung E.1<br />
zeigt beispielhaft eine so generierte Oberfläche.<br />
q0 = 0.01; q1 = 4*q0; N = 2048;<br />
q = ((-N+2):2:(N-2))*pi/N;<br />
k = find(abs(q) >= q0 & abs(q)
PSfrag replacements<br />
E.2. 2D OBERFLÄCHE 127<br />
h h<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
−0.1<br />
−0.2<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
−0.05<br />
0.5 1 1.5 2 2.5<br />
x 10 5<br />
x<br />
−0.1<br />
0 200 400 600 800 1000<br />
Abbildung E.1: 1D-Oberflächentopographie 2 18 Punkte, q0 = 0,1, q1 = 0,2, C =<br />
10 −2 (unten: Ausschnitt)<br />
Quadraten der Wellenzahlebene gleich; daher müssen negative Wellenzahlen explizit<br />
mitgenommen werden.<br />
Die Variante mittels FFT ist wesentlich schneller. Bei N = 2048 benötigt die direkte<br />
Methode (h1 =) ungefähr 2500 mal mehr Zeit als die FFT basierte Methode<br />
(h2 =). Der Rechenzeitvorteil wird um so größer, je größer die Zahl der Punkte<br />
ist.<br />
E.2 2D Oberfläche<br />
Das unten stehende Programm zeigt die Berechnung der Oberfläche h(x, y) mittels<br />
inverser FFT. Im dargestellten Fall ist das Leistungsspektrum im Intervall<br />
[q0, q1] durch eine positive Konstante gegeben; außerhalb dieses Wellenzahlberei-<br />
ches ist das Leistungsspektrum 0, d.h.<br />
C2D =<br />
x<br />
c für q0 ≤ q ≤ q1<br />
0 sonst<br />
(E.5)<br />
Die Erzeugung einer Oberfläche mit 2048×2048 Punkten dauert ca. 10 Sekunden.<br />
function H = gen2dsurfacefft(N,qint,Cval,fig)<br />
N2 = (N-1)^2; q0 = qint(1); q1 = qint(2);<br />
q = ((-N+2):2:(N-2))*pi/N<br />
[Qx Qy] = meshgrid(q,q);<br />
qx = reshape(Qx,N2,1); qy = reshape(Qy,N2,1);<br />
qv = [qx qy];
128 ANHANG E. OBERFLÄCHENGENERIERUNG<br />
C = zeros(N2,1);<br />
aqv = sqrt(qv(:,1).^2+qv(:,2).^2);<br />
k = find(aqv >= q0 & aqv
E.2. 2D OBERFLÄCHE 129<br />
500<br />
450<br />
400<br />
350<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
500<br />
450<br />
400<br />
350<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0 100 200 300 400 500<br />
0 100 200 300 400 500<br />
Abbildung E.2: oben: Oberflächentopographie 512 × 512 Punkte, q0 = 0,1, q1 =<br />
0,2, C = 10 −2 , unten: Oberflächentopographie, wenn von gleichen Phasenwinkeln<br />
φ in allen vier Quadranten ausgegangen wird.<br />
0.1<br />
0.08<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
0<br />
−0.02<br />
−0.04<br />
−0.06<br />
−0.08<br />
−0.1<br />
0.05<br />
0.04<br />
0.03<br />
0.02<br />
0.01<br />
0<br />
−0.01<br />
−0.02<br />
−0.03<br />
−0.04<br />
−0.05
130 ANHANG E. OBERFLÄCHENGENERIERUNG
Anhang F<br />
Kontaktformulierung mittels<br />
LCP<br />
Wie in Abschnitt 5.6 ausgeführt, ist die korrekte Bestimmung des Kontaktgebietes<br />
keine triviale Angelegenheit. Beim adhäsiven Kugelkontakt wurde die Lage<br />
der maximalen Zugspannung genutzt. Wie Greenwood [42] anmerkt, ist die<br />
Lage der maximalen Zugspannung nicht nur ausgezeichnet, sondern liegt auch<br />
näherungsweise dort, wo in der JKR-Theorie die Zugspannung gegen unendlich<br />
geht.<br />
Beim nichtadhäsiven Kontakt gibt es einen solchen ausgezeichneten Punkt nicht.<br />
Wenn der Kontakt durch abstandsabhängige Abstossungskräfte (z.B. exponentiell<br />
oder Potenzfunktion) modelliert wird, kann die Kontaktbedingung über einen<br />
Mindestabstand oder eine Mindestkraft formuliert werden.<br />
Alternativ kann im Fall ohne Adhäsion eine Formulierung über ein lineares Komplementaritätsproblem<br />
(LCP) erfolgen [40]. Die zugrunde liegende Idee bei dieser<br />
Formulierung ist, dass der Abstand zwischen zwei Punkten der beteiligten Körper<br />
entweder größer oder gleich 0 ist. Im ersten Fall sind die Kontaktkräfte 0, im zweiten<br />
können die Kontaktkräfte verschieden von 0 sein. Vorteil dieses Verfahrens<br />
ist die leichte Bestimmbarkeit der Kontaktgröße. Ein LCP kann mit geeigneten<br />
numerischen Methoden gelöst werden [77]; häufig wird der Lemke-Algorithmus<br />
angewendet [66].<br />
Das 1D-Modell aus Kapitel 2 (Bild F.1) ohne Querkopplung der Teilchen wurde<br />
mit einer LCP-Formulierung gerechnet. Untersucht wurde das Eindrücken eines<br />
starren Halbkreises in eine ebene, elastische Unterlage. Für den Punktkontakt<br />
PSfrag replacements<br />
k<br />
Abbildung F.1: Modell mit Teilchen, die über lineare Federn an den Grundkörper<br />
gekoppelt sind.<br />
131<br />
x
PSfrag replacements<br />
132 ANHANG F. KONTAKTFORMULIERUNG MITTELS LCP<br />
K K<br />
10 2<br />
10 1<br />
10 2<br />
10 0<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
¯R<br />
4<br />
0 200 400 600 800 1000<br />
Abbildung F.2: Abhängigkeit von K vom Krümmungsradius R<br />
(3D) lautet das Ergebnis nach Hertz<br />
a = 3<br />
<br />
3F R<br />
4E∗ , (F.1)<br />
mit dem effektiven Krümmungsradius R, dem effektiven elastischen Modul E ∗<br />
und der Normalkraft F .<br />
Numerische Experimente wurden mit zehn verschiedenen Krümmungsradien ¯ R<br />
durchgeführt. Für jeden Krümmungsradius wurde die Beziehung zwischen Kontaktradius<br />
ā und Normalkraft ¯ F durch Lösung der entsprechenden statischen<br />
Probleme bestimmt. Es ergab sich stets eine Abhängigkeit der Form<br />
¯R<br />
10 3<br />
ā = K 3 ¯ F . (F.2)<br />
Abbildung F.2 zeigt die Abhängigkeit der Größe K vom Krümmungsradius ¯ R.<br />
Die Punkte sind die Ergebnisse der numerischen Simulation, die durchgezogenen<br />
Linien entsprechen einem Gesetz K ∝ 3√ ¯ R. Insgesamt ergibt sich<br />
ā ≈ 1,15 · 3 ¯ R ¯ F . (F.3)<br />
Umrechnung des Ergebnis (F.3) auf dimensionsbehaftete Größen liefert cn = 2E ∗ ,<br />
was in guter Übereinstimmung mit den Ausführungen aus Abschnitt 2.5 steht.<br />
Abbildung F.3 zeigt die Rechenzeit, die zur einmaligen Lösung des statischen<br />
Kontaktproblems benötigt wird. Bei 1000 Teilchen liegt die Rechenzeit bei Nutzung<br />
des Lemke-Algorithmus bei 25 Minuten. Die in Kapitel 4 diskutierten Methoden<br />
führen wesentlich schneller zum Ziel 1 .<br />
Fazit: Wie erwartet liefert das 1D-Modell mit der LCP-Formulierung den korrekten<br />
Zusammenhang zwischen Kontaktradius und Normalkraft (F.1). Die LCP-<br />
Formulierung in Verbindung mit dem Standard-Lemke-Algorithmus ist numerisch<br />
keine effiziente Lösung.<br />
1 Zugegebenermaßen lässt sich das LCP vermutlich auch schneller lösen.
Rechenzeit [s]<br />
PSfrag replacements<br />
10 4<br />
10 3<br />
10 2<br />
10 1<br />
10 0<br />
10 2<br />
10 −1<br />
Teilchenzahl n<br />
Abbildung F.3: Rechenzeit in Abhängigkeit von der Teilchenzahl für die LCP-<br />
Formulierung<br />
10 3<br />
133
134 ANHANG F. KONTAKTFORMULIERUNG MITTELS LCP
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