Seminar Optimierung mit PDE-Bedingungen

5 Eine nichtdifferenzierbare, konvexe Aufgabe 11
Wie man sich leicht überlegen kann, folgt für eine Optimierungsaufgabe mit Gleichungsrestriktion,
Z = R m und C = U aus DuL(ū, z ∗ )(u − ū) ≥ 0∀u ∈ C
f ′ (u) + z ∗ · G ′ (u) = 0
und daher ist Definition 3.5 konsistent mit der Definition 2.3 der Lagrange Multiplikatoren
für ein Optimierungsproblem mit Gleichungsrestriktion. Die komplementäre Schlupfbedingung
〈z ∗ , G(ū)〉 Z ∗ ,Z = 0 ist für G(ū) = 0 immer erfüllt.
Wir erhalten also die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingung für Gleichungsrestriktionen:
• L ′ (ū, z ∗ ) = 0,
• G(ū) = 0,
was mit dem Ergebnis in Kapitel 2 übereinstimmt.
5 Eine nichtdifferenzierbare, konvexe Aufgabe
Nun betrachten wir die Optimierungsaufgabe mit Ungleichungsrestriktionen aus Kapitel 1,
ohne dass f und G Fréchet-differenzierbar seien und formulieren notwendige Bedingungen
für ein Optimum ū, das die Aufgabe unter der Voraussetzung löst, dass f und G konvex
seien. Die Menge C = ∅ sei wieder konvex.
Da f und G und damit auch die Lagrangefunktion L nun nicht notwendigerweise differenzierbar
sind, müssen wir die Lagrange Multiplikatoren erneut definieren:
Definition 5.1 (Lagrangescher Multiplikator)
Sei ū ∈ C eine Lösung des Optimierungsproblems.
Ein Punkt (ū, z ∗ ) ∈ U × K + wird Sattelpunkt der Lagrangefunktion L genannt, wenn die
Ungleichungskette
L(ū, v ∗ ) ≤ L(ū, z ∗ ) ≤ L(u, z ∗ ) ∀u ∈ C, ∀v ∗ ∈ K +
erfüllt ist. In diesem Fall heißt z ∗ zu ū gehöriger Lagrangescher Multiplikator.
Satz 5.2 (Existenz der Lagrangeschen Multiplikatoren)
Seien f und G konvex und sei ū eine Lösung der gegebenen Optimierungsaufgabe. Weiter
existiere ein Element ũ ∈ C mit G(ũ)