Seminar Optimierung mit PDE-Bedingungen

3.3 Differenzierbare Aufgabe
3 Optimierungsaufgaben mit Ungleichungsrestriktion 9
Die Menge C = ∅ sei im Folgenden konvex.
Wir möchten nun eine notwendige Bedingung für eine Lösung der Optimierungsaufgabe
aus Kapitel 1 unter der Voraussetzung formulieren, dass f und G stetig Fréchetdifferenzierbar
in einer offenen Umgebung von ū. Die Existenz eines solchen Optimums ū
sei vorausgesetzt.
Die Lagrangefunktion haben wir bereits in Definition 2.1 für den Fall Z = R m definiert.
Nun soll sie für einen beliebigen Banachraum definiert werden.
Definition 3.4 (Lagrangefunktion)
Sei Z ∗ der Dualraum von Z.
Die Funktion L : U × Z ∗ −→ R mit
heißt Lagrange-Funktion.
L(u, z ∗ ) := f(u) + 〈z ∗ , G(u)〉 Z ∗ ,Z
Definition 3.5 (Lagrangescher Multiplikator)
Sei ū eine lokale Lösung der gegebenen Optimierungsaufgabe.
Ein Element z ∗ ∈ K + heißt zugehöriger Lagrangescher Multiplikator, wenn Folgendes gilt:
• DuL(ū, z ∗ )(u − ū) ≥ 0 ∀u ∈ C (Variationsungleichung),
• 〈z ∗ , G(ū)〉 Z ∗ ,Z = 0 (komplementäre Schlupfbedingung).
Um die Existenz eines Lagrangeschen Multiplikator zu erhalten, benötigen wir noch eine
Regularitätsbedigung.
Definition 3.6 (Regularitätsbedingung von Zowe und Kurcyusz)
Sei ū ∈ C mit G(ū) ≤K 0 gegeben.
Die Bedingung
G ′ (ū)C(ū) + K(−G(ū)) = Z (1)
wird Regularitätsbedingung von Zowe und Kurcyusz genannt.
Dabei heißen die Mengen
C(ū) = {α(u − ū) : α ≥ 0, u ∈ C}, K(¯z) = {β(z − ¯z) : β ≥ 0, z ∈ K}
Kegelhüllen an C bzw. K in ū bzw. ¯z.
Dass die Regularitätsbedingung (1) erfüllt ist, ist nicht selbstverständlich. Sie ist nicht
nur von den Abbildungen G ′ (ū) und G und von den Kegelhüllen an C und K abhängig,
sondern auch von der optimalen Lösung ū und insbesondere auch von der Wahl von Z.