Seminar Optimierung mit PDE-Bedingungen

1 Einführung
1 Einführung 5
Gesucht ist eine notwendige Bedingung für ein Optimum ū, das die folgende Optimierungsaufgabe
löst:
min f(u),
u.d.N. G(u) ≤K 0,
u ∈ C ⊆ U.
Im Folgenden seien die Mengen U und Z reelle Banachräume. Die Zielfunktion, die unter
den o.g. Nebenbedingungen minimiert werden soll, sei durch f : U → R gegeben und die
Abbildung G : U → Z muss nicht notwendigerweise linear sein. Weitere Details werden
in Kapitel 3.2 gegeben. So ist beispielsweise noch zu klären, wie die Halbordnungsrelation
„≤K“ auf einem Banachraum zu definieren bzw. was für eine Menge „K“ ist. Zunächst
bleiben wir jedoch im R n , wo die Halbordungsrelation „≤“ bereits bekannt ist.
Mit Hilfe der Lagrangetechnik werden wir als notwendige Bedingungen für eine optimale
Lösung ū der o.g. Optimierungsaufgabe die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen erhalten.
2 Optimierungsaufgaben mit Gleichungsrestriktion - Ein Beispiel
im R n
Die Zielfunktion f : U → R und die Abbildung G : U → R m seien stetig differenzierbar
in der offenen Menge U ⊆ R n . Die Abbildung G ′ (ū) : U → R m sei surjektiv, wobei ū eine
Lösung des Optimierungsproblems mit Gleichungsrestriktion
sei.
Definition 2.1 (Lagrangefunktion)
Die Funktion L : U × R m → R mit
heißt Lagrange-Funktion.
min f(ū),
u.d.N. G(ū) = 0,
ū ∈ C = U.
L(u, z ∗ ) := f(u) + z ∗ · G(u)