Seminar Optimierung mit PDE-Bedingungen

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6 3 Optimierungsaufgaben mit Ungleichungsrestriktion Satz 2.2 (Lagranger Multiplikatorensatz) Wenn ū eine Lösung des Optimierungsproblems unter der Nebenbedingung G(ū) = 0 ist, dann existieren z ∗ , so dass L stationär, d.h. L ′ (ū, z ∗ ) = f ′ (ū) + z ∗ · G ′ (ū) = 0. Definition 2.3 (Lagrangesche Multiplikatoren) Die Elemente z ∗ ∈ R m , für die L ′ (ū, z ∗ ) = 0 gilt, heißen Lagrange Multiplikatoren. Notwendige Bedingungen für ein Optimum ū sind folglich: • G(ū) = 0, • Die Lagrange-Multiplikatoren z ∗ existieren. 3 Optimierungsaufgaben mit Ungleichungsrestriktion In Kapitel 1 haben wir die Optimierungsaufgabe mit Ungleichungsrestriktion allgemein formuliert. Im Weiteren werden wir zunächst ein Beispiel dafür geben, wie ein solches Optimierungsproblem in der Wirklichkeit aussehen könnte. 3.1 Optimierungsproblem im Alltag Eine Erdbeer-Fabrik stellt die zwei Produkte „Erdbeerjoghurt“ und „Erdbeershake“ aus Erdbeeren, Zucker und Naturjoghurt her. Für die Herstellung eines Erdbeerjoghurts werden 5 g Erdbeeren, 15 g Zucker und 40 g Naturjoghurt benötigt. Um einen Erdbeershake zu erzeugen, werden 35 g Erdbeeren, 15 g Zucker und 10 g Naturjoghurt gebraucht. Insgesamt vorhanden sind 15000 g Erdbeeren, 10500 g Zucker und 24000 g Naturjoghurt. Problematischerweise hat die Erdbeer-Fabrik mehr Ausgaben als Einnahmen. Der Verlust für den Erbeerjoghurt beträgt 2 Cent und für den Erdbeershake 1 Cent. Das Ziel ist nun optimale Produktionszahlen j ≥ 0 für den Erdbeerjoghurt und s ≥ 0 für den Erdbeershake zu finden, um den Verlust zu minimieren. Durch die begrenzten Rohstoffe erhalten wir die weiteren Nebenbedingungen: 5j + 35s ≤ 15000, 15j + 15s ≤ 10500, 40j + 10s ≤ 24000. Das Optimierungsproblem mit der Zielfunktion f : R 2 → R lautet also
3 Optimierungsaufgaben mit Ungleichungsrestriktion 7 min f(j, s) = −2j − s, u.d.N. j ≥ 0, s ≥ 0, 5j + 35s − 15000 ≤ 0, 15j + 15s − 10500 ≤ 0, 40j + 10s − 24000 ≤ 0. Diese Optimierungsaufgabe soll nun so umgeformt werden, dass sie mit der Formulierung in Kapitel 1 in Zusammenhang gebracht werden kann. Die durch die begrenzten Rohstoffe entstandenen Nebenbedingungen lassen sich mit Hilfe der Abbildung G : R 2 → R 3 zusammenfassen. Gesucht ist also ein Optimum ū = (¯j, ¯s), das folgende Optimierungsaufgabe löst: min f(u) = −2j − s, u.d.N. u = (j, s) ∈ C ⊆ R2 , ⎛ ⎞ 5j + 35s − 15000 ⎜ ⎟ G(u) = ⎝15j + 15s − 10500⎠ ≤ 0. 40j + 10s − 24000 Da j ≥ 0 und s ≥ 0, ist die Menge C ⊆ R 2 der positive Quadrant und damit konvex. 3.2 Grundlagen Es ist nun noch zu klären, wie die Halbordnungsrelation ≤K auf einem Banachraum definiert ist. Dazu benötigen wir zunächst einmal die Definition eines konvexen Kegels K. Definition 3.1 (Konvexer Kegel) Sei K ⊆ Z konvex. Die Menge K = ∅ heißt konvexer Kegel, wenn gilt ∀λ > 0 : z ∈ K ⇒ λz ∈ K. Beispiel 1. Sei Z = R 3 und K = {z ∈ R 3 : z1 = 0, z2 ≤ 0, z3 ≥ 0}. Dann ist K ein konvexer Kegel. 2. Der geometrische Kegel ist kein „mathematischer“ Kegel, da er unter der Multiplikation mit einer positiven Zahl nicht abgeschlossen ist.
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