INTEGRALGLEICHUNGEN UND IHRE KLASSIFIKATION

2.3 INTEGRALGLEICHUNGEN UND IHRE KLASSIFIKATION
N
eben Differentialgleichungen gehören Integralgleichungen zu den wichtigsten mathematischen Modellen
realer Prozesse aus der Physik, der Technik und der Aerodynamik. Zudem erweisen sich
Integralgleichungen als wertvolles Hilfsmittel beim Studium von Differentialgleichungen und
Anfangswertproblemen.
Generell wird eine Gleichung, bei der die gesuchte Funktion unter einem Integral erscheint, als Integralgleichung
bezeichnet. Eine erste Einschränkung bildet die Klasse der so genannten linearen Integralgleichungen, die eine
unbekannte Funktion in linearer Form enthalten. Diese linearen Integralgleichungen werden nochmals nach ihrer
äußeren Gestalt klassifiziert:
Tritt die unbekannte Funktion nur unter dem Integral auf, so nennt man die zugehörige
Integralgleichung eine 1. Art, sonst eine 2. Art oder 3. Art, je nachdem, ob die unbekannte Funktion
außerhalb des Integrals mit einer Konstanten oder einer Funktion multipliziert wird.
Sind die Integrationsgrenzen fix, dann liegt eine Integralgleichung vom Fredholmschen Typ vor,
hängen sie hingegen von der freien Variablen ab, dann handelt es sich um eine Integralgleichung vom
Volterra Typ.
So ist beispielsweise die Gleichung
z
t
b g b g b g b g
0
y t dg , t y f t , (2.23)
eine Integralgleichung 2. Art vom Volterra Typ. Die Funktion g(, t) wird als Kern der Integralgleichung
bezeichnet. Treten im Kern Singularitäten auf, dann kommt noch die Bezeichnungsweise singuläre
Integralgleichung hinzu. In Abhängigkeit von der Stärke der Singularität unterscheidet man noch zwischen
schwach singulären und stark singulären Integralgleichungen.
Eine analytische Methode zur Lösung von Volterragleichungen mit Differenzenkern (d. h. ein Integrationskern,
der lediglich von der Differenz t- abhängig ist) macht sich die Laplace-Transformation zunutze. Hierzu wird
zunächst der für die Lösung von derartigen Integralgleichungen wichtige Begriff der Faltung eingeführt:
Definition: Faltung.
Seien f und g analytische Funktionen, mit f, gƐC 1 (C), dann ist die Faltung fοg
definiert als:
z
t
f g t : df g t
. (2.24)
b g b g b g
0
Ein interessanter Spezialfall der Volterragleichung 2. Art ist die so genannte Integralgleichung vom Faltungstyp.
Sie tritt häufig bei Problemstellungen in der Elektrotechnik, Wellenmechanik und Spektroskopie auf.
Definition: Integralgleichung vom Faltungstyp.
Eine Integralgleichung vom Faltungstyp besitzt die folgende Form:
z
t
b g b g b g b g
0
y t dy g t f t . (2.25)
Unter Verwendung der Definition für die Faltung, lässt sich die Faltungsgleichung wie folgt schreiben:
b g b g b g
y t y g t f t . (2.26)
Zur Lösung von Integralgleichungen vom Faltungstyp ist der Faltungssatz von zentraler Bedeutung:
Satz: Faltungssatz für Laplace-Transformationen.
Seien f und g Funktionen, für die entsprechende Laplace-Transformationen F und G
existieren, dann gilt:
L f g bsg FbsgGbsg . (2.27)

Die Laplace-Transformation der Faltung zweier Funktionen ist somit gegeben durch das Produkt der beiden
einzelnen Laplace-Transformationen. Der Satz lässt sich recht einfach beweisen.
Beweis: Gemäß der Definition für die Laplace-Transformation gilt:
z
b g b g b g b g
0
0
d d e b
s
g z z fbg gbg
0 0
st
z dz dte fbg gbt g
0
st
z dfb gz dte gbt g
0
t
st
z dte z df bggbt g
0 0
st
z
dte f gbtg 0
L f g bsg s s
F s G s de f de g
z
Hierbei wurde im 3. Schritt mit =t- substituiert und im 5. Schritt wurde der Satz von Fubini
herangezogen. Folglich gilt der Faltungssatz für Laplace-Transformationen. □
Der Faltungssatz bietet eine einfache Möglichkeit Integralgleichungen vom Faltungstyp zu lösen. Gemäß der der
Definition gilt:
z
t
b g b g b g b g
0
y t dy g t f t . (2.28)
Umformen ergibt:
z
t
b g b g b g b g
0
y t f t dy g t
b g b g
f t y g t
Die Gleichung wird nun einer Laplace-Transformation unterzogen, mit:
b g b g b g
Fbsg YbsgGb
sg
Y s F s L
y g s
Umformen der Gleichung ergibt:
F s
Ybsg b g . (2.29)
1 Gbsg
Die Gleichung stellt eine explizite Lösung für Integralgleichungen vom Faltungstyp dar. Unter Verwendung der
komplexen Inversionsformel ergibt sich die gesuchte Funktion y(t):
Satz: Lösungsformel für Integralgleichung vom Faltungstyp.
Seien f und g Funktionen für die entsprechende Laplace-Transformierte F und G
existieren, dann gilt:
ds
y t
i e
s0 i st F s b g
. (2.30)
zs0 i 2 1
G
s
b g b g
Bei der mathematischen Formulierung von Problemstellungen in der Naturwissenschaft und Technik, treten
häufig Anfangswertprobleme von der Art
b g c b gh
b g b g
y t f t, y t ;mit y 0 y , y 0 y
0 0 (2.31)

auf. Solche Anfangswertprobleme kommen beispielsweise bei der Beschreibung ungedämpfter, elektrischer
Schwingungen vor. Es kann nun gezeigt werden, dass sich diese DGL 2. Ordnung mit den vorgegebenen
Anfangswerten auf eine Integralgleichung vom Faltungstyp umformen lässt. Es sei:
b g c b gh
b g b g
y t f t, y t ;mit y 0 y , y 0 y
0 0
Eine einfache Integration der Gleichung ergibt:
z
t
b g b g
0
c h
y t d f , y y
. (2.32)
Erneute Integration ergibt:
z z
t s
b g b g
0 0
c h
0
y t ds d f , y y t y . (2.33)
0 0
Auch hier wird die Anfangsbedingung y(0)=y0 durch den gefundenen Ausdruck erfüllt. Das Integral kann mit
Hilfe des Satzes von Fubini vereinfacht werden. Es gilt:
z
t s
b g b g
0 0
y t ds df , y yt y
t
d dsf , y yt y
0
t
z
c h
t z c b gh
b g c b gh
0 0
0 0
d t f , y yt y
0
0 0
Die Lösung des einfachen Randwertproblems 2. Ordnung reduziert sich somit auf die Lösung einer
Integralgleichung vom Faltungstyp.
Satz: Integralgleichung zum einfachen Anfangswertproblem.
Gegeben sei das allgemeine Anfangswertproblem:
b g c b gh
b g b g
y t f t, y t ;mit y 0 y , y 0 y
0 0
Die Lösung in Form einer Integralgleichung ist dann gegeben durch:
z
t
b g b g b g
0
c h
y t d t f y yt y
,
. (2.34)
0 0
Der Sachverhalt lässt sich mit Hilfe einer Beispielaufgabe aus dem Bereich der Elektrotechnik verdeutlichen.
Beispiel: Idealer Schwingkreis mit Anfangsbedingungen. Gegeben sei der folgende Aufbau bestehend aus einer
Kapazität C und einer Induktivität L:
Abb. 5: Idealer Schwingkreis.
Mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln lässt sich das zugehörige Anfangswertproblem formulieren:
b g b g b g b g
1
I t I t I , I
U0
0 ; mit 0 0 0
LC L
Umformen ergibt:
b g b g
I 1
t I t
LC

Gemäß dem Satz zur Integralgleichung für das einfache Anfangswertproblem gilt:
b g b g b g
I t
z
U
d t I
LC L t
1 t
0
0
Die Integralgleichung ist vom Faltungstyp und lässt sich durch eine Laplace-Transformation lösen. Es gilt:
b g b g
b g
L I s I s
z0
z
z
L t s dtte
st
RST
dtt d
dt s e
0
1
1
s
1
2
s
st
dte
0
Gemäß dem Faltungssatz gilt:
b g b g
I s I s
s
U
2
0
0 1
2
2
L s
Mit 2 1
0:
.
LC
Umformen ergibt die Spektralfunktion:
b g
I s U0
1 .
L s
2 2
0
st
UVW
Unter Verwendung der komplexen Inversionsformel lässt sich die Stromstärke im Kreis als Funktion der Zeit
finden:
b g
I t U0
L
z
s0 i s0 i st
ds e
2i
s
2 2
0
.
Der Integrand besitzt Polstellen erster Ordnung in s=±i0. Unter Verwendung des Residuensatzes gilt:
st st
e R e
ds 2i
C 2 2 S
U z Res 2 2
0 s T
V 0 s W si 0
st
st
L
e
e
2iM
O
limsi bs i
0g
lims
i
s i
0 0 0
bs i 0gb P
s i
0g
b gbs i 0gbs i
0g
N
b g
sin 0t
2i
0
Ferner gilt:
zC z z
0
0
st
st st
e e
ir
e
ds ds ds .
2 2
2 2
s r s ir 2 2
s
0
Q

Abb. 6: Zum Integrationsbereich.
Für das Integral über dem Halbkreis gilt:
z z
z
st st
e
e
ds ds
2 2
s s
r r
0
Wegen
lim r
2 1
t r
0
2 2
0
i
d ir e
0
b g
z
i
irte
e
s
2 2
0
r
irt cos rt
sin
d e e
2 2
0 r 0
r
rt
sin
de 2 2
0 r z0 r
rt
2
2
rt 2 2
F c h
de de 2 2
0 r Hz0
z2
2 1
rt
1
e
2 2 c h
t r
rt
1 e 0
2 2 c h ,
0
I
K
folgt aus dem Einschlusskriterium das Verschwinden des Integrals über dem Halbkreis r für den
Grenzübergang r→+∞. Folglich gilt:
st
i e sinb 0t
z g ds 2i
.
i 2 2
s
0
0
Einsetzen in die komplexe Inversionsformel für Laplace-Transformationen ergibt:
0 b g b g
I t
U
sin 0t
.
L
0
Wie zu erwarten ist die Lösung der Problemstellung gegeben durch eine sinusförmige, ungedämpfte
Schwingung.
Ergebnis: I t
0 b g b g
U
sin 0t
. (2.35)
L
0
Die Amplitude des Stroms ist proportional zur Ladespannung U0 der Kapazität und umgekehrt proportional zum
Betrag der Spulenimpedanz ZL=i0L.

Die Beispielaufgabe verdeutlicht die Vorgehensweise bei der Lösung von Anfangswertproblemen unter
Verwendung von Integralgleichungen. Das hervorstechende mathematische Rüstzeug ist auch hier die Laplace-
Transformation.
Eine weitere Klasse von Anfangswertproblemen besitzt die Form:
b g c b g b gh
b g b g
y t f t, y t , y t ;mit y 0 y , y 0 y
. (2.36)
0 0
Solche Anfangswertprobleme sind häufig bei der Beschreibung von gedämpften Schwingungen anzutreffen. Das
Anfangswertproblem lässt sich auf eine Integrodifferentialgleichung vom Faltungstyp reduzieren. Es gilt:
b g c b g b gh
b g b g
y t f t, y t , y t ;mit y 0 y , y 0 y
0 0 .
Eine einfache Integration der Gleichung ergibt:
z
t
b g b g b g
0
c h
y t d f , y , y y
. (2.37)
Erneute Integration ergibt:
z z
t s
b g b g b g
0 0
c h
0
y t ds d f , y , y y t y . (2.38)
0 0
Auch hier wird die Anfangsbedingung y(0)=y0 durch den gefundenen Ausdruck erfüllt. Das Integral kann mit
Hilfe des Satzes von Fubini vereinfacht werden.
Es gilt:
z
t s
b g b g b g
0 0
y t ds df , y , y yt y
t
d dsf , y , y yt y
0
t
z
c h
t z c b g b gh
b g c b g b gh
0 0
0 0
d t f , y , y yt y
0
0 0
Die Lösung des allgemeinen Randwertproblems 2. Ordnung reduziert sich somit auf die Lösung einer
Integralgleichung vom Faltungstyp.
Satz: Integrodifferentialgleichung zum allgemeinen Anfangswertproblem.
Gegeben sei das Anfangswertproblem:
b g c b g b gh
b g b g
y t f t, y t , y t ;mit y 0 y , y 0 y
0 0
Die Lösung in Form einer Integralgleichung ist dann gegeben durch:
z
t
b g b g b g b g
0
c h
y t d t f , y , y yt y . (2.39)
0 0
Im Unterschied zum eingangs behandelten Fall des einfachen Anfangswertproblems kann hier im Integranden
der Gleichung auch die erste Ableitung von y vorkommen. Die Lösung der zugehörigen
Integrodifferentialgleichung ist dann auch in der Regel schwieriger zu finden als bei einer einfachen
Integralgleichung.
Auch hier lässt sich der Sachverhalt am besten mit Hilfe eines Beispiels veranschaulichen.
Integrodifferentialgleichungen mit Anfangsbedingungen treten bei gedämpften Schwingungen auf. Eine
entsprechende Problemstellung aus der Elektrotechnik ist der Serienresonanzkreis mit ohmschen Verlusten.

Beispiel: Gedämpfter Resonanzkreis.
Abb. 7: Gedämpfter Schwingkreis
Mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln lässt sich das zugehörige Anfangswertproblem formulieren:
b g b g b g b g b g
R 1
I t I t
, U0
I t 0 ; mit I 0 0 I 0
L LC L
Umformen ergibt:
b g b g b g
R
I t 1
I t I t
L LC
Gemäß dem Satz zur Integralgleichung für das allgemeine Anfangswertproblem gilt:
z
b g b g c b g b gh
U
I t d t f I I
L t
R
U
d t I d t I
L LC L t
t
, ,
0
0
t t
z b g 1
0
bg z b g bg
0 0
Die Integralgleichung ist vom Faltungstyp und lässt sich durch eine Laplace-Transformation lösen. Es gilt:
b g b g
b g
L I s I s
z0
z
z
L t s dtte
st
dtt
L
d
dt s e
0
1
1
s
1
2
s
st
dte
0
I s sI s I 0
RST
b g b g b g
st
UVW
Wegen I(0)=0 ergibt eine Laplace-Transformation der Gleichung unter Verwendung des Faltungssatzes:
b g b g b g
R
I s I s I s
sL s
U
2
0
0 1
2
2
L s
Mit 2
0
1
: .
LC
Umformen ergibt die Spektralfunktion:
b g
I s U0
1 .
2 R 2
L s s
L
0
Unter Verwendung der komplexen Inversionsformel lässt sich die Stromstärke im Kreis als Funktion der Zeit
finden:

g
I t U0
L
z
s0 i s0 i ds
st
e .
2 R 2
2i
s s
L
0
Der Integrand besitzt Polstellen erster Ordnung in s=-R/2L±i. Mit
: F HG R I 0 KJ 2
2L
2
Unter Verwendung des Residuensatzes gilt:
z
st
st
e
e
ds
2i
res
C 2 R 2 2 R 2
s s
s s
L
N
M
st
st
R
e
R
e
2i
lim s i
s i
s R i 2 L
lim
R
R
s R i 2 L
2 L
2 L
R
R
s i s i
s i s i
2ie
R t 2 L
L
Ferner gilt:
b g
sin t
R
S
T
U
V
W
0
L 0 s R i
2 L
b gb 2 L gb 2 L g b gb 2 L gb 2 L g
zC z z
L 0
L 0
st
st
st
e
e
ir
e
ds
ds
ds
.
2 R 2 2 R 2 R
s s
r s s
ir 2
2
s s
Abb. 8: Zum Integrationsbereich.
Für das Integral über dem Halbkreis r gilt:
z z
z
st
st
e
e
ds
ds
2 R 2 2 R 2
s s
s s
r r
L 0
Wegen
lim r
2 1
t r
0
i
d ir e
r
r
b g
z
2 2 0
0
2 1
t r
2 2
0
rt
1 e 0
2 2 c h ,
0
L
0
irte
e
R i
re r
2 2
0 L
d e e
rt
c1 e h
i
irt cos rt
sin
L
0
O
Q
P

folgt aus dem Einschlusskriterium das Verschwinden des Integrals über dem Halbkreis r für den
Grenzübergang r→+∞. Folglich gilt:
st
i e
R t sinbt L z g 2
ds
2ie .
i 2 R 2
s s
L
0
Einsetzen in die komplexe Inversionsformel für Laplace-Transformationen ergibt:
b g b g
I t U R
0 t 2 L e sin t
.
L
Wie zu erwarten ist die Lösung der Problemstellung gegeben durch eine sinusförmige, gedämpfte Schwingung.
b g b g
Ergebnis: I t U R
0 t 2 L e sin t
. (2.40)
L
Die Amplitude des Stroms ist proportional zur Ladespannung U0 der Kapazität und umgekehrt proportional zum
Betrag der Spulenimpedanz ZL=iL.