Teilchenstrahlen – Lösung 2

Teilchenstrahlen – Lösung 2 Stefan Schmidt
Abbildung 1: Veranschaulichung zu
Aufgabe 1 b)
Berechnen Sie die Luminosität (in cm −2 s −1 ) für folgende Anordnungen:
a) Ein Strahl von α-Teilchen mit der Stromstärke I1 = 1 µA trifft auf eine 12 6C-Folie
mit der Massenbelegung 64 µg/cm 2 .
Lösung
Die Luminosität ist definiert als L = ˙ N1 · n2, der Zahl Strahlteilchen pro Zeiteinheit
˙ N1, multipliziert mit der Flächendichte des Targets.
L = I1
· n2
Z1 · e
=
10 −6 A
2 · 1,602 · 10 −19 As
= 10 31 cm −2 s −1
· 64 · 10−6 g
cm 2
12 g
mol
23 1
· 6,022 · 10
mol
b) In dem Doppelspeicherring DORIS werden Elektronen und Positronen mit Geschwindigkeiten
v ≈ c unter dem Winkel α = 5 ° zur Kollision gebracht. Die
Ströme seien I1 = I2 = 2 A, mit homogenem Strahlquerschnitt b · h und b1 =
b2 = 1 mm, h1 = h2 = 4 mm.
Lösung
Aus Abbildung 1 folgt
sin α = b1
l2
⇔ l2 = b1
sin α
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Zur Berechnung der Luminosität kann man den zweiten Strahl als Festkörpertarget
modellieren, wobei seine Breite gleich b1 und seine Höhe der kleineren der
beiden Höhen von h1 und h2 entspricht.
L = I1 N2
·
Z1 · e b1hmin
mit hmin = min(h1, h2)
Die Zahl der Teilchen in diesem Target lässt sich ermitteln aus
N2 = ˙ N2 · tDurchflug
= I2
· tDurchflug wobei
Z2 · e
Eingesetzt ergibt sich also
L = I1I2
·
Z1Z2 e2 tDurchflug = l2
1
b1hmin
I1I2
=
Z1Z2 e2 v2 hmin sin α
= 1,49 · 10 29 cm −2 s −1
·
b1
v2 · sin α
v2
=
b1
v2 · sin α
c) In einem Speicherring werden Ströme I1 = I2 von Elektronen und Positronen
zu jeweils k Paketen (Breite b, Höhe h) pro Umfang komprimiert und mit der
Frequenz f gegeneinander geführt (I1 = I2 = 3,2 A, b = h = 1 mm, k = 8,
f = 10 MHz).
Lösung
Ein Teilchen aus Strahl 1 reagiert beim Durchlauf aller Teilchen des Strahls 2
NReaktionen-mal, wobei
NReaktionen = N2 · σ
h · b
Insgesamt reagieren also alle Teilchen aus Strahl 1 Ngesamt-mal
Ngesamt = N1 · NReaktionen
= N1 · N2 · σ
h · b
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Mit der Umlauffrequenz f ergibt sich die Reaktionsrate
˙NReaktionen = f · Ngesamt
= f · N1N2
·σ da allgemein
h · b
L
˙ NReaktionen = L · σ
Für die k-Abhängigkeit ist folgende Überlegung hilfreich:
Im Fall k = 1 starte ein Elektron-Bunch bei φ = 0 °, ein Positron-Bunch bei
φ = 180 °. Diese können bei φ = 90 ° und bei φ = 270 ° kollidieren, es gibt also 2
mögliche Orte.
Im Fall k = 2 starten ein Elektron- und ein Positron-Bunch bei φ = 0 ° in verschiedene
Richtungen, ebenso bei φ = 180 °. Nun kommen als mögliche Kollisionsorte
φ = 0 °, φ = 90 °, φ = 180 ° und φ = 270 ° in Frage.
Für äquidistante Bunches gibt es also 2k Orte. Die Reaktionsrate an jedem einzelnen
dieser Orte ist folglich um den Faktor 2k verringert, es gilt also
˙NKollisionsort = 1
· Ngesamt
2k
⇒ L = 1
2k · N1 · N2 · f
h · b
Damit stellt sich natürlich die Frage, weshalb überhaupt Bunches erzeugt werden,
wenn damit die Luminosität an einem Kollisionsort sinkt. Der Grund hierfür ist,
dass durch das Bunchen überhaupt erst definierte Kollisionsorte entstehen, man
kann also an definierten Punkten Detektoren positionieren; andernfalls müsste
der gesamte Strahlweg auf Reaktionen überprüft werden.
Die Zahl der Teilchen N lässt sich aus dem Strom errechnen
I = n · (Ze) · v · A
= n · Ze · 2πR
· (h · b)
T
= Ze · n · 2πR · h · b · 1
T
f
= N · Ze · f
⇒ N = I
Ze · f
V
N
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Somit folgt
L = 1
2k ·
I1
Z1e · f ·
I2
Z2e · f
= 2,5 · 10 32 cm −2 s −1
· f
h · b
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