Aufgabe: Wagen rollt über einen Hügel

Lisa Olbrich Aufgabe: Wagen rollt über einen Hügel
Aufgabe: Wagen rollt über einen Hügel
Ein Wagen mit Masse m rollt auf der Erde reibungsfrei über einen Hügel der Höhe R,
dessen oberer Bereich der Form eines Kreises mit Radius R entspricht (die Punkte B, C
und D gehören zum Kreisbogen).
Abbildung 1: Hügel über den der Wagen rollt.
1. Wie groß muss die Anfangsgeschwindigkeit v0 mindestens sein, damit der Wagen gerade
noch über den Hügel rollt?
2. In der Nähe welchen/welcher Punkte/s (A, B, C, D, E) ist die Normalkraft (= Kraft
⊥ Oberfläche) auf die Unterlage am geringsten? Begründen Sie ihre Entscheidung!
3. Wie hoch darf die Anfangsgeschwindigkeit v0 maximal sein, damit der Wagen nicht
abhebt?
Anmerkung: Überlegen Sie sich zunächst in welchem/n Punkt/en der Wagen am ehesten
abhebt und berechnen Sie daraus die maximale Anfangsgeschwindigkeit.
Lösungen:
1. Da der Wagen reibungsfrei über den Hügel rollt, ist die Energie erhalten. Damit der
Wagen den Hügel gerade noch überwindet, muss die kinetische Energie des Wagens im
Punkt A knapp höher sein als die potentielle Energie des Wagens im Punkt C. Formal
ergibt sich
1
2 mv2 0 ≥ mgR
v0,min = 2gR
2. Die Normalkraft N ist in den verschiedenen Punkten:
A: NA = mg
B: NB = mg cos(45 ◦ ) − mv2 B
R
C: Nc = mg − mv2 C
R
1

Lisa Olbrich Aufgabe: Wagen rollt über einen Hügel
D: ND = mg cos(45 ◦ ) − mv2 D
R
E: NE = mg
Da cos(45 ◦ ) < 1 und vB = vD > vC ist, ist die Normalkraft in den Punkten B und D
am geringsten.
3. Der Wagen hebt in dem Punkt am ehesten ab, in dem die Normalkraft auf die Unterlage
am geringsten ist, als erstes also in Punkt B. Er hebt dann ab, wenn die Normalkraft
ein negatives Vorzeichen bekommt, also die Zentrifugalkraft größer als die Normalkomponente
der Gewichtskraft wird:
mv 2 B
R ≥ mg cos(45◦ )
vB,max = gR cos(45 ◦ )
Der Wagen darf im Punkt B also maximal die Geschwindigkeit vB,max haben, damit
er nicht abhebt. Aus der Energieerhaltung folgt die maximale Geschwindigkeit beim
Start:
1
2 mv2 0,max = 1
2 mv2 B,max + mgR cos(45 ◦ )
v0,max = 3gR cos(45◦ )
3gR
v0,max = √2
2
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