8. ¨Ubungsblatt zur Linearen Optimierung

3. Aufgabe:
Das Goldman-Tucker-System läßt sich als M0u ≤ 0 und ui ≥ 0 mit schiefsymmetrischer Matrix M0
und u t = (y, x, τ) schreiben. Setze
r t := (1, . . . , 1) + M0(1, . . . , 1),
q t := (0, . . . , 0, k + 1),
M0 −r
M :=
rt
und
0
v t := (y, x, τ, ϑ)
und betrachte das folgende lineare Programm (SD)
maximiere −q t v
unter Mv ≤ q
vj ≥ 0.
Durch Einführen von Schlupfvariablen zj erhalten wir aus (SD) die äquivalente Formulierung
” max −qt v unter Mv + z = q und vj, zj ≥ 0“.
Eine zulässige Lösung von (SD) heißt strikt komplementär, wenn vj = oder zj = 0 für alle j gilt.
(a) Zeige: Das lineare Programm (SD) ist selbstdual, d.h. (SD)=(SD ∗ ).
(b) Zeige: Das Programm (SD) ist stets zulässig und beschränkt. Jede Optimallösung von (SD)
erfüllt ϑ = 0.
(c) Jede strikt komplementäre Optimallösung von (SD) liefert eine Lösung des Goldman-Tucker-
Systems mit σ > 0 oder τ > 0.
(d) Stelle das System (ZPµ) aus der Vorlesung für (SD) auf. Zeige, daß für µ = 1 der ” Alleinsvektor“
einen Punkt auf dem Zentralpfad beschreibt.
Bemerkung: Der Innere-Punkt-Algorithmus angewandt auf das in (d) aufgestellte System konvergiert
gegen eine strikt komplementäre Lösung von (SD) und löst somit das lineare Programm (LP).