Skript zur Vorlesung Topologie I - Freie Universität Berlin

Skript zur Vorlesung
Topologie I
Carsten Lange, Heike Siebert
Richard-Sebastian Kroll
Faszikel 2
Fehler und Kommentare bitte an
clange@math.fu-berlin.de
Stand: 9. Juli 2010
Fachbereich Mathematik und Informatik
Freie Universität Berlin
Sommersemester 2010

Inhaltsverzeichnis
I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie 1
I.1. Topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.2. Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.3. Abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.4. Unterräume & endliche Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.5. Konstruktion weiterer topologischer Räume: Initialtopologie . . . 13
I.6. Erste Eigenschaften: Zusammenhangsbegriffe . . . . . . . . . . . 17
I.7. Weitere Eigenschaften: hausdorffsch & kompakt . . . . . . . . . . 23
I.8. Ein Beispiel für Vieles: Cantorsches Diskontinuum . . . . . . . . 26
I.9. Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
I.10. Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
I.11. Trennungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I.12. T4-Räume und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
I.13. Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
I.14. Finaltopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
I.15. Quotientenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
I.16. Projektive Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
I.17. Verkleben und CW-Komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
I.A. Bemerkungen und Ausblicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
d.h. (fn) konvergiert gleichmäßig gegen F . Dann ist F stetig, da fn stetig
ist für alle n ∈ N. Letztlich ist F |M = f nach Konstruktion und (i) aus
Lemma I.12.5. Damit ist F eine stetige Fortsetzung von f.
51

Literaturverzeichnis
[1] M. Aigner & G. M. Ziegler, Das Buch der Beweise, 3. Auflage,
Springer-Verlag, Berlin, 2010.
[2] G. E. Cooke & R. L. Finney, Homology of Cell Complexes, Princeton
University Press, Princeton, 1969.
[3] K. Königsberger, Analysis 1, Springer-Verlag, Berlin, 1990.
[4] A. T. Lundell & S. Weingram, The Topology of CW complexes, Van
Nostrand Reinhold, New York, 1969.
[5] B. v. Querenburg, Mengentheoretische Topologie, zweite neubearbeitete
und erweiterte Auflage, Springer-Verlag, Berlin, 1979.
[6] J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy I, Bull. Am. Math. Soc.
55 (1949), 213–245.