8. ¨Ubungsblatt zur Linearen Optimierung

8. Übungsblatt zur Linearen Optimierung
Dr. Carsten Lange
Bis zum 20.06.2007 zu bearbeiten.
Betrachte das Ausgangsproblem (LP), das durch
maximiere c t x
unter Ax ≤ ˜ b
xj ≥ 0,
mit x, c ∈ R n , b ∈ R m und A ∈ R m×n gegeben sei. Benutze die Schlupfvariablen xn+1, . . . , xn+m,
um (LP) in die Gleichungsform (LPG) zu überführen:
maximiere ˜c t x
unter Ax = b
xj ≥ 0.
Das Problem (ZPµ), um für gewähltes µ einen Punkt auf dem Zentralpfad zu finden, lautet dann:
löse Ax = b
( A) t y − s = c
(s1x1, . . . , sm+nxm+n) = (µ, . . . , µ)
xj, sj ≥ 0.
Zunächst ist zu zeigen, daß für jedes µ > 0 das Problem (ZPµ) eine Lösung hat, falls (LPG) und
(LPG ∗ ) eine innere zulässige Lösung haben.
1. Aufgabe:
Angenommen (LPG) und (LPG∗ ) haben zulässige Lösungen x ′ > 0 und y ′ . Setze s ′ = Aty ′ − c.
Angenommen s ′ i > 0 für 1 ≤ i ≤ m + n. Dann hat (ZPµ) für jedes µ > 0 eine eindeutige Lösung
(xµ, yµ, sµ) und xµ maximiert die Barrierefunktion fµ(x) = ˜c tx + µ m+n j=1 ln(xj) auf der Menge
{x ∈ R m+n | Ax = b und xi > 0}. Gehe dabei folgendermaßen vor:
µ ln(xj) − s ′ jxj
(a) Zeige: fµ(x) = (y ′ ) tb + m+n j=1
(b) Für s, µ > 0 hat die Funktion ϕs(x) = µ ln(x) − sx ein eindeutiges Maximum in x = µ
s und
die Menge {x ∈ (0; ∞ | ϕs(x) ≥ −λ} ist für alle λ ∈ R beschränkt.
(c) Q := {x ∈ R m+n | Ax = b, xi > 0 und fµ(x) ≥ fµ(x ′ )} ist abgeschlossen und beschränkt.
(d) Folgere, daß (ZPµ) eine Lösung hat.
(e) Sei (¯x, ¯y, ¯s) eine Lösung von (ZPµ). Zeige, daß fµ(x) = (¯y) tb + m+n j=1 (µ ln(xj) − ¯sjxj) und
folgere, daß x = ¯x, falls x mit Ax = b und xi > 0 die Barrierefunktion fµ(x) maximiert.
Ziel der Aufgaben 2 und 3 ist es, eine Initialisierung der in der Vorlesung diskutierten Inneren
Punkt Methode zum Lösen eines linearen Programms vorzunehmen.
2. Aufgabe:
Betrachte zunächst das folgende Goldman-Tucker-System:
Ax − τb ≤ 0
−A t y + τc ≤ 0
b t y − c t x ≤ 0
xi, yj, τ ≥ 0
Im folgenden sei σ = c t x − b t y. Skizziere einen Beweis für die folgende Aussage:
Keine Lösung des Goldman-Tucker-Systems erfüllt σ = τ = 0. Darüber hinaus ist stets
eine der folgenden Aussagen wahr:
(a) Ist (x, y, τ) eine Lösung des Goldman-Tucker-Systems mit τ > 0, dann ist σ = 0, 1
τ x
eine Optimallösung von (LP) und 1
τ y eine Optimallösung von (LP∗ )..
(b) Ist (x, y, τ) eine Lösung des Goldman-Tucker-Systems mit τ = 0, dann ist σ > 0 und
(LP) ist unzulässig oder unbeschränkt.

3. Aufgabe:
Das Goldman-Tucker-System läßt sich als M0u ≤ 0 und ui ≥ 0 mit schiefsymmetrischer Matrix M0
und u t = (y, x, τ) schreiben. Setze
r t := (1, . . . , 1) + M0(1, . . . , 1),
q t := (0, . . . , 0, k + 1),
M0 −r
M :=
rt
und
0
v t := (y, x, τ, ϑ)
und betrachte das folgende lineare Programm (SD)
maximiere −q t v
unter Mv ≤ q
vj ≥ 0.
Durch Einführen von Schlupfvariablen zj erhalten wir aus (SD) die äquivalente Formulierung
” max −qt v unter Mv + z = q und vj, zj ≥ 0“.
Eine zulässige Lösung von (SD) heißt strikt komplementär, wenn vj = oder zj = 0 für alle j gilt.
(a) Zeige: Das lineare Programm (SD) ist selbstdual, d.h. (SD)=(SD ∗ ).
(b) Zeige: Das Programm (SD) ist stets zulässig und beschränkt. Jede Optimallösung von (SD)
erfüllt ϑ = 0.
(c) Jede strikt komplementäre Optimallösung von (SD) liefert eine Lösung des Goldman-Tucker-
Systems mit σ > 0 oder τ > 0.
(d) Stelle das System (ZPµ) aus der Vorlesung für (SD) auf. Zeige, daß für µ = 1 der ” Alleinsvektor“
einen Punkt auf dem Zentralpfad beschreibt.
Bemerkung: Der Innere-Punkt-Algorithmus angewandt auf das in (d) aufgestellte System konvergiert
gegen eine strikt komplementäre Lösung von (SD) und löst somit das lineare Programm (LP).