Exercise Sheet 5

Prof. Dr. Konrad Polthier:
Differential Geometry I
Exercise Sheet 5
due Nov 22nd 2011
Dr. C. Lange
Dipl.-Math. St. W. von Deylen
Exercise 17 (3 pts.). Consider S 2 = {(x, y, z) ⊤ ∈ R 3 | x 2 + y 2 + (z − 1) 2 = 1}. A
coordinate system is given by the stereographic projection π : S 2 \ {N} → R 2 which
maps a point p = (x, y, z) ⊤ of S 2 minus the north pole N = (0, 0, 2) ⊤ to the intersection
of the xy-plane with the straight line connecting N and p.
(i) Show that π −1 : R 2 → S 2 is given by
π −1 (u, v) =
2
u2 +v2 2u
2v
+4 u2 +v2
.
(ii) Compute the first fundamental form of the S 2 \{N} with respect to the parametrization
π −1 .
Exercise 18 (3 pts.). Let γ(t) = (r(t), 0, h(t)) ⊤ be a regular parametrized curve in the
xz-plane that does not meet the z-axis. Recall that a surface of revolution is obtained
by rotating γ around the z-axis and can be parametrized by
f(t, ϕ) =
r(t) cos ϕ
r(t) sin ϕ
h(t)
(i) Derive formulae for the second fundamental form, the principal curvatures/directions,
the mean curvature, and the Gaussian curvature.
(ii) For 0 < r < R, consider the Frenet curve γ : [0, 2π] → 3
cos t
, t ↦→ sin t with Frenet
0
frame (T |N|B) and the set
Tr,R = γ(t) + r (cos(ϕ)N(t) + sin(ϕ)B(t)) ∈ 3 | 0 < t, ϕ < 2π
Give a parametrization of Tr,R as a surface of revolution rotated around the z-axis
and compute the corresponding second fundamental form.
Exercise 19 (2 pts.). Show that for any point p on a surface S, the mean curvature H
is given by
H(p) = 1
2π
κN(ϕ) dϕ,
2π 0
where κN(ϕ) is the normal curvature at p in direction of an angle ϕ with respect to a
fixed direction.
Exercise 20 (3 pts.). Let r(t) = aet and h(t) = t √
0 1 − a2e2x dx for some constant
a ∈ . The resulting surface of revolution is called a pseudosphere.
Determine the asymptotic lines and the curvature lines for the pseudosphere and show
that the Gaussian curvature is −1 everywhere.
Visualize the asymptotic and curvature line with the help of a computer (optional).
.

Prof. Dr. Konrad Polthier:
Differentialgeometrie I
Übungsblatt 5
Abgabe: 22. November 2011
Dr. C. Lange
Dipl.-Math. St. W. von Deylen
Aufgabe 17 (3 Pkte.). Betrachten Sie die Einheitssphäre S 2 = {(x, y, z) ⊤ ∈ R 3 | x 2 +
y 2 + (z − 1) 2 = 1}. Durch die stereographische Projektion π : S 2 \ {N} → R 2 ist
ein Koordinatensystem gegeben, welches einen Punkt p = (x, y, z) ⊤ von S 2 ohne den
Nordpol N = (0, 0, 2) ⊤ auf den Schnittpunkt von xy-Ebene und der Strecke von N
nach p abbildet.
(i) Zeigen Sie, daß π −1 : R 2 → S 2 gegeben ist durch
π −1 (u, v) =
2
u 2 +v 2 +4
2u
2v
u 2 +v 2
(ii) Berechnen Sie die erste Fundamentalform von S 2 \ {N} bezüglich der Parametrisierung
π −1 .
Aufgabe 18 (3 Pkte.). Sei γ(t) = (r(t), 0, h(t)) ⊤ eine reguläre parametrisierte Kurve in
der xz-Eben, welche die z-Achse nicht schneidet. Erinnern Sie sich, daß durch Rotation
von γ um die z-Achse eine Rotationsfläche erzeugt wird, die parametrisiert werden kann
durch
r(t) cos ϕ
f(t, ϕ) = r(t) sin ϕ .
h(t)
(i) Berechnen Sie die zweite Fundamentalform, die Hauptkrümmungen und Hauptkrümmungsrichtungen,
die mittlere und die Gauß-Krümmung von f.
(ii) Betrachten Sie für 0 < r < R die Frenet-Kurve γ : [0, 2π] → 3
cos t
, t ↦→ sin t mit
0
Frenet-Rahmen (T |N|B) und die Menge
Tr,R = γ(t) + r (cos(ϕ)N(t) + sin(ϕ)B(t)) ∈ 3 | 0 < t, ϕ < 2π .
Geben Sie eine Parametrisierung von Tr,R als Rotationsfläche um die z-Achse an
und berechnen Sie die zugehörige zweite Fundamentalform.
Aufgabe 19 (2 Pkte.). Zeigen Sie, daß für jeden Punkt p einer Fläche S die mittlere
Krümmung H gegeben ist durch
H(p) = 1
2π
2π
0
κN(ϕ) dϕ,
worin κN(ϕ) die Normalkrümmung in p in Richtung eines Winkels ϕ mit einer beliebigen,
fest gewählten Richtung im Tangentialraum ist.
Aufgabe 20 (3 Pkte.). Sei r(t) = aet und h(t) = t √
0 1 − a2e2x dx für eine Konstante
a ∈ . Die resultierende Rotationsfläche heißt Pseudosphäre.
Bestimmen Sie die Asymptotenlinien und die Krümmungslinien der Pseudosphäre und
zeigen Sie, daß die Gauß-Krümmung überall −1 ist.
Visualisieren Sie Krümmungs- und Asymptotenlinien mithilfe eines Computer-Plots (optional).
.