Computertomographie

Computertomographie
Werner Backfrieder
Institut fur
Biomedizinische Technik und Physik
Universitat Wien
Sommersemester 1999

INHALTSVERZEICHNIS 1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 2
2 Analoge Verfahren der Tomographie 2
3 Computertomographie 4
3.1 Motivation............................... 4
3.2 Radontransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Radontransformation in unterschiedlichen Bildgebungsverfahren . 8
3.4 Rontgen-CT { Technische Grundlagen ............... 13
4 Rekonstruktion aus Projektionen 17
4.1 Ruckprojektion ............................ 17
4.1.1 Direkte Ruckprojektion eines Punktes . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Zentralschnitt{Theorem ....................... 18
4.3 Rekonstruktionsmethoden ...................... 20
4.4 Die ge lterte Ruckprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4.1 Implementierung der ge lterten Ruckprojektion ...... 21
4.5 Fouriermethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.6 Algebraische Rekonstruktions Technik (ART) ........... 27
4.6.1 Diskrete Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.7 Maximum Likelihood - Expectation Maximisation (ML-EM) ... 32
4.8 Beschleunigte Verfahren, Ordered Subsets ............. 33
Literaturverzeichnis35

1 EINLEITUNG 2
1 Einleitung
Mit der Entdeckung der Rontgenstrahlung im Jahr 1895 war die Grundlage fur
eine Revolutionierung der medizinischen Diagnostik gegeben. Die Medizin war
nun in der Lage in den Menschen hineinzublicken und machte von dieser Moglichkeit
auch sehr bald Gebrauch. In den ersten Jahrzehnte der Radiologie waren
planare Aufnahmen vorherrschend, wobei der untersuchte Korperteil auf einem
Film oder Leuchtschirm dargestellt wurde. Diese Technik war zumeist ausreichend
um einzelne Organe di erenzieren zu konnen, in Durchstrahlungsrichtung
konnte jedoch die Lage der Organe zueinander nicht beurteilt werden. Einen
Meilenstein in der Entwicklung stellte die Tomographie dar, erstmals war man
in der Lage Querschnitte des Korpers selektiv darzustellen. Erste Ansatze dazu
wurden in der analogen Tomographie entwickelt. Durch geeignete Anordnungen
von Film, Rontgenquelle und Patient versuchte man Strukturen au erhalb
der abzubildenden Schicht zuverwischen und so den Kontrast in einer Abbildungsebene
gezielt zu steigern. Die Einfuhrung des ersten klinischen Computer
tomographen durch Houns eld war der Beginn der modernen Radiologie. Mittels
rechnergestutzter Verfahren konnte ein Bild des Querschnitts einer Korperregion
erstellt werden. Diese Methode erlaubt eine di erenzierte Darstellung anatomische
Strukturen und mittels der Ubereinanderreihung mehrerer Schichten ist eine
dreidimensionale Erfassung des Patienten moglich.
Dieses Konzept der Schichtbildgebung wurde auch in anderen Abbildungsverfahren
wie SPECT, PET und auch MR angewendet. Die mathematische Grundlage
dazu wurde vom Wiener Mathematiker Johann Radon im Jahr 1917 erarbeitet.
Bei der Entwicklung der ersten Tomographen durch A. Cormack war jedoch
diese Arbeit nicht bekannt und die Formalismen Radons wurden erst spater in
das Gebiet eingebracht.
In dieser Vorlesung wird das Konzept der Schichtabildungsverfahren vorgestellt
und ein mathematischerFormalismus dazu entwickelt. Dabei werden einige
auf der Methode beruhende Abbildungsverfahren diskutiert. Verschiedene Algorithmen
zur Bildrekonstruktion werden vorgestellt, wobei die gebrauchlichste
Methode, die ge lterte Ruckprojektion, ausfuhrlich behandelt wird. Praktische
Bedeutung kommt der Verwendung geeigneter Filter zu. Im Rahmen der gelterten
Ruckprojektion wird ein Uberblick uber die wichtigsten Filterfamilien
gegeben. Abschlie end wird ein Ausblick auf die wichtigsten Methoden der iterativen
Bildrekonstruktion gegeben.
2 Analoge Verfahren der Tomographie
Die konventionelle Rontgentomographie ist eine fruhe, analoge Methode zur
Schichtabbildung. Dabei wird zwischen der longitudinalen und transversalen Tomographie
unterschieden. In der longitudinalen Tomographie wird eine Objekt-

2 ANALOGE VERFAHREN DER TOMOGRAPHIE 3
Abbildung 1: Konzept der longitudinalen, analogen Tomographie [2]
Abbildung 2: Transversale Tomographie: Anordnung und Prinzip der Projektion
[2]

3 COMPUTERTOMOGRAPHIE 4
schicht auf einen Film projiziert, wobei Film und Rontgenquelle eine gegenlau ge
Linearbewegung durchfuhren (vgl. Abb. 1). Eine bestimmte Objektschicht, die
parallel zur Filmebene liegt, wird scharf abgebildet alle anderen Objektbereiche
au erhalb dieser Schicht werden verschmiert (Artefakte) abgebildet (vergleiche
dazu die Projektion des Punktes B auf verschiedene Bereiche der Photoplatte
entsprechend der unterschiedlichen Quellen/Film{Positionen).
Die Methode der transversalen Tomographie ist konzeptionell der Computertomographie
wie wir sie heute kennen sehr ahnlich. Diese Methode benutzt eine
Anordnung, in der die Rontgenquelle, die abzubildende Objektschicht und der
Rontgen lm in einer Ebene liegen. Der Rontgen lm weist gegenuber der Ebene
der Strahlrichtung eine leichte Verkippung auf, dadurch wird im Objekt eine bestimmte
Schichte abgebildet. Wahren der Aufnahme rotieren Rontgenquelle und
Film gegenlau g (vgl. Abb. 2), wodurch eine Ebene selektiv abgebildet wird.
Strukturen au erhalb der Ebene werden verschmiert, bzw. artefaktbehaftet abgebildet.
Diese Methode wird auch Layergramm-Technik genannt und entspricht
einer direkten Ruckprojektion, wie sie spater besprochen wird.
3 Computertomographie
In diesem Abschnitt wird eine anschauliche Darstellung der Abbildungsprinzipien
der Computertomographie gegeben. Nach der Einfuhrung eines mathematischen
Formalismus fur die Datenerfassung wird die Implementierung der Methode in
einigen ausgewahlten Modalitaten diskutiert.
3.1 Motivation
Wie sich aus den Experimenten C.F. Rontgens zeigte, wird Rontgenstrahlung
beim Durchtritt durch Materie abgeschwacht. In einer Rontgenaufnahme unterscheiden
sich die Organe und Knochen aufgrund ihrer verschiedenen Abschwachungseigenschaften.
Die Abschwachung ist materialspezi sch und kann
durch den linearen Schwachungskoe zienten (E), der energieabhangig ist, in
einem Exponentialgesetz beschrieben werden. Unter Vernachlassigung der Energieabhangigkeit
la t sich das Abschwachungsgesetz vereinfacht anschreiben
I = I0 e ;R L
(l) dl
: (1)
In dieser Gleichung bezeichnet I0 die Intensitat der Rontgenstrahlung vor dem
Eintritt in den abzubildenden Korper. Mit I wird die Intensitat, die den Korper
durchdringt, bezeichnet. L bezeichnet den Weg durch das Objekt. Die Information
uber die innere Zusammensetzung des Korpers ist im linearen Schwachungskoe
zienten (l) enthalten. Die Inhomogenitat des Objekts druckt sich in der
Ortsabhangigkeit von durch die Variable l aus. Durch Logarithmierung des
Verhaltnisses der Intensitaten von eintretender zu austretender Strahlung kann

3 COMPUTERTOMOGRAPHIE 5
Projection 0 o
Projection 90 o
Projection 45 o
Abbildung 3: Projektion einer Anordnung zylinderformiger Objekte in den Winkeln:
0 o ,90 o und 45 o .
die Summeninformation uber das Objekt entlang des Strahlweges gefunden werden
ln I0
I =
Z
L
(l) dl : (2)
Abbildung 4: Mogliche Objektanordnungen
Aus der Durchleuchtung eines Objekts in einer Richtung kann jedoch nicht die
exakte ortliche Information uber das Objekt gefunden werden. Abbildung 3 zeigt
die Projektion einfacher geometrische Strukturen aus der Vorderansicht (0 o ), Seitenansicht
(90 o )undSchragansicht (45 o ). Zeichnen Sie darunter die moglichen
Objektanordnungen! Je mehr Ansichten (Projektionen aus verschiedenen Winkeln)
verfugbar sind, desto exakter kann die Position bestimmtwerden. In diesem
Beispiel mit einfachen geometrischen Strukturen { deren Form vorher bekannt ist
{reichen drei Ansichten aus. Werden jedoch z.B. komplizierte Knochenfragmente
abgebildet, mussen moglichst viele Projektionen aus verschiedenen Winkeln aufgenommen
werden.
Die intuitiv vorgestellten Prinzipien sind die Voraussetzungen fur eine rechnergestutzte
Rekonstruktion von Schnittbildern in der Computertomographie. Die

3 COMPUTERTOMOGRAPHIE 6
mathematische Grundlage wurde von Johann Radon 1917 in seiner Arbeit " Uber
die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser Mannigfaltigkeiten.\[1]
formuliert. Die Aussage des Radon{Theorems kann folgend
zusammengefa t werden:
" Eine zweidimensionale skalare Funktion f(r ) wird durch die Bildung
ihrer Integralwerte entlang aller moglichen linearen Integrationswege
uber ihr De nitionsgebiet bestimmt.\
Unabhangig von Radons Arbeit formulierte A. Cormack 1964 mit der Konstruktion
eines Labor Prototypen fur die Computer Tomographie einen Algorithmus
zur Rekonstruktion von Schichtbildern [4].
3.2 Radontransformation
Die Computertomographie ist ein zweistu ges Abbildungsverfahren. Die Daten
werden innerhalb einer ausgewahlten Objektschicht erfa t. Dabei handelt es sich
um eine projektive Datenerfassung, wobei die Objektinformation entlang einer
Linie aufsummiert (integriert wird) und dieser Wert einem Punkt im Projektionsraum
zugeordnet wird. Diese Projektionsdaten sind nicht direkt interpretierbar,
d.h. sie ergeben keine Bildinformation uber die darzustellende Schichte.
Erst in einem zweiten Schritt wird die, durch die Projektion codierte Objektinformation,
entschlusselt und durch eine computergestutzte Rekonstruktion ein
Bild der Objektschicht erstellt. Die Schritte des Abbildungsprozesses lassen sich
folgenderma en schematisieren:
Objekt ! Projektions- ! Schichtbild
daten
Radon- Rekonstruktion
transformation
Linien- ! Punkt- ! Bild-
Information Information Information .
Mathematisch wird die Datencodierung in der Projektion durch die Radontransformation
beschrieben. Die Objektfunktion f beschreibt die zweidimensionale
Verteilung der abbildungsspezi schen, physikalischen Gro e (z.B. linearer
Schwachungskoe zient, Dichte der H-Kerne, Anzahl der Zerfallsereignisse) innerhalb
der Objektschicht. Die Objektfunktion f wird durch die Radontransformation
R in die Punktinformation p des Projektions- oder Radonraumes projiziert.
p(l )=[Rf](l )=
Z 1
;1
dx
Z 1
;1
dy f(x y) (l ; x cos ; y sin ) (3)
Jeder Projektionswert p(l ) wird entsprechend seiner Koordinaten l, dem Abstand
vom Mittelpunkt des Koordinatensystems, und , dem Projektionswinkel,

3 COMPUTERTOMOGRAPHIE 7
R
y
θ
l
Radontransformation
L
x
Linieninformation Punktinformation
Abbildung 5: Radontransformation: Projektion einer Linieninformation in eine
Punktinformation
im Radonraum zugeordnet. Der Winkel wird vom Integrationspfad L und der
y-Achse gebildet. Die entsprechenden Relationen sind in Abb. 5 dargestellt.
Die Gesamtheit der Integralwerte wird auch Sinogramm der Objektfunktion f
genannt. Fur die Existenz des Integrals in Glg. 3mu die Objektfunktion f
nachfolgende Bedingungen erfullen, die weiters hinreichend fur deren Invertierbarkeit
ist, d.h. aus den Projektionsdaten kann ein Bild rekonstruiert werden.
1. Die Funktion ist auf einem kompakten Trager in R2 de niert. Im Hinblick
auf praktische Anwendungen wird ein Kreis mit Radius R als De nitionsbereich
der Funktion f angenommen. Au erhalb diese Kreises ist f gleich
Null.
q
f(x y )=0 8 (x y) : 2 2 x + y >R (4)
2. Die Funktion ist in ihrem De nitionsbereich quadratisch integrierbar.
Z 1
;1
dx
Z 1
;1
θ
dy f(x y) 2 < 1 (5)
3. Auf die Klasse der Objektfunktionen ist ein Ma d de niert, das den Ab-
stand zwischen zwei Funktionen f1 und f2 de niert.
Z 1 Z 1
d(f1f2) =
;1
dx
;1
dy(f1(x y) ; f2(x y)) 2
Durch die Bedingung in Glg. 4 und die Symmetrieeigenschaften
[Rf](l )=[Rf](l +2 )=[Rf](;l + ) (7)
l
(6)

3 COMPUTERTOMOGRAPHIE 8
wird ein nonredundanter De nitionsbereich l 2 [;l l)und 2 [0 )fur die Werte
p(l ) de niert.
In praktischen Anwendungen wird jedoch nur ein endliches Subset pi(l ) der
Projektionswerte gemessen. Der Index i bezeichnet einen diskreten Punkt im
Radonraum. Die Verteilung der Punkte wird durch die Projektionsgeometrie
bestimmt, wobei Serien von Me werten, sogenannten Pro le, aufgenommen werden.
Die Pro le werden durch einen inneren und au eren Parameter bestimmt.
Ublicherweise unterscheidet man eine parallele und eine divergente Projektionsgeometrie
(vgl. Abb. 6). In der Parallelgeometrie werden alle Werte p mit
gleichem Winkel zusammengefa t. Innerhalb des Pro ls werden die Werte
nach steigenden Nullpunktabstand l geordnet. In der divergenten Strahlgeometrie
wird die Lage eines Pro ls durch den Projektionswinkel des Mittelstrahls
als au erem Parameter bestimmt. Der innere Parameter ist der Winkel vom
Mittelstrahl. In Abhangigkeit dieser Parameter ergeben sich die Koordinaten l
und im Radonraum
l = D sin (8)
= + (9)
wobei D der Abstand von der Rontgenquelle zum Ursprung des Koordinatensystems
ist.
Als Beispiel ist in Abb. 7 das Sinogramm eines Punktes gezeigt. Mit der
Angabe des Punktes in Polarkordinaten (r ) ergibt sich fur das Sinogramm
l = r cos( ; ).
3.3 Radontransformation in unterschiedlichen Bildgebungsverfahren
Die oben getro enen Annahmen uber die Radontransformation sind unabhangig
von der physikalischen Natur des Informationstragers, der die Grundlage eines
Schichtabbildungsverfahrens bildet. In den vielfaltigen Anwendungsgebieten der
Computertomographie haben sich einige Varianten dieses Abbildungskonzepts
etabliert:
Rontgen-Computertomographie (Ro-CT):
Die abgebildete Objektinformation ist die zweidimensionale Verteilung des
linearen Schwachungskoe zienten innerhalb einer Objektschicht. Hat
ein Rontgenstrahl vor dem Eintritt in ein Stuck Materie der Dicke d die
Intensitat I0, so wird er auf seinem Weg durch die Materie entsprechend
des i. a. ortlich variierenden Schwachungskoe zienten (~x) anIntensitat
verlieren. Nach dem Durchtritt wird nur mehr eine verminderte Intensitat
I = I0e ;R d
0(g)
(~x) dx
(10)

3 COMPUTERTOMOGRAPHIE 9
Abbildung 6: Parallelle und facherformige Abtastgeometrie [2].

3 COMPUTERTOMOGRAPHIE 10
Abbildung 7: Sinogramm eines Punktes [2]
me bar sein. Bildet man die Relation
ln( I0
I )=
Z d
0(g)
(~x) dx (11)
so ergibt sich die Radontransformierte der Verteilung des linearen
Schwachungskoe zienten in der Objektschicht. Diese Aussage ist in oben
dargestellter Form jedoch nur fur monochromatische Rontgenstrahlung
gultig, da der lineare Schwachungskoe zient energieabhangig ist, wodurch
bei polychromatischer Durchstrahlung die verschiedenen Spektralanteile der
Rontgenstrahlung unterschiedlich abgeschwacht werden. Aufgrund dieser
Tatsache kann bei wei er Rontgenstrahlung das Linienintegral aus Gleichung
11 nicht mehr in " beliebiger\ Genauigkeit erhalten werden. Die Konsequenz
daraus sind Aufhartungsartefakte in den rekonstruierten Bildern.
Diese Artefakte konnen durch geeignete Vor lterung der Strahlung oder
durch Kalibrierung der Me daten wahrend der Rekonstruktion vermindert
werden.
Emissions-Tomographie
Auch in diesem Anwendungsgebiet erfolgt die Informationsubertragung
durch elektromagnetische Strahlung. Es handelt sich dabei um -Strahlung,
die bei radioaktiven Zerfallen entsteht. Der wesentliche Unterschied zur
oben beschriebenen Transmissions-Tomographie ist jedoch der, da die

3 COMPUTERTOMOGRAPHIE 11
Abbildung 8: Schematische Darstellung der Me werterfassung bei der PET [32]
Strahlung durch Tracer-Substanzen im Korper entsteht. Dabei werden
Radiopharmaka in den Korper injiziert, die am Sto wechsel teilnehmen.
Korperstellen in denen der Tracer angereichert wird, werden abgebildet.
Dabei sind grundsatzlich zwei Methoden zu unterscheiden:
{ Positronen-Emissions-Tomographie (PET)
In Folge eines radioaktiven + {Zerfalls entsteht einPositron, welches
nach einer charakteristischen Laufstrecke (die Lange ist von der umgebenden
Materie abhangig und liegt im Bereichvon einigen Millimetern
bis Zentimetern) auf thermische Energien abgebremst wird und mit
einem Elektron in Wechselwirkung tritt. Elektron und Positron annihilieren
und senden zwei -Quanten, deren Energie der Ruheenergie
der reagierenden Teilchen 0.511 MeV entspricht, in entgegengesetzter
Richtung aus. Abbildung 8 zeigt das Schema einer solchen Anordnung,
mit der das Quanten{Paar detektiert wird. Dabei wird nur in jenen
Fallen ein Ereignis gezahlt, in denen zwei gegenuberliegende Detektoren
innerhalb eines Koinzidenzintervalls zwei Quanten registrieren
(Koinzidenzmessung). Aufgrund der endlichen O nungsbreite der einzelnen
Detektoren und der Geometrie des Annihilationsprozesses mu
ein Detektor mit mehreren gegenuberliegenden Detektoren gekoppelt
werden. Von einem registrierten Impuls kann bis auf die Angabe der
Verbindungslinie zwischen den beiden Detektoren, die diese Quanten
registriert haben, keine genauere Angabe uber den Ort des Zerfallsprozesses
gemacht werden. Da es sich bei Kernzerfallen um statistische
Prozesse handelt und die Wahrscheinlichkeitfur gleichartige Umwandlungsprozesse
bei identischen Isotopen gleich gro ist, ist die Summe

3 COMPUTERTOMOGRAPHIE 12
Abbildung 9: Schematische Darstellung der De nition des Strahlengangs mittels
eines Kollimators in der SPECT [33].
der von einem Detektorpaar in einem bestimmten Zeitintervall gemessenen
Ereignisse gleich dem Erwartungswert uber die Isotopenverteilung
entlang ihrer Verbindungslinie.
{ Einzel-Photonen-Emissions-Tomographie (SPECT)
In diesem Verfahren werden ahnlich wie bei der PET durch Kernumwandlungsprozesse
entstehende {Quanten gemessen. Dabei werden
die Ereignisse jedoch nur in einem Detektor gemessen. Um nun die
registrierten Zerfallsereignisse einer Linie im Objekt (O) zuordnen zu
konnen, wird vor dem Detektor (D) ein Kollimator (K) angebracht
(vergleiche Abbildung 9), der alle Photonen absorbiert, welche nicht
aus der durch die Detektorposition spezi zierten Linie (B) der Objektschicht
stammen. Da zur Bestimmung des Linienintegrals uber
die Isotopenverteilung (R) im Objekt nur ein Detektor (im Gegensatz
zu PET) benotigt wird, konnen in dieser Anwendung beliebige
Isotope, welche bei der Kernumwandlung -Quanten emittieren, verwendet
werden. Die Halbwertszeit eines der gebrauchlichsten Isotope

3 COMPUTERTOMOGRAPHIE 13
99m Tc liegt bei 6 Stunden.
Der logistische Aufwand bei SPECT ist gegenuber PET wesentlich geringer.
Durch Abschwachung im Gewebe, weist SPECT jedoch verstarkte
Bildartefakte im Vergleich zu PET auf. Letztere Methode ist unemp ndlich
gegenuber homogener Abschwachung.
Kernspinresonanz{Computertomographie (NMR-CT)
Die Kernspinresonanz grundet auf einer resonanten Wechselwirkung zwischen
Strahlungsfeld und Materie. Dabei ist die Resonanzfrequenz !L dem
angelegten Magnetfeld B proportional und abhangig von der in Wechselwirkung
tretenden Materie
!L = pB: (12)
Diese Resonanzfrequenz !L ist die Lamorfrequenz und sie ist uber das gyromagnetische
Verhaltnis (fur Protonen p =2:676 10 8 Hz/Tesla) mit dem
angelegten Magnetfeld verknupft. Durch geeignete raumliche Veranderung
des Magnetfeldes ist es moglich, aufbauend auf dieser Resonanzfrequenz
raumliche Informationen uber die Materie (=Objekt) zu erlangen. Dabei ist
die einfachste Form die Uberlagerung eines statischen magnetischen Grundfeldes
B0 mit einem in einer Raumrichtung linear ansteigenden magnetischen
Gradienten{Feld G. In Abbildung 10 ist eine quasi zweidimensionale
Probe, wie sie der Schnitt durch ein dreidimensionales Objekt darstellt, gezeigt.
Dabei wird nach resonanter Anregung der Kerne in dieser Schicht
zur Messung des zeitlich abklingenden Induktionssignals (Freier Induktionsabfall)
ein Gradientenfeld ( " Lesegradient\) angelegt. Der Pfeil zeigt
die Richtung des Feldgradienten G an, wobei die Kerne in Richtung des
steigenden Gradienten bei hoheren Kreisfrequenzen !L ihren Beitrag zum
gemessenen Signal liefern. Wird das Induktions{Signal als Funktion dieser
Frequenz aufgenommen, so ist eine ortliche Zuordnung der Signalintensitat
entsprechend der Resonanzfrequenz moglich. Das Signal entspricht einer
Projektion der (i. a. noch durch Relaxationskonstanten gewichteten) Kernspindichte
auf die Richtung des Feldgradienten. Durch Anderungen der
Gradientenrichtung innerhalb der Objektschicht konnen Pro le aus mehreren
Projektionsrichtungen gemessen werden, die als Grundlage fur eine
Bildrekonstruktion dienen. Diese Methode wurde von P. C. Lauterbur erstmals
zur Realisierung eines bildgebenden Verfahrens unter Zugrundelegung
der Kernspin{Resonanz entwickelt [6].
3.4 Rontgen-CT { Technische Grundlagen
In technisch{medizinischen Anwendungen wird nur eine diskrete Untermenge des
Radonraumes aufgefullt. Die verschiedenen Implementierungen der Methode haben
zu einer Einteilung der Scanner in vier Generationen gefuhrt.

3 COMPUTERTOMOGRAPHIE 14
Abbildung 10: Projektion der Kernspin{Dichteverteilung auf den Feld{
Gradienten G
Die Gerate der ersten Generation, wie sie von Houns eld zu Beginn der
siebziger Jahre entwickelt wurde [22], implementierten eine parallele Abtastgeometrie
(vergleiche dazu Abbildung 6 erste Zeile). Das Me system
besteht auseinerRohre und einem einzigen Detektor. Die Objektabtastung
erfolgt durch einen mittels Ausblendung erzeugten Strahls. Um das
Objekt abzutasten, werden Rohre und Detektor in gleichma igen Translationsschritten
uber das Objekt bewegt. Anschlie end erfolgt eine Drehung
der Anordnung um einen Winkelschritt und der Abtastvorgang wird solange
wiederholt, bis uber einen Winkelbereichvon 180 Grad alle Pro le gemessen
sind. Der Positioniermechanik sind Grenzen gesetzt, wodurch die Translation
und Rotation des Systems nicht beliebig schnell durchgefuhrt werden
kann. Die Me dauer ist, um ein ausreichendes Signal{Rauschverhaltnis zu
erhalten, nach unten begrenzt. Somit ergibt sich mit derartigen Geraten
eine Me dauer von einigen Minuten, wodurch gro teils nur ruhende Objekte
abgebildet werden konnen. Ein Einzelstrahl jedoch durch teilweise
sehr aufwendige Kollimierung bis auf wenige Mikrometer gebundelt werden,
wodurch diese Gerategeneration in der Mikrotomographie weiterhin
eingesetzt wird [31]. In Abbildung 11.a ist das Schema eines solchen Gerats
der ersten Generation dargestellt.

3 COMPUTERTOMOGRAPHIE 15
In den Geraten der zweiten Generation wird die Intensitat der Rontgenquelle
besser ausgenutzt. Es werden mehrere Strahlen eingeblendet, die
von korrespondierenden Detektoren ausgewertet werden. Dabei werden
in einem Translationszyklus mehrere Pro le, entsprechend den einzelnen
unterschiedlich positionierten Detektoren, aufgenommen. Mit dieser Anordnung
kann die Anzahl der Winkelschritte vermindert werden und eine
Drehung erfolgt jeweils um eine gro eres Winkelinkrement. Die typischen
Aufnahmezeiten liegen zwischen 10 s und 60 s. In dieser Anwendung werden
die Pro le wieder gema einer parallelen Abtastgeometrie angeordnet.
Abbildung 11.b zeigt das Prinzip dieser Gerategeneration.
Die von der Rontgenrohre erzeugte Strahlung wird in den CT{Systemen
der dritten Generation sehr e zient ausgenutzt. Das abzubildende Objekt
be ndet sich zu jedem Zeitpunkt der Aufnahme innerhalb des Strahlenfachers.
Dadurch sindkeine Translationbewegungen notwendig und die
Rohre rotiert gemeinsam mit einem bogenformigen Detektorarray umden
Patienten (divergente Projektionsgeometrie vergl. Abb. 6zweite Zeile).
An bestimmten Winkelpositionen wird durch eine gepulste Rontgenstrahlung
das Objekt durchstrahlt, ebenso besteht die Moglichkeit einer kontinuierlichen
Bestrahlung und der Aktivierung der Detektoren nur wahrend
bestimmter Zeitfenster. Die Aufnahmezeiten mit einer solchen Anordnung
betragen wenige Sekunden. In Abbildung 11.c ist eine derartige Abtastgeometie
veranschaulicht.
Die Gerate der vierten Generation verwenden ebenfalls diese e ziente
Facherstrahlanordnung. Dabei wird die Strahlung von einem feststehenden
Detektorring ausgewertet, wodurch nur noch eine Rotationsbewegung der
Rohre notwendig ist. Der Strahlengang wird zur Bildrekonstruktion " invertiert\,
d.h. ein Detektor bildet das Projektionszentrum eines Pro ls, wobei
die einzelnen Pro lwerte entsprechend den verschiedenen Rohrenpositionen
gemessen werden, was zur in Abbildung 11.d dargestellten Abtastgeometrie
fuhrt. Dieses Prinzip des inversen Facherstrahls wurde ursprunglich
entwickelt, um nicht ausreichend kalibrierbare Unterschiede der einzelnen
Detektoren des Detektorarrays zu vermeiden, welche zu Ringartefakten im
rekonstruierten Bild fuhrten. Neue Entwicklungen der Detektortechnologie
machen jedoch diesen Schritt uber ussig, soda nahezu alle im medizinischen
Einsatz be ndlichen Ro{CT{Systeme auf der divergenten Projektionsgeometrie
der 3. Generation aufbauen.

3 COMPUTERTOMOGRAPHIE 16
Abbildung 11: Schematische Darstellung der Abtastgeometrie bei CT{Scannern
der ersten (a), zweiten (b), dritten (c) und vierten (d) Generation [18]

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 17
4 Rekonstruktion aus Projektionen
4.1 Ruckprojektion
In diesem Abschnitt wird der Ruckprojektionsoperator B eingefuhrt. Dieser Operator
hat eine zentrale Stellung in der Bildrekonstruktion. Er ist Teil der ge lterten
Ruckprojektion, der hauptsachlich in der Computertomographie verwendeten
Rekonstruktionsmethode. In den Anfangen wurde die direkte Ruckprojektion per
se zur Rekonstruktion verwendet (Layergramme). Die so erhaltenen Bilder sind
jedoch stark durch Artefakte beeintrachtigt. Diese Methode entspricht der im
Kapitel 2 vorgestellten analogen transversalen Tomographie.
In der Ruckprojektion werden die Projektionswerte p(l ) entlang ihrem
Strahlengang (=Integrationspfad) streifenweise aufgetragen, oder in anderen
Worten, in jedem Punkt der Bildebene werden jene Projektionswerte aufgetragen,
zu denen der Punkt beigetragen hat. Vergleicht man dazu die Abbildung
des Sinogramms eines einzelnen Punktes 7, so erkennt man, da fur die Ruckprojektion
die Werte des Projektionsdatensatzes entlang einem sinusformigen Integrationspfad
aufsummiert werden mussen. Das fuhrt zu folgender Darstellung
des Ruckprojektionsoperators B
~f(r )=[Bp](r )=
Z
0
p(r cos( ; ) ) d : (13)
Die Ruckprojektion eines Projektionsdatensatzes p fuhrt zu einem artefaktbehafteten
Bild ~ f,welches sich wesentlich vom Objekt f unterscheidet und daher mit
einer Tilde bezeichnet wird. Als Beispiel sei die direkte Ruckprojektion eines
Punktes angefuhrt.
4.1.1 Direkte Ruckprojektion eines Punktes
Als Objekt wird ohne ohne Beschrankung der Allgemeinheit ein in den Ursprung
verschobener Punkt betrachtet. Dieser Punkt kann durch eine zweidimensionale
-Funktion f(x y) = (x) (y) beschrieben werden. Zur Berechnung der Projektionen
p(l ) wird ein um den Winkel gedrehtes Koordinatensystem verwendet
x 0 = x cos + y sin
y 0 = ;x sin + y cos (14)
wodurch die Projektionswerte p(l ) durch die einfache Relation
p(l )=
Z 1
;1
(x 0 = l) (y 0 ) dy 0 = (l) (15)
berechnet werden konnen. Werden die Projektionswerte p(l )ruckprojiziert, so
ergibt sich fur das Bild
~f(r
Z
1
)= (r cos( ; )) d : (16)
0

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 18
y
x
20
40
60
80
100
120
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
Direkte Rückprojektion, 1/r Abhängigkeit
20 40 60 80 100 120
Querschnitt durch den Mittelpunkt
0
0 20 40 60 80 100 120 140
Abbildung 12: Direkte Ruckprojektion eines Punktes.
Unter Verwendung der Identitat [17] fur -Funktionen
(g(x)) = X
i
dg
dx
;1
x=xi
(x ; xi) (17)
wobei die xi die Nullstellen der Funktion g(x) bezeichnen. Mit der Tatsache, da
im Integrationsbereichnur jeweils eine Nullstelle existiert, ergibt obige Gleichung
~f(r) =
1
jr sin( ; i)j
Z
0
( ; i) d = 1
r
: (18)
Das berechnet Bild zeigt eine 1=r Verteilung mit Maximum an der Stelle des ursprunglichen
Punktes. Vergleiche dazu Abbildung 12, welche die Objektfunktion
dem ruckprojizierten Bild gegenuberstellt.
4.2 Zentralschnitt{Theorem
Mit Hilfe des Zentralschnitt{Theorems kann die zweidimensionale Fouriertramsformierte
einer Funktion aus deren Projektionen bestimmt werden.
Die Fouriertransformierte eines Pro ls p zum Winkel , das von einer
Funktion f berechnet wurde, ist gleich den Werten der zweidimensionalen
Fouriertransformierten dieser Funktion f, entlang einer
Geraden durch den Ursprung (Zentrum) mit dem Steigungswinkel .
In der folgenden Ableitung wird die Fouriertransformierte einer Funktion mit
dem entsprechenden Gro buchstaben bezeichnet.
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 19
Das Pro l einer Funktion zum Winkel wird in einem um den Winkel
gedrehten Koordinatensystem
x 0 = x cos + y sin (19)
y 0 = ;x sin + y cos (20)
durch das Bereichsintegral entlang der y 0 {Achse berechnet
p(l )=p(x 0 )=
Z 1
;1 f(x0 cos ; y 0 sin x 0 sin + y 0 cos ) dy 0
Die Fouriertransformierte P des Pro ls ist de niert als
P ( 0 )=
Z 1
;1
p(x 0 0 ;2 ix0
)e dx 0
: (21)
: (22)
Durch Substitution mit dem Ausdruck fur p und Rucktransformation in das Koordinationsystem
(x y) ergibt sich der Ausdruck
und weiter Z 1
Z 1
;1
;1
Z 1
Z 1
;1
;1
0
;2 i(x cos +y sin )
f(x y) e dxdy (23)
f(x y) e ;2 i(x 0 cos +y 0 sin ) dxdy : (24)
Dieser Ausdruck ist die zweidimensionale Fouriertransformierte entlang der Geraden
im zweidimensionalen Fourierraum. Somit ergibt sich
P ( 0 )=F ( 0 cos
= 0 cos (25)
= 0 sin (26)
0 sin ) : (27)

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 20
4.3 Rekonstruktionsmethoden
Die Methoden zu Rekonstruktion von Schnittbildern aus Projektionen kann grob
in zwei Gruppen eingeteilt werden: (a) Die Transformationsmethoden, welche
ausgehend von einem analytischen Modell die Bildfunktion berechenen. Die digitale
Natur der Projektionsdaten wird erst bei der Implementierung des Algorithmus
berucksichtigt. (b) Die iterativen Methoden. Der Algorithmus wird
mit einem diskreten, numerischen Modell entwickelt und die Bildfunktion durch
schrittweise Verbesserung angenahert. Folgende Aufzahlung zeigt eine Unterteilung
der Rekonstruktionsalgorithmen:
1. Transformationsmethoden
Ge lterte Ruckprojektion
Fouriermethode
2. Iterative Methoden
ART Methoden (additive ART und multiplikative ART)
Maximum Likelihood- Expectation Mazimisation (ML-EM)
Beschleunigte Methoden (ordered subsets)
4.4 Die ge lterte Ruckprojektion
Zur Herleitung der ge lterten Ruckprojektion wird die inverse Fouriertransformation
einer Objektfunktion f(x y) betrachtet
f(x y) =
Mit der Transformation in Polarkoordinaten
und dem neuen inkrementellen Volumselement
wird obige Gleichung zu
f(x y) =
Z 1 Z 1
F ( ) e
;1 ;1
2 i(x +y ) d d : (28)
= l cos (29)
= l sin (30)
d d = ldld (31)
Z 1 Z 2
F (l ) e
0 0
2 il(x cos +y sin ) ldld (32)

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 21
umgeschrieben. Vertauscht man die Reihenfolge der Integration, d.h. die Integration
nach dem Winkel wird nach innen geschoben und spaltet man das
Integrationsintervall [0 2 ]in[0 ] und [ 2 ] auf, so erhalt man
Z 1
0
dl
Z
0
lF(l )e 2 il(xcos +y sin ) d +
Z
0
lF(l + )e 2 il(x cos( + )+y sin( + )) d :
(33)
Durch die Verschiebung der Integrationsgrenzen im zweiten Integral von [ 2 ]
nach [0 ] lauten im Integranden die Argumente + . Mit der Identitat
F (l + )=F (;l ) (34)
abermaligem Vertauschen der Integrationsreihenfolge und der Substitution
l !;l egibt sich
Z
0
d
Z 1
0
lF(l )e 2 il(x cos +y sin ) dl ;
Z ;1
(;l)F (l )e
0
2 i(;l)(;x cos ;y sin ) dl :
(35)
Durch Vertauschung der Integrationsgrenzen im letzten Integral und Zusammefassen
der beiden Integrale erhalt man
f(x y) =
Z
0
d
Z 1
;1
jljF (l )e 2 il(xcos +y sin ) dl : (36)
Dieser Ausdruckenthalt die ge lterte Ruckprojektion. Bei festgehaltenem Winkel
konnen die Werte F (l ) laut Zentralschnitt-Theorem durch die Fouriertransformierte
P der Projektionsdaten p (l) ersetzt werden. Mit der Verwendung
der neuen Variable t = x cos + y sin ergibt der Ausdruck eine Filterung der
Projektionsdaten im Ortsfrequenzraum. Der verwendete Filter jlj ist ein Rampen
lter. Die ge lterten Daten im Ortrraum q berechnen sich durchinverse
Fouriertransformation
q (t) =
Z 1
;1
jlj P (l)e 2 ilt dl : (37)
Durch die Winkelintegration erfolgt die Ruckprojektion der ge lterten Projektionswerte
Z Z
q (t) d = q (x cos + y sin ) d : (38)
0
0
Der hergeleitete Formalismus wird auf Funktionen angewandt und setzt kontinuierliche
Projektionsdaten voraus. Fur die Verwendung diskreter Datensatze
mussen die Formeln geeignet adaptiert werden.
4.4.1 Implementierung der ge lterten Ruckprojektion
In Gleichung 37 wird die Filterung der Projektionsdaten im Frequenzraum durchgefuhrt.
Die ge lterten Projektionsdaten q konnen im Ortsraum auch durch eine
Faltung berechnet werden
q = g p (39)

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 22
dabei werden die Projektionsdaten p unter festgehaltenem Winkel mit dem
Faltungskern g gefalten. Die Ortsdarstellung des im Frequenzraum verwendeten
Rampen lter j j kann mittels des Faltungstheorems als inverse Fouriertransformation
angeschrieben werden
g(x) =
Z 1
;1
Spaltet man das Integral aus Gleichung 40 auf
g(x) =;
Z ;1
0
j je 2 ix dx : (40)
j je 2 ix d +
Z 1
0
j je 2 ix d (41)
und fuhrt im ersten Integral die Koordinatentransformation 0 = ; durch, so
ergibt sichunter Verwendung der Identitat ei fur den Faltungskern
= cos +i sin die Ortsdarstellung
g(x) =2
Z 1
0
cos(2 x ) d : (42)
In Gleichung 42 ist die Ortsdarstellung des Rampen lters gezeigt. In realen
Anwendungen sind die Projektionsdaten p nicht in ihrer kontinuierlichen Form
gegeben, sondern die Funktion wird an diskreten Stutzstellen abgetastet. Ist
der Abtastabstand T so ergibt sich als Konsequenz eine diskrete Fouriertransformierte
die mit dem Intervall 1=T periodisch ist. Diese Periodizitat ist in Abbildung
13 dargestellt und kann durch die Anwendung des Faltungstheorems unter
Verwendung einer Kammfunktion anschaulich dargestellt werden. Die Daten sind
im Intervall [; 1 1 ] redundant und die Filterung im Frequenzraum wird nicht
2T 2T
mehr uber den gesamten De nitionsbereich von ;1 bis 1 durchgefuhrt. Dadurch
werden gegenuber Gleichung 42 die Integrationsgrenzen nur mehr bis zur
Nyquistfrequenz 1
gezogen. Wie aus Abbildung 13 ersichtlich istkommt esbei
2T
nicht-bandbegenzten Funktionen, d.h. das Spektrum der Funktion reicht uber die
Nyquist Frequenz hinaus, zu Uberlappungen ( aliasing\). Aufgrund dieser Uber-
"
lappungen und dem statistischen Rauschen, das in jeder Messung vorhanden ist,
ist das Signal-Rausch Verhaltnis besonders in den Bereichen der Grenzfrequenz
relativ niedrig. Weiters verstartkt der Rampen lter gerade jene unzuverlassi-
"
gen\ Frequenzbereiche am meisten. Diese E ekte werden im Filterungsproze
durch eine Fensterfunktion unterdruckt, die in Gleichung 43 mit FT bezeichnet
ist
g(x) =2
Z 1
2T
0
FT ( ) cos(2 x) d : (43)
In untenstehender Tabelle sind einige Beispiele fur hau g gebrauchte Fensterfunktionen
angefuhrt.

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 23
Abbildung 13: Periodisches Frequenzspektrum in der diskreten Fouriertransformation
[20]

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 24
Name des Fensters FT ( )
Bandlimiting 1
Cosinus cos( =T)
Sinc sin( =T)=( =T)
Generalisiertes Hamming
mit Parameter +(1; ) cos(2 =T)
(0:5 1)
In Abbildung 14 ist das generalisiert Hamming Window fur die Werte von =1,
0.8, 0.54, 0.5 angegeben. In Abbildung 15 sind die entsprechenden Faltungskerne
in der Ortsdarstellung dargestellt. Fur =1 entspricht der Filter einem Rampen
lter, fur =54 wird das Fenster Hamming Fenster genannt und fur =0.5
Hanning Fenster.
Im Anhang sind die Darstellungen einiger Filterfamilien gegeben, die in der
SPECT verwendet werden.
4.5 Fouriermethode
Einen vollig anderen Ansatz, um Schichtbilder aus ihren Projektionen zu rekonstruieren,
zeigt die Fouriermethode. Die Grundlage bildet das Zentralschnitt{
Theorem besagt, da die Fouriertransformierte der Pro ldaten p(l ) bei festgehaltenem
genau der zweidimensionalen Fouriertransformierten F ( ) der
Objektfunktion entlang einer Geraden durch den Ursprung mit Steigungswinkel
entspricht. Die Gultigkeit des Zentralschnitt{Theorems wurde bereits in
Abschnitt 4.2 gezeigt.
Fur die Rekonstruktion ergibt sich somit folgender Algorithmus:
1. Fouriertransformation der einzelnen Projektionen
2. Interpolation der Daten auf ein quadratisches Gitter, da die e zienten Algorithmen
wie z.B. die FFT [12] auf dieser Basis arbeiten.
3. Inverse zweidimensionale Fouriertransformation
Wird ein Vergleich der Resultate aus ge lterter Ruckprojektion und Fouriermethode
angestellt, so liefert die Fouriermethode i. a. schlechtere Resultate. Die
Bilder zeigen deutliche Artefakte, die auf eine gro e Anzahl von Fehlerquellen
zuruckzufuhren sind:
1. zu gro e Abtastschrittweite ( " Undersampling\) in den gemessenen Pro ldaten
2. Fehler durch die numerische Ausfuhrung der Fourier{Transformation

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 25
Amplitude
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
gen. Hamming Fenster α=1
0
0 50 100 150
Frequenz
1
0.8
0.6
0.4
0.2
gen. Hamming Fenster α=0.54
0
0 50 100 150
Frequenz
Amplitude
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
gen. Hamming Fenster α=0.8
0
0 50 100 150
Frequenz
1
0.8
0.6
0.4
0.2
gen. Hamming Fenster α=0.5
0
0 50 100 150
Frequenz
Abbildung 14: Generalisiertes Hamming Fenster fur =1, 0.8, 0.54 und 0.5

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 26
Abbildung 15: Ortsdarstellung des Faltungskerns g(x) mit einem generalisierten
Hamming Fenster fur die Werte =1, 0.8 und 0.54 [2].

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 27
Abbildung 16: Anordnung der Fourierkoe zienten aufgrund des Zentralschnitt{
Theorems (links) und fur die FFT (rechts) [2]
3. Abschneidung der Daten im Frequenzraum
4. Fehler aufgrund der Interpolation im Frequenzraum
5. Undersampling im Frequenzraum (In Abbildung 16 ist klar erkennbar, da
zu hoheren Frequenzen hin die Punkte weniger dicht liegen als um den
Urspung.)
6. Numerische Fehler bei der Ausfuhrung der inversen zweidimensionale
Fourier{Transformation.
Soll jedoch zur Bildrekonstruktion eine gro e Datenmenge verarbeitet werden,
so zeigt die Fouriermethode unter Verwendung eines e zienten Transformationsalgorithmus
(FFT) gegenuber der ge lterten Ruckprojektion im Ortsraum einen
entscheidenden Zeitvorteil.
4.6 Algebraische Rekonstruktions Technik (ART)
Ein gemeinsames Merkmal der Transformationsmethoden, (z.B. die in den vorangegangenen
Abschnitten diskutierten Methoden der ge lterten Ruckprojektion
oder die Fouriermethode) ist ein analytischer Algorithmus, der erst im Stadium
der Implementierung die diskrete Natur der Daten berucksichtigt. Mit den iterativen
Algorithmen wird die Problemstellung bereits im ersten Schritt diskret
formuliert und anschlie end ein geigneter Algorithmus zur Rekonstruktion des
Bildes angewandt [11]. Der Vorteil dieser Methodik besteht darin, da der Algorithmus
unabhangig von der Abbildungsgeometrie formuliert werden kann, sowie
da spezi sche Problemstellungen in die Rekonstruktion mit eingebunden
werden konnen [34], [35]. Nachteilig hingegen ist der erhohte Rechenaufwand,

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 28
den die Verwendung iterativer Algorithmen gegenuber Transformationsmethoden
mit sich bringt. Das hat dazu beigetragen, da sie im klinischen Einsatz
nur sehr geringe Anwendung nden. Dabei ist jedoch zuberucksichtigen, da
durch die Entwicklung leistungsstarker Rechnersysteme diese Rekonstruktionsmethoden
zukunftig mehr Bedeutung erlangen werden.
4.6.1 Diskrete Problemstellung
Die kontinuierliche Bildfunktion f(x y) wird mit Hilfe von Basisfunktionen bj in
eine diskrete Darstellung ^ f(x y) transformiert [13]. Die Basisfunktion de niert,
welche Bereiche der Objektfunktion f einem Pixel (=Picture Element) zugeordnet
sind, ebenso mu eine Bildungsvorschrift impliziertwerden, welche angibt wie
aus den Funktionswerten f im Bereich der Basisfunktion der zugehorige Pixelwert
bestimmt wird. Die Basisfunktion ist de niert als
(
1 : (x,y) Element des Pixels
bj(x y) =
(44)
0 : sonst
Das zweidimensionale Bild kann nun mit Hilfe der Basisfunktionen als eindimensionaler
Bildvektor ~ X (keine Matrizendarstellung!!) dargestellt werden. Die
Komponenten xj 1 j J des Bildvektors ~ X geben die einzelnen Pixelwerte in
einer fest de nierten Reihenfolge wieder.
Die Projektionsdaten p(l )werden im Me vektor ~ Y zusammengefa t. In
diesem Fall erubrigt sich die die Diskretisierung, da die Me daten entsprechend
ihrer Natur in diskreter Form vorliegen. Die einzelnen Komponenten yi 1
bezeichnen die Me werte, wobei I die Anzahl der Messungen ist.
i I
Weiters mu in der Formulierung die Geometrie der Messung berucksichtigt
werden. Die Grundidee dabei ist, da die einzelnen Pixel entsprechend ihrer
Gewichtung zu einem beliebigen Me wert yi aufaddiert werden. Dieser Gewichtungsfaktor
rij kann anhand geometrischer Uberlegungen bestimmtwerden (vergleiche
Abbildung 17), wobei der Faktor rij den Beitrag des j{ten Pixels zum
i{ten Me wert bestimmt. Mathematisch kann das folgenderma en formuliert
werden:
yi = X
(45)
j
rij xj
~Y = R ~X (46)
Nun konnte durch Inversion der Matrix R das Rekonstruktionsproblem gelost
werden. Das ist jedoch wegen der Gro e der Matrix R aus praktischen Grunden
ebenso unmoglich, als auch in einer praktischen Anwendung Me fehler auftreten
~Y = R ~ X + ~e: (47)
Diese Me fehler sind im Fehlervektor ~e zusammengefa t, wodurch Gleichung 47
i.a. nicht mehr durch Inversion von R losbar ist.

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 29
Abbildung 17: Disktretisierung des Problems
Die ART bilden eine bedeutende Untergruppe der iterativen Algorithmen,
wobei die Namensgebung historisch begrundet ist, denn diese Methode zeichnet
sich gegenuber den ubrigen iterativen Verfahren nicht durch die Anwendung besonderer
algebraischer Methoden aus. Ein " Markenzeichen\ von ART ist jedoch,
da die einzelnen Bilder einer Iterationfolge (siehe unten) anhand eines einzelnen
Me wertes yi korrigiert werden.
Das Rekonstruktionsschema der ART la t sich wie folgt formulieren:
1. Annahme eines Ausgangsbildes ~X (0)
2. Berechnung eines Me wertes anhand des Bildvektors ~X (k) (Pseudoprojektion)
3. Vergleich dieses Me werts mit dem tatsachlich gemessen Wert
4. Berechnung eines entsprechenden Korrekturfaktors und Anpassung des
Bildvektors
5. Fortsetzung der Iteration bei Schritt 2 oder Beendigung der Rekonstruktion
nach dem Erreichen eines Abbruchkriteriums.
Formal de niert obiger Algorithmus eine Folge von Bildvektoren
~X (0) ~ X (1) ~ X (2) ..., welche anhand der Me werte yi korrigiert werden, da jedoch
i.a. mehr Iterationsschritte als I | die Anzahl der Me werte | zur
Rekonstruktion eines Bildes notwendig sein werden, werden die Me werte
zyklisch rotiert, was durch den Index ik (= k mod I + 1) in den folgenden
Gleichungen angegeben wird. Wie bereits eingangs erwahnt, korrigiert ART den

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 30
Bildvektor ~X (k) im k{ten Iterationsschritt anhand des Me wertes yi k , oder mit
anderen Worten, es wird jeweils die ik{te Zeile ri k des Gleichungssystems 47
gelost. Fur die Durchfuhrung des Iterationsschritt
~X (k+1) = ( ~ X (k) ri k yi k ) (48)
gibt es keine formalen Bedingungen, wodurch die Moglichkeit gegeben ist, an
dieser Stelle a priori{Information einzuarbeiten oder anwendungsorientierte Optimierungen
durchzufuhren.
An dieser Stelle seien die additive
k(x ri k yi k )=
8
<
:
x if hri k ri k i =0
x +
yi k ;hri k xi
hri k ri ki
mit Relaxationsparameter und die multiplikative Methode
k(x ri k yi k )=
8
<
:
ri k
if hri k ri k i 6= 0
x if hri k ri k i =0
x
yi k
hri k xi
if hri k xi 6= 0
explizit angefuhrt. Die Konvergenz der additiven ART sei anhand von Abbildung
18 fur zwei Gleichungen mit dem Relaxationsparameter = 1 (d.h. die entsprechende
Zeile des Gleichungssystems ist nach dem Iterationsschritt exakt gelost)
veranschaulicht. Der Startwert liegt bei X (0) =[8 9] und jeder Iterationschritt
wird durch abwechselnde Projektion auf eine der beiden Geraden H1 und H2
ausgefuhrt, was einer exakten Losung der entsprechenden Gleichung entspricht.
Dieses Verfahren wird bis zum Erreichen der naherungsweisen Losung X =[5 4]
fortgesetzt. In praktischen Anwendungen liegt die Wahl von in der Gro enordnung
von 0.05. Abschlie end kann zur Gegenuberstellung der Transformationsmethoden
und der iterativen Algorithmen folgendes angemerkt werden: Die in
der modernen klinischen Routine (CT,SPECT) eingesetzten Rekonstruktionsmethoden
basieren hauptsachlich auf der Methode der ge lterten Ruckprojektion,
wobei die Filterung zumeist in der Hardware implementiert ist. Es existiert ein
breites Spektrum an Faltungskernen, welche entsprechend empirischen Standards
in den einzelnen Anwendungsgebieten zum Einsatz kommen, dabei spielt die Erfahrung
des Arztes in der Befundung der Aufnahmen eine bedeutende Rolle.
Die Visualisierung erfolgt routinema ig mittels der in das System integrierten
Software, wobei fur die verschiedenen Anwendungen optimierte Voreinstellungen
de niert sind.
Auf dem Gebiet der iterativen Methoden wurden die wesentlichen theoretischen
Grundlagen erarbeitet, durch die vielfaltigen Anwendungsmoglichkeiten
liegt jedoch noch ein breites Arbeitsgebiet o en. Im praktischen Einsatz kommt
den iterativen Methoden zur Zeit eine untergeordnete Bedeutung zu, es besteht
jedoch Aussicht, da sich diese Methode, aufgrund der rasanten Entwicklung der
Hardware, in einer Nische fur Spezialanwendungen etablieren wird.
(49)
(50)

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 31
Abbildung 18: Additive ARTmitI = J =2[2]

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 32
4.7 Maximum Likelihood - Expectation Maximisation
(ML-EM)
Der ML-EM Algorithmus wurde von Shepp und Vardi 1982 [36] auf der Grundlage
der Arbeit von Dempster et. al. [37] vorgeschlagen. Hier wird anhand statistischer
Prinzipien von unvollstandigen Daten auf die charackteristischen Parameter
der vollstandigen Daten geschlossen. Die beobachteten Daten Y sind eine
Stichprobe der Zufallsvariablen Y, der unvollstandigen Daten. Die vollstandigen
Daten X sind einer direkten Beobachtung nicht zuganglich es existiert jedoch die
Zuordnung X ! Y von X nach Y. Die Zuordnung ist allgemein und es konnen
meherere Elemente von X auf ein Element von Y abgebildet werden Y = f(X).
Im ML-EM Algorithmus wird die Likelihoodfunktion
L(X) =P (Y jX) (51)
in einem iterativen Verfahren maximiert. In der SPECT sind die unvollstandigen
Daten die in der Detektorposition i gemessene Anzahl von Quanten, deren
Erartungswert mit yi angenommen wird. Die Gesamtheit der gemessenen Projektionen
bilden den Me vektor Y . Die vollstandigen Daten werden durch die
Pixelwerte xi reprasentiert, die den Bildvektor X bilden. Die Zuordnung X ! Y
wird durch die Systemmatrix R gebildet
Y = RX bzw: yi = X
rijxj : (52)
Die Elemente rij geben die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Quant das im
Pixel j entsteht im Detektor i registriert wird. Mit dieser Interpretation konnen
die wesentlichen E ekte im Abbildungsproze , wie Abschwachung, Streuung und
Detektoremp ndlichkeit, berucksichtigt werden.
Die Zahlung der Quanten im Detektor ist ein Zufallsproze , der der Poissonverteilung
P (y = n) =e ;
n!
(53)
genugt. Obige Verteilung ergibt die Wahrscheinlichkeit, da die Zufallvariable y
den Wert n annimmt, wobei der Erwartungswert der Stichprobe ist. Mit dieser
Annahme ergibt sich dieLikelihoodfunktion
L(X) =P (Y jX) = Y
i
j
n
e ;P j rij xj P j rijxj
yi!
yi
: (54)
Die Produktbildung folgt aus der Unabhangigkeit der Zahlereignisse in den einzelnen
Detektoren. Die Funktion L(X) wird mit einem iterativen Algorithmus
maximiert. Der Iterationsschritt von (n) nach (n + 1) wird folgenderma en be-
rechnet:
x (n+1)
j
= x (n)
j
X
i
yirij
P j 0 rij 0x(n)
j 0
: (55)

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 33
im (n+1)-sten Iterationsschritt werden alle
Me werte yi (siehe au ere Summe), sowie alle Pixelwerte x (n)
j der alten Iteration
(zur Berechnung der Pseudoprojektion, siehe innere Summe) berucksichtigt.
Fur die Berechnung eines Bildes werden zwischen 30 und 100 Iterationsschritte
benotigt. Unter diesem Gesichtspunkt stellt der ML-EM Algorithmus eine relativ
rechenaufwendige Methode dar. Mit der stetigen Weiterentwicklung leistungsstarker
Computertechnologie hat die Methode jedoch schon punktuell Eingang
in den klinischen Routinebetrieb gefunden. Daruberhinaus wird in ML-EM der
Poisson-Proze exakt modelliert.
Zur Neuberechnung eines Pixels x (n+1)
j
4.8 Beschleunigte Verfahren, Ordered Subsets
Der gro e Rechenaufwand des ML-EM Algorithmus gegenuber den algebraischen
Methoden (ART) liegt darin begrundet, da fur die Berechnung eines Pixels in
jedem Iterationsschritt alle Projektionswerte, die verfugbar sind, und die dazugehorigen
Pseudoprojektionen berechnet werden mussen. In der ART hingegen
wird das Update eines Pixels jeweils nach dem Vergleich eines Me wertes mit der
zugehorigen Pseudoprojektion durchgefuhrt. Wenn in (55) die au ere Summe
weggelassen wird, so geht die Iterationsvorschrift in die Form der multiplikative
ART (vgl. (50)) uber.
Mit den ordered Subsets [38] wurde ein Mittelweg zwischen ML-EM und multiplikativer
ART gewahlt. Die Menge der Projektionswerte wird in Untermengen
(subsets) unterteilt. Fur die Auswahl der Untermengen existieren keine starren
Regeln. Untenstehend sind zwei Beispiele fur die Einteilung einer Messung
mit 128 Winkelschritten und 128 Detektorpositonen pro Winkelschritt in Subsets
angegeben:
128 Subsets
Das erste Subset S1 wird durch alle Projektionswerte zu einem festgehaltenen
Winkel gebildet. In jedem weiteren Subset werden die Werte von einem
anderen Winkel zu den bestehenden dazugenommen. Das letzte Subset S128
enthalt schlie lich alle Projektionswerte. Es last sich folgende Bedingung
fur die Folge der Subsets angeben:
S1 S2 ::: S128 : (56)
128/N Subsets
Es werden die Projektionswerte fur N beliebige, z.B. fur vier Winkel, die
sichumjeweils =2unterscheiden, ausgewahlt. Diese Werte bilden das erste
Subset S1. Fur das nachste Subset werden wieder N Winkel ausgewahlt, die
Projektionswerte durfen jedoch inkeinem der vorherigen Subset enthalten
sein. Fur die Serie der Subsets la t sich folgende Bedingung angeben:
S1 \ S2 \ :::\ S128 =0 : (57)

4 REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN 34
Damit ergibt sich eine Zahl von 128/N Subsets, bzw. fur N=4 ergeben sich
32 Subsets.
Mit jedem dieser Subsets werden entweder eine festgesetzte Anzahl von Iterationsschritten
durchgefuhrt oder die Berechnungen solange weitergefuhr bis ein
de niertes Konvergenzkriterium erreicht ist. Durch die Verwendung von Subsets
wird die Konvergenz beschleunigt und es konnen, bei nahazu gleichbleibender
Bildqualitat, Rechenzeitersparnisse bis zu einem Faktor 30 erreicht werden.

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