Filteroperationen Bildverbesserung - Campus Hagenberg

Bildverbesserung 

Untenstehendes Bild wurde in zwei Stufen bearbeitet: 

1. Kontrastanhebung (Intensitätstransformation) 

2. Entfernung der Störungen (Maskenoperation) 

Filteroperationen 

FH-Campus Hagenberg Werner Backfrieder 

Folie 2 

1


Qualitätsmindernde Faktoren 

• Jedes Bild ist durch einschränkende Qualitätsfaktoren 

gekennzeichnet 

• Objektstrukturen sind statistische Ungenauigkeiten 

(Rauschen) überlagert 

• Rauschen ist charakterisiert durch unterschiedliche 

Wahrscheinlichkeitsverteilungen (probability density 

functions pdf) 

• Additives Modell f=o+n (f=Bild, o=Objekt, n=Rauschen) 

• Streuung, z.B. roter Kanal bei digitalen Photos zeigt 

verstärktes Rauschen 

• niedriger Kontrast durch schlechte Belichtung 

• nichtlineare Empfindlichkeit des Films oder der 

Photodetektoren 



Methoden 

• Glättung zur Unterdrückung des Rauschens = Erhöhung des 

Signal Rausch Verhältnisses (signal to noise ratio SNR) 

• SNR=o/n 

• Verstärkung des Kontrasts 

• Ausgleich der Graduationskurve 

• Verstärkung der Kanten 

• Methoden basieren auf bestehenden Grauwerten 

• Hervorhebung bestehender Strukturen 

• kein Informationsgewinn 

• Resultat Grauwertmatrix, keine Informationsanalyse 


Folie 3 

Folie 4 

2

Methoden 

In dieser Vorlesung wird ein kurzer Abriß zur Thematik der 

Bildverbesserung vorgestellt, dabei werden zwei 

Funktionsgruppen, die Punkt- und Maskenoperationen 

diskutiert. 

Intensitätstransformationen oder Punktoperationen 

• Fensterung 

• Skalierung 

Maskenoperationen 

• Glättung 

• Kantenverstärkung 

• Statistische Filter 


Punktoperation 

Jedem Bildpunkt wird ein neuer Grauwert zugeordnet, d.h. jedem Pixel i 

mit dem Grauwert r i aus dem Ursprungsbild R wird ein neuer Grauwert s i 

im Zielbild S zugeordnet. 

Für jeden Bildpunkt muss eine eindeutige Zuordnung existieren. 

Jeder neue Grauwert wird nur aufgrund des alten bestimmt, die 

Nachbarpixel sind dabei nicht relevant. 

s i 

T(r i ) 

r i 

Alle Bildpukte werden 

entsprechend s i=T(r i) 

transformiert. 

Im Graph werden unten 

die Grauwerte des Bildes R 

aufgetragen, die transformierten 

Werte s werden 

an der orangen Linie 

abgelesen. 


Folie 5 

Folie 6 

3

Beispiel: Kontrastumkehr 

s = max( R) 

−r 


Beispiele 

i 

Threholdbildung (Schwellenwert) 


i 

Folie 7 

Folie 8 

4


Fensterung (windowing) 


Kompression 

des Dynamikbereiches 

Grauwerte werden vom Intervall [r w1,r w2] gleichmäßig auf [s min,s max] abgebildet. 

Werte kleiner r w1 werden auf s min transformiert. 

Werte größer r w2 werden auf s max transformiert. 

⎧ 

⎪s 

T ( r) 

= ⎨ 

⎪ r 

⎪⎩ 

max 

w2 

smin 

− smin 

( r − rw1) 

− rw1 

s 

max 

s max 

r 

smin rw1 w1 

r < r 

≤ r < r 

r 

w2 

w1 

≤ r 

r w2 

w2 

Folie 9 

Folie 10 

5

Gamma Korrektur 

Nichtlineare Empfindlichkeit 

• Schwärzung von Photopapier nicht direkt proportional zum einfallenden 

Photonenfluss (Gradation) 

• nichtlineare Empfindlichkeit von Photodetektoren 

• Zusammenhang durch Potentialfunktion 

g = c ⋅ 

• g neuer Grauwert, f alter Grauwert, c Skalierungskonstante, g 

Korrekturfaktor 

γ > 1 

− konkave Kurve 

− Kontrastverstärkung bei hohen Grauwerten 

γ < 1 

− konvexe Kurve 

− Kontrastverstärkung bei niedrigen Grauwerten 


Gammakorrektur 

f 

γ 

Kalibrierungskurve mit verschiedenen Werten 

für γ 


Folie 11 

Folie 12 

6

Gammakorrektur 

Kontrastverstärkung im unteren 

Grauwertebereich 


Filtermasken 

Regionen-basierte Filter (Maskenoperationen) 

• R ij ist eine Region um den Bildpunkt f ij 

• Der neue Bildpunkt g ij ist eine Funktion von R ij 

• zwei getrennte Buffer zur Berechnung keine „in-place“ 

Verarbeitung 

f ij 

R ij 


g ij 

Folie 13 

Folie 14 

7

Tiefpass-Filter 

g ij =F(R ij ) 

• Mittelwertfilter F={R ij} E Erwartungswert aus der Region 

− exaktes Unterdrücken von Rauschen für konstante Bildregionen 

− Verschmieren von Kanten 

− Erhaltung der mittleren Bildwerte 

• Medianfilter F={R ij} M Median aus der Region 

− Eliminieren von Ausreißern 

− Erhaltung von Kanten 

− Erhaltung der mittleren Bildwerte 

• Minimumfilter F=min(R ij) Minimum aus der Region 

− Beschleunigung gegenüber Medianfilter 

− Elimination von positiven Ausreißern 

− Reduktion der Grauwerte (Verdunkelung) 

• Maximumfilter analog zu Minimumfilter 


Tiefpassfilter-Glättung 

Unterdrücken von Rauschen 

• normalverteiltes Rauschen 

• Gaußsche-Glockenkurve 

n 

= 

1 

e 

2πσ 

2 

1⎛ 

x−μ 

⎞ 

− ⎜ ⎟ 

2⎝ 

σ ⎠ 

μ=0 Mittelwert, σ-Standardabweichung 

• großes Sample -> negative und positive Anteile heben sich in 

Summe auf 

• Datenmodell: f i=o i+n i 

• Strategie: 

− Pixelwert wird durch Mittelwert aus einer Region benachbarter Pixel 

errechnet 


Folie 15 

Folie 16 

8

Mittelwert-Filter 

Implementierung und Eigenschaften 

1 

gij 

= ∑ fi+ 

k , j+ 

l 

N 

k, 

l 

• gij neuer Pixelwert, fij originale Pixelwerte, k,l Indices der 

Region, N Anzahl der Pixel in der Region 


Mittelwert-Filter 

Beispiel 

Region mit konstanten Werten 

echte SNR Verbesserung 


Region mit zwei Werte-Niveaus 

Verwischen der Kanten 

Folie 17 

Folie 18 

9

Median Filter 

„sogenannter“ statistischer Filter 

neues Pixel errechnet sich aus dem Median der 

Region 

Median ist ein stabiler statistischer Parameter, 

zur Beschreibung einer Stichprobe 

Nicht sensitiv gegenüber „Ausreißern“ 

Entferne „salt & pepper noise“ 

Kantenerhaltend 

Definition: Der Median (Zentralwert) halbiert 

eine Stichprobe, d.h. es existieren gleich viel 

kleinere wie größere Werte. 


Medianfilter 

Die Pixelwerte einer Region werden aufsteigend sortiert. Der zentrale Werte 

(Median) wird als neuer Pixelwert verwendet. 


Folie 19 

Folie 20 

10

korrigiert 

Median-Filter (Ausreißer) 


Median 

sortieren 

Filter 

Median 

Steigungen bleiben erhalten 

Filter 

Spitzen werden abgeflacht 

Intensitätsprofil 

mit Ausreißer 


Folie 21 

Folie 22 

11

Gauß-Filter 

Gewichtung der Pixelwerte 

• Mittelwertfilter gewichtet alle Pixel in der Region gleich 

• i.A. Pixelwerte nicht gleich, keine homogenen Regionen 

• weiter entfernte Pixel sollen weniger zum gefilterten Pixelwert 

beitragen 

• Gewichtung entsprechend Gaußscher Glockenkurve 

h 

2 

( r / σ ) 

− 

2 

2 2 

( x, 

y) 

= c ⋅e 

r = x + y 


Gauß-Filter 

Berechnung der Maske 

• Maskengröße sollte 6 mal σ entsprechen 

• Seitenlänge der Maske ungerade 

• Hotspot im Zentrum der Maske 

• r ist der Abstand zwischen den Mittelpunkten des Hotspots und 

des jeweiligen Maskenelements 

• Summe aller Maskenelemente ist Eins -> Konstante c 

2 

( r / σ ) 

− 

2 

2 2 

h( 

x, 

y) 

= c ⋅e 

r = x + y 


r 

Folie 23 

Folie 24 

12

Methode linearer Filter 

Maske (Kernel) wird von LO nach RU über das Bild geschoben 

An jeder Position werden die Koeffizienten der Maske mit den 

darunterliegenden Pixelwerten multipliziert 

Die Produkte werden summiert 

Dieser Wert wird an der Position des hot-spots in das neue Bild 

eingetragen 

kernel 


Pseudo-Code 

Bildregion 

Produkt 

for i=1:N-ki % N,M image size 

for j=1:M-kj 

val=0; 

for k=1:ki % ki,kj kernel size 

for l=1:kj 

val=val+img(i+k-1,j+l-1)*kernel(k,l); 

end 

end 

imgfilt(i+(ki-1)/2,j+(kj-1)/2)=val; 

end 

end 

img…Original 

imgfilt …gefiltertes Bild 

Kernel … Filterkern 

Achtung! Keine Randwertbehandlung! 

* 

N,M …Anzahl Zeilen und Spalten 

Ki, kj … Größe des Faltungskerns 


+ 

Folie 25 

Folie 26 

13

Randprobleme 

Rand- 

Zone 

effektive- 

Zone 

Maske 

Bildmatrix 

1. Randzone „0“ setzen 

2. Randzone aus „Original“ übernehmen 

3. Bild erweitern -> Maske auch in Randzonen aktiv 


Kantenverstärkung 

Kantendefinition 

• Kanten sind Diskontinuitäten der Grauwertverteilung 

• Charakterisierung durch lokale Änderung der Grauwerte 

• ideale Kante – sprunghafte Änderung 

• Reale Kante – kontinuierlicher Übergang 

Hochpass-Filter 

• Hervorhebung der Kanten 


Folie 27 

Folie 28 

14

Änderung der Grauwerte 

Steigungen in einem Bild (2D Verteilung) 

• Grauwertverteilung eines Bildes ist z=f(x,y) 

• Steigung in einem Punkt (x 0,y 0) kann unterschiedliche Werte 

aufweisen 

− vgl. verschiedene Wege auf einen Hang: 

− Direktroute (steil) 

− Serpentinen (mäßige Steigung) 

• Grauwertunterschiede abhängig von Richtung 


Gradient 

In welche Richtung ist Steigung am größten? 

• Ausgehend von einem Punkt (x 0 ,y 0 ) ist in eine bestimmte 

Richtung die Steigung am größten. 

• Wie wird diese Richtung bestimmt? 

• Wie groß ist diese Steigung? 

r 

⎛ g x ⎞ ⎛∂ 

x f ( x, 

y) 

⎞ 

g( 

x, 

y) 

= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ g ⎟ 

= 

⎜ 

y y f ( x, 

y) 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝∂ 

⎠ 

∂ f ( x, 

y) 

≅ f − f 

i+ 

1, 

j 


∂ 

x 

y 

f ( x, 

y) 

≅ 

i, 

j+ 

1 

f 

− f 

i, 

j 

i, 

j 

Folie 29 

Folie 30 

15

Gradient 

Gradient ist eine vektorielle Größe 

• Komponenten sind partielle Ableitungen nach x und y 

• Vektor weist in Richtung des stärksten Anstieges 

• Länge gibt die Stärke der Steigung an 

• Bild f(x,y) ist keine analytische Form, sondern liegt digital vor f i,j 

• partielle Ableitungen durch Differenzen in Zeilen- und 

Spaltenrichtung angenähert 

r ⎛ g x ⎞ ⎛∂ 

x f ( x, 

y) 

⎞ 

g( 

x, 

y) 

= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ g ⎟ 

= 

⎜ 

y y f ( x, 

y) 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝∂ 

⎠ 

∂ f ( x, 

y) 

≅ f − f 

∂ 

x 

y 

f ( x, 

y) 

≅ 

i, 

j+ 

1 

f 

i+ 

1, 

j 

i, 

j 

i, 

j 


Kantenverstärkungen 


− 

f 

Formen der Gradientenoperatoren 

• Grundsätzlich werden zwei Eigenschaften des Gradienten 

zum Filterdesign verwendet 

• Betrag des Gradienten 

• Richtung des Gradienten 

• beide Eigenschaften werden näherungsweise durch 

Differenzen implementiert 

⎡1 −1⎤ 

h1 

= ⎢ 

0 0 

⎥ h 

⎣ ⎦ 

g 

ij 

= 

f 

i, 

j 

− f 

i+ 

1, 

j 

2 

⎡ 1 

= ⎢ 

⎣−1 

+ 

f 

i, 

j 

− f 

0⎤ 

0 

⎥ 

⎦ 

i, 

j+ 

1 

Summe der Maskenelemente aller Kantenoperatoren ergibt Null 

Folie 31 

Folie 32 

16

Kantenverstärkungen 

Gradientenoperatoren am Beispiel einer 

einfachen geometrischen Struktur 

a d b 

c 


Gradientenoperatoren/1 

Robertsoperator 

• ältester Kantenoperator 

• sehr schnell 2x2 Masken 

• sehr empfindlich für Rauschen 

• Differenzen werden diagonal gebildet 

h 

g 

1 

ij 

⎡1 

= ⎢ 

⎣0 

= 

f 

i, 

j 

0 ⎤ 

−1 

⎥ 

⎦ 

− f 

h 

2 

i+ 

1, 

j+ 

1 

⎡ 0 

= ⎢ 

⎣−1 

+ 

i, 

j+ 

1 

− f 

i+ 

1, 

j 


f 

1⎤ 

0 

⎥ 

⎦ 

h x : Masken für Richtungsableitungen 

g ij : Betrag der Steigung 

f ij : Bild 

Anmerkung: Gradienten 

der Kanten haben 

entsprechen der 

Laufrichtung auch negative 

Anteile 

(a) Original, ohne 

Rauschen 

(b) Gradient in x 

(c) Gradient in y 

(d) Gradient 

Absolutwert 

Folie 33 

Robertsoperator 

diagonale Differenzen 

kompakte Region 

Folie 34 

17

Beispiele 

Robertsoperator mit und ohne Rauschen 

Spalten: (links) Bild, (mitte) kantengefiltert, (rechts) Konturplot 



Prewitt-Operator 

• Rauschen ist generelles Problem bei Kantenverstärkung 

• Ansatz: Vergrößerung der Masken 

− Mittelung über größere Anzahl von Pixel 

• Prewitt-Operatoren auf 3x3 Masken definiert 

⎡ 1 1 1 ⎤ ⎡−1 

0 1⎤ 

h 

⎢ 

⎥ ⎢ ⎥ 

1 = 

⎢ 

0 0 0 

⎥ 

h2 

= 

⎢ 

−1 

0 1 

⎥ 

⎢⎣ 

−1 

−1 

−1⎥⎦ 

⎢⎣ 

−1 

0 1⎥⎦ 

• Maskengröße ermöglicht Masken für andere 

Gradientenrichtungen 

⎡ 0 1 1⎤ 

⎡1 

h 

⎢ ⎥ 

= 

⎢ 

3 = 

⎢ 

−1 

0 1 

⎥ 

h2 

⎢ 

1 

⎢⎣ 

−1 

−1 

0⎥⎦ 

⎢⎣ 

0 

−1 

0 ⎤ 

−1 

⎥ 

⎥ 

−1⎥⎦ 


1 

0 

Prewitt-Operatoren 

werden auch Kompass- 

Operatoren 

genannt: N, W, NO ... 

Folie 35 

Folie 36 

18


Sobel-Operator 

• Effekt des Rauschen kann durch vorherige Glättung 

minimiert werden 

• Gaußscher Faltungskern in Operatoren implementiert 

• Auch größere als 3x3 Matrizen möglich 

⎡ 1 

h 

⎢ 

1 = 

⎢ 

0 

⎢⎣ 

−1 

2 

0 

− 2 

1 ⎤ 

0 

⎥ 

⎥ 

−1⎥⎦ 

⎡−1 

h = 

⎢ 

2 ⎢ 

− 2 

⎢⎣ 

−1 

• Diagonale Masken 

⎡ 0 

h 

⎢ 

3 = 

⎢ 

−1 

⎢⎣ 

− 2 

1 

0 

−1 

2⎤ 

1 

⎥ 

⎥ 

0⎥⎦ 

⎡2 

h 

⎢ 

2 = 

⎢ 

1 

⎢⎣ 

0 

−1 

1⎤ 

2 

⎥ 

⎥ 

1⎥⎦ 


1 

0 

0 

0 

0 

0 ⎤ 

−1 

⎥ 

⎥ 

− 2⎥⎦ 


Robinson-Operator 

⎡ 1 1 

h 

⎢ 

1 = 

⎢ 

1 

⎢⎣ 

−1 

− 2 

−1 

1 ⎤ 

1 

⎥ 

⎥ 

−1⎥⎦ 

Kirsch-Operator 

⎡ 3 

h 

⎢ 

1 = 

⎢ 

3 

⎢⎣ 

− 5 

3 

0 

− 5 

3 ⎤ 

3 

⎥ 

⎥ 

− 5⎥⎦ 

⎡−1 

1 1⎤ 

h 

⎢ ⎥ 

2 = 

⎢ 

−1 

− 2 1 

⎥ 

⎢⎣ 

−1 

1 1⎥⎦ 

⎡− 

5 

h 

⎢ 

2 = 

⎢ 

− 5 

⎢⎣ 

− 5 

3⎤ 

3 

⎥ 

⎥ 

3⎥⎦ 

Weitere Richtungen werden durch Vertauschen 

der Koeffizienten erzeugt. 


3 

0 

3 

Folie 37 

Folie 38 

19

Beispiele 

a 

b c 

(a) Original 

(b) Prewitt Westen 

(c) Prewitt Norden 

(d) Prewitt Südwest 


Beispiele 

a 

b c 


d 

(a) Original 

(b) Sobel x-Richtung 

(c) Sobel y-Richtung 

Folie 39 

Folie 40 

20

Beispiele 

a 

b c 

(a) Original 

(b) Prewitt Westen 

(c) Prewitt Norden 

(d) Prewitt Südwest 


Beispiele 

a 

b c 


d 

(a) Original 

(b) Kirsch y-Richtung 

(c) Kirsch x-Richtung 

Folie 41 

Folie 42 

21

Filteroperationen Bildverbesserung - Campus Hagenberg

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