Konfidenzintervalle und CAS - Fachgruppe Computeralgebra

Berichte über Arbeitsgruppen
Arbeitsgruppe Computational Mathematics
am Fachbereich Mathematik/Informatik
der Universität Kassel
Seit der letzten Vorstellung im Rundbrief hat sich in der
Arbeitsgruppe ” Computational Mathematics“ der Universität
Kassel einiges getan. Mit der Berufung von
Werner Bley zum 1. Oktober 2005 hat die Arbeitsgruppe
ihre im Strukturplan des Fachbereichs Mathematik
vorgesehene Sollstärke von vier Professoren erreicht.
Zum 1. Oktober 2006 folgte dann Werner M. Seiler dem
Gründungsmitglied Gunter Malle nach, der nach Kaiserslautern
wechselte. Zur Zeit besteht die Arbeitsgruppe
damit aus vier Professoren, zwei Postdocs, elf Doktoranden
und einem Systemadministrator.
Die wissenschaftlichen Schwerpunkte der Arbeitsgruppe
liegen in den Bereichen Zahlentheorie, Arithmetische
Geometrie, Kommutative Algebra, Orthogonale
Polynome und Spezielle Funktionen sowie Differenzenund
Differentialgleichungen. Auf diesen Gebieten werden
auch regelmäßig Vorlesungen und Seminare angeboten.
Hinzu kommen noch regelmäßige Einführungen
in die Benutzung der Computeralgebrasysteme Mathematica
und MuPAD.
In der Arbeitsgruppe von Werner Bley wird an
aktuellen Vermutungen der arithmetischen Geometrie
gearbeitet, insbesondere an den sogenannten Äquivarianten
Tamagawazahlvermutungen von Bloch/Kato,
Fontaine/Perrin-Riou und Burns/Flach. Im Fall der Tate-
Motive stellen diese Vermutungen weitreichende Verallgemeinerungen
der analytischen Klassenzahlformel dar,
im Fall einer elliptischen Kurve erhält man Verfeinerungen
der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer.
Dies sind auch die beiden Spezialfälle der Äquivarianten
Tamagawazahlvermutungen, die momentan untersucht
werden. Da es kaum theoretische Resultate gibt, werden
Algorithmen zur Berechnung numerischer Evidenz entwickelt.
Diese werden in der Regel in MAGMA implementiert.
Die untersuchten Vermutungen reihen sich in
die Theorie der nicht-kommutativen Iwasawa-Theorie
ein, die sich im Moment rasant entwickelt und viele
neue Vermutungen produziert. Die Resultate können
auch als Evidenz für diese sehr weitreichenden Vermutungen
interpretiert werden.
Die Gruppe von Georg Rück beschäftigt sich zur
Zeit mit Fragen der Arithmetik von Drinfeld-Moduln
und T-Motiven. Man kann dies als Analoga zu klassischen
Fragestellungen bei elliptischen Kurven und
Abelschen Varietäten über algebraischen Zahlkörpern
ansehen. Neben theoretischen Fragestellungen stehen
Werner M. Seiler (Kassel)
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dabei auch algorithmische Aspekte über algebraischen
Funktionenkörpern im Zentrum der Untersuchungen.
Die Gruppe von Wolfram Koepf beschäftigt sich mit
Algorithmen für Potenzreihen, Summation und Operatoralgebren
sowie mit algorithmischen Fragestellungen
für orthogonale Polynome und spezielle Funktionen.
So sind in den letzten Jahren Promotionen über
Gröbnerbasen und Faktorisierung in Operatoralgebren
als auch über spezielle Systeme orthogonaler Polynome
entstanden. Publikationen über Fragestellungen aus der
Kombinatorik runden den Bereich ab. Die entwickelten
Algorithmen werden vor allem in den Computeralgebrasystemen
Mathematica, Maple und MuPAD bereit gestellt.
Es bestehen vielfältige Kontakte ins Ausland, speziell
mit Afrika (Kamerun und Tunesien) und USA.
Die Gruppe von Werner M. Seiler beschäftigt sich
vor allem mit der formalen Theorie der Differentialgleichungen,
die algebraische, geometrische, homologische
und kombinatorische Zugänge zu allgemeinen
Systemen partieller Differentialgleichungen verknüpft.
Im Rahmen der Kommutativen Algebra führt dies zu
dem Begriff einer involutiven Basis, einem speziellen
Typ von Gröbnerbasen mit zusätzlichen kombinatorischen
Eigenschaften. Insbesondere für Pommaret-
Basen konnten wir einen engen Zusammenhang mit der
Koszul-Homologie nachweisen, der es erlaubt, viele homologische
Invarianten wie die Tiefe, die projektive
Dimension oder die Castelnuovo-Mumford-Regularität
ohne weitere Berechnungen direkt von der Basis abzulesen.
Bei den Differentialgleichungen standen bisher
Fragen der algorithmischen Vervollständigung sowie
der Existenz- und Eindeutigkeitstheorie im Vordergrund.
Aktuell beschäftigen wir uns mit verschiedenen
Typen geometrischer Singularitäten.
Seit dem Wintersemester 2007/08 bieten Wolfram
Koepf und Werner M. Seiler in Kooperation mit
Eckehard Müller und Manfred Schaumburg von der
Christoph-Lichtenberg-Schule eine zweisemestrige Arbeitsgemeinschaft
Computeralgebra für mathematisch
interessierte Kasseler Oberstufenschüler an. Ziele der
Arbeitsgemeinschaft sind sowohl in die Benutzung und
Programmierung von MuPAD einzuführen als auch erste
Einblicke in die universitäre Mathematik auf dem Niveau
von Erstsemestervorlesungen zu geben. Das erste
Semester beschäftigt sich vorrangig mit algebraischen
Themen wie Restklassenarithmetik und deren Anwen-