Wurzeln einer Matrix - Fachgruppe Computeralgebra

schöne Normalformalgorithmen direkt auf Entscheidungsdiagrammen
entwickeln. Diese Normalformalgorithmen
behandeln auch gar nicht mehr individuelle Terme,
sondern nur noch die Diagrammstruktur, so dass
auch Zwischen- und Endergebnisse mit extrem vielen
Termen gut handhabbar sind, solange die Diagramme
klein bleiben. Das erfordert natürlich, dass die entsprechenden
Algorithmen nicht auf den einzelnen Termen
operieren. Doch so einfach hat sich der Multiplizierer
nicht geschlagen gegeben. Wir haben noch ein paar neue
Techniken gebraucht, um unsere Beispiele zu knacken.
In der Tat entfalten zwei unserer Verbesserungen ihr Potential
erst im Zusammenspiel.
Die erste war rein technisch: Wir hatten die Normalform
über einen rekursiven Algorithmus beschrieben,
bei dem in jedem Rekursionsschritt eine Variable
entfällt. Unser neuer Algorithmus sollte weniger rekursive
Aufrufe beinhalten. Die ersten Ergebnisse waren
nicht vielversprechend.
Davon unabhängig versuchten wir die Systeme besser
zu verstehen. Wir wollten Polynome, deren Entscheidungsdiagramm
schön kompakt ist.
a2
b0
b1
a1
a2
0
a0
b0
b2
a1
a2
(a) alphabetisch
a2
b0
b1
1
b0
b2
a2
0
a1
b1
b2
a0
b0
b1
(b) optimiert
Abbildung 4: Übertrag eines 3-Bit Addierers bei
verschiedenen Variablenreihenfolgen
Im einfacheren Fall von Addierern hatten wir das in
Handarbeit schon einmal geschafft. Abbildung 4 zeigt
Diagramme für den Übertrag einer Addition für verschiedene
Sortierungen der Entscheidungsvariablen. Alle
Variablen dieses Graphen entsprechen Eingängen, so
dass das oben beschriebene Verfahren, die Variablen
nach ihrer Abhängigkeit zu sortieren, deren Reihenfolge
offen lässt.
Für Addierer und Übertragsbits fanden wir eine allgemeine
mathematische Bedingung [Bri]. Übertragen
auf den Multiplizierer waren die praktischen Ergebnisse
zunächst desaströs. Für einen 10 × 10 Multiplizierer
bekamen wir überhaupt kein Ergebnis mehr. In einer ruhigen
Stunde kombinierten wir die beiden Verbesserungen.
Heraus kamen die Ergebnisse von Tabelle 1.
1
15
Zeit EinVaria- Eingaben/
gängeblen Sekunde
8 × 8 0.07 16 204 940000
10 × 10 0.14 20 314 7500000
16 × 16 23.65 32 768 180000000
Tabelle 1: Äquivalenzvergleich Multiplizierer
Wir konnten den 16 × 16 Multiplizierer in 24 Sekunden
auf einem MacBook Pro 2.5 GHz Core Duo 2 verifizieren.
In Tabelle 1 haben wir auch die Anzahl möglicher
Eingaben (2 32 = 4 294 967 296 für einen 16 × 16 Multiplizierer)
mit der Zeit verglichen. Bei einem Simulator
ist dieser Quotient konstant, was für ein exponentielles
Wachstum steht. Bei uns verbessert sich der Quotient
vom kleinsten zum größten Beispiel auf 200. Empirisch
wächst die Zeit in den komplexeren Beispielen
also nicht exponentiell.
Ausblick
POLYBORI hat gezeigt, dass es echte Verifikationsprobleme
lösen kann. Zusammen mit anderen formalen
Ansätzen betreten wir hier gerade das neue Gebiet der
industriellen Algebra.
Literatur
[AB] M. Albrecht und G. Bard. The M4RI Library
– Version 20080901. The M4RI Team, 2008.
http://m4ri.sagemath.org.
[BD] M. Brickenstein und A. Dreyer. PolyBoRi: A
framework for Gröbner-basis computations with
Boolean polynomials. Journal of Symbolic Computation,
44(9):1326–1345, 2009. ISSN 0747-
7171. doi: 10.1016/j.jsc.2008.02.017. Effective
Methods in Algebraic Geometry.
[Bri] M. Brickenstein. Boolean Gröbner bases – Theory,
Algorithms and Applications. PhD thesis, University
of Kaiserslautern, Germany, 2010.
[Bry] R. E. Bryant. Graph-based algorithms for Boolean
function manipulation. IEEE Transactions on
Computers, 35(8):677–691, 1986.
[CEI] M. Clegg, J. Edmonds und R. Impagliazzo.
Using the Groebner basis algorithm to find proofs
of unsatisfiability. Proceedings of the Twentyeighth
Annual ACM Symposium on the Theory of
Computing, pages 174–183, 1996.
[CK] C. Condrat und P. Kalla. A Gröbner basis approach
to CNF-formulae preprocessing. In Tools
and Algorithms for the Construction and Analysis
of Systems, volume 4424 of Lecture Notes in Computer
Science, pages 618–631. Springer, 2007. doi:
10.1007/978-3-540-71209-1 48.