Wurzeln einer Matrix - Fachgruppe Computeralgebra

Osmanbey Uzunkol: Über die Konstruktion algebraischer
Kurven mittels komplexer Multiplikation
Betreuer: Michael Pohst (Berlin)
Zweitgutachter: Franck Leprévost (Luxemburg)
Juni 2010
http://www.staff.uni-oldenburg.de/
osmanbey.uzunkol
Zusammenfassung: Die Theorie der komplexen Multiplikation
beschäftigt sich unter anderem mit der Aufgabe, die
gewissen abelschen Erweiterungen eines vorgegebenen CM-
Körpers mittels der Werte bestimmter analytischen Funktionen
zu erzeugen.
In dieser Arbeit haben wir gezeigt, dass im Falle imaginär-quadratischer
Zahlkörper die singulären Werte des
Quotienten gewisser Thetafunktionen den Ringklassenkörper
Ωt modulo t über k erzeugen. Dieses ermöglicht eine
schnellere Konstruktion der Klassenpolynome der Ringklassenkörper
als die Konstruktion mittels der klassischen Quotienten
der Dedekindschen η−Funktion. Ferner beweisen wir,
dass die verallgemeinerten η−Quotienten mittels der Quotienten
der Thetanullwerte darstellbar sind. Diese Darstellungen
lassen sich auch zur schnelleren Konstruktion der Klassenpolynome
verwenden. Falls Dt gewissen Kongruenzbedingungen
genügt, beweisen wir, dass diese singulären Werte
Einheiten in den entsprechenden Ringklassenkörpern sind.
Diese Eigenschaft wird benutzt, um die Einheitengruppen
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solcher Ringklassenkörper mittels der in der Konstruktion des
Klassenpolynoms explizit bestimmten Nullstellen zu berechnen.
Es sei (A, E) eine einfache hauptpolarisierte abelsche
Fläche vom primitiven CM-Typ (K, Φ) mit [K : Q] = 4.
Wir erweitern die CM-Konstruktion hyperelliptischer Kurven
vom Geschlecht zwei über endlichen Körpern mittels einer
Bedingung an die Steinitzklasse auf alle primitiven CM-
Körper. Außerdem verallgemeinern wir mit Hilfe des zweidimensionalen
Reziprozitätsgesetzes von Shimura, der Theorie
der komplexen Multiplikation abelscher Varietäten und einer
Arithmetik der Siegelschen Modulfunktionen g der Stufe
(2N, 4N), ggT(2, N) = 1 das Verfahren, welches im Falle
der elliptischen Kurven überprüft, ob ein singulärer Wert
einer arithmetischen Modulfunktion g(τ) ein Erzeuger des
Ringklassenkörpers Ωt ist. Damit erhalten wir ein Verfahren,
welches überprüft, ob ein System der Werte der Siegelschen
Modulfunktionen g1(τ), g2(τ) und g3(τ) der Stufe
(2N, 4N) mit τ ∈ H2 den über dem Reflexivkörper K r von
K unverzweigten Klassenkörper nach dem ersten Hauptsatz
der Theorie der komplexen Multiplikation erzeugt.
Den Abschluss bilden einige Beispiele der Klassenpolynome
nebst den Untergruppen der Einheitengruppen entsprechender
Ringklassenkörper, die wir mittels der singulären
Werte der Quotienten der Thetanullwerte berechnen.