Wurzeln einer Matrix - Fachgruppe Computeralgebra

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Abbildung 4: Flugsicherung Dies ist ein im Grunde sehr schönes, anschauliches Beispiel für Geraden im R 3 , auf denen sich Flugzeuge bewegen. Eine sorgfältige Modellierung der Situation gibt Anhaltspunkte darüber, wie Flugzeuge gelotst werden können, so dass sie sich trotz unterschiedlich gerichteter räumlicher Bewegung nicht treffen. Dieser Kontext wird allerdings von den Schulbüchern häufig in seiner Komplexität nicht ernst genommen (vgl. auch Hußmann, 2003). Das ” CAS ernst nehmen“ heißt hier, reale Daten sammeln (zum Beispiel im Internet nach ” Flugsicherung“ suchen) und auswerten, den Zusammenhang zu realistischen Einheiten (km, km/h, min) herstellen und verstehen sowie mit Fehlern und Rundungen in den Rechnungen umgehen, anstatt fiktive Geraden vorzugeben, die ein ” schönes“ Ergebnis liefern. Den raumgeometrischen Aspekt ernst nehmen bedeutet hier, die modellierten Daten, die z. B. zu einer Geradengleichung führen, raumgeometrisch zu visualisieren, um Ergebnisse zu überprüfen. Die dynamische Raumgeometriesoftware erlaubt hier zusätzlich, dass eine offensichtlich fehlerhafte Geradengleichung durch den Zugmodus modifiziert werden kann und sich hiermit auch die Gleichung ändert. Dies gibt zunächst den Studierenden (und später den Schülern) die Möglichkeit, von einer noch nicht so angemessenen Lösung ausgehend noch einmal auf die Fehlersuche innerhalb der Rechnung zu gehen. Darüber hinaus wird intuitiv klar, dass die Daten in der Gleichung dynamisch von der Lage des räumlichen Objekts abhängen. Um die Eigentätigkeit der Studierenden und ihre Kompetenz beim Einsatz der von uns verwendeten Software zu stärken, bekamen sie die Aufgabe, Beispiele zu finden, bei denen sowohl CAS als auch 3D-DGS sinnvoll genutzt werden können. Damit sollte die Sinnhaftigkeit des Einsatzes der verschiedenen Software durch geeignete, selbst konstruierte Lernumgebungen für die Oberstufe deutlich gemacht werden. Die Bearbeitungszeit für die Aufgabe war vier Wochen. Die Studierenden arbeiteten in Viererteams und stellten abschließend Das amerikanische System zur Satellitennavigation stützt sich auf 24 Satelliten, die die Erde in einer Höhe von 20 200 km auf nahezu kreisförmigen Bahnen innerhalb von 12 Stunden einmal umlaufen. Jeweils ihre vier Bearbeitung Satelliten befinden densich anderen auf einer der vor. Umlaufbahnen, Es wurden von denen folgende es Themen sechs verschiedene behandelt: gibt. Flugsicherung, Die Ebenen, welche die GPS, Umlaufbahnen Kegelschnitte, enthalten, Ortslinien. sind alle um 55° gegenüber der Äquatorebene geneigt, gehen durch den Erdmittelpunkt und sind gleichmäßig rings um die Erdachse angeordnet. Aufgabe 1 Modelliere mit Hilfe von Archimedes die Erde mit den sie umgebenden Satellitenumlaufbahnen! Die Erde mit den sechs Satellitenumlaufbahnen: Blick "von der Seite" (auf den Äquator) Blick "von oben" (auf den Nordpol) Abbildung 5: Lernumgebung zum Thema GPS Abb. 5 zeigt die von den Studierenden konstruierte Einstiegsaufgabe zum Thema GPS. Im weiteren Aufgabenverlauf wurde von den Studierenden vorgesehen, dass Schülerinnen und Schüler aus vorgegebenen realen Werten eines GPS den beschriebenen Standort mittels CAS selbst ermitteln sollen. Erfreulicherweise bringen die Studierenden zunehmend Erfahrungen im Umgang mit CAS aus der eigenen Schulzeit mit. Im normalen Mathematikstudium wird jedoch nur wenig Gebrauch von CAS oder anderer schulgeeigneter Software gemacht, der Werkzeugcharakter des Rechners zur Unterstützung des Inhaltsverständnisses geht verloren. Wir halten es deshalb für wichtig, dass alle Studierenden (nicht nur die Lehramtskandidaten) schon in den Anfängervorlesungen mit CAS und DGS arbeiten müssen. Zumindest für Lehramtskandidaten erscheint uns dies wichtiger als ein Programmierkurs. Literatur [1] Borneleit, P., Dankwerts, R., Henn, H.-W. & Weigand, H.-G. Expertise zum Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe. H.-E. Tenorth (Hrsg.): Kerncurriculum Oberstufe. – Weinheim: Beltz (2001), S. 26 – 53. [2] Fischer, A. Gegenseitige Beeinflussungen von Darstellungen und Vorstellungen zum Vektorraumbegriff. Journal für Mathematikdidaktik 28(3/4) (2007), S. 311 – 330. [3] Hußmann, S. Mathematik entdecken und erforschen – Theorie und Praxis des Selbstlernens in der Sekundarstufe II. Berlin: Cornelsen (2003). Eine genauere Beschreibung der Lernumgebungen wird im 2010-Tagungsband des GDM-Arbeitskreises Mathematikunterricht und Informatik veröffentlicht werden. 22
Publikationen über Computeralgebra • Borwein, J., Devlin, K., Experimentelle Mathematik: Eine beispielorientierte Einführung, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2011, 158 Seiten, ISBN 978-3-8274-2661-1, e 17,90. • Kemper, G., A Course in Commutative Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 256, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2011, 246 Seiten, ISBN 978-3-642-03544-9, e 53,45. Weitere Bücher können auf der Seite http://www.fachgruppe-computeralgebra.de/Buecher oder direkt bei Anne Frühbis-Krüger (fruehbis-krueger@math.uni-hannover.de) zur Besprechung angefordert werden. Besprechungen zu Büchern der Computeralgebra Jonathan Borwein, Keith Devlin Experimentelle Mathematik: Eine beispielorientierte Einführung Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2011, 158 Seiten, ISBN 978-3-8274-2661-1, e 17,90 Dieses nach einer Idee des Verlegers Klaus Peters entstandene Büchlein von Jonathan Borwein und Keith Devlin liegt nun, zwei Jahre nach Erscheinen der Originalausgabe ( ” The computer as crucible“), auch in deutscher Übersetzung vor. Durch das Zusammenspiel der beiden Autoren – Borwein ist einer der bekanntesten und profiliertesten Vertreter der experimentellen Mathematik sowie Autor diverser Bücher zu diesem Thema, Devlin hat sich neben der Beschäftigung mit mathematischer Kognitionswissenschaft als Wissenschaftsjournalist einen Namen gemacht – wird die Sichtweise von innen sowie von außen auf dieses relativ neue Teilgebiet der Mathematik auf fruchtbare Weise kombiniert. Die Autoren haben sich hierbei zum Ziel gesetzt, anhand zahlreicher Beispiele einen Einblick in einige Möglichkeiten zu geben, wie ein leistungsfähiger Computer mit Computeralgebrasystemen (CAS), numerischen Werkzeugen sowie geeigneten Datenbanken die Mathematikerin bzw. den Mathematiker beim Beweisen von Sätzen und Erkennen von Zusammenhängen unterstützen und neue Möglichkeiten eröffnen kann. Das Buch präsentiert, angereichert und aufgelockert durch Anekdoten, historische Bemerkungen und diverse amüsante und pointierte Zeichnungen, verschiedene interessante und teils erstaunliche Beispiele und Spielweisen des experimentellen Zugangs. Zwar stellt die Experimentelle Mathematik seit jeher (allerdings ohne Computereinsatz, sondern in Form langer Rechnungen auf Papier) einen wichtigen Bestandteil der Arbeit aller bedeutenden Mathematikerinnen und Mathematiker auf dem intuitiv experimentierenden, suchenden und probierenden Weg zu letztendlich analytisch beweisbaren Hypothesen dar. Jedoch führen die Autoren vor, wie die Mathematik durch fortgeschrittenen Computereinsatz methodisch in die Nähe der klassischen Naturwissenschaften rückt, wobei das Experiment seinen Platz als selbständiger Teil der Mathematik findet, ohne jedoch die Grenzen dieses Zugangs und die Bedeutung des analytischen Beweises außer Acht zu lassen. Im Anschluss an diese Einführung bestehen die weiteren Kapitel des Buches aus einer Reihe von Beispielen, hauptsächlich aus dem Bereich der reellen Analysis und analytischen Zahlentheorie, die eindrucksvoll die Vorzüge des experimentellen Zugangs in der Praxis vorführen. Jedes Kapitel wird unter der Überschrift ” Untersuchungen“ durch eine Reihe Vorschläge und Denkanstöße zu eigenen Experimenten und Betrachtungen abgerundet, durch die die Leserin bzw. der Leser praktische Erfahrungen mit den vorgestellten Werkzeugen und Methoden sammeln kann und zu weiteren Untersuchungen und Versuchen ermutigt wird. Der Anhang liefert hierzu Lösungsvorschläge sowie weitere Denkanstöße und Ausblicke. 23 Das zweite Kapitel widmet sich dem Problem, eine beliebige Nachkommastelle einer irrationalen Zahl wie π in Binärdarstellung zu bestimmen. Das folgende Kapitel befasst sich mit der (Wieder-)Erkennung von Zahlen oder Folgen aus numerischen Approximationen als Ergebnis einer experimentellen Berechnung, wobei einschlägige Internet-Datenbanken zur Unterstützung der Suche geschlossener Ausdrücke vorgestellt werden. Im Anschluss rücken die Autoren die Riemannsche Zeta- Funktion in den Blickpunkt und beleuchten einige Einsichten, die sich aus experimenteller Perspektive aus ihr gewinnen lassen. Das fünfte Kapitel betrachtet die nu-
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