Physik für Bauingenieure

Fachbereich Physik
Prof. Dr. Rudolf Feile
Dipl. Phys. Markus Domschke
1. Multiple choice
Physik für Bauingenieure
Übungsblatt 3
Gruppenübungen
Sommersemster 2010
03. – 07. Mai 2010
In den folgenden Aufgaben ist jeweils genau eine angebotene Antwort korrekt. Diese markieren Sie bitte.
I. Wie ändert sich das Volumen eines Gases mit fester Teilchenzahl, wenn die Temperatur des Gases bei konstantem
Druck abnimmt?
( ) Es nimmt zu
( ) Es nimmt ab.
( ) Es bleibt gleich.
II. Zwei gleich große Zimmer, das von Tom und das von Jessica, sind durch eine offene Tür miteinander verbunden.
Toms Zimmer ist klimatisiert und hat eine um 5 °C geringere Temperatur als das von Jessica. In
welchem Raum befindet sich die größere Teilchenzahl der Gasatome?
( ) In Toms Zimmer
( ) In Jessicas Zimmer
( ) Beide Zimmer enthalten gleiche Luftmengen.
Lösungsvorschlag:
I. Wie ändert sich das Volumen eines Gases mit fester Teilchenzahl, wenn die Temperatur des Gases bei konstantem
Druck abnimmt?
( ) Es nimmt zu
(x) Es nimmt ab.
( ) Es bleibt gleich.
II. Zwei gleich große Zimmer, das von Tom und das von Jessica, sind durch eine offene Tür miteinander verbunden. Toms
Zimmer ist klimatisiert und hat eine um 5 °C geringere Temperatur als das von Jessica. In welchem Raum befindet sich
die größere Teilchenzahl der Gasatome?
(x) In Toms Zimmer
( ) In Jessicas Zimmer
( ) Beide Zimmer enthalten gleiche Luftmengen.
2. Heißluftballon
Ein Heißluftballon wird vor dem Start mit Luft gefüllt. Sein Volumen beträgt V= 120 m 3 . Innerhalb der Ballonhülle
herrscht eine Temperatur von T 1= 15 °C. Der Druck betrage innen wie außen p 0= 1013 hPa. Anschließend
wird die Luft innerhalb der Ballonhülle auf T 2= 93 °C erhitzt. Der Druck ist dabei gleich geblieben.
Auf welches Volumen dehnt sich der Ballon beim Erhitzen aus?

Lösungsvorschlag:
Die Luft im Ballon kann als ideales Gas angesehen werden für das gilt: p·V= N· k B· T= n·R· T
Da Druck und Teilchenzahl gleich bleiben ergibt sich der Zusammenhang
3. Gasthermometer
V 1
T 1
= V 2
T 2
⇒ V2=V 1· T2 = 152,48m
T1 3
Der Druck in einem Gasthermometer mit konstantem Volumen betrage 0, 4 bar beim Gefrierpunkt und 0, 546 bar
beim Siedepunkt von Wasser.
a) Bei welcher Temperatur ist der Druck gerade 0, 1 bar?
b) Wie hoch ist der Druck bei 444, 6 °C (Siedepunkt von Schwefel)?
Lösungsvorschlag:
a) Es gilt das Gesetz für ideale Gase p· V= n·R· T. Das Volumen V bleibt konstant. Da mit ergibt sich für die beiden
Messwertpunkte(0,4bar;0°C) und(0,546bar;100°C)
p 1· V= n·R· T 1
p 2· V= n·R· T 2
→ V= n·R· T 2
p 2
Beachte die notwendige Umrechnung der Temperaturen in Kelvin!
b) Die Rechnung geht analog und es folgt
4. Druckausgleich
→ p3·V= n·R· T3 → T3= p3· V
n·R = p3· n·R· T2 p2· n·R = p3·T 2
= 68,34K=−204,8°C
p2 p 4= p 2·T 4
T 2
Der kleinere Behälter in der Abbildung enthalte ein
ideales Gas bei einem Druck von p 1= 5·10 5 Pa und
einer Temperatur von 300 K. Über ein Rohr sei er mit
dem rechten Behälter verbunden, der das 4-fache Volumen
besitzt.
Der größere Behälter enthalte ebenfalls ein ideales
Gas mit p 2 = 1·10 5 Pa und einer Temperatur von
400 K. Wird das Ventil geöffnet findet ein Druckausgleich
statt, allerdings werden die Temperaturen der
beiden Behälter konstant gehalten.
Welcher Druck herrscht dann in beiden Behältern?
Lösungsvorschlag:
= 1,05bar
Es gilt das ideale Gasgesetz p·V= n·R· T. Man muss sich den Sachverhalt vor und nach dem Öffnen des Ventils betrachten.
Es gilt immer V 2= 4V 1!
vor dem Öffnen:
Im linken Container: Anzahl der Mole: n1= p1·V1 R·T1 Im rechten Container: Anzahl der Mole: n2= p2·V2 =
R·T2 p2·4V1 R·T2 Gesamtzahl der Mole: n= n 1+n 2= p 1·V 1
R· T 1
+ p 2·V 2
R· T 2
= V
1 p1
+
R T1 4p
2
T2

nach dem Öffnen: (p ′
1 = p′
2 )
also folgt
5. Forschungsballons
mit n ′
1
p ′
1 = n′
1 · R· T1 V1 und p ′
2 = n′
2 · R· T2 V2 ⇒ n ′
2 = 4T1 T2
V1 p1
+
R T1 4p
2
= n
T
1+ n2=n= n
2
′
1 + n′
2 = n′
1 1+ 4T
1
T2 = p′
1 · V 1
R· T 1
ergibt sich so p ′
1 = p1T2+ 4p2T1 = 2·10
T2+ 4T1 5 Pa=2bar.
Ein Ballon zur Analyse der Aschekonzentration der Luft mit dem Volumen V ist mit Heißluft der Temperatur T 1
und dem Druck p 1 gefüllt. Die Masse des Ballons im ungefüllten Zustand sei m.
Die Atmosphäre der Erde kann als ideales Gas der Temperatur T= 0 °C betrachtet werden. Die durchschnittliche
Molmasse ist M= 29 g
mol . Der Luftdruck am Boden beträgt p0= 1, 0 bar. In welcher Höhe befindet sich ein Ballon,
dessen Barometer einen äußerem statischen Druck von p= 0, 4 bar anzeigt?
Lösungsvorschlag:
gM
−
Es muss die barometrische Höhenformel der Form p(h)= p0·e RT h verwendet werden.
Damit kann die Höhe des Ballons berechnet werden.
6. Federpotential
Ein Federpotential hat die Form
p(h)=4·10 4 gM
−
Pa= p0· e RT h
⇒ ln p(h)=ln p 0−
g M
RT h
⇒ h= ln p0− ln p(h)
· RT
g M
= RT
p0
· ln = 7317m
g M p(h)
V(x)= c· x 3
mit c= 20 N
m 2
Berechnen Sie die Kraft an den Stellen x= 15 cm und x=−15 cm. Ist das Potential anziehend oder abstoßend?
Lösungsvorschlag:
Die Kraft ist die negative Ableitung des Potentials nach dem Ort: F(x)=− dV(x)
.
dx
F(x)=− dV(x)
dx
Damit ergibt sich F(15cm)=−1,35N und F(−15cm)=−1,35N.
Das Potential ist für positive x anziehend und für negative abstoßend.
A. Harmonisches Potential
Hausübungen
=−3c·x 2
Ein Federpotential (auch harmonisches Potential genannt) hat die Form
V(x)= c· x 2
mit c= 200 N
m
n ′
1

a) Berechnen Sie die Kraft an den Stellen x = 15 cm und x =−15 cm. Ist das Potential anziehend oder
abstoßend?
Eine Spiralfeder mit einer Federkonstanten k= 100 N
hat im unbelasteten Zustand eine Länge von l= 15 cm.
m
b) Welche Energie müssen Sie aufbringen, um die Feder um 3 cm auseinander zu ziehen, beziehungsweise um
3 cm zusammen zu drücken?
Lösungsvorschlag:
a) Die Kraft ist die negative Ableitung des Potentials nach dem Ort: F(x)=− dV(x)
.
dx
F(x)=− dV(x)
dx =−2c·x
Damit ergibt sich F(15cm)=−60N und F(−15cm)=60N.
Das Potential ist für positive und negative x anziehend.
b) Die Energie erhält man aus der Integration der Kraft über den Weg.
18cm
1
WFeder= k·(x− x0) dx=
2 k·(x 2 − 2x0·x) W Feder=
Wieso ist das Ergebnis das Gleiche?
B. Barometrische Höhenformel
15cm
12cm
15cm
k·(x− x 0) dx= 0,045J
18cm
15cm
= 0,045J
Welchen Luftdruck muss ein Pilot (höchstens oder mindestens?) beim Ausfall seine GPS-Systems an seinem Druckmessgerät
ablesen (Messungenauigkeit∆p=±1 hPa), damit seine Flughöhe groß genug ist, sein Flugzeug sicher
über den Mount Everest zu bringen. Im Internet findet man Höhenangaben für den Mount Everest von
h= 8848 m±2 m.
Lösungsvorschlag:
Der Pilot kennt die barometrische Höhenformel p(h)= p0·e −
h
h0 .
Damit berechnet er zuerst den Luftdruck auf dem Mount Everest
p(8848m)= p 0· e −
8848m
12000m
= 1013mbar·e −
8848
12000
= 484,61hPa
Nun muss der Pilot noch die Fehler (Höhe Mt. Everest und Apparatfehler Druckmessgerät) berücksichtigen. Den Fehler kann
mit der Gausschen Fehlerformel berechnet werden (beachte Vorzeichen):
∂
p(h)
∆p=
∂ h ·∆h
2
= − p0 · e
h0 −
2 h
h0 ·∆h = p0 · e
h0 −
h
h0 ·∆h= 0,08hPa
Da der Pilot den Berg überfliegen will, muss er den niedrigeren Druck verwenden (wiso?). Der Fehler des Messgeräts muss
insgesamt als Fehler dazugerechnet werden. Für das Vorzeichen des Fehlers des Messgeräts gilt das gleiche, wie für die
Höhenungenauigkeit des Mt. Everest.
Damit ergibt sich p=(484,61− 1,08) hPa=483,53hPa.
C. Druckausgleich
Der kleinere Behälter in der Abbildung enthalte ein
ideales Gas bei einem Druck von p 1= 6·10 5 Pa und
einer Temperatur von 120 K. Über ein Rohr sei er mit
dem rechten Behälter verbunden, der ein vielfaches
Volumen besitzt.
Der größere Behälter enthalte ebenfalls ein ideales
Gas mit p 2 = 2·10 5 Pa und einer Temperatur von
180 K. Wird das Ventil geöffnet findet ein Druckausgleich
statt, allerdings werden die Temperaturen der
beiden Behälter konstant gehalten. Der Gesamtdruck
beträgt nach dem Ausgleich p ′ = 3·10 5 Pa.
Welches Volumen besitzt der zweite Behälter?

Lösungsvorschlag:
Es gilt das ideale Gasgesetz p·V= n·R· T. Man muss sich den Sachverhalt vor und nach dem Öffnen des Ventils betrachten.
Es gilt immer V 2= x· V 1!
vor dem Öffnen:
Im linken Container: Anzahl der Mole: n1= p1·V1 R·T1 Im rechten Container: Anzahl der Mole: n2= p2·V2 =
R·T2 p2·4V1 R·T2 nach dem Öffnen: (p ′
1 = p′
2 = p′ )
also folgt
Gesamtzahl der Mole: n= n 1+ n 2= p 1· V 1
R· T 1
p ′
1 = n′
1 · R· T1 V1 und p ′
2 = n′
2 · R· T2 V2 p1−p ′
1
= x·
T1 p′
1− p2 T2 + p 2·V 2
R· T 2
⇒ x= (p 1−p ′
1 )· T 2
(p ′
1 − p 2)· T 1
= 4,5
⇒ V 2= 4,5· V 1
= V
1 p1
+
R T1 x· p
2
T2 ⇒ n ′
2 = x· T 1
T 2
n ′
1