Formelsammlung Technische Mechanik II - tudlobby

Formelsammlung 

Technische Mechanik II 

für 

und 

NICHT 

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Spannung: 

v = 

F 

= 

N 

A A 

Nx () 

v() 

x = 

Ax () 

Dehnung: 

f = 

Dl 

l 

f() 

x = 

du 

dx 

Dl 

= fl 

Stoffgesetz: 

v = Ef 

v() x = Ef() x 

(Normalspannung) 

` 

Normalkraft 

Querschnittfläche 

j 

Einzelstab: 

dN 

+ n = 0 

dx 

ul() x = 

du 

= 

N 

+ aT 

DT 

dx EA 

Dl = u() l - u( 

0) 

= 

N 

` + aT 

DT 

dx 

EA 

j 

ux () = f() 

xdx 

0 

# 

( gleichförmige Dehnung, Dl: 

Ausdehnung/ Zusammenziehen) 

l 

( u: Verschiebung , ; f ; % 1) 

(Gleichgewichtsbedingung) 

Dl= Fl 

+ aT 

DTl 

EA 

Dl 

= 

Fl 

EA 

Dl = aT 

DTl 

(Hooksches Gesetz) 

v() 

x 

f() 

x = + aT 

DT 

E 

v() x = E^f() x -aTDTh 

ul() x = 

du 

= 

F 

= f() 

x 

dx EA() x 

statisch bestimmtesStabsystem: 

KAPITEL 1 - ZUG UND DRUCK IN STÄBEN 


Nx (), v( x), f(), x Dl, 

u() x können der Reihe nach aus Gleichgewicht, 

Elastizitätsgesetz und Kinematik ermittelt werden. Temperaturänderungen 

verursachen keine Spannungen. 

( u( x): 

Verschiebung) 

statisch unbestimmtesStabsystem: 

Alle Gleichungen (Gleichgewicht, Elastizitätsgesetz und Kinematik) 

müssen gleichzeitig betrachten werden. Temperaturänderungen verursachen 

im Allgemeinen Wärmespannungen. 

0 

# 

l 

F 

F 

F 

s F 

F F 

� � 

τ σ 

s 

A ∗ = A 

cos ϕ 

� 

(Elastizitätsgesetz) 

� 

s 

σ 

N 

(Elastizitätsgesetz für den Stab) 

n / 0, N = F, DT 

= konst 

EA = konst, N = F, DT 

= konst 

N = 0, DT 

= konst 

A 

F 

F 

( Dl: 

Ausdehnung/ Zusammenziehen) 

F 

� 

ϕ 

s 

ϕ 

τ 

σ 

l ∆l 

F F 

F 

x 

u 

dx 

u+du 

dx+(u+du)−u 

F1 

� 

x 

dx 

l 

n(x) 

F2 N 

� 

x 

n dx 

N +dN 

dx 

x+dx 

�� 

�� 

Verträglichkeitsbedingung/ Kompatibilitäsbedingung: 

/ 

/ 

/ i 

% fxyz ,, $ l = fx,, 

yz $ l 

% f = f 

xyz ,, x,, yzi 

% Dl = Dl 

i i 

Beispiele: 

fxyz ,, $ l = fx,, yzi$ li 

= 0 " fx, fy, fz 

= 0 

Dl = Dli 

= 0 " li 

= 0 

/ 

/ 

/ 

fxyz ,, = fx,, yzi = 0 " fx, fy, fz 

= 0 


Spannungvektor: 

t = lim 

DF 

= 

dF 

DA 

" 0 DA 

dA 

z z 

σzz dz P 

τxz σ 

τxy xx 

τyz σyy τyx y 

dx 

σy 

τyz x 

dy 

� � 

Transformationsgleichungen: 

v 

1 

1 

p = ^vx+ vyh+ ^vx- 

v yhcos2{ + x xy sin 2{ 

2 

2 

v 

1 

1 

h = ^vx+ vyh- ^vx-v 

yhcos2{ - x xy sin 2{ 

2 

2 

xph = - 

1 

^vx- 

v yhsin 2{ + x xy cos 2{ 

2 

vp, vh, x ph = 0 & { 

Hauptspannugnen: 

2xxy 

tan2{ 

= 

vx-vy v 

12 / 

reibungsfrei: 

y 

� 

x 

σy 

τ zx 

τ yx 

τ zy 

τ xy 

σx 

KAPITEL 2 - SPANNUNGSZUSTAND 

2 

σ 2 

τ zy 

dy/2 

σz 

τ zy 

M 

σz 

dy/2 

{ = { & { 1, { 2 = { 

r 

1 + 

2 

* * * * * 

vx+ vy v 2 

x-vy = ! ` j + x 

2 2 

xmax 

= ! 

vx-v 2 

y 

2 

` j + x xy 

2 

** * 

{ = { ! 

r 

4 

x 

1 

max = ! ^v1-v2h 

2 

2 

xy 

( Hauptspannugnen) 

σ1 

τ yz 

σy 

dz/2 

dz/2 

y 

Abb. 2.2 

σ M 

� ϕ � 

∗ 

1 

Abb. 2.5 

τ max 

% positiveSpannungen zeigenaneinem positiven/ negativen 

Schnittufer indie positive/ negative Koordinatenrichtung. 

% Schubspannungen( x)inzweisenkrecht 

aufeinander 

stehendenSchnitten (z.B. xxy = xyx)sind 

gleich. 

σ M 

τ max 

ϕ ∗∗ =ϕ ∗ + π 4 

Abb. 2.6 

y η 

= xxy, xyx = 0, " vx, vy, vz 

= 0 

Schubspannungen Spannungen am freien Rand 

homogener Spannungszustand: 

hydrostatischer Spannungszustand: 

Spannungen nicht vom Ort abhängig 

vp = vh = vx = vy = vz xxy = xyx= xph 

= 0 

p 

r 

t 

p 

r 

t 

: 

p 

r 

t v E 

Dünnwandiger Kessel: 

Spannungen: v 

1 

x = 

2 

v{ = Spannungen v 

1 1 

t = v{ = = f 

2 1 - 


σy 

τ yx 

τ xy 

σx 

(Winkel { des Extremalwertes, Lage der Hauptachsen) 

(Hauptschubspannungen) 

x 

MohrscherSpannungskreis: 

Gleichgewichtsbedingungen: 

_ 

y 

2vx 

2xyx 

+ + fx 

= 0b 

2x 

2y 

b 

ebener 

Spannungszustand 

2 2 2 

2xyx 

2v 

` 

y 

^v- vMh+ x = r 

+ + fy 

= 0b 

2x 

2y 

b 

a 

2vx 

2xyx 

2x 

_ 

zx 

+ + + fx 

= 0b 

σx+ 

2x 

2y 

2z 

b 

2xxy 

2vy 

2x 

b 

zy 

x 

+ + + fy 

= 0 räumlicher Spannungszustand 

2x 

2y 

2z 

` 

b 

2xxz 

2xyz 

2vz 

+ + + fz 

= 0 b 

2x 

2y 

2z 

b 

a 

∂σx 

∂x dx 

σy + 

σx 

τxy τyx σy 

∂σy 

∂y dy 

τxy+ ∂τxy ∂x dx 

τyx+ ∂τyx ∂y dy 

fy 

dy 

fx 

dx 

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η 

σx 

y 

dy 

τ xy 

ϕ 

ϕ 

τ yx 

τ ξη 

ξ 

σy 

σ ξ 

σ η 

dη 

dx 

τ ηξ 

τ ξη 

σ ξ 

ϕ 

ξ 

Entsprechend den Koordinatenrichtungen bezeic 

Maximale Schubspannungen: 

2 - dim: 

vx= vy= vt 

1 

1 6 47484 xmax = ^v1- v2h= ^vx- 

vyh= 

0 

2 

2 

3 - dim: 

x 

1 

1 

max = ^v1- 

v3h= vt 

2 

2 

x

Verzerrungszustand: 

f 

u 

, 

v 

x = 

2 

fy 

= 

2 

2x 

2y 

c 

2u 

2v 

xy = a+ b = + 

2y 

2x 

V V 

a 

KAPITEL 3 - VERZERRUNGSZUSTAND, ELASTIZITÄTSGESETZ 

(Dehnung) 

b 

(Winkeländerung) 


Hauptdehnungen: 

f 

1 

1 

cos2 1 

p = ^fx+ fyh+ ^fx- 

f yh { + c xy sin 2{ 

* cxy 

2 

2 

2 

tan2{ 

= (Winkel) 

fx-fy f 

1 

f 

1 

cos2 1 

h = ^ x+ fyh- ^fx-f 

yh { - c xy sin 2{ 

fx fy fx fy 

2 

2 

2 

f 

1 

12 / = ! 

cxy 

2 2 2 

1 

c = - 

1 

f sin2 1 

ph 

^ x- f yh { + c xy cos 2{ 

2 

2 

2 

+ - 

y 

dy 

u 

α 

β 

P 

dx 

x u 

` j + ` j 

′ 

Q ′ 

Q 

v+ ∂v 

∂x dx 

∂v 

∂x dx 

P 

u+ ∂u 

∂x dx 

Verschiebungsplan: 

Winkeländern sich beim 

nicht, da dieVerschiebung 

v 

π/2 −γxy w und w durch u). 

infinitisimal kleinist. 

Abb. 3.2 

3.2 

3.2 Elastizitätsgesetz 

Die Reihen vereinfachen sich für die Punkte Q und S. Da sich 

beim Fortschreiten von P nach Q die y-Koordinate nicht ändert 

(dy = 0), verschiebt sich der Punkt Q bei Vernachlässigung von 

Gliedern höherer Ordnung um u + ∂u/∂x dx bzw. v + ∂v/∂x dx 

Elastizitätsmodul ist. 

in x- bzw. in y-Richtung (Abb. 3.2). Entsprechend erhalten wir 

für den Punkt S wegen dx =0dieVerschiebungskomponenten 

u + ∂u/∂y dy bzw. v + ∂v/∂y dy. 

() 1 

( 2) 

( 3) 

Elastizitätsgesetz: 

G = 

E 

21 ( + o) 

(Schubmodul) 

f 

1 

x = ( vx- ovy) + aTDT 

E 

f 

1 

y = ( vy- ovx) + aTDT 

E 

c 

1 

xy = xxy 

G 

f 

1 

x = 6vx- 

ov ( y+ vz) @ + aTDT 

E 

f 

1 

y = 6vy- 

ov ( z+ vx) @ + aTDT 

E 

f 

1 

z = 6vz- 

ov ( x+ vy) @ + aTDT 

E 

c = 

1 

x , c = 

1 

x , c = 

1 

x 

G G G 

( o: 

Querkontraktionszahl - Materialkonstante) 

(Hooksches Gesetz zweidimensional / ebener Spannungszustand) 

(Hooksches Gesetz dreidimensional) 

2 2 


xy xy xz xz yz yz 

Festigkeitshypothesen: 

Normalspannungshypothessen 

vo= v 

Schubspannungshypothesen 

vo= ^v - v h + 4x 

Hypothese der Gestaltänderungsenergie 

2 2 

vo = v1-v2- v1v2 = v + v - v v + 3x 

o:Vergleichsspannung 

1 

2 2 

x y xy 

v(x +dx, y +dy) =v(x, y)+ 

2 2 2 

x y x y xy 

∂x 

dx + 

∂y 

dy + ... . 

Dabei kennzeichnen ∂/∂x bzw. ∂/∂y die partiellen Ableitungen 

nach den Variablen x bzw. y. 

v+ ∂v 

∂y dy 

u+ ∂u 

∂y dy 

∂u 

∂y dy 

S 

S R 

′ 

R ′ 

Bei der Verformung geht die Strecke PQ in die Strecke P ′ Q ′ 

über. Da wir uns auf kleine Deformationen (β ≪ 1) beschränken, 

ist die Länge von P ′ Q ′ Wir wollen nun das Elastizitätsgesetz für den ebenen 

nungszustand angeben. Dabei beschränken wir uns auf W 

fe, die homogen und isotrop sind. Ein homogener Werks 

an jeder Stelle die gleichen Eigenschaften; bei einem is 

Werkstoff sind die Eigenschaften in allen Richtungen gle 

Beispiel für ein anisotropes Material ist Holz: durch die F 

näherungsweise sind gleich die Steifigkeiten der Länge in verschiedenen der Pro- Richtungen untersch 

jektion auf die x-Achse (Abb. 3.2): 

P ′ Q ′ � 

≈ dx + u + ∂u 

∂x dx 

� 

− u =dx + ∂u 

∂x dx. 

σx 

y 

76 3 Verzerrungszustand, Elastizitätsgesetz 

Die Hauptdiagonale wird dabei von den Dehnungen gebil 

übrigen Elemente sind die halben Gleitungen. 

Es sei darauf hingewiesen, dass man die zweiten und d 

ten Gleichungen in (3.6a) und (3.6b) aus der jeweils erst 

einfach durch zyklische Vertauschung erhalten kann (man 

dabei x durch y, y durch z und z durch x sowie u durch v, 

Die Verzerrungen in einem Bauteil sind von der Belastu 

damit von den Spannungen abhängig. Nach Kapitel 1 sin 

nungen und Verzerrungen durch das Elastizitätsgesetz ver 

Es hat im einachsigen Fall (Stab) die Form σ = E ε, wobe 

Wenn wir analog zu Abschnitt 1.2 die Dehnung εx in x-Richtung 

als das Verhältnis von Längenänderung Anmerkung: 

zu Ausgangslänge einfüh- 

x 

Zur Herleitung des Elastizitätsgesetzes betrachten wir 

einer Scheibe herausgeschnittenes Rechteck, in dem nach A 

nur eine Normalspannung σx wirkt. Dann gilt entsprechen 

DA 

= ^fx+ 

fyhA 

εx = 1 

E σx. DV 

^ 

= fx+ fy+ fzhV 

0 

Messungen zeigen, dass die Spannung σx nicht nur ei 

größerung der Länge, sondern gleichzeitig eine Verkleiner 

Breite des Rechtecks bewirkt. Daher tritt auch eine Dehnu 


0 

σx

Flächenträgheitsmomente: 

# # 

# # 

# # 

2 2 

Iy = z dA, Iz = y dA 

Iyz = Izy =-yzdA 

(axiales Flächenträgheitsmoment) 

(Deviationsmoment oder Zentrifugalmoment) 

2 2 2 

I = r dA = ^z + y hdA 

= I + I 

p y z 

Parallelverschiebung der Bezugsachsen: 

2 

Iyr= Iy+ zA r S 

V Steiner Glied 

2 

Izr= Iz+ yA r S 

W Steiner Glied 

Iyz rr = Iyz -yzA 

r S rS 

[ 

Steiner Glied 


I 

1 

I I 

1 

2 

h = ^ y+ zh+ Îy- 

Izhcos2{ + Iyz 

sin 2{ 

2 2 

I 

1 

2 2 

` h = 6Îy+ 

Izh+ Îy- 

Izh + 4Iyz@ 

2 

j 

I 

1 

I I 

1 

g = ^ y+ zh- Îy-Izhcos2{ 

- Iyz 

sin 2{ 

2 2 

I 

1 

2 2 

` g = 6Îy+ 

Izh- Îy- 

Izh + 4Iyz@ 

2 

j 

I 

1 

hg = - Îy+ 

Izhsin2{ + Iyz 

cos 2{ 

2 

I + I = Ih+ Ig = I 

x y p 

h = ycos{ + zsin 

{ 

g =- ysin{ + zcos 

{ 

* 2I 

yz * * * 

tan 2{ 

= { 1, { 2 = { 1 + 

r 

Iy-Iz 2 

Hauptträgheitsradien: 

2 

Iy Iz Iy Iz 

I12 

/ = ! 

I 

2 2 

+ - 

c m + 

Normalspannungen: 

v = 

M 

z 

I 

W = 

I 

z max 

v = 

M 

= 

M 

z 

W I 


2 

yz 

Grundlagen der geraden Biegung: 

M = EI] 

l (Elastizitätsgesetz für das Biegemoment) 

Q = \ GAw ^ l + ] h 

4.2.1 Definition 

Wir betrachten in Abb. 4.2 eine Fläche 4.2.2 A in Parallelverschiebung der y, z-Ebene. Die der Bezugsachsen 

Bezeichnung der Achsen und die Achsenrichtungen Zwischen den (z nach Trägheitsmomenten unten, bezüglich paralleler Achsen be- 

y nach links) wählen wir dabei in Anlehnung stehenanZusammenhänge, die Verhältnisse die wir hier untersuchen wollen. Dazu 

KAPITEL 4 - BALKENBIEGUNG 

bei einem Balkenquerschnitt. Der Koordinatenursprung betrachten wir in 0 liege Abb. an4.7 

die beiden parallelen Achsensysteme 

einer beliebigen Stelle. 

y, z und ¯y, ¯z, wobeinunvorausgesetztwird,dassyund z Schwerachsen 

sind. Mit den Beziehungen 

A 

¯y = y +¯ys, ¯z = z +¯zs 

0 

y z r 

gilt dann für die Trägheitsmomente bezüglich des ¯y, ¯z-Systems 

y 

(polares Flächenträgheitsmoment) I¯y = dA 

� ¯z 2 dA = � (z +¯zs) 2 dA = � z2 4.2 Flächenträgheitsmomente 101 

geneinander gedrehter Koordinatensysteme y, z und η, ζ (Abb. 

4.9). Mit den Beziehungen 

η = y cos ϕ + z sin ϕ, ζ = −y sin ϕ + z cos ϕ 

gilt für die Trägheitsmomente bezüglich η, ζ 

Iη = 

� � 

2 dA +2¯zs z dA +¯z s dA, 

� ζ2 dA =sin 2 ϕ � y2 dA + cos2 ϕ � z2 dA 

− 2sinϕcos ϕ � yzdA, 

Iζ = � η2 dA = cos2 ϕ � y2 dA +sin 2 ϕ � z2 dA 

+2 sinϕcos ϕ � yzdA, 

(Elastizitätsgesetz für die Querkraft) 

Abb. 4.2 I¯z = z 

� ¯y 2 dA = � (y +¯ys) 2 dA = � y2 Iηζ = − � � 

2 dA +2¯ys y dA +¯y s dA, 

� ηζdA =sinϕcos ϕ � y2 dA − cos2 ϕ � yzdA 

+sin 2 ϕ � yzdA − sin ϕ cos ϕ � z2 dA. 

� 

y dA, zs = 

Mit den Trägheitsmomenten bezüglich y, z nach (4.6) und den 

(1 + cosI2 ϕ) und 

y 

2sinϕcos ϕ =sin2ϕergeben sich die Transformationsbeziehungen 

= 

Bei der Bestimmung der Koordinaten ys = 1 

� A 

1 

A z dA des Flächenschwerpunktes treten die¯y Flächenmomente 

Umformungen sin 

erster Ordnung oder statischen Momente 

¯zs 

� 

� 

¯ys 

Sy = z dA, Sz = y dA (4.5) 

y z S 

bezüglich der y-Achse bzw. der z-Achse auf (vgl. Band y 

dA 

1, Abschnitt 

4.3). Sie enthalten die Abstände y bzw. z des Flächenelementes 

dA in der ersten Potenz. 

z ¯z Abb. 4.7 

2 ϕ = 1 

2 (1 − cos 2 ϕ), cos2 ϕ = 1 

2 

Iη = 1 

2 (Iy + Iz)+ 1 

Iζ = 1 

2 (Iy + Iz) − 1 

Iηζ = − 1 

i y 

Steiner Glied: 

rzS, yrS 

ist der Abstand, des einzelnen Flächenschwerpunktes 

iz 

zum Gesamtflächenschwerpunkt oder Koordinatensystem. 

rzS= zrSK , - zrSg , . K yr S = yr SK , - yr4.2 

Sg , . K Flächenträgheitsmomente 103 

U X V X 

i 

einzel Körper gesamt Körper einzel Körper gesamt Körper 

p 

ergibt sich 

2 (Iy − Iz) cos 2ϕ + Iyz sin 2 ϕ , 

2 (Iy − Iz) cos 2ϕ − Iyz sin 2 ϕ , 

(4.14) p 

2 

Flächenintegrale, welche die Abstände des Flächenelementes in 

zweiter Potenz oder als Produkt enthalten, bezeichnet man als 

(Iy − Iz)sin2ϕ + Iyz cos 2 ϕ . 

I1,2 = 

y cos ϕ 

z sin ϕ 

0 

ϕ 0 

y 

y ϕ 

z cos ϕ 

z 

ϕ 

η ζ η 

z ϕ 

η ζ η 

y 

ϕ 

y sin ϕ 

dA 

y 

z 

ζ 

z ζ 

Abb. 4.9 

Hieraus lassen sich die Flächenmomente bezüglich des gedrehten 

Systems η, ζ bestimmen, sofern diejenigen bezüglich des y, 

z-Systems bekannt sind. 

Iy 

� 

�Iy �2 + Iz − Iz 

± 

+ I 

2 

2 yz . (4.17) 

Das Hauptträgheitsmoment mit dem positiven Vorzeichen vor der 

Wurzel ist ein Maximum und das mit dem negativen Vorzeichen 

vor der Wurzel ein Minimum. 

Untersucht man, für welchen Winkel das Deviationsmoment Iηζ 

verschwindet, so führt die Bedingung Iηζ =0(vgl.(4.14))aufden 

gleichen Winkel ϕ∗ nach (4.16), den wir für die Hauptachsen gefunden 

hatten. Ein Achsensystem, für welches das Deviationsmoment 

Null ist, ist demnach ein Hauptachsensystem. Besitzt eine 

Fläche eine Symmetrieachse, so sind diese Achse und eine dazu 

senkrechte Achse die Hauptachsen. 

b 

Abb. 4.10 

y 

η 

ϕ 

S h 

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir einen Rechteckquer- 

(Winkel { bei dem ein Extremalwert auftritt) 

schnitt nach Abb. 4.10. Wegen Iyz =0(vgl.(4.8c))istdasy, z- 

System das Hauptachsensystem, und die Trägheitsmomente Iy = 

bh 3 /12, Iz = hb 3 /12 sind die Hauptträgheitsmomente. Für die 

gedrehten Bezugsachsen η, ζ erhält man nach (4.14) 

112 4 Balkenbiegung 

Abb. 4.13 � 

Iη = bh 

24 [(h2 + b 2 )+(h 2 − b 2 ) cos 2 ϕ] , 

Iζ = bh 

24 [(h2 + b 2 ) − (h 2 − b 2 ) cos 2 ϕ] , 

Iηζ = − bh 

24 (h2 − b 2 dψ 

)sin2ϕ . 

M M 

Q 

x 

dx 

4.4 Normalspannungen 111 

schnitt 4.6.1 wird vielmehr gezeigt, dass sich τ über die Querschnittsfläche 

ändert und insbesondere �� am oberen und am unteren 

Rand Null ist. Letzteres lässt sich mit Hilfe der zugeordneten 

z>0: 

Zugspannung 

Schubspannungen leicht begründen. Danach müssen die Schub- 

x z

Tabelle 4.1. Flächenträgheitsmomente 

Fläche Iy Iz Iyz Ip I¯y 

Tabelle 4.1. Flächenträgheitsmomente 

Rechteck 

b 

y 

S h 

bh 

¯y 

z 

3 

12 

hb 3 

12 

0 

bh 

12 (h2 + b 2 ) 

Quadrat 

a 

y 

S 

¯y z 

a 

a 4 

12 

a 4 

12 

0 

a 4 

6 

Dreieck 

y 

¯y b 

a 

S 

z 

h bh 3 

bh 

36 36 (b2 − ba+ a 2 ) − bh2 

bh 

(b − 2 a) 

72 36 (h2 + b 2 − ba+ a 2 Rechteck 

b 

y 

S h 

¯y 

z 

bh 

) 

3 

12 

hb 3 

12 

0 

bh 

12 (h2 + b 2 ) 

Quadrat 

a 

y 

S 

¯y z 

a 

a 4 

12 

a 4 

12 

0 

a 4 

Dreieck 

6 

y 

¯y b 

a 

S 

z 

h bh 3 

bh 

36 36 (b2 − ba+ a 2 ) − bh2 

bh 

(b − 2 a) 

72 36 (h2 + b 2 − ba+ a 2 Tabelle 4.1. Flächenträgheitsmomente 

Rechteck 

b 

y 

S h 

bh 

¯y 

z 

) 

3 

12 

hb 3 

12 

0 

bh 

12 (h2 + b 2 ) 

Quadrat 

a 

y 

S 

¯y z 

a 

a 4 

12 

a 4 

12 

0 

a 4 

6 

Dreieck 

y 

¯y b 

a 

S 

z 

h bh 3 

bh 

36 36 (b2 − ba+ a 2 ) − bh2 

bh 

(b − 2 a) 

72 36 (h2 + b 2 − ba+ a 2 Tabelle 4.1. Flächenträgheitsmomente 

Rechteck 

b 

y 

S h 

bh 

¯y 

z 

) 

3 

12 

hb 3 

12 

0 

bh 

12 (h2 + b 2 ) 

Quadrat 

a 

y 

S 

¯y z 

a 

a 4 

12 

a 4 

12 

0 

a 4 

6 

Dreieck 

y 

¯y b 

a 

S 

z 

h bh 3 

bh 

36 36 (b2 − ba+ a 2 ) − bh2 

bh 

(b − 2 a) 

72 36 (h2 + b 2 − ba+ a 2 Fläche I y 

Iz 

I yz 

3 

bh 

12 

3 

hb 

12 

0 

4 

a 

12 

4 

a 

12 

0 

3 

bh bh 2 2 

2 

^b - ba+ a h 

) 

36 36 

- -2 

72 



Kreis 

Kreis 

Kreis R 

Kreis R 

R 

S 

y S 

y R 

Kreis S 

y S 

y¯y 

¯y R 

z 

dünner 

¯y 

¯y 

S 

dünner y 

Kreisring z 

Kreisring z 

t

Differentialgleichungender Biegelinie: 

IV 

() 1 EIw () x = qx () 

III 

EIw () x =- Qx () = qxdx () + C 

II 

EIw () x =- Mx () = - Qxdx () + C2= "Differentialgleichung der Bigelinie" ^M = ] lEIh 

I 

EIw () x = - Mxdx () + C3 

=- ] = 

EIw() x = - Mxdx () + C4 

= 

( 2) 

Randbedinungen: Übergangsbedinungen: 

( 3) 

( 4) 

� 

z 

x 

a 

# 

# 

# 

## 

C-Konstanten ausrechnen 


gesuchte Gleichungenaufstellen und lösen 

Anmerkung: 

∆ϕ 


1 

"Neigung/ Verdrehung" 

Integrationsmethode: ( , ; + ) 

q 

q 

qx () = ^Länge - xhq() x = ^xh 

Länge Länge Föpplmethode: 

� 

� 

x 

a 

q0 

x 

a 

F 

x 

0 1 0 1 

EIw () x =- Qx () = Fx-a III 0 

II 

EIw () x =- Mx () = M0x-a qx () = q0x-a F 

f 

"Bigeline/ Biegung/ Verschiebung/ Absenkung" 

M0 x 

a 

x 

a b 

� 

� 

� � 

I 

() = D{ 

- 

0 

z 

x 

∆w () 

� 

a 

Abb. 4.26 

% Neigung $ Länge = Verschiebung/ Absenkung/ Biegung w () x $ l = f 

0 

EIw x EI x a 

% Kräfte und Momente amAnfang/ Ende des Balkens/ Rahmens nicht berücksichtigt. 

F 

� 

q0 

0 

� 

x 

a 

� 

a 

/ = + 

% Stelle des Maximums: Qx ( ) = 0 x: Stelle des maximalen Momentes % Stelle des Gelenkes: M( x) = 0 x: 

Stelle des Gelenkes 


I 

BereichsweiseIntegration: 

F 

a b 

A B 

q0 

q0 

q b 

q 

qx () = x-a b 

b 1 

qx () = q0-qox-a EIw x EI wx a 0 

= D - 

M = Fh 

x 

M0 

x 

x 

= Fh 

a 

a h 

a 

a 

� 

� 

III 0 II0 

0 

EIw () x =- Qx () = Fx- a EIw () x =- M() x =-M x- a =-Fh x-a Lager w w ′ 

gelenkiges Lager 

Parallelführung 

Einspannung 

freies Ende 

M Q 

0 �= 0 0 �= 0 

�= 0 0 �= 0 0 

0 0 �= 0 �= 0 

�= 0 �= 0 0 0 

EI B EI B 

z 

x 

a 

x 

a 

w 

G 

/ 

−ψ 

x 

a 

w ′ 

A: 0 # x1# a B: b # x2# a+ b 

" x 

" ^x - ah 

x 

1 ( Integrationsvariable) 2 ( Integrationsvariable) 

- + 

wA( x ) = wA( x ) 

- 

+ 

wAl( x ) = wAl( x ) 

- + 

MA( x ) = MA( x ) 

- + 

QG( x ) = QG( x ) 

MG() x = 0 

z 

M M>0 M 

�� 

M


Tabelle 4.3. Biegelinien (siehe auch Erklärungen S. 138/139) 

Nr. Lastfall EI w ′ A EI w ′ B 

F 

a b 

A x 

B 

Fl 

1 

l 

2 

6 (β − β3 ) − Fl2 

6 (α − α3 ) 

q0 

A x 

B 

q0 l 

2 

l 

3 

q0 l3 

− 

24 

24 

q0 

A x 

B 

a b q0 l 

3 

l 

3 

24 (1 − β2 ) 2 

q0 l 3 

24 [4(1−β3 ) 

−6(1 − β 2 ) 

+(1 − β 2 ) 2 ] 

q0 

A x 

B 

7 q0 l 

4 

l 

3 

q0 l3 

− 

360 

45 

M0 

a 

b M0 l 

A x 

B 

5 

l 

6 (3β2 M0 l 

− 1) 

6 

M0 l 

− für b =0 

6 (3α2 − 1) 

M0 l 

für b =0 

3 

F 

a b 

A x 

B 

Fa 

6 

l 

0 

2 

2 

q0 

A x 

B 

q0 l 

7 

l 

0 

3 


Tabelle 4.3. (Fortsetzung) 

Nr. Lastfall EI w 

6 

′ A EI w ′ B 

q0 

A 

x 

B 

a b 

q0 l 

8 

l 

0 

3 

6 β(β2 − 3 β +3) 

q0 

A x 

B 

q0 l 

9 

l 

0 

3 

24 

M0 

a 

b 

A x 

B 

10 

l 

0 M0 a 

Erklärungen: ξ = x 

a 

b 

l ; α = l ; β = l ; EI = const; w′ = dw 

dx . 




die durch jeweils eine Kraft oder ein Moment (entsprechend der 

′ A EI w ′ B 

F 

a b 

A x 

B 

Fl 

1 

l 

2 

6 (β − β3 ) − Fl2 

6 (α − α3 ) 

q0 

A x 

B 

q0 l 

2 

l 

3 

q0 l3 

− 

24 

24 

q0 

A x 

B 

a b q0 l 

3 

l 

3 

24 (1 − β2 ) 2 

q0 l 3 

24 [4(1−β3 ) 

−6(1 − β 2 ) 

+(1 − β 2 ) 2 ] 

q0 

A x 

B 

7 q0 l 

4 

l 

3 

q0 l3 

− 

360 

45 

M0 

a 

b M0 l 

A x 

B 

5 

l 

6 (3β2 M0 l 

− 1) 

6 

M0 l 

− für b =0 

6 (3α2 − 1) 

M0 l 

für b =0 

3 

F 

a b 

A x 

B 

Fa 

6 

l 

0 

2 

2 

q0 

A x 

B 

q0 l 

7 

l 

0 

3 



6 

′ A EI w ′ B 

F 

a b 

A x 

B 

Fl 

1 

l 

2 

6 (β − β3 ) − Fl2 

6 (α − α3 ) 

q0 

A x 

B 

q0 l 

2 

l 

3 

q0 l3 

− 

24 

24 

q0 

A x 

B 

a b q0 l 

3 

l 

3 

24 (1 − β2 ) 2 

q0 l 3 

24 [4(1−β3 ) 

−6(1 − β 2 ) 

+(1 − β 2 ) 2 ] 

q0 

A x 

B 

7 q0 l 

4 

l 

3 

q0 l3 

− 

360 

45 

M0 

a 

b M0 l 

A x 

B 

5 

l 

6 (3β2 M0 l 

− 1) 

6 

M0 l 

− für b =0 

6 (3α2 − 1) 

M0 l 

für b =0 

3 

F 

a b 

A x 

B 

Fa 

6 

l 

0 

2 

2 

q0 

A x 

B 

q0 l 

7 

l 

0 

3 


6 

′ A EI w ′ B 

F 

a b 

A x 

B 

Fl 

1 

l 

2 

6 (β − β3 ) − Fl2 

6 (α − α3 ) 

q0 

A x 

B 

q0 l 

2 

l 

3 

q0 l3 

− 

24 

24 

q0 

A x 

B 

a b q0 l 

3 

l 

3 

24 (1 − β2 ) 2 

q0 l 3 

24 [4(1−β3 ) 

−6(1 − β 2 ) 

+(1 − β 2 ) 2 ] 

q0 

A x 

B 

7 q0 l 

4 

l 

3 

q0 l3 

− 

360 

45 

M0 

a 

b M0 l 

A x 

B 

5 

l 

6 (3β2 M0 l 

− 1) 

6 

M0 l 

− für b =0 

6 (3α2 − 1) 

M0 l 

für b =0 

3 

F 

a b 

A x 

B 

Fa 

6 

l 

0 

2 

2 

q0 

A x 

B 

q0 l 

7 

l 

0 

3 


6 

′ A EI w ′ B 

F 

a b 

A x 

B 

Fl 

1 

l 

2 

6 (β − β3 ) − Fl2 

6 (α − α3 ) 

q0 

A x 

B 

q0 l 

2 

l 

3 

q0 l3 

− 

24 

24 

q0 

A x 

B 

a b q0 l 

3 

l 

3 

24 (1 − β2 ) 2 

q0 l 3 

24 [4(1−β3 ) 

−6(1 − β 2 ) 

+(1 − β 2 ) 2 ] 

q0 

A x 

B 

7 q0 l 

4 

l 

3 

q0 l3 

− 

360 

45 

M0 

a 

b M0 l 

A x 

B 

5 

l 

6 (3β2 M0 l 

− 1) 

6 

M0 l 

− für b =0 

6 (3α2 − 1) 

M0 l 

für b =0 

3 

F 

a b 

A x 

B 

Fa 

6 

l 

0 

2 

2 

q0 

A x 

B 

q0 l 

7 

l 

0 

3 

F 

a b 

A x 

B 

Fl 

1 

l 

6 

2 

6 (β − β3 ) − Fl2 

6 (α − α3 ) 

q0 

A x 

B 

q0 l 

2 

l 

3 

q0 l3 

− 

24 

24 

q0 

A x 

B 

a b q0 l 

3 

l 

3 

24 (1 − β2 ) 2 

q0 l 3 

24 [4(1−β3 ) 

−6(1 − β 2 ) 

+(1 − β 2 ) 2 ] 

q0 

A x 

B 

7 q0 l 

4 

l 

3 

q0 l3 

− 

360 

45 

M0 

a 

b M0 l 

A x 

B 

5 

l 

6 (3β2 M0 l 

− 1) 

6 

M0 l 

− für b =0 

6 (3α2 − 1) 

M0 l 

für b =0 

3 

F 

a b 

A x 

B 

Fa 

6 

l 

0 

2 

2 

q0 

A x 

B 

q0 l 

7 

l 

0 

3 

F 

a b 

A x 

B 

Fl 

1 

l 

6 

2 

6 (β − β3 ) − Fl2 

6 (α − α3 ) 

q0 

A x 

B 

q0 l 

2 

l 

3 

q0 l3 

− 

24 

24 

q0 

A x 

B 

a b q0 l 

3 

l 

3 

24 (1 − β2 ) 2 

q0 l 3 

24 [4(1−β3 ) 

−6(1 − β 2 ) 

+(1 − β 2 ) 2 ] 

q0 

A x 

B 

7 q0 l 

4 

l 

3 

q0 l3 

− 

360 

45 

M0 

a 

b M0 l 

A x 

B 

5 

l 

6 (3β2 M0 l 

− 1) 

6 

M0 l 

− für b =0 

6 (3α2 − 1) 

M0 l 

für b =0 

3 

F 

a b 

A x 

B 

Fa 

6 

l 

0 

2 

2 

q0 

A x 

B 

q0 l 

7 

l 

0 

3 




6 

′ A EI w ′ B 

q0 

A 

x 

B 

a b 

q0 l 

8 

l 

0 

3 

6 β(β2 − 3 β +3) 

q0 

A x 

B 

q0 l 

9 

l 

0 

3 

24 

M0 

a 

b 

A x 

B 

10 

l 

0 M0 a 


a 

b 


dx . 



Nr. Lastfall EI w ′ A EI w ′ B 

q0 

A 

x 

B 

a b 

q0 l 

8 

l 

0 

3 

6 β(β2 − 3 β +3) 

q0 

A x 

B 

q0 l 

9 

l 

0 

3 

24 

M0 

a 

b 

A x 

B 

10 

l 

0 M0 a 


a 

b 


dx . 

Nr. 

EIw 

1 

Fl 

6 

2 

ql 

24 

3 

ql 

24 

4 

ql 

5 

Ml 

Ml 

6 

7 

8 

9 

10 

1 

BIEGELINIEN 

I 

I 

A 

EIwB 

2 

2 

3 

^b-b 

h 

Fl 

3 

- â-a 

h 

6 

3 

0 

3 

ql 0 

- 

24 

3 

3 

ql 0 

0 

2 2 - 41 ^ -b h-61 ^ - b h+ ^1 

-bh 

^ - b h 24 

3 

3 

ql 0 

7 0 

- 

45 

360 

0 2 

Ml 0 2 

^3b-1h 

^3a-1h 

6 

6 

0 

Ml 0 

- für b= 

0 

für b= 

0 

6 

6 

2 

0 

Fa 

2 

3 

ql 0 

0 

6 

3 

0 

ql 0 

2 

bb ^ - 3b+ 3h 

6 

3 

0 

ql 0 

24 

0 

Ma 0 

Ml 0 

2 

2 2 

2 

^p 

- p-a h 

2 

Ml 0 

2 

für a = l 

Erklärungen: 

4 

ql 0 

120 

^10p 

- 10p + 5p 

- p 

2 3 4 5 

h 

ql 0 

30 

4 

ql 0 

6 

6 

3 

p-a - 4bp + 6b^2-bhp 4 3 2 

ql 0 

24 

4 

^6p 

- 4p 

+ p 

2 3 4 

Fl 

6 3 

3 

6 pa- p + p-a 2 3 3 

Ml 0 

6 

2 

6p^3b 

- 1h+ p -3p-a 2 3 2 

4 

ql 0 

360 

^7p- 

10p + 3p 


@ 

h 

ql 0 

8 

4 


@ 

Fl 

3 

für 

a = l 

3 

@ 

3 Ml 0 

27 

für a = 

0 

x 

, 

a 

, 

b I 

p = a = b = , EI = konst w = 

dw 

p-a l l l 

dx 

2 

3 5 

h 

3 2 2 2 

6 @ 

ql 0 

24 

3 

4 4 2 3 2 2 

6p 

- p-a -21 ^ - b hp + ^1-b 

h p@ 

n 

p-a für p > a 

= 

0 für p > a 

^ h 

) 

ql 0 

24 

4 

^p- 

2p 

+ p 

3 4 

h 

5ql 

0 

384 

4 

Fl 

6 

3 

6bp^1 

-b - p h + p-a 2 2 3 

@ 

3 

Fl 

48 

fra ü = b = 

l 

2 


EIw() x 

EIw 

max 

136 4 Balkenbiegung

Einfluss desSchubes: 

QS() z 

x() 

z = 

Ib() z 

QS() s 

x() 

s = 

It() s 

Durchbiegung infolgeSchub: 

Q 

wlS 

= 

GAs 

w = wB+ wS 

Temperaturbelastung: 

w 

M M T 

=- 

+ D 

m 

EI 

a 

y 

y 

τ 

b(z) 

σ 

z 

τ 

� z 

� 

SchiefeBiegung/ Biegespannung: 

M y Mz v = z - y 

I y Iz 

M y 

wm 

M 

=- vm 

= 

EI y EI 

Ewm = 

1 

6- 

MI y z+ MI z yz@ 

D 

Evm = 

1 

6MI 

z y-MI y yz@ 

D 

x 

c 

y 


ζ 

z 

σ 

y 

z 

b(z) 

τz 

Anwendung bei Iyz ] 0,d.h. 

y, z - Achseist 

z 

z 

x 

dx 

A ∗ 

σ+ ∂σ 

∂x dx 

v = 

1 

6^MI 

MI z M I M I y 

N 

y z- z yzh -^ z y- y yzh 

@ + 

D 

A 

yz , sind Koordinaten des Punktes ( der Belastung), in Abhängigkeit vom Schwerpunkt des Körpers. 

D = II-I y z 

2 

yz 

keineSymmetrieachse desQuerschnittes. 

Biegung und Zug/Druck: 

Spannung: 

N M y Mz v = + z - y 

A I y Iz 

v = 

N 

+ 

M 

z 

A I 

Dehnung: 

N M y Mz f = + z - y 

EA EI y EIz 

f = 

N 

+ 

EA 

M 

z 

EI 

z 

z 

A ∗ 

dA 

y 

dζ 

dA =b dζ A ∗ 

a 

z 

z 

Q 

ψ 

b 

y 

z 

dx 

Abb. 4.45 

Qz 

My 

ζ 

w ′ 

My 

h/2 

h/2 


( M = 0, 

M = M und I = I) 

z y y 

( M = 0, 

M = M und I = I) 

z y y 

� 

Q x 

Mz 

z 

z 

x 

x 

y 

t(s) 

a 

Abb. 4.38 

y 

z 

τmax = 3 2 Q 

A 

τ(s) 

τ(z) 

s 

z 

x 

�� 

My 

τ(s) 

t(s) 

x 

z 

y 

x 

�� 

qz 

Qz +dQz 

My +dMy 

Mz 

Qy 

� 

σ 

dx 

σ+ ∂σ 

∂x dx 

A∗ dA 

s 

�� 

y z 

x x 

z dx y 

dx 

y 

z 

−w ′ 

w 

�� 

ψ y 

Anmerkung: 

z 

x 

z 

P 

y 

P 

v 

P ′ 

zψ y 

P ′ 

−yψ z 

qy 

Qy +dQy 

�� 

Spannungsnulllinie, Vorzeichenwechselfür v: 

! 

v = 0 


y 

ψ z 

Mz +dMz 

Mz 

Abb. 4.46 

v ′ 

x

Grundformeln zur Torsion: 

d MT 

jl 

= 

j 

= 

dx GIT 

x 

kreiszylindrischeWelle: 

GI M 

Ml T 

Tjl= T jl= 

GIT 

MT x = r 

IT 

4 

IT= r 

R 

2 

W 

r 

T = R 

2 

x 

max 

MT = R = 

M 

IT 

W 

^GI jlhl 

=-m 

T T 

Verschiebung: 

f = f + f 

B T 

fT = jlr 

3 

f 

Fl 

B = 

3EI 

T = xt 

= konstant 

y 

3 

dünnwandige geschlossene Profile: 

() s 

T MT 

x = = 

ts () 2Amt() 

s 

x 

MT 

= WT = 2Amt 

WT 

max min 

MT 

( 2Am) 

jl 

= IT 

= 

GIT 

# ds 

t 

dünnwandige offene Profile: 

T 

T 

(W :Torsionswiederstandsmoment) 

T 

(Schubspannung, erste Bredtsche Formel) 

(s: Profilbogenlänge) 

KAPITEL 5 - TORSION 


2 

(zweite Bredtsche Formel) 

% schmales Rechteck 

MT 

x max = 

WT 

W 

1 

T = ht 

3 

I 

1 

T = ht 

3 

I = 

1 

h t 

3 

T i 

3 

i 

W 

max 

T 

MT 

= 

WT 

= 

/ 

1 

3 

/ 

ht 

tmax 

(M :Trosionsmoment) , ( x:Trosionsspannung) 

T 

3 

i i 

(GI :Torsionssteifigkeit), (I:Torsionsträgheitsmoment) 

( j ' = \ :Verwindung) ( j: 

Drehwinkel) 

(W :Trsionswiederstandsmoment) 

T 

T T 

T 

2 3 

c 

a 

a 

α 

s 

y 

x 

b 

x 

s+ds 

0 

R 

mT (x) 

T 

a 

τ 

x 

T 

ds 

dx 

r 

R 

ds 

T + ∂T 

∂s ds 

x x+dx 

r ⊥ 

a 

t 

z 

h 

dϑ 

r 

dA 

Randbemerkung: 

t min:minimale 

Dicke imKörper 

t max:maximale 

Dicke imKörper 

v:Biegespannung 

x:Torsionsspannung/ 

Torsionsschubspannung 

dx 

T + ∂T 

∂x dx 

y 

dv 

τ 0 

b 

Mx 

d 

τ 

P ′ 

b 

τ 

MT 

P 

t(s) 

α 

c 

x 

rdϑ 

s 

τ 

Profilmittellinie 

z 

dy 

τ(y) 

τ 

0 

b 

mT 

γ 

dx 

e 

dx 

x+dx 

MT x 

r ⊥ 

dAm 

Profilmittellinie 

Am 

T 

Abb. 5.12 

r 

τ max 

dϑ 

R 

MT +dMT 


ds

5.4 KAPITEL Dünnwandige 5 - TORSION offene Profile 199 


Querschnitt 

Vollkreisquerschnitt 

Querschnitt WT IT Bemerkungen 

Ellipse 

dünnwandige 

geschlossene 

Quadrat 

Hohlquer- 

(2 Am) 

schnitte 

2 Am tmin 

tmin 

dickwandiges Kreisrohr 

dünnwandiges geschlossenes 

Hohlquerschnitte 

dünnwandiges Kreisrohr 

(t=konst) 

schmales Rechteck 

aus schmalen Rechtecken zu- 

�� 

2 

Am ist die von der 

Profilmittellinie eingeschlossene 

Fläche. 

H 

ds/t ist das Linienintegral 

längs der 

Profilmittellinie. 

I 

ds Schubfluss 

t 

T = MT 

=const. 

2 Am 

Größte Schubspannung 

an der Stelle 

der kleinsten Wanddicke 

tmin 

dünnwandiges 

Kreisrohr 

t =const 2 π R 

t 

Rm 

2 m t 2 π R 3 m t 

schmales 

Rechteck 

1 

t 

3 

h 

ht2 

1 

3 ht3 

aus schmalen 

Rechtecken 

zusammengesetzte 

Profile ≈ 

h1 

t1 

h2 

t2 

1 

P 

hi t 

3 

3 i 

≈ 

tmax 

1 X 

hi t 

3 

3 Querschnitt WT IT Bemerkungen 


π R 

r R 


im Quer- 

i schnittsteil mit 

der größten Wanddicke 

tmax 

3 

π R 

2 

4 

τ(r) = 

2 

MT 

r 

IT 


am Rand 

r = R 

Ellipse 

π ab 

b 

a 

2 

π a 

2 

3 b 3 

a2 + b2 Größte Schubspannung 

in den Endpunkten 

der kleinen 

Achse 

Quadrat 

a 

0, 208 a 

a 

3 

0, 141 a 4 


am Rand, in 

der Mitte der Seiten 

dickwandiges 

Kreisrohr 

Ra 

Ri 

α = Ri 

π R 

Ra 

3 a 

2 (1−α4 π R 

) 

4 a 

2 (1−α4 5.4 Dünnwandige offene Profile 199 



Größte Schubspan- 

) nung am äußeren 

dünnwandige 

Rand Ra 

geschlossene 

Hohlquer- 

(2 Am) 

schnitte 

2 Am tmin 

tmin 

2 



Fläche. 

H 


längs der 


I 

ds Schubfluss 

t 

T = MT 

=const. 

2 Am 


an der Stelle 


tmin 

dünnwandiges 

Kreisrohr 


t 

Rm 

2 m t 2 π R 3 m t 

schmales 

Rechteck 

1 

t 

3 

h 

ht2 

1 

3 ht3 

aus schmalen 

Rechtecken 


Profile 

h1 

≈ 1 

P 

hi t 

3 

3 i 

tmax 

≈ 1 X 

hi t 

3 

3 5.4 Dünnwandige offene Profile 199 



dünnwandige 

geschlossene 

Hohlquer- 

(2 Am) 

schnitte 

2 Am tmin 

tmin 


i 

nung im Querschnittsteil 

mit 

der größten Wand- 

2 



Fläche. 

H 


längs der 


I 

ds Schubfluss 

t 

T = MT 

=const. 

2 Am 


an der Stelle 


tmin 

dünnwandiges 

Kreisrohr 


t 

Rm 

2 m t 2 π R 3 m t 

schmales 

Rechteck 

1 

t 

3 

h 

ht2 

1 

3 ht3 

aus schmalen 

Rechtecken 


Profile ≈ 

h1 

t1 

h2 

t2 

1 

P 

hi t 

3 

3 i 

≈ 

tmax 

1 X 

hi t 

3 

3 x 

−→ 

MT 

τmax ϑ 

= , 

WT dx 


im Quer- 



tmax 

= GIT 



π R 

r R 

3 

π R 

2 

4 

τ(r) = 

2 

MT 

r 

IT 


am Rand 

r = R 

Ellipse 

π ab 

b 

a 

2 

π a 

2 

3 b 3 



der kleinen 

Achse 

Quadrat 

a 

0, 208 a 

a 

3 

0, 141 a 4 


am Rand, in 


dickwandiges 

Kreisrohr 

Ra 

Ri 

α = Ri 

π R 

Ra 

3 a 

2 (1−α4 π R 

) 

4 a 

2 (1−α4 Querschnitt WT IT Bemerkungen 


π R 

r R 



Rand Ra 

3 

π R 

2 

4 

τ(r) = 

2 

MT 

r 

IT 


am Rand 

r = R 

Ellipse 

π ab 

b 

a 

2 

π a 

2 

3 b 3 



der kleinen 

Achse 

Quadrat 

a 

0, 208 a 

a 

3 

0, 141 a 4 


am Rand, in 


dickwandiges 

Kreisrohr 

Ra 

Ri 

α = Ri 

π R 

Ra 

3 a 

2 (1−α4 π R 

) 

4 a 

2 (1−α4 5.4 Dünnwandige offene Profile 199 



dünnwandige 

geschlossene 

Hohlquer- 

(2 Am) 

schnitte 

2 Am tmin 

tmin 



Rand Ra 

2 



Fläche. 

H 


längs der 


I 

ds Schubfluss 

t 

T = MT 

=const. 

2 Am 


an der Stelle 


tmin 

dünnwandiges 

Kreisrohr 


t 

Rm 

2 m t 2 π R 3 m t 

schmales 

Rechteck 

1 

t 

3 

h 

ht2 

1 

3 ht3 

aus schmalen 

Rechtecken 


Profile ≈ 

h1 

t1 

h2 

t2 

1 

P 

hi t 

3 

3 i 

≈ 

tmax 

1 X 

hi t 

3 

3 x 

−→ 

MT 

τmax ϑ 

= 


im Quer- 



tmax 

MT dϑ MT 

, = 

WT dx GIT 



π R 

r R 

3 

π R 

2 

4 

τ(r) = 

2 

MT 

r 

IT 


am Rand 

r = R 

Ellipse 

π ab 

b 

a 

2 

π a 

2 

3 b 3 



der kleinen 

Achse 

Quadrat 

a 

0, 208 a 

a 

3 

0, 141 a 4 


am Rand, in 


dickwandiges 

Kreisrohr 

Ra 

Ri 

α = Ri 

π R 

Ra 

3 a 

2 (1−α4 π R 

) 

4 a 

2 (1−α4 Grundformeln der Torsion 

WT 

IT 

Bemerkung 

3 

4 

rR 

rR 

(r) 

MT x = r 

IT 

2 

2 GrößteSchubspannung am Rand r = R 

2 

3 3 GrößteSchubspannung in den 

rab 

rab 

2 2 

2 a + b Endpunkten der kleinen Achse. 

3 

4 

0208 , a 0141 , a GrößteSchubspannungenamRand, 

in der Mitte derSeiten. 

3 

4 

GrößteSchubspannung am 

rRa 

4 

^1 - a h 

rRa 

4 

^1 

- a h 

2 

2 

äußeren 

Rand R. a 


) nung am Amist äußeren die von der Profilmittellinie 

eingeschlossene Fläche 

Rand # ds 

ist das 

Ra 

t 

2 

2Amtmin 

^2A 

mh 

Linienintetral längs der Profilmittellinie. 

# ds Schubfluss T 

MT 

= = konst. 

t 

2Am 

GrößteSchubspannun an der 

Stelle der kleinsten Wanddicket min. 

2 

2rRmt 

3 

2rRmt 

1 2 

ht 

1 3 

3 

ht 

3 

3 

GrößteSchubspannung im Querschnittsteil 

1 / ht i i 

. 

1 

3 

3 t 

. / ht i i mit der größten Wanddicket max. 

max 3 

t1 



h2 

t2 

dicke tmax

Grundgleichungen der Elastostatik 

Zug/ Druck Biegung 

Gleichgewicht Nl=-n Ml- Q = 0 

Ql=-q Kinematik 

Elastizitätsgesetz 

Z 

] 

] 

] 

l 

] * 

P = # P dx[ 

0 ] 

] 

] 

] 

\ 

W 

1 

Ff 

2 

f = ul 

N = EAf 

EAum=n Zug 

1 

Nf 

2 

1 

EAf 

2 

2 

1 N 

2 EA 

c = w + ] 

AS= \ A 

KAPITEL 6 - DER ARBEITSSBEGRIFF DER ELASTOSTATIK 

Biegung 

1 

M] 

l 

2 

1 

EI] 

l 

2 

2 

1 M 

2 EI 

\ B =-] 

l 

] l =-wl 

M =-EI\ 

B 

IV 

EAw = q 

Querkraft 

1 

QLc 

2 

1 

GA L S c 

2 

2 

1 Q 

2 GAS 

EI 

Torsion 

M l =-m 

T T 

\ T j 

= 

M = GI\ 

T T T 

GI jm 

=- m 

l 

l 

T T 

* 

FormänderungsenergiePpro Längeneinheit 

K 

P 

2 

1 Fl 

2 EA 

Fachwerk/ Stabsysteme: 

W = P 

1 

Ff 

2 

= 

n 2 

1 Sl i i / 2 EAi 

= 

2 

l 

2 

mittlere Winkeländerung 

Arbeitssatz und Formänderungsenergie: 

2 

Torsion 

1 

MT 

jl 

2 

1 

GIT 

jl 

2 

2 

1 MT 

2 GIT 

2 2 2 2 

1 M 

dx 

1 MT Q 

P = # + # dx , 

1 # dx + 

1 # N 

dx 

2 EI 2 GIT 

2 GAS 

144 244 3 144244 3 

2 EA 

1442443144 244 3 

Biegung Torsion Querkraft 

Zug 

144444424444443 2 2 

P = 

1 M 

dx + 

1 N 

dx 

1 

2 

44 2 

EI 

44 3 1 

2 

44 2 

EA 

44 3 

1 

2 

1 

2 

Arbeit 

1 

M0 

{ 

2 

Fv 

Fu 

= 

= 

= 

1 

2 

1 

2 

2 

1 Fl 

2 EA 

2 

Sl i i 

EAi 

2 

Sl i i 

EAi 

^ f: 

Verschiebungh 

^{ 

: Drehwinkelh 

F 

f 

2 


( EA i Ei Ai) 

(ohne Torsionseinwirkung) 

Anmerkung: Bei Stabkrafteinwirkung wird über die Länge des Stabes integriert. 

= 

= 

i = 1 

Potential 

# # 

Biegung Zug 

n 

/ 

i = 1 

n 

/ 

i = 1 

Torsion oderQuerkraft 

( N = S N = konstant) 

i i i 

v:vertikale 

Verschiebung infolge der vertikalen Kraft F 

u: 

horinzontale Verscheibung infolge der horizontalen Kraft F 

_ 

b 

` 

b 

a 

ϕ 

Stabsysteme 

M0 

Anmerkung: 

f = v + u 

2 2 


DasPrinzip der virtuellen Kräfte: 

f 

MMr i k 

dx 

MMr ik = # / # dx 

EI EI 

(M: Schnittmoment infolge realer Belastung) 

r 

(M: Schnittmomente infolge virtueller Belastung "1") 

(quadratischer Momentenverlauf) 

f 

MMr dx 

MMr dx 

NNr Z 

T T 

= # + # + # dx ] 

EI GIT 

1 424434 1442443 1 4 

EA 

2434 ] 

Biegung Torsion Zug 

] 

] 

f 

SSl r i i i 

] 2 

= / 

(Sonderfall Fachwerk) 

EA 

] 

i 

] 

Anmerkung: 

] 

] 

3 

Annahme der/des virtuellen Kraft/Momentes ] 

] 

am Punkt, inRichtung der Verschiebung. ] 

] 

Bestimmung der statisch unbestimmten Kraftgröße ] 4 

] 

X beim 1-fach statisch unbestimmten Balken: ] 

10 

X =- 

a 

] 

a11 

real[ 

5 

] 

] 

MM r 

dx 

Mr 2 

1 0 

1 

a dx ] 

10 = # a11 

= # 

EI 

EI 

] 6 

] 

] 

M0 

Schnittmoment "0" - System 

] 

M Schnittmoment "" 1 System 

] 7 

1 

- 

] 

] 

] 

Sonderfall (Stabsysteme) : 

] 8 

SSl r 2 

i i i Sl r i i 

] 

a10 = / a11 

= / 

EA 

EA 

] 

i 

i 

] 

] 9 

Bei einem System unter Biegung, Torision 

] 

\ 

und Zug/Druck müssen die entsprechenden 

zusätzlichen Terme berücksichtigt werden. 

Anmerkung: 

Ff = Ff 


Einflusszahlen und Vertrauschungssätze: 

k ki i ik 

(Satz von Betti) 

Verschiebung an der Stelle i infolge einer Last "1" an der Stelle k 

KAPITEL 6 - DER ARBEITSSBEGRIFF DER ELASTOSTATIK 

aik = aki 

(Vertauschungssatz von Maxwell) 

fii fki 

fik 

a 

Hilfstafel zur Ermittlung der Integral MMdx i k 

Tabelle 6.3. Hilfstafel zur Ermittlung der Integrale R 0 

virtuell 

Mi Mk dx 

i 

Fi 

k 

Fk 

Mi 

1 sik 

b 

6444444444447444444444448 Fi 

1 

2 sik 

1 

2 s(i1+ 

i2)k 

2 

3 sik 

2 

3 sik 

1 

3 sik 

1 

4 sik 

3 

8 sik 

1 

4 sik 

fkk 

Fk 

Fk 

1 

2 sik 

1 

3 sik 

1 

6 s(i1+ 

2 i2)k 

1 

3 sik 

5 

12 sik 

1 

4 sik 

1 

5 sik 

11 

40 sik 

2 

15 sik 

c 

fii 

Fi 

Fi 

Fk 

fkk 

Abb. 6.17 

Da die Formänderungsenergie im Endzustand unabhängig von der 

Mk 

1 

2 sik 

1 

6 sik 

1 

s(2 i1+ 

6 

i2)k 

1 

3 sik 

1 

4 sik 

1 

12 sik 

1 

20 sik 

1 

10 sik 

7 

60 sik 

1 

si(k1 + k2) 

2 

1 

si(k1 +2k2) 

6 

1 

s(2 i1 k1+ 

6 

2 i2 k2 + i1 k2+ 

i2 k1) 

1 

si(k1 + k2) 

3 

1 

si(3 k1 +5k2) 

12 

1 

si(k1 +3k2) 

12 

1 

si(k1 +4k2) 

20 

1 

si(4 k1 +11k2) 

40 

1 

si(7 k1 +8k2) 

60 

Quadratische Parabeln: ◦ kennzeichnet den Scheitelpunkt 

Kubische Parabeln: ◦ kennzeichnet die Nullstelle der Dreiecksbelastung 

Trapeze: i1 und i2 (bzw. k1 und k2) können unterschiedliche Vorzeichen haben 

# 

s 

( linearer Momentenverlauf) 

Das Prinzip der virtuellen Verrückung wird angewendet, wenn an der Stelle der gesuchten Verrückungen keine Kraft/ Moment wirkt. 


nun Dieam Vorgehensweise verformten System aufstellen. lässt sich verallgemeinern. Will man für 

KAPITEL ein 7 - beliebiges Zur Vorbereitung 

KNICKUNG Tragwerk auf die Behandlung die kritische des Knickstabes Last ermitteln, untersu- so muss man 

chen wir zunächst ein einfaches Beispiel. Bereits in Band 1 hatten 

es aus seiner ursprünglich stabilen Gleichgewichtslage infinitesi- 

wir in Beispiel 8.8 bei einem starren Stab mit seitlicher Stützung 

mal durch auslenken. Federn gefunden, Wenndass es es neben unter gewissen der Ausgangslage Bedingungen beieine 

unmittelbar 

benachbarte gleicher Last mehrere Gleichgewichtslage Gleichgewichtslagen gibt, gibt. so Wir ist betrachten die hierzu gehörige Be- 

jetzt einen starren Stab unter einer Last F ,deramLagerdurch 

Bei der kritischen Last Fkrit existiert neben der ursprünglich geraden lastungAuslage geradeeine die kritische infinitesimal Last. benachbarte Lage. 

Verzweigung einer Gelichgewichtslage: 

% 

% 

Bei einem System aus starren Stäben und Federn kann die kritische Last auf zwei Arten bestimmt werden: 

7.2 

(1) Ermittlung der Stabilität der Ausgangslage durch 

Untersuchung des Gesamtpotentials P des Systems. 

(2) Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen für 

infinitesimal benachbarte Lage. 

Der Euler - Stab: 

EI~ m + F~ 

= 0 

ÊI~ mhm+ F~ 

m = 0 

IV 2 2 

~ + m ~ m = 0 m = 

F 

EI 

266 7 Knickung 

~ = Acosmx+ Bsin mx+ Cmx+ D 

~ l =- Amsinmx+ Bmcos mx+ Cm 

w1 = B sin λ1 x = B sin π 

2 2 

~ m =-Am cosmx-Bm sin mx 

x 

l 

F 

krit 

= r 

(Knickgleichung des elastischen Stabes) 

(Sonderfall EI = konst) 

Nach (7.8) ist dieser kritischen Last wegen A = 0 eine Knickform 

zugeordnet. Der Stab knickt in Form einer Sinus-Halbwelle aus, 

wobei die Amplitude B unbestimmt bleibt. Man nennt solch eine 

Lösung eine Eigenform. 

Wenn man wissen will, wie weit sich der Stab nach Überschreiten 

der Knicklast ausbiegt, muss man die Hypothese kleiner Aus- 

2 EI lenkungen fallen lassen und eine Theorie höherer Ordnung aufstel- 

2 

len (siehe l Band 4, Abschn. 5.4.1). Im Rahmen dieses Grundkurses 

können wir hierauf nicht eingehen. 

a 

z 

dx 

w 

x 

N 

b 

M 

Q 

dψ 

M +dM 

C N +dN 

Q+dQ 

N +dN 

∼Ndψ 

dψ 

∼N +dN 

Q+dQ 

dψ 

∼ Qdψ 

∼Q+dQ 

c Abb. 7.3 

Mit Hilfe der Differentialgleichung (7.7a) und ihrer Lösung (7.8) 

lässt sich nur das Knicken eines gelenkig gelagerten Balkens beschreiben. 

Um die Knicklasten von Stäben für beliebige Lagerungen 

bestimmen zu können, müssen wir eine allgemeine Knickgleichung 

ableiten. Dabei ist zu beachten, dass dann auch Querkräfte 

auftreten können. Wir schneiden ein Balkenelement dx in der ausgeknickten 

Lage w �= 0nachAbb.7.3aausdemBalkenundtragen 

alle Schnittkräfte ein (Abb. 7.3b). Beim Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen 

am verformten Element wird vorausgesetzt, 

dass die Verformungen klein sind; insbesondere ist der Neigungswinkel 

w ′ = −ψ klein, und die Länge des verformten Elementes 

stimmt näherungsweise mit der des unverformten überein. Unter 

Beachtung der Komponenten Ndψ bzw. Q dψ, dieinfolgederunterschiedlichen 

Richtungen von N bzw. Q auf beiden Schnittufern 

Ab bestimmten Drucklasten treten weitere Gleichgewichtslagen 

auf, die mit seitlichen Ausbiegungen verbunden sind. Diese Erscheinung, 

die besonders bei schlanken Stäben zu beobachten ist, 


heißt Knicken. Wir wollen im folgenden die zugehörigen Knicklasten 

berechnen. Dabei muss man die Gleichgewichtsbedingungen 

eine elastische Drehfeder (Federsteifigkeit cT )gehaltenwird(Abb. 

7.1a). Dabei sei vorausgesetzt, dass die vertikale Last bei einer 

F 

7.2 Der Euler-Stab 

instabil ϕ 

trachtet. l Wir wollen nun einen stabil elastischen Stab untersuchen; er 

Fkrit 

ϕ 

stabil 

MT =cT ϕ 

cT ϕ 

a 

b 

c 

d 

7.2a, Euler-Fall der durch eine Druckkraft F belastet wird. Wir setzen vor- 

Abb. 7.1 in folgender Form schreiben: 


F 

F 

Im vorhergehenden Abschnitt haben wir einen starren Stab be- 

kann sich infolge seiner Elastizität verformen. Als erstes Beispiel 


wählen wir den beiderseits gelenkig gelagerten Stab nach Abb. 

seitlichen Auslenkung vertikal bleibt (die Kraft ist richtungstreu). 

Gleichgewichtslage 

Wir wollen die 2 EI Gleichgewichtslagen ermitteln und deren Stabi- x 

F 

Fkrit = π w ≡0 

lität untersuchen. Hierzu l betrachten F wir zweckmäßigerweise das F 

w 

Gesamtpotential EIdes 

Systems. Legen wir das Nullniveau für die 

F 

l 

benachbarte Gleichgewichtslage 

M 

w �≡0 

a b 

c Abb. 7.2 

2 k 

Die Knicklängen sind in Abb. 7.5 für die vier Fälle angegeben. 

aus, dass der unbelastete Stab exakt gerade ist und dass die äußere 

Last im Schwerpunkt des Querschnitts angreift. Unter der kritischen 

Last existiert neben der ursprünglichen Lage eine benachbarte 

Gleichgewichtslage I mit II seitlicher Auslenkung III w �= 0(Abb. IV 

7.2b). Um Fkrit zu ermitteln, müssen wir die Gleichgewichtsbedingungen 

für die ausgelenkte Lage, d.h. am verformten Körper aufstellen. 

Dabei kann die Längenänderung des Stabes vernachlässigt 

werden. Schneidet man 2hierzu EI 

π an einer Stelle x (Abb. 7.2c), so 

folgt aus dem Momentengleichgewicht l am verformten Stab (unter 

horizontaler Last tritt im Lager keine vertikale Lagerreaktion 

auf): 

2 

(1, 43) 2 2 EI 

π 

l2 2 EI 

4π 

l2 Fkrit = π 2 EI 

4 l2 F F 

F 

F 

l 

lk =2l l l/1, 43 

l/2 

Abb. 7.5 

M = Fw. (7.6) 

Einsetzen in das Elastizitätsgesetz EI w ′′ Bisher haben wir stets vorausgesetzt, dass sich der Werkstoff bis 

zum Knicken linear elastisch verhält. Bei dickeren Stäben kann die 

= −M für den schub- 

kritische Last und damit die Spannung so groß werden, dass beim 

starren Biegebalken liefert 

Knicken die Elastizitätsgrenze überschritten wird und man dann 

eine Plastifizierung des Werkstoffes bei der Rechnung berücksichtigen 

muss. Im Rahmen dieser Einführung können wir hierauf 

nicht eingehen. Auch können wir weitere Stabilitätsprobleme wie 

Knicken unter Torsion (Drillknicken) oder Knicken von Balken 

mit schmalem, hohem Querschnitt unter Querlast (Kippen) hier 

nicht behandeln. Weiterhin verzichten wir auf eine Darstellung 

der Energiemethode. Mit ihr kann man – analog zum Vorgehen in 

Abschnitt 7.1 – aus Änderungen des Gesamtpotentials (Potential 

der äußeren Last und innere elastische Energie) kritische Lasten 

berechnen. 

Zum Abschluss sei ausdrücklich bemerkt, dass man bei Stabilitätsnachweisen 

die durch Vorschriften festgelegten Sicherheitsbeiwerte 

beachten muss. So kann ein Stab z.B. infolge von Imperfektionen 

(z.B. Abweichungen von der exakt gerade angenommenen 

Stabachse) oder bei exzentrischem Lastangriff schon bei 

F 

. (7.19) 


Zug und Druck inStäben: 

f = 

N 

= 

N 

EA EA 1 1+ EA 2 2 

vr 

= 

N 

Ar 

v n n 

E 

i = ivri= E 

e = 

1 

Ar 

/ 

s 

/ 

i = 1 

(ideelle Spannung) 

nAz 

i i i 

s 

Ar= n A n 

E 

i i i = 

E 

i = 1 

ReineBiegung: 

~ m =- 

M 

EI 

vr 

= 

M 

z 

Ir 

r 

vi = nivr 

s 

r = / 

i = 1 

I n I 

i i 

(ideelle Spannung) 

i 

1 

i 

1 

y 

¯y 

(ideelle Querchnittsfläche) 

E1, A1 

E2, A2 

S 

¯S 

ten und die Deformation infolge einer Zug/Druck-Beanspruchung 

bestimmen. 

Wird der Stab durch eine Normalkraft N so belastet, dass er 

gerade bleibt (keine Krümmung), dann erfahren alle Punkte eines 

Querschnitts die gleiche Verschiebung u(x) inLängsrichtung. 

Deshalb ist auch die Dehnung ε(x) =u ′ 280 8 Verbundquerschnitte 

schreiben, und für die Spannungen (8.6) in den Teilquerschnitten 

erhält man 

N 

N 

σ1 = n1 , σ2 = n2 . (8.11) 

Ā Ā 

(x) über den gesamten 

Es Querschnitt bietet sichkonstant außerdem(Abb. an, in8.1b). Analogie zu (1.1) die ideelle Spannung 

KAPITEL 8 - VERBUNDQUERSCHNITTE 

E1,A1 

¯σ = h/2 

σ1 

S 

y 

σ2 

h/2 

E2,A2 

N 

Ā 

(8.12) 

einzuführen. Mit ihr ergeben sich die tatsächlichen Spannungen in 

den Teilquerschnitten zu 

282 8 Verbundquerschnitte 

σi = niz¯σ . ε 

σ (8.13) 

a b 

b c 

Abb. 8.1 

Mit dem Elastizitätsgesetz (1.8) gilt damit für die Spannungen 

N1 

in den beiden S1 Teilquerschnitten 

h/2 

S1 

z1 

σ1 = E1Sε , σ2 = E2 ε . S (8.1) 

e 

¯S 

e 

z2 

Sie sind wegen E1 �= E2 ¯y in den beiden Bereichen ¯S verschieden, N 

x 

S2 

h/2 

S2 

aber bereichsweise N2 konstant (Abb. 8.1c). Die resultierende Normalkraft 

ergibt sich durch Integration der Spannungen über den 

Verbundquerschnitt: 

a z 

¯z 

z, ¯z 

� � b � 

Abb. 8.2 

FürN die = Normalkräfte σ dA = Ni σ = dAσi 

+ Ai inσ den dA . Teilquerschnitten folgt (8.2) 

A 

A1 

A2 

mit (8.13) und (8.12) � �� 

N1 

N2 

A1 

A2 

Dabei N1 = sind Nn1N1 

und , N2 die N2 in = den Nn2Flächen 

. A1 und A2 wirkenden (8.14) 

Ā Ā 

Teilkräfte. Mit N1 = σ1 A1 und N2 = σ2 A2 sowie (8.1) folgt aus 

Abschließend bestimmen wir die Lage der Wirkungslinie der re- 

(8.2) 

sultierenden Normalkraft N = N1 + N2. Sie ist durch den Kräftemittelpunkt 

N = N1 + der N2 parallelen =(E1 A1 Kräfte + E2 A2) N1ε und . N2 (Abb. 8.2a, siehe (8.3) 

auch Kräftemittelpunkt, Band 1, Abschnitt 4.1) gegeben. Diesen 

bezeichnen wir als ideellen Schwerpunkt ¯ In Verallgemeinerung des aus zwei Schichten bestehenden Verbundquerschnitts 

betrachten wir nun einfach symmetrische Querschnitte, 

die aus s Schichten zusammengesetzt sind (Abb. 8.3). 

Hierfür erhalten wir die ideelle Querschnittsfläche zu 

s� 

Ā = ni Ai mit ni = 

i=1 

S (Abb. 8.2b). Zu seiner 

Berechnung wählen wir als Bezugspunkt den Flächenschwerpunkt 

Ei 

, (8.17) 

E1 

vgl. (8.9). Für die Exzentrizität e des ideellen Schwerpunkts ¯ S 

bezüglich des Flächenschwerpunkts S ergibt sich mit den Koordinaten 

zi der Flächenschwerpunkte der Teilquerschnitte Ai 

E1, A1 S1 

E2, A2 S2 

S 

y 

e 

¯S 

¯y 

Es, As Ss 

z 

¯z 

Abb. 8.3 

e = 1 

8.3 Reine Biegung 285 

s� 

ψ(x) zi ni Ai , (8.18) 

Ā 

i=1 

vgl. (8.16). Im Sonderfall doppeltsymmetrischer Verbundquerschnitte 

mit einer symmetrischen Verteilung σ1 der Dehnsteifigkeiten 

EiAi bezüglich der y-Achse gibt es zu jeder Schicht k mit dem 

Schwerpunktsabstand zk eine symmetrische Schicht gleicher Stei- 

M 

figkeit im Abstand −zk. DieExzentrizität wird dann Null (e =0), 

d.h. ¯S der ideelle Schwerpunkt und der Flächenschwerpunkt fallen 

zusammen (siehe Beispiel 8.1). 

x 

u(x, ¯z) 

Die Formeln zur Berechnung der ideellen Spannung (8.12) und 

der tatsächlichen Spannungen (8.13) sowie der Dehnung σ2 (8.5) und 

der Dehnsteifigkeit (8.4) gelten sinngemäß. Dabei kann die Dehn- 

a 

Abb. 8.5 

z, ¯z 

¯z 

b c 

(ideellen) Balkenachse standen, auch nach der Deformation senkrecht 

zur Balkenachse stehen, folgt 

ψ = − w ′ , ψ ′ = − w ′′ , 

vgl. (4.29) und (4.30). Daraus ergibt sich die Dehnung ε = ∂u 

∂x zu 

ε = − w ′′ ¯z. (8.21) 

Sie ist über die Querschnittshöhe linear veränderlich. Der einzige 

Unterschied zum homogenen Balken besteht also darin, dass die 

Balkenachse durch die Verbindungslinie der ideellen Schwerpunkte 

¯S definiert ist und nicht durch die der Flächenschwerpunkte S 

(Abb 8.5a,b). 

Das aus den über den Querschnitt verteilten Spannungen resultierende 

Biegemoment (bezüglich der ¯y-Achse) 

� 

M = ¯z σ dA (8.22) 

Biegung und Zug/Druck: 

vr 

= 

N 

+ 

M 

z 

Ar 

Ir 

r 

vi = nivr 


A 

liefert für das Beispiel des aus zwei Materialien zusammengesetzten 

Verbundquerschnitts nach Abb 8.5a 

� 

� 

M = ¯z σ1 dA + ¯z σ2 dA . (8.23) 

A1 

A2 


Hydrostatik: 

pz () = p0+ tgz 

FA= tgV= tghA 

h 

I x > 0: 

= -e' 

V < 0: 

h: 

Höhe des Körpers in der Flüssigkeit 

FFl = pSA= tgzA = tgyDAsin( a) 

x 

M 

D 

V 

t in Flüssigkeit ist konstant 

(Druck in einer ruhenden Flüssigkeit) 

(Auftrieb) 

stabile Gleichgewichtslage 

instabile Gleichgewichtslage 

I xy 

y 

I x I xS 

=- D = = yS 

+ 

S x S x yA S 

FV = tgV 

FH = p * 

S A 

z 

ρ 

# 

F = p() z $ hdz 

0 

1442443 z 

# 

h 

h 

dV 

V 

α 

dF 

pz () $ A 

F = p() z $ ( h-z) dz 

0 

14444 24444 3 

z 

Gewichtskraft: 

dA 

A 

d Ā 

pz () $ A 

G = mg = tgV= tghA 

dA∗ S∗ A ∗ 

M 

x 

SK 

SF 

z 

A 

y 

hM 

e 

I x: 


ρ 

* 

z 

KAPITEL 9 - HYDROMECNAHNIK 

Ixy, Ixy: Flächenträgheitsmomentebzgl. des x,y - Koordinatensystems 

S x: 

(schwimmende Körper) 

(Druck einer Flüssigkeit auf ebene Flächen) 

z 

statisches Moment bzgl. der x - Achse 

Abstand des Körperschwerpunkts SK vom Schwerpunkt SF 

der verdrängten Flüssigkeitsmenge 

I x : Flächenträgheitsmoment bzgl. einer zur x - Achse parallelen Achse durch den Schwerpunkt der Fläche 

y : Abstand des Schwerpunkts Svon der x - Achse 

S 

V 

S 

ρ 

F 

ρ 

ρ 

p0 

p 

dA1 

SF 

dA 

dA2 

A 

α 

α1 

x 

y 

α2 

p0 

p1dA1 

y D 

h 

p(z) 

p2dA2 

Flächenträgheitsmoment der von der x,y - Ebene aus dem Körper geschnittenen Fläche A 

V: Volmen der verdrängten Flüssigkeitsmenge 

e: 

x 

y D 

S 

D 

Fläche Schwerpunktslage 

ys 

ys 

y 

y 

y S 

xs 

xs 

dA 

A 

oS 

a 

a 

b 

h 

A = 

1 

ah 

2 

x S 

x 

oS h 

A = 

h 

â+ bh 

2 

Anmerkung: 

x 

y 

x 

2 

S = a 

3 

y 

h 

S = 

3 

Sliegt auf der 

Seitenhalbierenden 

y 

S = 

h a+ 2b 

3 a+ b 

Seil gerade noch gespannt " = 

S 0 (S: Seilkraft) 


Hydrodynamik: 

d 

x(s) =v(x(s),t), 

ds 

d 

xt () = vxt ^ (), th dt 

wobei s die Bogenlänge einer Stromlinie ist. Bei stationären Strömungen 

fallen die Bahn- und die Stromlinien 

( Bahnlinie) 

d zusammen. 

xs ( ) = vxs ^ ( ), th 

Stromfadentheorie dt 

v = v() s 

p = p() s 

Av = konstant 

Av = Av 

2 

tv 

+ p+ tgz= 

konstant 

2 

gen ohne Energieverluste) gilt 

2 

v p 

+ + zρv = H = konstant 

2g 

tg 

2 s 

x 

gen ohne Energieverluste) /2+p gilt+ 

ρgz =const, 

bzw. 

2 

2 

v t v 

v 

Staudruck (dyn. Druck): Geschwindigkeitshöhe: 

2 

2g 

p 

statischer Druck: p 

Druckhöhe: 

t g 

geodätischer Druck: t gz 

Ortshöhe: z 

2 

t v 

Gesamtdruck: + p hydrauliche Höhe: H 

2 

2 /(2g)+p/(ρg)+z = H =const. 

Staudruck (dyn. Druck): ρv 2 /2, Geschwindigkeitshöhe: v 2 /(2g), 

statischer Druck: p, Druckhöhe: p/(ρg), 

geodätischer Druck: ρgz, Ortshöhe: z, 

Gesamtdruck: ρv 2 ρv 

/2+p, hydraulische Höhe: H. 

Anwendung: Ausfluss aus einem großen Behälter. Torricellische Ausflussformel: 

As p0 

1 

2 /2+p + ρgz =const, 

bzw. 

v 2 /(2g)+p/(ρg)+z = H =const. 

Staudruck (dyn. Druck): ρv 2 /2, Geschwindigkeitshöhe: v 2 /(2g), 

statischer Druck: p, Druckhöhe: p/(ρg), 

geodätischer Druck: ρgz, Ortshöhe: z, 

Gesamtdruck: ρv 2 /2+p, hydraulische Höhe: H. 

Anwendung: Ausfluss aus einem großen Behälter. Torricellische Ausflussformel: 

v = 2gh 

(Stromfadentheorie) 

2 

2 

tv1 

tv2 

+ p1+ t1gz= 

+ p2+ t2gz+ 

Dp 

2 2 p1 

v1Dp 

v 

Druckverlust: Dp 

v Druckverlustzahl: ρ g = 2p1 

tv 

2 / 2 

A1 

p1 

v 

p 

A 

2 A 

1 

2 

t 1 

D v = c - 

: 

F = m^v2-v1h ansonsten instationär. 

Bahnlinie: Kurve der Bahn, die ein Flüssigkeitsteilchen im Laufe der 

Zeit zurücklegt. Die Bahnlinie x(t) ergibtsichausderDifferentialgleichung 

d 

x(t) =v(x(t),t). 

dt 

Stromlinien: Kurvenschar, deren Tangentenrichtung in jedem Raumpunkt 

x mit der Richtung des örtlichen Geschwindigkeitsvektors übereinstimmt. 

Das Stromlinienfeld ergibt sich aus der Differentialgleichung 

Bei der stationären Strömung einer idealen Flüssigkeit in einer Stromröhre 

hängen die Geschwindigkeit und der Druck nur von der Bogenlänge 

s entlang der Leitstromlinie ab: 

v = v(s), 

p = p(s). 

s 

KAPITEL 9 - HYDROMECNAHNIK 

Stromröhre 

Leitstromlinie 

161 Kontinuitätsgleichung: Das pro Zeiteinheit durch einen beliebigen 

6 Hydromechanik festen Querschnitt strömende Flüssigkeitsvolumen (Volumenstrom: Q = 

Av)istkonstant: 

A2 

v2 

(Kontinuitätsgleichung) 

2 

Hydromechanik 2 2 

A2 

p2 

v2 

Av =const, 

2 

d.h. 

Av =const, 

A1v1 = A2v2. 

d.h. 

A1v1 = A2v2. 

z 

A1 

1 

v1 

z 

p1 

s 

v1 

p1 


(Stromlinien) 

(Bernoullische Gleichung, für reibungsfreie Flüssigkeiten) 

Bernoullische Gleichung: a) Für reibungsfreie Flüssigkeiten (Strömun- 

A1 

x 

1 


Bernoullische Gleichung: a) Für reibungsfreie Flüssigkeiten (Strömun- 

1 

vs =0 

p2 

v = 

v (Bernoullische Gleichung, für reibungsbehaftete Flüssigkeiten) 

p v = 

ρ h 

2gh. 

A≪As 


2 v 

b) Für reibungsbehaftete Flüssigkeiten (Strömungen mit Energieverlusten) 

gilt die verallgemeinerte Bernoullische Gleichung 

p 2gh. 

ρ h 

A≪As 


2 v 

b) Für reibungsbehaftete Flüssigkeiten (Strömungen mit Energieverlusten) 

gilt die verallgemeinerte Bernoullische Gleichung 

Hydromechanik 7 

ρv 2 1/2+p1 + ρgz1 = ρv 2 ρv 

2/2+p2 + ρgz2 + ∆pv. 

2 1/2+p1 + ρgz1 = ρv 2 2/2+p2 + ρgz2 + ∆pv. 

Druckverlust: ∆pv, Druckverlustzahl: ζ = ∆pv 

ρv2 . 

1 /2 

Beispiel: Carnotscher Stoßverlust 

vs =0 

As 

p0 

Hydromechanik 7 

Druckverlust: ∆pv, Druckverlustzahl: ζ = ∆pv 

v2 

. 

/2 


Beispiel: Carnotscher Stoßverlust 

2 

1 

m (Carnotscher Stoßverlust) 

p1 

2 

v1 

ρ p1 

A1 

p1 

A2 

v2 

p2 

∆pv = 

: 

Massenstrom: m = tAv = tQ 

: : 

ausfließender Impulsstrom: mv2 einfließender Impulsstrom: mv1 

ρ 

2 v2 „ 

1 1 − A1 

A2 

∆pv = 

« 2 

. 

A2 

Impulssatz: Die resultierende Kraft auf eine abgeschlossene Flüssigkeitsmenge 

ist gleich der Differenz des pro Zeiteinheit aus dem entsprechenden 

Kontrollvolumen ausfließenden Impulses und des einfließenden 

Impulses: 

ρ 

2 v2 „ 

1 1 − A1 

« 2 

. 

A2 

Impulssatz: Die resultierende Kraft auf eine abgeschlossene Flüssigkeitsmenge 

ist gleich der Differenz des pro Zeiteinheit aus dem entsprechenden 

Kontrollvolumen ausfließenden Impulses und des einfließenden 

Impulses: 

v2dt 

v2 

A2 

F = ˙m (v2 − v1). 

v1dt 

v 

A1 

p2 


v1dt 

v 

Massenstrom: ˙m F = ρAv ˙m (v2 = −ρ Q, v1). 

ausfließender Impulsstrom: ˙mv2, 

einfließender Impulsstrom: ˙mv1. 

v1 

dm 

v1 

ρv 2 1 

dm 

v2dt 

A2 

v2

ZUSATZ - HYDROMECNAHNIK 

PASCALSCHES ODER HYDROSTATISCHES PARADOXON 

h 

F = F = F 

1 2 3 

p0 

F1 F2 F3 

P 

A 

KOMMUNIZIERENDE RÖHREN 

h 

p0 

HYDRAULISCHE PRESSE 

F1 

P 

A1 

Dh 

P 

A2 

F2 

p0 

h1 

p1 

Dh 

p0 

P 

A 

p2 

p 

F1 

, p 

F 

1 = 2 = 

A1 

A 

p1 = p2+ tgDh .[ 0 

F1 

F2 

" = 

A1 

A2 

NICHT MISCHENDE FLÜSSIGKEITEN MIT VERSCHIEDENEN DICHTEN 

p0 

t1 

h2 

2 

2 

p0 

P 

A 

ungleiche Drücke p1, p2 

gleicheDrücke p0 

p1 = p^z = Dhh= p2tgDh DICHTE EINES KÖRPERS 


Dh 

p0 

t 

2 

p * 

h2 

* 

p = p0+ t2gh2 = p0+ t1g^h2-Dhh 

t 

2 

t1^h2-Dhh 

= 

& t 1 

h 

2 = t 

D 

1c- 

m 

h2 

h2 

t = t 

K Fl 


t 

K 

G * 

G 

FA 

t 

Fl 

G 

* 

G-G

2b 

OBELISK 

h 

x 

2a 

h 

h 

2b 

x 

2a 

2b 

2a 

2a 

2b 

2a 2b 

2a 

x 

x 

h 

h 

2b 

ELLIPTISCHER h KÜBEL 

2b 

2b 

x 

x 

h 

2a 

b 

b 

2b 

2a 

2a 2b 

x 

x 

x 

h 

x 

h 

h 

d(x) 

d(x) 

a 

a 

ZUSATZ - 2a GEOMETRIE 

2 

Ax () = 4sx () = 4 a + 

b a 

x 

h 

- 

` j 

0 

# 

h 

2b 1 

1 

dx 

1 h 

a 

b a 

2 

x 

4 a + 

b a 

x 

4 b a h 

h 

1 h 1 1 h 

4 b h a b a 4ab 

- 

= 

- 

+ 

- 

- - 

8 ` j` j B 

` j 

= 

- 

` - = 

- 

j` j 

rx () = 

1 

b + 

a b 

x 

2 ha 

b 

2 

Ax () rrx 

() 

r 

2b b 

a b 

x 

b 

a4 

h 

- 

= = + - 

` j 

` j 

0 

h 


2a 

2a 

# 

h 

x 

x 

2a 

x 

1 

dx 

4h1 2 =- h 

4 b + 

a b 

x 

h 

- 

` j 

d() x = 2a- 

2a-2b ` x 

h 

j 

2 

2 

2a 

2a 

2b 

h 

0 

b 

b 

r a-b b + 

a b 

x 

h 0 

4h1 1 4h 

r a b a b rab 

- 

^ h> 

` j 

H 

= ` - j = 

^ - h 


h 

h 

h 

2b 

x 

x 

x 

h 

2a 

2b 

2a 

2a 

2a 

2b 

b 

b 

a 

a 

2b 

2a 

a 

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Formelsammlung Technische Mechanik II - tudlobby

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