Formelsammlung Technische Mechanik II - tudlobby

nun Dieam Vorgehensweise verformten System aufstellen. lässt sich verallgemeinern. Will man für
KAPITEL ein 7 - beliebiges Zur Vorbereitung
KNICKUNG Tragwerk auf die Behandlung die kritische des Knickstabes Last ermitteln, untersu- so muss man
chen wir zunächst ein einfaches Beispiel. Bereits in Band 1 hatten
es aus seiner ursprünglich stabilen Gleichgewichtslage infinitesi-
wir in Beispiel 8.8 bei einem starren Stab mit seitlicher Stützung
mal durch auslenken. Federn gefunden, Wenndass es es neben unter gewissen der Ausgangslage Bedingungen beieine
unmittelbar
benachbarte gleicher Last mehrere Gleichgewichtslage Gleichgewichtslagen gibt, gibt. so Wir ist betrachten die hierzu gehörige Be-
jetzt einen starren Stab unter einer Last F ,deramLagerdurch
Bei der kritischen Last Fkrit existiert neben der ursprünglich geraden lastungAuslage geradeeine die kritische infinitesimal Last. benachbarte Lage.
Verzweigung einer Gelichgewichtslage:
%
%
Bei einem System aus starren Stäben und Federn kann die kritische Last auf zwei Arten bestimmt werden:
7.2
(1) Ermittlung der Stabilität der Ausgangslage durch
Untersuchung des Gesamtpotentials P des Systems.
(2) Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen für
infinitesimal benachbarte Lage.
Der Euler - Stab:
EI~ m + F~
= 0
^EI~ mhm+ F~
m = 0
IV 2 2
~ + m ~ m = 0 m =
F
EI
266 7 Knickung
~ = Acosmx+ Bsin mx+ Cmx+ D
~ l =- Amsinmx+ Bmcos mx+ Cm
w1 = B sin λ1 x = B sin π
2 2
~ m =-Am cosmx-Bm sin mx
x
l
F
krit
= r
(Knickgleichung des elastischen Stabes)
(Sonderfall EI = konst)
Nach (7.8) ist dieser kritischen Last wegen A = 0 eine Knickform
zugeordnet. Der Stab knickt in Form einer Sinus-Halbwelle aus,
wobei die Amplitude B unbestimmt bleibt. Man nennt solch eine
Lösung eine Eigenform.
Wenn man wissen will, wie weit sich der Stab nach Überschreiten
der Knicklast ausbiegt, muss man die Hypothese kleiner Aus-
2 EI lenkungen fallen lassen und eine Theorie höherer Ordnung aufstel-
2
len (siehe l Band 4, Abschn. 5.4.1). Im Rahmen dieses Grundkurses
können wir hierauf nicht eingehen.
a
z
dx
w
x
N
b
M
Q
dψ
M +dM
C N +dN
Q+dQ
N +dN
∼Ndψ
dψ
∼N +dN
Q+dQ
dψ
∼ Qdψ
∼Q+dQ
c Abb. 7.3
Mit Hilfe der Differentialgleichung (7.7a) und ihrer Lösung (7.8)
lässt sich nur das Knicken eines gelenkig gelagerten Balkens beschreiben.
Um die Knicklasten von Stäben für beliebige Lagerungen
bestimmen zu können, müssen wir eine allgemeine Knickgleichung
ableiten. Dabei ist zu beachten, dass dann auch Querkräfte
auftreten können. Wir schneiden ein Balkenelement dx in der ausgeknickten
Lage w �= 0nachAbb.7.3aausdemBalkenundtragen
alle Schnittkräfte ein (Abb. 7.3b). Beim Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen
am verformten Element wird vorausgesetzt,
dass die Verformungen klein sind; insbesondere ist der Neigungswinkel
w ′ = −ψ klein, und die Länge des verformten Elementes
stimmt näherungsweise mit der des unverformten überein. Unter
Beachtung der Komponenten Ndψ bzw. Q dψ, dieinfolgederunterschiedlichen
Richtungen von N bzw. Q auf beiden Schnittufern
Ab bestimmten Drucklasten treten weitere Gleichgewichtslagen
auf, die mit seitlichen Ausbiegungen verbunden sind. Diese Erscheinung,
die besonders bei schlanken Stäben zu beobachten ist,
264 7 Knickung
heißt Knicken. Wir wollen im folgenden die zugehörigen Knicklasten
berechnen. Dabei muss man die Gleichgewichtsbedingungen
eine elastische Drehfeder (Federsteifigkeit cT )gehaltenwird(Abb.
7.1a). Dabei sei vorausgesetzt, dass die vertikale Last bei einer
F
7.2 Der Euler-Stab
instabil ϕ
trachtet. l Wir wollen nun einen stabil elastischen Stab untersuchen; er
Fkrit
ϕ
stabil
MT =cT ϕ
cT ϕ
a
b
c
d
7.2a, Euler-Fall der durch eine Druckkraft F belastet wird. Wir setzen vor-
Abb. 7.1 in folgender Form schreiben:
tudlobby
F
F
Im vorhergehenden Abschnitt haben wir einen starren Stab be-
kann sich infolge seiner Elastizität verformen. Als erstes Beispiel
270 7 Knickung
wählen wir den beiderseits gelenkig gelagerten Stab nach Abb.
seitlichen Auslenkung vertikal bleibt (die Kraft ist richtungstreu).
Gleichgewichtslage
Wir wollen die 2 EI Gleichgewichtslagen ermitteln und deren Stabi- x
F
Fkrit = π w ≡0
lität untersuchen. Hierzu l betrachten F wir zweckmäßigerweise das F
w
Gesamtpotential EIdes
Systems. Legen wir das Nullniveau für die
F
l
benachbarte Gleichgewichtslage
M
w �≡0
a b
c Abb. 7.2
2 k
Die Knicklängen sind in Abb. 7.5 für die vier Fälle angegeben.
aus, dass der unbelastete Stab exakt gerade ist und dass die äußere
Last im Schwerpunkt des Querschnitts angreift. Unter der kritischen
Last existiert neben der ursprünglichen Lage eine benachbarte
Gleichgewichtslage I mit II seitlicher Auslenkung III w �= 0(Abb. IV
7.2b). Um Fkrit zu ermitteln, müssen wir die Gleichgewichtsbedingungen
für die ausgelenkte Lage, d.h. am verformten Körper aufstellen.
Dabei kann die Längenänderung des Stabes vernachlässigt
werden. Schneidet man 2hierzu EI
π an einer Stelle x (Abb. 7.2c), so
folgt aus dem Momentengleichgewicht l am verformten Stab (unter
horizontaler Last tritt im Lager keine vertikale Lagerreaktion
auf):
2
(1, 43) 2 2 EI
π
l2 2 EI
4π
l2 Fkrit = π 2 EI
4 l2 F F
F
F
l
lk =2l l l/1, 43
l/2
Abb. 7.5
M = Fw. (7.6)
Einsetzen in das Elastizitätsgesetz EI w ′′ Bisher haben wir stets vorausgesetzt, dass sich der Werkstoff bis
zum Knicken linear elastisch verhält. Bei dickeren Stäben kann die
= −M für den schub-
kritische Last und damit die Spannung so groß werden, dass beim
starren Biegebalken liefert
Knicken die Elastizitätsgrenze überschritten wird und man dann
eine Plastifizierung des Werkstoffes bei der Rechnung berücksichtigen
muss. Im Rahmen dieser Einführung können wir hierauf
nicht eingehen. Auch können wir weitere Stabilitätsprobleme wie
Knicken unter Torsion (Drillknicken) oder Knicken von Balken
mit schmalem, hohem Querschnitt unter Querlast (Kippen) hier
nicht behandeln. Weiterhin verzichten wir auf eine Darstellung
der Energiemethode. Mit ihr kann man – analog zum Vorgehen in
Abschnitt 7.1 – aus Änderungen des Gesamtpotentials (Potential
der äußeren Last und innere elastische Energie) kritische Lasten
berechnen.
Zum Abschluss sei ausdrücklich bemerkt, dass man bei Stabilitätsnachweisen
die durch Vorschriften festgelegten Sicherheitsbeiwerte
beachten muss. So kann ein Stab z.B. infolge von Imperfektionen
(z.B. Abweichungen von der exakt gerade angenommenen
Stabachse) oder bei exzentrischem Lastangriff schon bei
F
. (7.19)
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