MuPAD — Eine praktische Einführung - Institut für Mathematik ...

Kai Gehrs · Frank Postel
MuPAD —
Eine praktische Einführung
Mathematik 1 x anders: Materialien und Werk-
zeuge für computerunterstütztes Lernen
SciFace Software

Kai Gehrs
Frank Postel
Universität Paderborn
AutoMATH Institut
Warburger Straße 100
33095 Paderborn
schule@mupad.de
MuPAD — Eine praktische Einführung / von Kai Gehrs und Frank Postel. Mathematik 1 x anders: Materialien
und Werkzeuge für computerunterstütztes Lernen, Band 1. Paderborn: SciFace Software GmbH & Co. KG, 2001.
ISBN 3-933764-02-5.
1. Auflage: Februar 2001
2. Auflage: Juni 2002, überarbeitete und erweiterte Auflage
3. Auflage: März 2003, überarbeitete und erweiterte Auflage für MuPAD Pro 3.0
ISBN 3-933764-02-5 SciFace Software GmbH & Co. KG Paderborn
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Verwertung außerhalb der engen Grenzen
des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung der Firma SciFace Software GmbH & Co. KG unzulässig
und strafbar.
© 2001 SciFace Software GmbH & Co. KG, Paderborn
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt
auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund
Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen.
Printed in Germany
Druck und Binden: Druckerei Kleine, Paderborn
Einbandgestaltung: SciFace Software GmbH & Co. KG, Paderborn

Vorwort
Die Entwicklung von MuPAD begann 1990 an der Universität Paderborn mit
einem Forschungsprojekt zur Lösung spezieller Problemstellungen im Bereich
der Dynamischen Systeme. MuPAD wurde jedoch sehr bald zu einem univer-
sellen Werkzeug zum symbolischen und exakten sowie numerischen Rech-
nen. Darüberhinaus können zwei- und dreidimensionale mathematische
Sachverhalte in hoher Darstellungsqualität visualisiert und interaktiv mani-
puliert werden.
Die Entwicklung von MuPAD wurde bereits 1993 von der Forschungsge-
meinschaft mit dem Deutsch-Österreichischen Hochschul-Software Preis und
1994 mit dem European Academic Software Award honoriert.
Im Februar 1997 wurde als Teilausliederung aus der Universität Pader-
born das Unternehmen SciFace Software GmbH & Co. KG gegründet, um
MuPAD in enger Kooperation mit der MuPAD-Forschungsgruppe weiterzu-
entwickeln und den zunehmenden Anforderungen der Benutzer u.a. hinsicht-
lich vielfältiger und mehrsprachiger Dokumentationen zum System und mo-
dernen Benutzerschnittstellen gerecht zu werden.
Forschungen aus der Universität werden von SciFace Software aufgegrif-
fen, zu marktreifen Entwicklungen ausgebaut und in das System MuPAD in-
tegriert. Aufgrund dieser erfolgreichen und engen Zusammenarbeit von Sci-
Face Software mit der Universität Paderborn wurde das Unternehmen 1998
mit dem Förderpreis des Technologie Forum Paderborn e.V. für hervorragen-
de Leistungen auf dem Gebiet der Zusammenarbeit zwischen Wirtschaft und
Wissenschaft ausgezeichnet.
MuPAD wird u.a. zur Forschung und Lehre an Universitäten eingesetzt
und findet mittlerweile auch verstärkt Einzug in den Mathematikunterricht
der gymnasialen Oberstufe. MuPAD trägt dabei ergänzend und unterstützend
zur Lehre von Mathematik bei.
Das starke Interesse und die vielfältigen Tätigkeiten von SciFace Soft-
ware in dem Bereich der Lehre von Mathematik zeigt sich auch an der engen
Zusammenarbeit mit bedeutenden deutschen Verlagen und Herstellern von

Unterrichtssoftware mit dem Ziel, über gemeinsame Anstrengungen heraus
Lösungen zu schaffen, den Schülern und Studenten u.a. einen interaktiven,
explorativen Zugang zu mathematischen Sachverhalten und ein Web-
unterstütztes Lernen zu ermöglichen.
Schreiben Sie uns, wenn Sie Fragen oder Anregungen zum Thema „Mu-
PAD in der Lehre“ haben. Nehmen Sie Teil an der Entwicklung einer moder-
nen Mathematiksoftware und senden Sie uns Ihre Vorschläge, Kritiken und
Fragen an schule@mupad.de.
Paderborn im Juni 2001
Dr. Andreas Sorgatz,
SciFace Software

Über dieses Buch
Das vorliegende Buch ist aus einer Reihe von MuPAD-Notebooks entstanden,
die als Kursmaterialien auf Lehrerfortbildungen und MuPAD-Kursen einge-
setzt worden sind. Das hat sich nachhaltig auf den Stil ausgewirkt, in dem
dieses Buches verfasst ist. Sehr häufig wird der Leser auch außerhalb der
Übungsaufgaben dazu angeregt, selbst Hand anzulegen. Es empfiehlt sich
daher, MuPAD beim Lesen dieses Buches stets in greifbarer Nähe zu haben.
Das Buch soll einen schnellen und einfachen Zugang zum Computeralgeb-
ra-System MuPAD bieten, insbesondere in Hinsicht auf dessen Einsatz für die
Lehre in Schulen und Universitäten. Zu Beginn eines jeden Abschnittes ha-
ben wir eine Tabelle mit den in dem jeweiligen Abschnitt neu behandelten
MuPAD-Befehlen angeführt. Dort wird ganz kurz und stichpunktartig erklärt,
wofür der Befehl nützlich ist. Wir haben uns in der Regel auf einfache Bei-
spiele aus der Schulmathematik beschränkt, da nicht die Mathematik, son-
dern das Arbeiten mit MuPAD im Vordergrund steht.
Neben einer kurzen Einführung in den Umgang mit dem MuPAD Pro Note-
book-Konzept stellen wir Ihnen vor, wie man Probleme aus der Analysis, der
Linearen Algebra und der Stochastik mit einem Computeralgebra-System
behandeln kann. Hier wird insbesondere auch auf grafische Möglichkeiten
eingegangen, die MuPAD bietet – ein wichtiger Vorteil von modernen Com-
puteralgebra-Systemen, der es sowohl dem Lehrer erleichtert, spezielle ma-
thematische Sachverhalte anschaulich darzustellen, wie auch den Schüler
darin unterstützt, die notwendige Anschauung und das überaus wichtige in-
tuitive Verständnis von Mathematik weiterzuentwickeln.
Das Buch basiert auf MuPAD Pro 2.0, das auf Windows-Betriebssystemen
zur Verfügung steht. Insbesondere das Notebook-Konzept, das im ersten
Kapitel behandelt wird, steht nur für MuPAD Pro zur Verfügung.

Sämtliche MuPAD-Eingaben und deren entsprechenden Ausgaben sind je-
doch betriebssystemunabhängig und können somit auch mit MuPAD 2.0 un-
ter Linux und MacOS bearbeitet werden.
Zur zweiten Auflage
Kai Gehrs
Frank Postel
Paderborn, Juni 2001
In dieser zweiten Auflage der „Praktischen Einführung in MuPAD“ wurden
einige kleinere Fehler ausgemerzt, die sich in der ursprünglichen Version
eingeschlichen hatten. Inhaltlich sind alle bisherigen Abschnitte übernom-
men worden. Leichte Modifikationen wurden in Kapitel 5 Abschnitt 4 vorge-
nommen: Die Visualisierung der Binomialverteilung kann in der aktuellen
Version MuPAD Pro 2.5 nun leichter erreicht werden als in der, in diesem
Buch ursprünglich vorgestellten, MuPAD Version 2.0. Zusätzlich wurde in
Kapitel 6 ein Beispiel zum Umgang mit dem neuen 3d-Viewer eingefügt. Alle
anderen in der ersten Auflage beschriebenen Funktionalitäten stehen weiter-
hin auch in MuPAD Pro 2.5 zur Verfügung.
Kai Gehrs
Paderborn, Mai 2002

Zur dritten Auflage
Für die nunmehr dritte Auflage der „Praktischen Einführung in MuPAD“
wurden alle Stellen in diesem Buch überarbeitet, an denen MuPAD-Grafiken
erzeugt werden.
Die neue Version MuPAD Pro 3.0 für Windows bietet eine vollständig neu
entwickelte Grafik-Bibliothek, die es nicht nur erlaubt, mathematische Grafi-
ken schöner und ästhetischer zu gestalten, sondern die gleichzeitig auch ei-
ne Vielzahl neuer Möglichkeiten eröffnet: Ein wichtiger Bestandteil der neuen
MuPAD-Grafik ist z.B., dass nahezu jedes graphische Objekt – sei es eine
Gerade, ein Kreis oder etwa ein Rotationskörper – animiert werden kann.
Koordinatensysteme in 2D werden nun standardmäßig mit Pfeilen an den
Koordinatenachsen ausgestattet, vertikale Asymptoten von Funktionen kön-
nen in Form gestrichelter Polgeraden angedeutet werden, Legenden an Mu-
PAD Grafiken erlauben ein einfaches Zuordnen von verschiedenen Funktions-
termen zu ihren Funktionsgraphen etc.
Wenn man auch eigentlich ein ganzes Buch vom Ausmaß dieses Bandes
zu dem Kapitel „Grafik in MuPAD“ schreiben kann, so soll hier dennoch in
einem bescheidenen Rahmen auf die neue MuPAD-Grafik eingegangen wer-
den. Erste elementare Animationen werden im letzten Kapitel des vorliegen-
den Bandes vorgestellt, so dass die „Praktische Einführung in MuPAD“ auch
in Sachen Grafik weiterhin einen schnellen und unkomplizierten Einstieg in
die Fähigkeiten des Systems bietet. Dem darüber hinaus interessierten Leser
empfiehlt das MuPAD in Schule & Studium-Team einen Blick in die in der On-
line-Dokumentation von MuPAD 3.0 vorhandene „Einführung in die neue Mu-
PAD Grafik“; dieses Dokument wartet mit vielen tollen Beispielen auf, die
leider in diesem knappen Rahmen hier nicht diskutiert werden können.
Kai Gehrs
Paderborn, Februar 2004

Inhaltsverzeichnis
Vorwort .........................................................................................3
Über dieses Buch ............................................................................5
Inhaltsverzeichnis ...........................................................................9
1. Arbeiten mit MuPAD-Notebooks unter Windows ............................9
1.1 Was ist ein MuPAD-Notebook? .................................................9
1.2 Speichern und Einladen von Notebooks................................... 11
1.3 Ändern und Löschen in einer Region ....................................... 12
2. Grundkurs Analysis ................................................................ 14
2.1 Rechnen mit MuPAD............................................................. 14
2.2 Eine klassische Funktionsuntersuchung ................................... 18
2.3 Bestimmte und unbestimmte Integration ................................ 25
2.4 Ein Extremwertproblem ........................................................ 32
2.5 Das Arbeiten mit MuPAD-Bibliotheken..................................... 35
2.6 Hilfe, ich weiß nicht weiter ... ................................................ 36
2.7 Differentialgleichungen – Eine Anwendungsaufgabe .................. 38
3. Lineare Algebra ..................................................................... 40
3.1 Erstellen von Matrizen .......................................................... 40
3.2 Zeilen- und Spaltenzahl einer Matrix....................................... 42
3.3 Zugriff auf die Einträge einer Matrix ....................................... 42
3.4 Elementare Matrixrechnung................................................... 44
3.5 Weitere Tipps zur Eingabe von Matrizen .................................. 47
3.6 Über den Koeffizientenbereich von Matrizen............................. 48
4. Die linalg-Bibliothek ............................................................... 50
4.1 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren............ 52
4.2 Eine Anwendung aus der Analytischen Geometrie ..................... 55
5. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung ......................... 58
5.1 Kombinatorische Berechnungen ............................................. 58
5.2 Simulation einfacher Laplace-Experimente............................... 60
5.3 Relative Häufigkeiten und das Gesetz der großen Zahlen ........... 62
5.4 Berechnung der Binomialverteilung ........................................ 64

6. Grafiken in MuPAD leicht gemacht ............................................ 68
6.1 Funktionsgraphen ................................................................ 69
6.2 Beispiele im Umgang mit der Plot-Bibliothek ............................ 74
6.3 Eine Anwendung – Modellierung eines Strahlers ....................... 79
6.4 Grafik-Gallerie..................................................................... 86
6.5 Einfache Animationen ........................................................... 88
7. MuPAD in Schule und Studium ................................................. 95
Literaturverzeichnis ....................................................................... 96

Arbeiten mit MuPAD-Notebooks unter Windows 9
1. Arbeiten mit MuPAD-Notebooks unter
Windows
1.1 Was ist ein MuPAD-Notebook?
Ein MuPAD-Notebook präsentiert sich als ein Arbeitsblatt, das aus
verschiedenen Absätzen besteht, die Text, mathematische Formeln,
MuPAD-Eingaben, MuPAD-Ausgaben und Grafiken enthalten können.
In einem MuPAD-Notebook handelt es sich bei Absätzen mit einem
Punkt • vor dem Text (gewöhnlich in roter Farbe) um MuPAD-
Eingaben, sogenannte Eingaberegionen. Befindet sich der Cursor in
einer solchen Region, so wird im rechten Teil der MuPAD Pro - Sta-
tuszeile der Text „Eing, ite“ angezeigt.
Absätze, die direkt unterhalb von MuPAD-Eingaben stehen und
gewöhnlich in blauer Farbe erscheinen, sind MuPAD-Ausgaben. Solche
Absätze werden im folgenden als Ausgaberegionen bezeichnet. Befin-
det sich der Cursor in einer solchen Region, wird der Text „Ausg.“ im
rechten Teil der MuPAD Pro - Statuszeile angezeigt.
Schließlich gibt es noch Textregionen, d.h. Absätze, die gewöhnli-
chen, formatierten Text enthalten. Sie erkennen solche Absätze wie-
der an dem Eintrag in der MuPAD Pro - Statuszeile, dort erscheint die
Kennung „Text“.
Um eine MuPAD-Eingabe auszuführen (d.h. die Eingabe von Mu-
PAD berechnen zu lassen), reicht es, den Cursor an einer beliebigen
Stelle innerhalb des entsprechenden Absatzes zu platzieren und die
-Taste zu drücken. Die zugehörige MuPAD-Ausgabe er-
scheint unmittelbar darunter. Ein Beispiel:
• 1/5 + 2/3 – 5
− 62
15

10
1.1 Was ist ein MuPAD-Notebook?
Mit + ist es möglich, eine MuPAD-Anweisung
über mehrere Zeilen zu erstrecken, ohne dass der jeweilige Teil der
MuPAD-Anweisung sofort ausgewertet wird. Ein Beispiel:
• 2+
3+
4+
5+
6+
7
27
Es ist im Gegensatz zu früheren Versionen von MuPAD nicht mehr
zwingend notwendig, eine MuPAD-Eingabe mit einem Semikolon ab-
zuschließen. Das Semikolon dient jetzt nur noch zur Trennung von
Anweisungen, die über mehrere Zeilen verteilt in einem Eingabe-
Absatz oder innerhalb von Prozeduren stehen.
Eine MuPAD-Eingabe kann auch durch einen Doppelpunkt „:“ ab-
geschlossen werden. Dann wird die Berechnung zwar ausgeführt, a-
ber das Ergebnis nicht auf dem Bildschirm ausgegeben. Probieren Sie
es aus, indem Sie z.B. die Anweisung sin(1.4123) einmal ohne,
einmal mit einem Doppelpunkt abschließen.
Sie können auch mehrere Anweisungen hintereinander in einem
MuPAD-Eingabeabsatz eingeben:
• f:= sin(x): F:= int(sin(x), x); diff(F, x)
−cos x
sin x
Dabei müssen die Anweisungen mit dem Semikolon getrennt werden,
wenn die Ergebnisse der Anweisungen auf dem Bildschirm erscheinen
sollen.

1 Arbeiten mit MuPAD-Notebooks unter Windows
1.2 Speichern und Einladen von Notebooks
Wie in einem gewöhnlichen Textverarbeitungssystem lassen sich No-
tebooks abspeichern und später wieder einladen. Zum Speichern von
Notebooks stehen die Einträge „Speichern“ und „Speichern unter...“
aus dem Menü „Datei“ zur Verfügung. Geben Sie Ihrem Notebook ei-
nen Namen und bestätigen Sie das Speichern (MuPAD-Notebooks tra-
gen die Dateiendung „.mnb“).
Mit „Datei Öffnen...“ laden Sie ein MuPAD-Notebook ein. Sie kön-
nen auch mehrere Notebooks gleichzeitig geöffnet halten, wobei je-
des Notebook zu einer eigenständigen MuPAD-Sitzung gehört, d.h. sie
kommen sich bei ihren Berechnungen nicht in die Quere.
Tipps
Unter „Datei/Exportieren...“ können Sie ein Notebook u.a. in das
RTF-Format (Rich-Text-Format) abspeichern, das die gängigen
Textverarbeitungssysteme unter Windows verarbeiten können.
Damit können Sie Ihr Notebook beispielsweise in ein Microsoft
Word-Dokument integrieren, sobald Sie Ihre Berechnungen mit
MuPAD abgeschlossen haben. Da Microsoft Word unter anderem
ein Exportieren von Dateien in das HTML-Format ermöglicht,
können auf diese Weise auch MuPAD-Notebooks in HTML-
Dokumente konvertiert werden.
Auch der umgekehrte Weg funktioniert: Sie können ein Notebook
mit Ihrer bevorzugten Textverarbeitung vorbereiten und im RTF-
Format abspeichern. Dieses Dokument lässt sich dann unter „Da-
tei/Öffnen“ einladen, indem Sie in dem „Datei/Öffnen“-Dialog als
Dateityp „rtf“ einstellen.
Unter dem Menü „Hilfe“ stehen Ihnen unter dem Eintrag „Einführungen“
vorgefertigte Notebooks zur Einarbeitung in MuPAD zur
Verfügung.
11

12
1.3 Ändern und Löschen in einer Region
1.3 Ändern und Löschen in einer Region
Wie in einem gewöhnlichen Textverarbeitungssystem lassen sich die
Inhalte einer Region nachträglich ändern. Man kann Text einfügen,
löschen, kopieren und vieles mehr. Auch Drag & Drop und Copy & Pa-
ste sind möglich.
Um neue Eingabe- und Textregionen einzufügen, gibt es die Ein-
träge „Eingabe darüber (+)“, „Eingabe darunter
()“, „Text darüber (+)“ und „Text darunter
()“ in dem Menü „Einfügen“. Besonders hilfreich ist hierbei das
Kontextmenü der Maus (drücken Sie die rechte Maustaste), mit dem
Sie schnell auf die Befehle zum Einfügen von Regionen zugreifen
können. Nach längerem Arbeiten empfiehlt sich zudem der Weg über
Tastaturkürzel. So lässt sich mit der Taste eine neue Eingabe-
region unterhalb der aktuellen Region einfügen.
Zum Löschen von Regionen müssen Sie den Cursor an eine belie-
bige Stelle innerhalb der zu löschenden Region platzieren und die Re-
gion auswählen. Dies geschieht über die Taste oder über den
Eintrag „Region auswählen“ aus dem Menü „Notebook“. Drücken Sie
anschließend die Taste , oder wählen Sie aus dem Menü „Be-
arbeiten“ den Eintrag „Ausschneiden“ aus. Seien Sie bitte vorsichtig
mit dem voreiligen Löschen von Regionen. Es gibt keine Möglichkeit,
ein unbeabsichtigtes Löschen rückgängig zu machen!
Nach dem gleichen Prinzip lassen sich vollständige Regionen ko-
pieren oder verschieben.
Benötigen Sie Hilfe zur Bedienung von MuPAD Pro, so empfiehlt
sich die Direkthilfe in der Symbolleiste oder die MuPAD Pro Hilfe, die
Sie über den Eintrag „Hilfe Themen“ (+) aus dem Menü
„Hilfe“ erreichen. Sie können hierzu auch auf das Fernglas-Symbol in
der MuPAD Pro-Symbolleiste klicken.

Tipp
1 Arbeiten mit MuPAD-Notebooks unter Windows
Zum Durcharbeiten eines vorgefertigten MuPAD-Notebooks erscheint
es angenehm, dass MuPAD nicht nach jeder ausgeführten
Eingaberegion automatisch die Eingabe mit einer neuen
Eingaberegion fortführt. Zum interaktiven Arbeiten mit einem
eigenen Notebook mag man diese Funktionalität jedoch
vermissen. Daher können Sie in dem Menü „Ansicht“ unter dem
Eintrag „Optionen“ und der Registerkarte „Notebook“ einstellen,
welches Verhalten Sie bevorzugen.
13

14
2.1 Rechnen mit MuPAD
2. Grundkurs Analysis
Wir wollen nun MuPAD als Hilfsmittel für Berechnungen aus der Ana-
lysis schätzen lernen.
2.1 Rechnen mit MuPAD
Neue MuPAD-Funktionen
sqrt Quadratwurzel
float Gleitkommadarstellung für numerische Rechnun-
gen
DIGITS Anzahl der Nachkommastellen bei numerischen
Berechnungen
delete Löschen des Wertes einer Variablen
expand Ausmultiplizieren von Ausdrücken
normal Kürzen rationaler Ausdrücke
simplify Vereinfachen von Ausdrücken
In MuPAD können wir wie mit einem gewöhnlichen Taschenrechner
rechnen:
• 2 + 1/3 - 10*2^20
− 31457273
3
Der Unterschied zum Taschenrechner liegt darin, dass MuPAD mit
beliebig langen Zahlen rechnen kann, deren Größe nur durch den zur
Verfügung gestellten Hauptspeicher beschränkt ist. Ein Beispiel für
eine recht große Zahl liefert die folgende Eingabe:
• 10^1000
1000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000

2 Grundkurs Analysis
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000
Nun rechnet MuPAD nicht nur schnell und mit sehr großen Zahlen,
sondern auch exakt. Exakte Berechnungen sind eine der wichtigsten
Eigenschaften von MuPAD. Was aber bedeutet „exakt“?
Berechnen wir beispielsweise 12 : Dazu benötigen wir den Befehl
sqrt (square root, englisch: Quadratwurzel):
• sqrt(12)
2 ⋅ 3
MuPAD hat offensichtlich die Vereinfachung 12 = 4⋅ 3 = 2⋅ 3 vorge-
nommen. 3 kann MuPAD nicht weiter (exakt!) vereinfachen, da 3
eine irrationale Zahl ist. D.h. ein (weitestgehend vereinfachter) exak-
ter Wert von 12 ist 2 3.
Um einen Näherung dieser Zahl auf 10 Nachkommastellen zu
bestimmen, verwenden wir die Funktion float:
• float(sqrt(12))
3.464101615
Ein weiteres Beispiel für eine exakte Berechnung liefert uns die
folgende Eingabe:
• cos(PI/2)
0
15

16
2.1 Rechnen mit MuPAD
Hier taucht das Symbol PI auf, das die Zahl π in MuPAD reprä-
sentiert. Viele MuPAD-Funktionen kennen dieses Symbol und können
daher exakte Ergebnisse zurückliefern, wie im folgenden Beispiel:
• sin(PI/3)
3
2
Neben symbolischen und exakten Berechnungen kann MuPAD
auch numerisch rechnen, wie oben bereits gesehen. Bestimmte nu-
merische Rechnungen können mit einer nahezu beliebigen Ge-
nauigkeit erfolgen. So erhalten wir beispielsweise die ersten 1000 De-
zimalstellen von π wie folgt:
• DIGITS:= 1000: float(PI)
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582
0974944592307816406286208998628034825342117067982148086
5132823066470938446095505822317253594081284811174502841
0270193852110555964462294895493038196442881097566593344
6128475648233786783165271201909145648566923460348610454
3266482133936072602491412737245870066063155881748815209
2096282925409171536436789259036001133053054882046652138
4146951941511609433057270365759591953092186117381932611
7931051185480744623799627495673518857527248912279381830
1194912983367336244065664308602139494639522473719070217
9860943702770539217176293176752384674818467669405132000
5681271452635608277857713427577896091736371787214684409
0122495343014654958537105079227968925892354201995611212
9021960864034418159813629774771309960518707211349999998
3729780499510597317328160963185950244594553469083026425
2230825334468503526193118817101000313783875288658753320
8381420617177669147303598253490428755468731159562863882
3537875937519577818577805321712268066130019278766111959
09216420199
Die Variable DIGITS gibt an, mit wie vielen Stellen numerische Be-
rechnungen durchgeführt werden sollen. Um nicht auch alle nachfol-
genden Rechnungen mit einer derart hohen Genauigkeit auszuführen,
setzen wir mittels der delete-Anweisung diese Variable wieder auf
ihren Ursprungswert, d.h. den Wert 10 zurück:

• delete DIGITS:
2 Grundkurs Analysis
An diesem Beispiel haben wir darüberhinaus erkennen können, wie
in MuPAD Werte an Variablen zugewiesen werden, nämlich über den
Zuweisungsoperator := :
• f:= sin(x)
sin x
Nach dieser Anweisung hat die Variable f den Wert sin(x). Den Wert
einer Variablen liest man wie folgt aus:
• f
sin x
Wollen wir die Variable f später für einen anderen Zweck verwenden,
so können wir sie entweder einfach mit einem neuen Wert per Zuwei-
sung belegen oder ihren Wert mittels der Anweisung delete löschen:
• delete f:
Besitzt eine Variable keinen Wert, so ist das Ergebnis ihrer Auswer-
tung die Variable selber:
• f
f
Mit solchen Variablen, d.h. Variablen ohne Wert, können beispielswei-
se Unbekannte oder Parameter in Gleichungen repräsentiert werden.
Sie werden festgestellt haben, dass die Funktion delete ange-
wandt auf die Variable DIGITS den Wert von DIGITS nicht gelöscht,
sondern auf ihren Ursprungswert zurückgesetzt hat. Solche Variablen
werden Umgebungsvariablen genannt. Sie steuern global bestimmte
Einstellungen für MuPAD.
Tipp
Sie haben mit der neu in MuPAD Pro angelegten „Befehlsleiste“,
die Sie im oberen Fensterbereich sehen können, die Möglichkeit,
17

18
2.2 Eine klassische Funktionsuntersuchung
bestimmte Befehle direkt in Ihre Eingaberegion einzufügen. Kli-
cken Sie beispielsweise auf das Symbol π ≈ 314 , ..., so wird der
Text float(%?) an die Stelle Ihres Cursors eingefügt. Nun brau-
chen Sie nur noch die mit %? gekennzeichneten Stellen wie in ei-
nem vorgefertigten Formular auszufüllen. Mit der Tabulatortaste
können Sie übrigens bei Funktionen, die mehrere Argumente er-
warten, direkt auf die mit %? gekennzeichneten Stellen springen.
Übungen
Berechnen Sie 27 − 4 3 und cos π d 8i
exakt. Ermitteln Sie auf 5
Dezimalstellen genau numerische Näherungen für diese Zahlen!
Welchen Unterschied macht MuPAD zwischen 1 3 1 3 1 + +
3
und
10 . 1 1
3
+
3
+
3
?
Mit der Funktion expand(expr) wird der Ausdruck expr
ausmultipliziert. Testen Sie diese Funktion an den Ausdrücken
2 3 5
aa+ bf, aa+ bfund aa+ bf!
Mit normal(expr) wird ein rationaler Ausdruck expr auf einen
gemeinsamen Hauptnenner gebracht und weitgehend gekürzt.
Testen Sie diese Funktion an den Beispielen x 2
1+
x 1 x
− 2
x −1
und !
− 1+
x
Wenden Sie die Funktion simplify auf die folgenden Ausdrücke
an:
a f a f
d i
d i
2 2
(1) sin( x) + cos( x)
(2) sin x + π 2
(3) cos x − π 2
2.2 Eine klassische Funktionsuntersuchung
Neue MuPAD-Funktionen
solve Lösen von Gleichungen und Ungleichungen

2 Grundkurs Analysis
Neue MuPAD-Funktionen
diff Bestimmen von Ableitungen
limit Bestimmen von Grenzwerten
%i Rückgriff auf das i-Schritte zurückliegende Er-
gebnis
subs Ersetzen von Ausdrücken (z.B. zum Einsetzen
von Werten in Gleichungen)
plotfunc2d 2-dimensionale Darstellung von Funktionsgra-
phen
Im folgenden wollen wir eine klassische Funktionsuntersuchung am
2
x − 5x+ 6
Beispiel der Funktion f( x):=
durchführen. Wir weisen dazu
x −1
der Variablen f den Funktionsterm zu:
• delete x: f:= (x^2 - 5*x + 6)/(x - 1)
x 2 − 5 ⋅ x + 6
x − 1
Beachten Sie, dass wir den Wert der Variable x (vorsichtshalber) zu-
vor gelöscht haben, um sie als unabhängige Variable im Funktions-
term von f verwenden zu können.
Wir können direkt aus dem Term ablesen, dass die Zahl 1 nicht im
Definitionsbereich von f enthalten ist und können daher unmittelbar
mit der Bestimmung der Schnittstellen von f mit den Koordinatenach-
sen fortfahren. Zunächst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion:
• solve(f = 0, x)
2, 3
Die y-Koordinate des Schnittpunktes von f mit der y-Achse ergibt sich
wie folgt:
• subs(f, x = 0)
−6
19

20
2.2 Eine klassische Funktionsuntersuchung
Nun untersuchen wir f auf mögliche Extremstellen und beginnen mit
der notwendigen Bedingung: f ′ ( x)
= 0:
• f1:= diff(f, x)
2 ⋅ x − 5
−
x
x − 1
2 − 5 ⋅ x + 6
(x − 1) 2
Die Ableitung von f haben wir der Variablen f1 zugewiesen und be-
rechnen nun ihre Nullstellen:
• S:= solve(f1 = 0, x)
{ 2 + 1, 1 − 2}
Hier sehen wir wieder, dass MuPAD exakt rechnet. Wir erhalten eine
Näherung der möglichen Extremstellen, indem wir die Funktion float
auf die Menge S anwenden:
• float(S)
−0.4142135624, 2.414213562
Nun müssen wir diese Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung
von f einsetzen, um die hinreichende Bedingung zu überprüfen:
• f2:= diff(f, x, x)
2 ⋅ x 2
− 5 ⋅ x + 6
(x − 1) 3
+ 2 2 ⋅ (2 ⋅ x − 5)
−
x − 1 (x − 1) 2
Tipps
Wir sehen, dass wir einfach nur zweimal das x hinschreiben
brauchen, um die zweite Ableitung zu berechnen. Ganz analog
können Sie auch mit der dritten, vierten usw. Ableitung verfah-
ren.
Der Befehl diff(f, x$n), wobei n eine natürliche Zahl ist, be-
stimmt die n-te Ableitung von f. Wir könnten stattdessen auch
diff(f, x, x) für die 2. Ableitung oder diff(f, x, x, x, x,

2 Grundkurs Analysis
x, x) für die 6. Ableitung schreiben, nichts anderes bedeutet die
$-Schreibweise:
• x $ 6
x, x, x, x, x, x
• diff(x^7, x $ 6)
5040 ⋅ x
Das Einsetzen der möglichen Extremstellen in die zweite Ableitung
können wir mit Hilfe der Funktion subs (substitute; engl.: ersetze)
machen. Dies haben wir stillschweigend auch schon bei der Berech-
nung des Schnittpunktes der Funktion mit der y-Achse getan. Wir be-
ginnen mit der 1. Nullstelle von f ′ ( x):
• xe:= subs(f2, x = S[1])
2
2 + 1 − 5 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2
−
2
• float(xe)
1.414213562
2 + 3
Das es sich um einen positiven Wert handelt, liegt an der Stelle 2 + 1
ein Minimum vor. Mit dem hier verwendeten Befehl S[i] greift man
auf das i-te Element einer Menge (oder auch Liste) zu. Wir testen
schließlich noch auf die 2. Nullstelle von f ′ ( x):
• float(subs(f2, x = S[2]))
−1.414213562
Hierbei handelt es sich also um ein Maximum von f.
Die Funktion f besitzt keine Wendestellen, da die 2. Ableitung kei-
ne Nullstellen hat:
21

22
• S:= solve(f2 = 0, x)
∅
2.2 Eine klassische Funktionsuntersuchung
Schließlich lassen wir uns von MuPAD den Graphen von f im Bereich
[-6,6] zeichnen:
• plotfunc2d(f, x = -6..6)
y
2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
x
-2
-4
-6
-8
-10
Dieser Graph lässt sich interaktiv weiter bearbeiten. Ein Doppel-
klick auf den Graphen startet das MuPAD-Grafiktool VCam, die Me-
nüleiste trägt nun die Funktionen von VCam. Ein Klick im Menü „Be-
arbeiten“ auf „Objekteigenschaften“ öffnet ein Fenster, indem sich
zahlreiche Eigenschaften dieser Grafik einstellen lassen.
Tipps
Neue Grafiken können auch interaktiv erzeugt werden. Setzen
Sie den Cursor im Notebook an eine beliebige Eingabestelle. In
dem Menü „Einfügen“ finden Sie die Einträge „2D Grafik“ und
„3D Grafik“. Wählen Sie einen dieser beiden Einträge aus, so er-
scheint ein grau hinterlegtes Rechteck. Mit einem Doppelklick auf
dieses Rechteck wird VCam gestartet und dessen Menüleiste an-
gezeigt.

2 Grundkurs Analysis
Für eine (interaktiv) erstellte Grafik lässt sich die zugehörige Mu-
PAD-Anweisung zum Erzeugung der Grafik ermitteln. Im VCam-
Menü „Bearbeiten“ finden Sie den Eintrag „Befehl an das Note-
book“, um den entsprechenden MuPAD-Befehl zur Erzeugung der
Grafik direkt in eine Eingabezeile unterhalb der Grafik einzufü-
gen.
Ein Grafik läßt sich als Datei in diverse Grafikformate abspeichern
(siehe den Befehl „Speichere Grafik“ aus dem VCam-Menü
„Bearbeiten“) oder über Copy & Paste in andere Anwendungen
wie beispielsweise Microsoft Word einfügen. Durch Doppelklick
auf ein eingebettetes Grafikobjekt lassen sich Eigenschaften die-
ser Grafik auch noch nachträglich und von der Anwendung aus,
in der die Grafik eingebettet worden ist, ändern.
Notebooks mit grafischen Objekten werden schnell sehr groß.
Das kann reduziert werden, indem ein grafisches Objekt nur als
Symbol eingefügt wird. Dazu muss in dem Untermenü „Objekt
Eigenschaften“ aus dem Menü „Bearbeiten“ in dem Dialogfenster
„Ansicht“ die Option „Darstellung als Symbol“ ausgewählt.
Auch bei den hier kennen gelernten Befehlen diff, solve, subs
und plotfunc2d finden Sie entsprechende Symbole
l q , f x x y
∂
f( x), ∂x
x f = 0 ( ) = und ein Symbol für den Graphen einer
Funktion in der Befehlsleiste von MuPAD Pro.
Übungen
Zeichnen Sie die Funktion
1
sin( )
x
im Intervall 01 , !
Zeichnen Sie die Funktion sin( x + y)
auf dem Gebiet 0, π × 0,
π !
Führen Sie für die folgenden Funktionen eine Funktionsuntersuchung
mit MuPAD durch:
(a) f x x e x
( )= ⋅ − 2
23

24
(b) f x e x
( )= − −
1
(c) f( x) = ln x −
2.2 Eine klassische Funktionsuntersuchung
2 c 1h
Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion f(x) zu
5 4 3 2
f( x)= x − 5x + 5x + 5x − 6 x und überprüfen Sie das Ergebnis durch
Einsetzen der Werte in f!
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
lim
x→∞
F
H
I
K
F
H
x 1. 000. 000
10 − ⋅ + 2 und lim
2
x + 1 0. 001x
x→∞
I
K
F
G
HG
x
1 3
+ x −1
x
den Sie die Funktionen limit und infinity.
I
J
KJ
. Hinweis: Verwen-
Bestimmen Sie den rechts- und linksseitigen Grenzwert für x → 2
x − 3
von: f( x)=
. Zeichnen Sie die Funktion für den Bereich
2
x − 5x+ 6
[ −55 , ] . Hinweis: Verwenden Sie die Funktion limit mit den Optio-
nen Right, Left.
Zeigen Sie mit MuPAD über die Definition der Ableitung, dass
gilt:
f ( x) = sin( x) ⇒ f ′ ( x) = cos( x)
.
a f a f
20
Bestimmen Sie für f( x) = ln ln( x) , f′ ( x) = ?, f′′ ( x) = ?, f ( x)
= ?
und
f ( x) = u( x) ⋅ v( x)
die entsprechenden Ableitungen. Hinweis: Ver-
wenden Sie die Funktionen diff und limit.
Für eine Ware sei die Angebotsfunktion y A und die
Nachfragefunktion y N wie folgt gegeben:
yA( x)
= 100 − , yN( x)
= −
x
x
20
90 15
. Der Staat setzt den Preis auf 95 €
2
pro Mengeneinheit fest. Bestimmen Sie, ob es einen Angebots-
oder Nachfrageüberhang gibt und ermitteln Sie die Höhe des
Überhangs. Hinweis: Lösen Sie die Gleichungen y x
A( )= 95 und
y x
N ( )= 95 jeweils nach x und bilden Sie die Differenz der beiden
gefundenen Lösungen.

2 Grundkurs Analysis
2.3 Bestimmte und unbestimmte Integration
Neue MuPAD-Funktionen
int Bestimmte und unbestimmte Integration
taylor Taylor-Reihe einer Funktion
expr Umwandeln einer Reihe in einen gewöhnlichen
Ausdruck
numeric::solve Numerisches Lösen von Gleichungen
Auch bei der, gerade im Vergleich zur Differentiation, wesentlich
schwierigeren Integration kann MuPAD helfen:
• delete x: int(x^4, x)
x 5
5
Der Befehl int führt bestimmte und unbestimmte Integration durch.
Ein weiteres Beispiel:
• F:= int(sin(x)*cos(x)*x^2, x)
cos 2 ⋅ x
x ⋅ sin
+
8
2 ⋅ x
x
−
4
2 ⋅ cos 2 ⋅ x
4
Machen wir die Probe:
• f:= diff(F, x)
x 2 ⋅ sin 2 ⋅ x
2
Das Ergebnis hat eine andere Struktur als der Integrand, von dem wir
ausgegangen waren. Doch sind beide Terme gleich, was wir in MuPAD
wie folgt überprüfen können:
• s:= sin(x)*cos(x)*x^2 - f
x 2 ⋅ cos x ⋅ sin x − x2 ⋅ sin 2 ⋅ x
2
25

26
• simplify(s)
0
2.3 Bestimmte und unbestimmte Integration
Gerade auf dem Gebiet der Integration kann der Einsatz eines Com-
puteralgebra-Systems sehr nützlich sein. Ein einfaches Beispiel bietet
uns dafür die Stochastik, in der häufig mit der Gauß’schen Normal-
verteilung gerechnet wird.
Ihre Funktionswerte müssen hierbei mühselig in Tabellen nachge-
schlagen werden, da sie sich als bestimmte Integrale der Funktion
ϕ , x e
01
a f = ⋅
1 2
− ⋅x
2
1
2π
ergeben.
Wir wollen das nun einmal mit Hilfe eines Computeralgebra-Systems
nachvollziehen, mit dem wir darüber hinaus die Werte dieser Vertei-
lungsfunktion in einer nahezu beliebigen Genauigkeit berechnen kön-
nen.
Wir bestimmen im folgenden die halbe Fläche unter der zentrier-
ten und standardisierten Gauß'schen Glockenkurve und beginnen zu-
nächst mit einer Zeichnung der Funktion:
• delete x:
gauss:= 1/(sqrt(2*PI))*exp(-1/2*x^2)
− x2
2
2 ⋅ e
2 ⋅ √
π

• plotfunc2d(gauss, x = -4..4)
y
0.4
0.3
0.2
0.1
2 Grundkurs Analysis
Gauss'sche Normalverteilung
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
• F:=int(gauss, x)
2 ⋅ x
erf
2
2
• limit(F, x = infinity)
1
2
Und wie erwartet erhalten wir das Ergebnis 1/2.
Zum Schluss dieses Abschnitts wollen wir noch auf die Tangenten-
Problematik eingehen, wie sie in der Analysis auch an Schulen be-
c h und ihre Tangente im
b g schließen eine Fläche ein. Zuerst wollen wir uns
handelt wird. Die Funktion f x x x e x
( )= + + ⋅ −
2
2 1
Berührpunkt P 0?
den Graphen der Funktion ansehen:
27

28
2.3 Bestimmte und unbestimmte Integration
• f:= exp(-x)*(x^2 + 2*x + 1):
plotfunc2d(f, x = -3..3, YRange = 0..10)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
Um die Gleichung der Tangente zu bestimmen, berechnen wir die ers-
ten beiden Glieder der Taylor-Reihe von f:
• t:= taylor(f, x = 0, 2)
1 + x + O x 2
die wir über den Befehl expr in einen gewöhnlichen MuPAD-Ausdruck
umwandeln (d.h. der Fehlerterm wird beseitigt):
• t:= expr(t)
x + 1
Jetzt können wir mit t so weiterarbeiten, wie wir es von der Funk-
tion f gewohnt sind.
Ein Schaubild von f und der Tangente t erhalten wir dann wie üb-
lich, indem wir die Funktionen f und t, einen entsprechenden Definiti-
onsbereich (in unserem Fall x = -3..3) sowie einen sinnvollen Wert-
bereich (in unserem Fall YRange = -3..10) an die Funktion plot-
func2d übergeben.

2 Grundkurs Analysis
• plotfunc2d(f, t, x = -3..3, YRange = -3..10)
y
10
8
6
4
2
-3 -2 -1 1 2 3
x
-2
exp(-x)*(2*x + x^2 + 1)
x + 1
Abschließend bestimmen wir noch die Fläche zwischen der Funktion f
und der Tangente t. Das Schaubild suggeriert, dass es „fast keine“
Fläche zwischen den beiden Graphen gibt. Daher vergrößern wir ein-
mal mit Hilfe des Grafik-Viewers VCam (zu erreichen über einen Dop-
pelklick mit der Maus auf die Grafik) einen bestimmten Bereich. Dazu
klicken wir auf das Symbol der Lupe mit dem +-Zeichen sowie an-
schließend einfach mit der Maus in den Bereich des Koordinatensys-
tems, den wir gerne vergrößert sehen möchten:
-1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4
exp(-x)*(2*x + x^2 + 1)
x + 1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
x
-0.2
-0.4
y
29

30
2.3 Bestimmte und unbestimmte Integration
Hieraus erkennt man leichter, wie wir zur Bestimmung der Fläche
vorgehen müssen und bestimmen zunächst die Schnittstellen der
Tangente mit dem Funktionsgraphen. Das machen wir mit der Funkti-
on numeric::solve, wobei wir in diesem Fall nicht auf die Funktion
solve zurückgreifen können, da es sich um eine transzendente Glei-
chung handelt. Wir sind also gezwungen, diese Gleichung numerisch
zu lösen:
• numeric::solve(f = t, x)
−1.0
Die gesuchte Fläche erhalten wir daraus unmittelbar durch das fol-
gende bestimmte Integral:
• int(t - f, x = -1..0)
11
− 2 ⋅ e
2
Eine Näherung dieser Zahl in Dezimalbruch-Darstellung lautet:
• float(%)
Tipp
0.06343634308
MuPAD bietet in der Bibliothek student schulübliche numerische
Standardverfahren zur Integration, die zudem grafisch visuali-
siert werden können. Am Beispiel der Riemann-Integration ste-
hen die Funktionen student::riemann und stu-
dent::plotRiemann zur Verfügung. So lässt sich die Riemann-
Integration der Funktion f x e x
( )= im Intervall −11 , mit dem fol-
genden Aufruf visualisieren, wobei eine Unterteilung des Inter-
valls in 10 Segmente gewählt wurde (die Aufrufsyntax ist sehr
ähnlich zu der, die wir von der Funktion plotfunc2d kennen:
Zuerst geben wir die darzustellende Funktion an, dann den ent-
sprechenden Definitionsbereich und schließlich die Anzahl der

2 Grundkurs Analysis
Unterteilungen des Integrationsintervalls, d.h. im wesentlichen
die Genauigkeit, mit der die Fläche unter dem Graphen angenä-
hert werden soll):
• plot(student::plotRiemann(exp(x), x = -1..1, 10))
Riemann: 2.346
real: 2.350
y
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x
Über ?student erhalten Sie eine Übersicht der zur Verfügung
stehenden Integrationsverfahren.
Übungen
Berechnen Sie das bestimmte Integral der Funktionen f ( x) = sin( x)
und f ( x) = cos( x)
in den Grenzen 0 bis 2.
Bestimmen Sie die folgenden Integrale:
sin( x)cos( x) dx,
x dx z z
π
2
1 1
0
0 2
1−
.
Berechnen Sie die unbestimmten Integrale der folgenden Funktionen:
z
z 1
⋅
4x+ 1
(1) e dx
−x
(2) x e dx
a f2 z
(3) ln( x) dx
(4)
z
ln( x)
2
x
dx
31

32
2.4 Ein Extremwertproblem
z z
2 tx
2 tx
(5) txedx ⋅ und txedt ⋅
z
2
x −1
(6) ln( x)
− dx 2
e −1
Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch die
Funktion f x e x 2 + 1
( )= im Intervall 04 , gegeben ist. Verwenden Sie
z0
2 1 2
4
c h .
x+
dazu die Formel V = π ⋅ e dx
2
Für k ∈IR ist die Funktionenschar f ( x)= x −kx ⋅e
k
x c h gegeben.
Bestimmen Sie k ∈IR so, dass die zugehörige Funktion mit der x-
Achse eine Fläche mit dem Inhalt 4 Flächeneinheiten einschließt.
c h und ihre Tangente im Berühr-
b g schließen eine Fläche ein.
Die Funktion f x x x e x
( )= + + ⋅ −
2 3 2
punkt P 0?
(a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f(x).
(b) Bestimmen Sie die Tangente an den Graphen.
(c) Zeichnen Sie die Funktion und die Tangente in ein gemein-
sames Koordinatensystem ein.
(d) Bestimmen Sie die Schnittstellen der Tangente mit dem
Funktionsgraphen. Wählen Sie nun diese als Integrationsgrenzen
für das zu bestimmende Integral.
2.4 Ein Extremwertproblem
Neue MuPAD-Funktionen
assume Festlegen von Variablenbereichen
Eine zylinderförmige Konservendose soll einen Inhalt von 1 Liter fas-
sen. Wie sind nun der Radius r und die Höhe h zu wählen, damit der
Blechverbrauch zur Herstellung der Konservendose möglichst gering
ist?

2 Grundkurs Analysis
Da der Blechverbrauch von der Größe der Oberfläche abhängt, be-
trachten wir zunächst die bekannte Formel zur Berechnung der Ober-
fläche eines Zylinders:
2
Arh (,)= 2πr+ 2π
rh
Diese Formel übertragen wir nach MuPAD, wobei wir annehmen kön-
nen, dass für r und h nur positive (reelle) Zahlen in Betracht kom-
men:
• delete r, h: assume(r > 0): assume(h > 0):
• A:= 2*PI*r^2 + 2*PI*r*h
2 ⋅π⋅r 2 + 2 ⋅π⋅h ⋅ r
Um sicher zu stellen, dass r und h keine Werte besitzen, mussten wir
über delete mögliche Werte der Variablen löschen.
Wir haben nun von der Aufgabe die Vorgabe, dass das Volumen 1
Liter betragen soll. Die Formel für das Volumen eines Zylinders ist:
• V:= r^2*PI*h
π⋅h ⋅ r 2
Die letzte Gleichung ist also unsere Nebenbedingung, mit der wir in
der Gleichung für die Oberfläche einen Parameter eliminieren können.
Wir lösen die Formel V der Einfachheit halber nach h auf:
• L:= solve(1000 = V, h)
1000
π⋅r 2
und setzen den Wert von h in den Funktionsterm von A ein:
• A:= subs(A, h = L[1])
2 ⋅π⋅r 2 + 2000
r
Damit haben wir unsere Zielfunktion gefunden, die wir jetzt nur noch
auf mögliche Extremstellen untersuchen müssen. Wir berechnen die
erste Ableitung:
33

34
• A1:= diff(A, r)
4 ⋅π⋅r − 2000
r 2
und bestimmen deren Nullstellen:
• L:= solve(A1 = 0, r)
3
500
√
3
π
2.4 Ein Extremwertproblem
Zum Überprüfen der hinreichenden Bedingung berechnen wir die
zweite Ableitung von A und setzen den für r erhaltenen Wert dort ein:
• A2:= diff(A, r, r)
4 ⋅π+ 4000
r 3
• subs(A2, r = L[1])
12 ⋅π
Dieser Wert ist positiv – damit haben wir ein Minimum gefunden. Nun
gilt es, noch den zugehörigen Wert für die Höhe h zu bestimmen.
Um h zu berechnen, setzen wir in die Gleichung V=1000 für das
Volumen den berechneten Wert für r ein:
• s:= subs(V = 1000, r = L[1])
√ 3
π
⋅ 500
2
3
⋅ h = 1000
und lösen diese Gleichung schließlich nach h auf:
• solve(s, h)
3
2 ⋅ 500
√
3
π

2 Grundkurs Analysis
2.5 Das Arbeiten mit MuPAD-Bibliotheken
Das meiste mathematische Wissen von MuPAD ist in sogenannten
Bibliotheken strukturiert. Eine Bibliothek besteht aus einer Sammlung
von Funktionen zur Lösung von Problemen eines speziellen Gebietes
wie etwa der Linearen Algebra, der Analysis, der Algebra, der Nume-
rik usw.
Die MuPAD-Bibliothek numeric beispielsweise stellt eine Vielzahl
an Funktionen für die Numerik bereit. Mit info erhalten Sie eine Ü-
bersicht über alle Funktionen dieser Bibliothek:
• info(numeric)
Library 'numeric': functions for numerical
mathematics
-- Interface:
numeric::butcher, numeric::complexRound,
numeric::cubicSpline, numeric::det,
numeric::eigenvalues, numeric::eigenvectors,
numeric::expMatrix, numeric::fMatrix,
numeric::factorCholesky, numeric::factorLU,
numeric::factorQR, numeric::fft,
numeric::fsolve, numeric::gldata,
numeric::gtdata, numeric::indets,
numeric::int, numeric::inverse,
numeric::invfft, numeric::lagrange,
numeric::linsolve, numeric::matlinsolve,
numeric::ncdata, numeric::odesolve,
numeric::odesolve2,
numeric::odesolveGeometric,
numeric::polyroots, numeric::polysysroots,
numeric::quadrature, numeric::rationalize,
numeric::realroot, numeric::realroots,
numeric::singularvalues, numeric::singularvectors,
numeric::solve, numeric::sort,
numeric::spectralradius
Nehmen wir uns einmal die Funktion numeric::fsolve zur Bestim-
mung einer Nullstelle einer Funktion in einem vorgegebenen Bereich
heraus:
• numeric::fsolve(sin(x), x = 2..4)
x = 3.141592654
35

36
2.6 Hilfe, ich weiß nicht weiter ...
Wie Sie an diesem Beispiel erkennen können, brauchen Funktionen
einer Bibliothek nicht explizit in MuPAD eingeladen werden. Bei einer
erstmaligen Verwendung wird die Funktion automatisch geladen und
entsprechend dem Aufruf ausgeführt (daher kann es bei erstmaligen
Aufrufen von MuPAD-Funktion zu relativ langen Ladezeiten führen;
bei einer erneuten Verwendung der Funktion sind die Ausführungszei-
ten entsprechend schneller).
Zum interaktiven Arbeiten mit Bibliotheken bietet es sich an, ihre
Funktionen zu „exportieren“, d.h. dem System global bekannt zu ma-
chen. Danach sind sie direkt ohne den Namen der Bibliothek aufruf-
bar. Am Beispiel der Funktion numeric::det zur Bestimmung der De-
terminante einer Matrix mit numerischen Methoden sieht das dann
wie folgt aus:
• export(numeric, det):
• det(matrix([[2, 1], [2, 2]]))
2.0
Funktionen einer Bibliothek lassen sich jedoch nur exportieren, wenn
der Name der Funktion ein „freier“ Bezeichner, d.h. ein Bezeichner
ohne Wert ist.
Die wichtigste MuPAD-Bibliothek trägt den Namen stdlib. Sie
enthält zentrale Funktionen des Systems wie beispielsweise diff,
simplify oder int. Alle Funktionen dieser Bibliothek stehen (nur)
global zur Verfügung, d.h. sie werden nicht über den Bibliotheksna-
men stdlib:: angesprochen.
2.6 Hilfe, ich weiß nicht weiter ...
Neue MuPAD-Funktionen
?befehl Öffnet die entsprechende Hilfeseite zu einem Befehl

2 Grundkurs Analysis
Kennen Sie den Namen eines MuPAD-Befehls, wissen aber nicht mehr
seine genaue Bedeutung oder die exakte Aufrufsyntax, so hilft ein
Blick auf die zugehörige Hilfe-Seite. Um beispielsweise die Hilfe-Seite
der Funktion limit anzufordern, geben Sie den Befehl ?limit ein.
Nach Ausführen des Befehles wird der Hilfe-Assistent gestartet und
der Befehl limit im unteren Fenster des Hilfe-Assistenten markiert.
Bestätigen Sie die Auswahl durch „Anzeigen“, woraufhin das Hilfe-
System von MuPAD gestartet und die entsprechende Hilfeseite ange-
zeigt wird.
Das Hilfe-System von MuPAD ist hypertextbasiert. Stichworte sind
farbig markiert, durch Anklicken eines dieser Stichworte kann auf die
entsprechende Seite im Handbuch verzweigt werden. Sie können im
Handbuch unmittelbar auf das Inhaltsverzeichnis, den Index oder auf
das vorhergehende bzw. folgende Kapitel springen.
Beispiele, die am Ende einer Beschreibung eines MuPAD-Befehls
zu finden sind, lassen sich direkt in ein MuPAD-Notebook übertragen.
Dazu genügt ein Doppelklick auf das farbig markierte Symbol >> am
Beginn jedes Beispiels.
Was aber, wenn Sie mit MuPAD eine bestimmte Aufgabe lösen
wollen, beispielsweise das charakteristische Polynom einer Matrix be-
rechnen wollen, aber den Namen der entsprechenden MuPAD-
Funktion nicht kennen? Auch hier hilft Ihnen der Hilfe-Assistent, in-
dem Sie entweder durch Auswahl der Registerkarte „Suchen“ nach
bestimmten Wörtern (wie beispielsweise chara für charakteristisches
Polynom) suchen lassen oder in der Registerkarte „Inhalt“ den Eintrag
„Lineare Algebra“ auswählen, um auf die Hilfeseite der MuPAD-Biblio-
thek linalg zu gelangen. Dort werden Sie schnell den gewünschten
MuPAD-Befehl finden.
Übungen
Mit welchen MuPAD-Funktionen können Differentialgleichungen
in MuPAD gelöst werden?
37

38
2.7 Differentialgleichungen – Eine Anwendungsaufgabe
Welche MuPAD-Funktion löst lineare Gleichungssysteme?
Wie lautet der Name der MuPAD-Bibliothek zur elementaren Zah-
lentheorie?
Suchen Sie die Seite im MuPAD-Handbuch, die Ihnen eine Übersicht
über alle MuPAD-Bibliotheken liefert!
Tipps
Eine Demonstration der mathematischen Fähigkeiten von MuPAD
kann auf der Registerkarte „Inhalt“ des Hilfe-Assistenten geöff-
net werden, indem der Punkt „Demonstration“ angewählt und
auf den Befehl „Anzeigen“ geklickt wird.
Die kontextabhängige Hilfe des Hilfe-Assistenten kann Fragen
zum Hilfe-Assistenten beantworten.
Die Windows-Hilfe erklärt die Benutzung des Hilfe-Assistenten.
Die elektronische interaktive Buchversion des deutschen MuPAD-
Tutoriums wird mit MuPAD Pro ausgeliefert. Im Menü „Hilfe“ fin-
den Sie dazu den Eintrag „Tutorium öffnen“.
2.7 Differentialgleichungen – Eine
Anwendungsaufgabe
Neue MuPAD-Funktionen
ode Definiert eine Differentialgleichung
solve Lösen einer Differentialgleichung
S[i] Liefert das i-te Element einer Menge S
Die Temperatur eines Backrohres sei beschrieben durch die folgende
Gleichung:
Tt () = − ⋅e −
200 180
Eine Pizza soll 20 Minuten bei ca. 200°C gebacken werden. Die Tem-
peraturzunahme ist proportional zur Differenz der Temperatur des
03 . x

2 Grundkurs Analysis
Backrohres und der Pizza mit einem Proportionalitätsfaktor von 0,2.
Nach wie vielen Minuten erreicht die Pizza 95% der Endtemperatur?
PAD:
Wir übertragen die Temperaturfunktion des Backrohres nach Mu-
• T:= 200 - 180*exp(-0.3*t)
− 0.3 ⋅ x − 0.3
200 − 180 ⋅ e
Die Temperatur der Pizza, die zugleich mit dem Einschalten in das
Backrohr kommt, ergibt sich durch:
dP() t
= ,2 ⋅ Tt () −Pt
()
dt
0 a f
wobei P(t) die Temperatur der Pizza zum Zeitpunkt t beschreibt. Neh-
men wir nun zum Zeitpunkt 0 eine Anfangstemperatur der Pizza von
20°C an, so übersetzen wir dieses Anfangswertproblem nach MuPAD
durch folgende Anweisung:
• o:= ode({diff(p(t), t) = 0.2*(T - p(t)), p(0) = 20},
p(t))
ode
p 0 = 20, 0.2 ⋅ p t + ∂
−0.3⋅t
p t + 36.0 ⋅ e − 40.0 , p
∂t
t
Diese Differentialgleichung lässt sich nun mit MuPAD über den be-
kannten Befehl solve lösen:
• s:= solve(o)
⎧
⎪⎨
⎪⎩ −340.0 ⋅ e−0.2⋅t +
e t 10
⎫
⎪⎬
360.0 ⋅ e−0.2⋅t
⎪⎭
Eine Antwort auf unsere Ausgangsfrage erhalten wir dann wie folgt:
• solve(s[1] = 200*0.95, t)
Die symbolische Lösung ist etwas komplexer in der Ausgabe, daher
haben wir sie hier nicht angegeben.
39

40
3. Lineare Algebra
3.1 Erstellen von Matrizen
Neue MuPAD-Funktionen
linalg Die MuPAD-Bibliothek zur Linearen Algebra
matrix Erzeugen von Matrizen und Vektoren
Um Ihnen einen Einstieg in die Lineare Algebra zu geben, lernen wir
in diesem Abschnitt, wie sich Matrizen in MuPAD erstellen lassen und
wie mit ihnen gerechnet wird. Zudem werden wir einen kleinen Ein-
blick in die Bibliothek linalg von MuPAD bekommen, die eine Reihe
von Funktionen aus dem Gebiet der Linearen Algebra umfasst.
3.1 Erstellen von Matrizen
Wir geben die folgende Matrix in MuPAD ein:
⎛ ⎞
14033
⎜ ⎟
⎝20020⎠
70321
• matrix([[1, 4, 0, 3, 3], [2, 0, 0, 2, 0], [7, 0, 3, 2,
1]])
1 4 0 3 3
2 0 0 2 0
7 0 3 2 1
Wir erzeugen eine Matrix also mit dem MuPAD-Befehl matrix,
dem in runden Klammern als Argument die Einträge der Matrix pro
Zeile in einem Paar eckiger Klammern [...] angegeben wird.
Übung
Testen Sie einige Eingaben, auch Eingaben, die vermutlich von
MuPAD nicht als korrekt akzeptiert werden! Was passiert, wenn
man Zeilen mit unterschiedlicher Anzahl an Elementen eingibt?
Wir geben einige spezielle Schreibweisen an:

• A:= matrix([[8, 3, 5, 6]])
8356
3 Lineare Algebra
Vergleichen wir diese Matrix (eine 1x4-Matrix, auch Zeilenvektor mit
4 Einträgen genannt) mit der 4x1-Matrix:
• A:= matrix([8, 3, 5, 6])
⎛ ⎞
8
⎜
⎜3
⎟
⎜
⎟
⎝5
⎠
6
so sehen wir, dass uns MuPAD hier die Eingabe der Matrix erleichtert,
denn eigentlich hätten wir ja konsistenterweise die Matrix wie folgt
angeben müssen (was wir natürlich auch tun können):
• A:= matrix([[8], [3], [5], [6]])
⎛ ⎞
8
⎜
⎜3
⎟
⎜
⎟
⎝5
⎠
6
Über die Befehlsleiste von MuPAD Pro können Sie Matrizen sehr
leicht eingeben. Klicken Sie dazu auf das entsprechende Matrixsymbol
und wählen Sie die passende Zeilen- und Spaltenzahl aus. Für eine
4x4-Matrix wird dann der folgende Text in die aktuelle Eingaberegion
eingefügt:
• matrix([[%?,%?,%?,%?], [%?,%?,%?,%?], [%?,%?,%?,%?],
[%?,%?,%?,%?]])
Mit bzw. springen Sie auf den Einträgen %? vor
und zurück.
Übungen
Erstellen Sie einen Zeilenvektor mit den Einträgen 1,2,3.
Versuchen Sie, in MuPAD die drei Einheitsvektoren des IR 3 ein-
zugeben.
41

42
3.2 Zeilen- und Spaltenzahl einer Matrix
Geben Sie ein Beispiel einer Diagonalmatrix an!
Erstellen Sie die 4x5-Nullmatrix!
3.2 Zeilen- und Spaltenzahl einer Matrix
Neue MuPAD-Funktionen
linalg::ncols Anzahl der Spalten einer Matrix
linalg::nrows Anzahl der Zeilen einer Matrix
Um die Zeilenzahl und Spaltenzahl einer Matrix zu erhalten, bietet
MuPAD die Befehle linalg::ncols (number of columns, englisch:
Anzahl an Spalten) und linalg::nrows (number of rows, englisch:
Anzahl an Zeilen) an:
• M:= matrix([[1, 7], [3, 1], [1.5, 0]])
1
7
3 1
1.5 0
• linalg::ncols(M)
2
• linalg::nrows(M)
3
3.3 Zugriff auf die Einträge einer Matrix
Neue MuPAD-Funktionen
A[i, j] Koeffizient der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A
linalg::col Extrahieren von Spalten einer Matrix
linalg::row Extrahieren von Zeilen einer Matrix

3 Lineare Algebra
Um auf die Koeffizienten einer Matrix zuzugreifen, verwendet man
den Operator []. Dazu ein Beispiel:
• M:= matrix([[1, 4, 0, -1], [3, 4, 7, 8], [-5, -6, 7,
1]])
1 4 0 − 1
3 4 7 8
− 5 − 6 7 1
Den Koeffizienten der 2. Zeile und 1. Spalte erhalten wir dann wie
folgt:
• M[2, 1]
3
Weitere Beispiele:
• M[1, 3]
0
• M[2, 3]
7
Auf ähnliche Weise lassen sich Einträge einer Matrix ändern, ohne
gleich die gesamte Matrix neu erstellen zu müssen:
• M[1, 3]:= 2
• M
1 4 2 − 1
3 4 7 8
− 5 − 6 7 1
Wie wir sehen, haben wir den Eintrag der 1. Zeile und 3. Spalte durch
den Wert 2 ersetzt.
Schließlich lassen sich über den Klammernoperator nicht nur ein-
zelne Einträge, sondern ganze Teilmatrizen extrahieren:
43

44
• M1:= M[1..3, 2..3]
4
2
4 7
− 6 7
• zeile1:= M[1..1, 1..4]
( 1 4 2 − 1 )
3.4 Elementare Matrixrechnung
Zum Extrahieren von Zeilen und Spalten stehen aber auch die Funkti-
onen linalg::row und linalg::col zur Verfügung:
• zeile1:= linalg::row(M, 1)
( 1 4 2 − 1 )
• spalten132:= linalg::col(M, [1, 3, 2])
Übungen
1
3
− 5
,
2 4
7 , 4
7 − 6
Was passiert, wenn man eine Zeilennummer (Spaltennummer)
angibt, die größer als die Zeilenzahl (Spaltenzahl) der Matrix ist?
Erstellen Sie mit MuPAD die Matrix X =
F
G
HG
1 −2
1 5
3 0 1 1
2 2 2 2
0 2 1 12
I
J
KJ
. Definieren
Sie nun diejenigen 2x2-Teilmatrizen A,B,C und D, so dass gilt:
X
A B
= F H G I K J .
C D
3.4 Elementare Matrixrechnung
Neue MuPAD-Funktionen
linalg::transpose Transponierte einer Matrix
+ Matrixaddition

3 Lineare Algebra
Neue MuPAD-Funktionen
* Matrixmultiplikation
^(-1) Matrixinversion
Zur Matrixrechung erstellen wir uns zwei Beispielmatrizen mit symbo-
lischen Einträgen:
• A:= matrix([[a11, a12], [a21, a22]])
a11 a12
a21 a22
• B:= matrix([[b11, b12], [b21, b22]])
b11 b12
b21 b22
die wir wie folgt addieren und multiplizieren können:
• A + B
• A * B
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
a11 ⋅ b11 + a12 ⋅ b21 a11 ⋅ b12 + a12 ⋅ b22
a21 ⋅ b11 + a22 ⋅ b21 a21 ⋅ b12 + a22 ⋅ b22
Natürlich ist es auch möglich, Matrizen in MuPAD zu invertieren, was
sehr angenehm ist, da gerade diese Operation – ähnlich wie das Lö-
sen von Gleichungssystemen – in der Regel recht aufwendig ist, aber
mathematisch nicht unbedingt eine große Herausforderung darstellt.
Zur Bestimmung der Inversen beispielsweise der Matrix:
45

46
3.4 Elementare Matrixrechnung
• A:= matrix([
[2, 0, 1, 3, 5], [4, 1, -1, 0, 4], [1, -1, 1, 0, 1],
[0, 2, 1, -6, 7], [-1, -2, 0, 3, 4]
])
⎛
2
⎜
4
⎜
⎝
1
0
0
1
− 1
2
1
− 1
1
1
3 5
0 4
0 1
− 6 7
− 1 − 2 0 3 4
⎞
⎟
⎠
müssen wir die Anweisung 1/A oder auch A^(-1) eingeben:
• iA:= 1/A
⎛
−
⎜
⎝
1 6 62
49 35 245 − 3 5
49 −
49
17 4
49 − 123
35 − 2
245 49 − 13
49
17 11
49 − 73 2
35 245 49 − 13
49
29 2
147 − 44
35 − 11
245 − 2
147 −
147
1 13
− 3 5
1
49
35
245
Wir überprüfen das Resultat:
• iA * A; A * iA
⎛
10000
⎜
01000
⎜
⎝
00100
00010
00001
⎛
10000
⎜
01000
⎜
⎝
00100
00010
00001
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
49
49
⎞
⎟
⎠
Ist eine Matrix nicht invertierbar, so liefert MuPAD als Ergebnis FAIL
zurück.
Übung
Gegeben seien die Matrizen A, B, C und D mit
F I
HG KJ F I = HG KJ = F HG I
KJ = − F
HG
2 0 0 −1
1 2 1 0
A= , B , C , D .
1 −1
3 3 3 4 0 −1
Übertragen Sie diese Matrizen nach MuPAD und berechnen Sie:
I K J

3 Lineare Algebra
A⋅ ( B + C) + A⋅ C ⋅D,( −A−( B − ( A + C − ( B + C) − D))),
T
A −2 ⋅A⋅B⋅D⋅A⋅D⋅B⋅D. Hinweis: Das hochgestellte T bezeichnet
die transponierte Matrix, die über linalg::transpose(A) be-
rechnet werden kann.
3.5 Weitere Tipps zur Eingabe von Matrizen
Neue MuPAD-Funktionen
Diagonal Option für matrix: Erzeugung von Diagonal-
matrizen
-> Definition einer Abbildung (Funktion)
Diagonalmatrizen lassen sich direkt über die Angabe der Option
Diagonal erstellen:
• matrix(4, 4, 1, Diagonal)
⎛
1 0 0 0
⎜⎜
⎝
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠
• matrix(4, 4, x -> x^2, Diagonal)
⎛
1 0 0
⎜
⎝
0 4 0
0 0 9
0
0
0
0 0 0 16
⎞
⎟
⎠
• matrix(3, 4, [1, 2, 1], Diagonal)
1000
0200
0010
Anstelle eine Liste von Zeilen anzugeben, lassen sich Matrizen erstel-
len, deren Einträge aus einer Funktion berechnet werden:
47

48
3.6 Über den Koeffizientenbereich von Matrizen
• matrix(3, 4, (i,j) -> (i^2 + j^2))
2
5 10 17
5 8 13 20
10 13 18 25
3.6 Über den Koeffizientenbereich von Matrizen
Neue MuPAD-Funktionen
Dom::Matrix Matrixerzeuger für Matrizen über Koeffizientenbe-
reiche
Dom::Integer Bereich der ganzen Zahlen
Dom::Rational Körper der rationalen Zahlen
Wir haben uns bisher nicht viele Gedanken über den Typ der Einträge
einer Matrix gemacht. In MuPAD hat man aber die Möglichkeit, die
Menge von Matrizen über einem bestimmten Koeffizientenbereich zu
betrachten. Das machen wir beispielsweise über den rationalen Zah-
len wie folgt:
• MQ:= Dom::Matrix(Dom::Rational):
• A:= MQ([[1, -3, 3], [3, -5, 3], [6, -6, 4]])
1 − 3 3
3 − 5 3
6 − 6 4
Berechnen wir nun die Inverse dieser Matrix:
• 1/A
⎛
3
− 8 ⎜ 7
⎝ − 8
3
−
− 1
8
3
8
3
4
3
8
3
8
1
4 4
⎞
⎟
⎠
so erkennen wir, dass die Einträge dieser Matrix rationale Zahlen
sind, während die Matrix A ausschließlich ganze Zahlen als Einträge
besitzt.

3 Lineare Algebra
Definieren wir nun die Matrix A explizit über den ganzen Zahlen:
• MZ:= Dom::Matrix(Dom::Integer):
• A2:= MZ(A)
1 − 3 3
3 − 5 3
6 − 6 4
und berechnen dann die Inverse dieser Matrix, so erhalten wir die fol-
gende Antwort von MuPAD:
• 1/A2
FAIL
Die Matrix ist also über dem festgelegten Koeffizientenbereich nicht
invertierbar, so wie wir es erwartet haben.
Wir können auch als Koeffizienten beliebige Einträge zulassen, mit
denen wir rechnen können (also insbesondere auch Parameter):
• A:= matrix([[2, 3], [a, 4]])
• A^2
2 3
a 4
3 ⋅ a + 4 18
6 ⋅ a 3 ⋅ a + 16
Tipp
MuPAD stellt mit den Bibliotheken Dom eine Vielzahl an Koeffizientenbereichen
für Matrizen zur Verfügung, u.a. Dom::Integer,
Dom::Rational, Dom::Real, Dom::Float und Dom::Complex.
49

50
3.6 Über den Koeffizientenbereich von Matrizen
4. Die linalg-Bibliothek
Neue MuPAD-Funktionen
linalg::matlinsolve Lösung linearer Gleichungssysteme
linalg::eigenvectors Eigenvektoren einer Matrix
linalg::charpoly charakteristisches Polynom einer Matrix
linalg::jordanForm Jordan’sche Normalform einer Matrix
linalg::gaussElim Gauß-Elimination
linalg::addRow Addieren einer Zeile zu einer anderen
linalg::addCol Addieren einer Spalte zu einer anderen
linalg::multRow Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar
linalg::multCol Multiplikation einer Spalte mit einem Skalar
linalg::expr2Matrix Umwandlung von linearen Gleichungssys-
temen in Matrixschreibweise
Die MuPAD-Bibliothek linalg stellt eine Reihe an wichtigen Funktio-
nen aus dem Gebiet der Linearen Algebra zur Verfügung. Einen Über-
blick über den Umfang des Paketes erhalten wir mit der Funktion in-
fo:
• info(linalg)
Library 'linalg': the linear algebra package
-- Interface:
linalg::addCol, linalg::addRow,
linalg::adjoint,
linalg::angle, linalg::basis,
linalg::charmat,
linalg::charpoly, linalg::col,
linalg::companion,
linalg::concatMatrix, linalg::crossProduct, ...
-- Exported:
conjugate, exp, norm, normal
Aufgrund ihrer Größe wurde die Ausgabe hier nur ausschnittsweise
widergegeben.

4 Die linalg-Bibliothek
Wir wollen nun einige Funktionen aus der Bibliothek zur Linearen
Algebra kennen lernen und beginnen mit der Erstellung einer Bei-
spielmatrix:
• A:= matrix([[1, -3, 3], [3, -5, 3], [6, -6, 4]])
1 − 3 3
3 − 5 3
6 − 6 4
Das System der Eigenwerte und Eigenvektoren von A liefert uns die
folgende Funktion:
• linalg::eigenvectors(A)
⎡
⎢
⎣ − 2, 2,
⎡
1 − 1 ⎢
1 , 0 , ⎣4, 1,
0 1
⎡ ⎛
1
⎢ ⎜2
⎣ ⎝1
2
1
⎞⎤
⎤⎤
⎟⎥
⎥⎥
⎠⎦
⎦⎦
Das Ergebnis besteht in diesem Fall aus einer Liste von zwei Teillis-
ten. In jeder Teilliste steht zuerst der entsprechende Eigenwert (hier
-2 und 4), dann dessen algebraische Vielfachheit (hier 2 und 1, d.h.
-2 ist eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms von
A), und schließlich eine Liste von Eigenvektoren zum jeweiligen Ei-
genwert. Diese Folge von Eigenvektoren bildet jeweils ein Eigensys-
tem zum entsprechenden Eigenwert.
folgt:
Das charakteristische Polynom einer Matrix bestimmen wir wie
• linalg::charpoly(A, x)
x 3 − 12 ⋅ x − 16
Dabei übergeben wir dieser Funktion als 2. Parameter die Unbe-
stimmte des charakteristischen Polynoms (hier: x).
Die Diagonalisierung einer Matrix führen wir direkt über die fol-
gende Anweisung aus:
51

52
4.1 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
• linalg::jordanForm(A)
− 2 0 0
0 4 0
0 0 − 2
Das Paket stellt auch Funktionen für die elementaren Zeilen- und
Spaltenoperationen zur Verfügung, z.B. linalg::addRow und li-
nalg::addCol, linalg::multCol und linalg::multRow, usw. Damit
lassen sich z.B. die einzelnen Rechenoperationen des Gauß-
Verfahrens schrittweise durchführen.
Übungen
Was macht die Funktion linalg::gaussElim? Welche Informationen
liefert uns die Option All dieser Funktion?
Wie berechnet man die Determinante einer quadratischen Matrix
in MuPAD? Geben Sie Beispiele an!
Berechnen Sie die allgemeine Lösung des folgenden Systems linearer
Gleichungen: x + y+ z = 10, 2x − y+ z = 8, 3x + 2z = 18.
Verwen-
den Sie dafür die Funktionen linalg::expr2Matrix und li-
nalg::matlinsolve! Finden Sie heraus, mit welcher Funktion
der Standard-Bibliothek Sie dieses System auch direkt lösen
können!
4.1 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von
Vektoren
Wir wollen nun Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängig-
keit untersuchen. Wie so oft lernt man den Umgang mit Vektoren in
MuPAD am besten anhand von Beispielen.

4 Die linalg-Bibliothek
Dazu betrachten wir zunächst die folgenden drei Vektoren:
F
G
HG
I
1 1 0
1 1
2J
, 4 0 J
G
J,
J
G
J . Der Ansatz a⋅ J
G 2 b c G
J + ⋅ J
G4
G
J + ⋅ J −1
2 1
−1
2
K
F
H
I
K
F
H
I
K
homogenes lineares Gleichungssystem:
F
H
I
K
F
H
I
K
F
G
HG
F
G
HG
I
J
K
53
J =
0
0 0 führt dann auf ein
1
I
1 1 0
2 4 0 J −1
2 1
⋅
K
F
G
HG
I
J
K
J =
a
b
c
Besitzt dieses System als einzige Lösung a= b= c=
0, so sind die
Vektoren linear unabhängig, anderenfalls linear abhängig.
Wir erstellen die drei Vektoren in MuPAD:
• v1:= matrix([1, 2, -1]):
• v2:= matrix([1, 4, 2]):
• v3:= matrix([0, 0, 1]):
und erhalten die entsprechende Koeffizientenmatrix des linearen Glei-
chungssystems wie folgt:
• A:= v1 . v2 . v3
1
1 0
2 4 0
− 1 2 1
Der Punktoperator fügt also in diesem Kontext Vektoren zu einer Mat-
rix zusammen.
In MuPAD können wir das Gleichungssystem mit dem Befehl
• linalg::matlinsolve(A, matrix([0, 0, 0]))
0
0
0
lösen. Ihr werden die Koeffizientenmatrix und der Rechte-Seite-
Vektor als Parameter übergeben.
Wir erhalten das Ergebnis a= b= c=
0, d.h. die Vektoren sind linear
unabhängig.
Wir wissen, dass in einem dreidimensionalen Vektorraum eine
Menge von drei linear unabhängigen Vektoren eine Basis bildet. Fer-
F
G
HG
0
0
0
I
J
KJ
.

54
4.1 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
ner ist uns bekannt, dass jeder Vektor
F
G
H
G
a
a
a
1
2
3
I
J
K
J
des Vektorraumes eindeu-
tig bestimmte Koordinaten bezüglich dieser Basis haben muss, d.h. es
gibt eindeutig bestimmte Zahlen x1, x2, x3,
so dass gilt:
F 1I
F1I
F0I
a1
x1⋅G2x2 4 x3
0 a2
G
J + ⋅ J
G
J + ⋅ J
G
J −1
2 1 a
=
F I
G
J . Wir wollen nun versuchen, im Falle des
J
H
K
Vektors
F
G
HG
1
2
3
H
I
J
KJ
K
H
K
H
3
K
seine Koordinaten bezüglich der Basis aus unseren drei
Vektoren zu bestimmen. Das ist ganz einfach, denn wir müssen ledig-
lich das inhomogene lineare Gleichungssystem
F
G
HG
I
1 1 0
2 4 0 J −1
2 1
⋅
lösen. Das machen wir ganz analog zur obigen Vorgehensweise:
• linalg::matlinsolve(A, matrix([1, 2, 3]))
1
0
4
Für einen beliebigen Vektor
lung wie folgt:
F
G
H
G
a
a
a
1
2
3
I
J
K
J
K
F
G
H
G
x
x
x
1
2
3
I
J
K
J =
erhalten wir die Koordinatendarstel-
• L:=linalg::matlinsolve(A, matrix([a1, a2, a3]))
⎛
⎜
⎝
4 ⋅ a1 −
2 ⋅ a1 − a2
2
− a1 + a2
2
+ a3
3 ⋅ a2
2
⎞
⎟
⎠
Das ist die allgemeine Lösung des obigen Gleichungssystems, was wir
sofort nachprüfen können:
F
G
HG
1
2
3
I
J
KJ

4 Die linalg-Bibliothek
• L[1] * v1 + L[2] * v2 + L[3] * v3
a1
a2
a3
Übungen
Prüfen Sie die Vektoren
bzw. Unabhängigkeit!
F
G
HG
I
55
2 3 −1
1J,
0 2 J
G
J,
J
G
J auf lineare Abhängigkeit
J
1 −1
0
K
F
H
Zeigen Sie mit MuPAD: Zwei Vektoren des IR 3 sind genau dann
linear abhängig, wenn sie skalare Vielfache voneinander sind.
4.2 Eine Anwendung aus der Analytischen Geometrie
Neue MuPAD-Funktionen
linalg::angle Berechnung des Winkels zwischen zwei Vekto-
ren
Wir betrachten die Ebene Ex : l m
2 1 −3
= G 1 G
J + ⋅ − J
G 1 G
J + ⋅ J
G 1 G
−1
−1
4
F
H
I
K
F
H
I
J
KJ
F
H
I
K
I
K
F
H
F
H
I
K
I
K
F
H
I
J
K
J
und eine Gerade
gx : k
3 4
= G0
G
J + ⋅ − J
G 1 . Gesucht ist der Schnittpunkt von Gerade und Ebene.
G 1 2
F I
G
H
G
K
Wir setzen dazu die Ebenen- und die Geradengleichung gleich
F
H
I
K
F
H
I
K
F
H
I
K
F
H
I
K
F
H
I
K
3 4 2 1 3 1 3 4 1 1 3 4
0J
+ ⋅ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
J
G−
G
J 1 2 1 1 4 1 4 2 2 1 4 2
=
−
− −
G
J + ⋅ − J
G
J + ⋅ J
G
J ⇔ ⋅ − J
G
J + ⋅ J
G
J + ⋅ J
G = G
G−
G
J − −
−
−
⇔
− −
− J − −
⋅
l
k l m l m k
m
k
und erhalten als Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssys-
tems nach dieser Umformung:
F
H
I
K
F
H
I
J
K
J
F
H
I
K
F
G
H
G
I F
G
K H
G
I
J
K
J
F
1
= G−1
G 2
H
I
J
K
J

56
4.2 Eine Anwendung aus der Analytischen Geometrie
• A:= matrix([[1, -3, -4], [-1, 1, 1], [-1, 4, -2]])
1
− 3 − 4
− 1 1 1
− 1 4 − 2
Als rechte Seite des Systems erhält man nach obiger Rechnung den
Vektor:
• b:= matrix([1, -1, 2])
1
− 1
2
Das lösen wir wie bereits im vorhergehenden Abschnitt durch die fol-
gende Anweisung:
• L:= linalg::matlinsolve(A, b)
⎛
⎜
⎝
6
5
3
5
− 2
5
⎞
⎟
⎠
Die dritte Komponente des Lösungsvektors liefert uns den Wert, den
wir für k in die obige Geradengleichung einsetzen müssen. Wir erhal-
ten damit die folgenden Koordinaten für den Schnittpunkt von Gerade
und Ebene:
• matrix([3, 0, 1]) + L[3] * matrix([4, -1, 2])
⎛
7
5 ⎜
⎜2
⎝5
1
5
Übungen
⎞
⎟
⎠
Für die Multiplikation und Addition von Matrizen gilt das Distributivgesetz,
d.h. es ist A⋅ B+ C = A⋅ B+ A⋅C a f . Rechnen Sie nach, dass
dies für alle 2x2 Matrizen korrekt ist. Hinweis: Verwenden Sie die
Funktionen expand.

Für welche x ist die Matrix
bar?
4 Die linalg-Bibliothek
F
G
HG
x−1 x− 1 x+
2
x−1 2x− 3 x+
5
2( x−1) 3x− 4 3x+ 4
I
J
KJ
57
nicht invertier-
Hinweis: Berechnen Sie die Determinante von A. Die Determi-
nante von A ist ein Polynom in x, dessen Nullstellen die gesuch-
ten Werte für x sind, für die A nicht invertierbar ist. Verwenden
Sie die Funktionen linalg::det, solve.
Gegeben seien die Matrizen A und B mit
A =
F
G
HG
I
0 −2
x 1 3 0
2 3 −2J,
B = − J
G0
2 3 G
J . Für welche x ∈IR ist die Summe
J
0 4 −4
x −3
5
K
von A und B nicht invertierbar?
F
H
I
K
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des linearen Gleichungs-
F
G
H
1 2 0 4
4
systems Ax = b mit: A= −1 G
8
−2 1
−1 18 17
, b=
.
−6
−8
J G J
2 4 1 10 11
Es seien die Punkte A, B, C und D im IR 3 wie folgt gegeben: A(1
; 2 ; 3), B = (-1 ; 0 ; 2) und C = (-1 ; 2 ; -3) sowie D = (0 ; 4 ;
4). Bestimmen Sie die Geradengleichungen der Gerade G1 durch
die Punkte A und B und der Gerade G2 durch die Punkte C und
D. Bestimmen Sie den Winkel, in dem die Richtungsvektoren von
G1 und G2 zueinander liegen. Hinweis: Verwenden Sie die Funk-
tion linalg::angle.
Zeigen Sie mit MuPAD, dass für beliebige 3x3 Matrizen A und B
folgendes gilt: det( A⋅ B) = det( A) ⋅ det( B)
. Hinweis: Verwenden Sie die
Funktionen linalg::det und expand.
I
J
K
F
G
H
3
I
J
K

58
5.1 Kombinatorische Berechnungen
5. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Dieses Kapitel soll Ihnen einen Einblick in die Einsatzmöglichkeiten
von MuPAD in der Stochastik geben.
5.1 Kombinatorische Berechnungen
Neue MuPAD-Funktionen
fact Fakultät
binomial Bestimmung des Binomialkoeffizienten
Wir beginnen dazu mit einfachen Aufgaben aus der Kombinatorik:
1. Wir werfen mit einem idealen Würfel 30 mal und legen Wert auf
die Reihenfolge der Wurfergebnisse. Dann gibt es:
• 6^30
221073919720733357899776
verschiedene Wurfergebnisse.
2. Es sollen 25 Personen auf 25 Plätze verteilt werden. Wie viele
mögliche Sitzverteilungen gibt es dabei? Die Antwort lautet:
• fact(25)
15511210043330985984000000
Für 100 Personen und 100 Plätze lautet das Ergebnis:
• fact(100)
9332621544394415268169923885626670049071596826438162146
8592963895217599993229915608941463976156518286253697920
827223758251185210916864000000000000000000000000
Nun, diese Zahl ist wirklich so groß, dass wir sie gar nicht mehr
überblicken können. Um eine Vorstellung von dieser Zahl zu erlan-
gen, führen wir die Berechnung wie folgt aus:
• float(fact(100))

5 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
9.332621545 ⋅ 10 157
Geben wir den 100 Personen für das Wechseln von einer Sitzord-
nung zur nächsten 15 Minuten Zeit, so würde es:
• float(fact(100)/35040)
2.663419391 ⋅ 10 153
Jahre dauern, um alle Sitzordnungen auszuprobieren.
3. Alle möglichen Ziehungsergebnisse beim Lotto „6 aus 49“ erhalten
wir bekannterweise wie folgt:
• binomial(49, 6)
13983816
Die Wahrscheinlichkeit, im Lotto „6 aus 49“ genau 6 Richtige zu
erhalten, ist also näherungsweise:
• float(1/binomial(49, 6))
Übungen
0.00000007151123842
Machen Sie sich ein wenig mit den Funktionen fact und binomi-
al vertraut. Experimentieren Sie ruhig auch mit großen Zahlen –
Ihnen sind dabei (fast) keine Grenzen gesetzt.
Wir werfen eine Münze 20 mal. Wie viele mögliche Wurfergebnisse
gibt es?
Bei einem Kartenspiel erhält man 8 aus 32 Karten. Wie viele
mögliche „Blätter“ kann man erhalten?
Nach einem Vortrag sollen 5 Mathematiker von einem Reporter
fotografiert werden. Sie können sich aber über die Anordnung
nicht einigen. Folglich beschließen Sie, sich in allen möglichen
Anordnungen fotografieren zu lassen. Der Reporter hat einen
Film mit 32 Bildern. Reicht ein Film?
59

60
5.2 Simulation einfacher Laplace-Experimente
Das Vorgehen aus der vorherigen Aufgabe hat sich bewährt. Nun
treffen sich 5 Mathematiker auf einem Kongress. Sie entstam-
men zwei verschiedenen Nationalitäten. Auch sie wollen sich
wieder fotografieren lassen – ihnen kommt es jedoch nur auf An-
ordnung bezüglich ihrer Nationalität an. Wie viele mögliche Auf-
nahmen gibt es? Ist die Aufgabe überhaupt eindeutig gestellt
bzw. lösbar?
5.2 Simulation einfacher Laplace-Experimente
Neue MuPAD-Funktionen
random Erzeugung von Zufallszahlen
print Funktion zur Ausgabe von Daten
Um einfache Laplace-Experimente zu simulieren, können wir in Mu-
PAD auf die Funktion random zurückgreifen. Zunächst wollen wir als
einfachsten Fall einen Münzwurf mit einer idealen Münze simulieren.
Wir einigen uns darauf, dass die 1 für das Symbol „Kopf“ und die 2
für das Symbol „Zahl“ steht. Die Münze soll zunächst nur einmal ge-
worfen werden. Wir definieren uns zunächst eine Variable für unser
Zufallsexperiment. Diese nennen wir MuenzWurf:
• MuenzWurf:= random(1..2):
Wir können nun das einmalige Würfeln einer Münze durch:
• MuenzWurf()
2
simulieren. Um die Münze 10 mal hintereinander zu werfen, können
wir den Aufruf dieser Funktion in eine Schleife packen und jeden Wurf
über die Funktion print auf dem Bildschirm ausgeben:
• for i from 1 to 10 do print(MuenzWurf()) end_for
1

2
2
1
1
2
1
2
2
2
5 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Natürlich können wir damit auch das 10-malige Würfeln mit einem
idealen Würfel simulieren. Wir ändern die obigen Zeilen nur ein wenig
ab, da wir ja nun Zufallszahlen zwischen 1 bis 6 erzeugen müssen.
• Wuerfeln:= random(1..6):
• for i from 1 to 10 do print(Wuerfeln()) end_for
4
4
3
3
2
1
4
4
6
1
Übungen
In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, welche mit den Zahlen 1
bis 30 markiert sind. Sie unterscheiden sich nur in ihrer Markie-
61

62
5.3 Relative Häufigkeiten und das Gesetz der großen Zahlen
rung, nicht in ihrer Größe oder Oberfläche. Simulieren Sie mit
MuPAD 10 Ziehungen aus dieser Urne, wobei die gezogene Kugel
stets wieder zurückgelegt werden soll und lediglich ihre Markie-
rung vor dem Zurücklegen festgestellt und notiert werden soll.
Führen Sie das Experiment ein weiteres Mal aus. Wie es der Zufall
will, so sollten — nach dem Gesetz der großen Zahlen zu ur-
teilen — nun andere Zahlen erscheinen.
In einer Schulklasse von 27 Personen wird zu Beginn jeder Stunde
eine Schülerin oder ein Schüler aufgefordert, den Unterrichts-
inhalt der vergangenen Stunde zu wiederholen. Dabei wird sie
oder er zufällig nach folgendem Verfahren ausgelost: In einem
Kasten befinden sich die Namen aller Personen. Zu Beginn zieht
der Lehrer einen Zettel mit einem Namen – diese Person ist da-
mit auserwählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal
hintereinander die gleiche Person den Unterrichtsinhalt der ver-
gangenen Stunde wiederholen muss?
5.3 Relative Häufigkeiten und das Gesetz der großen
Zahlen
Wir wollen nun die Ergebnisse aus dem vorhergehenden Abschnitt
nutzen, um relative Häufigkeiten zu bestimmen. Dazu betrachten wir
wieder einen idealen Würfel und zählen die relative Häufigkeit der
Sechsen. Wir schreiben eine Prozedur, der wir die Anzahl n der
Durchführungen unseres Experimentes übergeben, die dann in der
Variablen rh die Anzahl der gewürfelten Sechsen zählt und anschlie-
ßend die relative Häufigkeit per Division von rh durch n berechnet:
• Wuerfeln:= random(1..6):
• relativeHaeufigkeit:= proc(n)
local rh;
begin
rh := 0;
for i from 1 to n do

5 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
if Wuerfeln() = 6 then rh := rh + 1 end_if;
end_for;
return(rh/n)
end:
Mit dem Aufruf:
• relativeHaeufigkeit(10)
1
10
bestimmen wir nun die relative Häufigkeit der 6 bei 10-maligem Wür-
feln. Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, bei
1/6 liegt.
Bei zunehmender Versuchsanzahl (also bei wachsendem n) nähert
sich die relative Häufigkeit der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit im-
mer besser an. Wir wollen das experimentell überprüfen und würfeln
hintereinander zunächst 10-mal, dann 100-mal, dann 1000-mal usw.,
bis maximal 100000-mal und bestimmen jeweils die zugehörige rela-
tive Häufigkeit:
• float(relativeHaeufigkeit(10))
0.2
• float(relativeHaeufigkeit(100))
0.17
• float(relativeHaeufigkeit(1000))
0.157
• float(relativeHaeufigkeit(10000))
0.1688
• float(relativeHaeufigkeit(100000))
0.16768
63

64
Übungen
5.4 Berechnung der Binomialverteilung
Versuchen Sie, das obige Berechnungsverfahren so zu modifizieren,
dass es Ihnen die relative Häufigkeit von Einsen und Sech-
sen bestimmt.
Hinweis: Denken Sie dabei besonders über die Rolle der if-
Anweisung in der obigen Prozedur nach.
Schreiben Sie eine neue Prozedur, die die relative Häufigkeit der
0 beim Roulette berechnet. Gehen Sie dabei wieder von n-
maliger Durchführung des Experimentes aus. Hinweis: Auch hier
können Sie große Teile der obigen Prozedur übernehmen – den-
ken Sie lediglich noch einmal über die Rollen der random-
Funktion in der Prozedur nach.
5.4 Berechnung der Binomialverteilung
Neue MuPAD-Funktionen
sum Berechnung von Summen
plot::Bars2d Grafische Darstellung von „Daten“ mit MuPAD
plot Ausgabe einer Grafik auf dem Bildschirm
Wir betrachten ein Experiment, welches n-mal (voneinander un-
abhängig) durchgeführt wird. Wir interessieren uns dabei nur für die
zwei möglichen Versuchsausgänge „Treffer“ und „Niete“.
Wir gehen davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer
durch p (0

5 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
• B := (n, p, k) -> binomial(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k):
Diese Funktion können wir in einem beliebigen Zufallsexperiment
verwenden, solange wir eine Binomialverteilung zugrunde legen kön-
nen.
Dazu ein Beispiel: Wir werfen 50-mal mit einem idealen Würfel.
Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: (1)
Man wirft genau 10-mal eine 6, (2) Man wirft mindestens 2 und höch-
stens 18 Sechsen.
Wir wissen nun, dass die oben mit p bezeichnete Wahrscheinlich-
keit 1/6 ist. Ferner ist n=50 die Anzahl der Durchführungen. Damit ist
die Wahrscheinlichkeit von Ereignis (1) gegeben durch:
• B(50, 1/6, 10)
46712912853763555176556110382080078125
404140638732382030321569800228268146688
Einen Näherungswert erhalten wir bekannterweise durch:
• float(%)
0.1155857847
Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit von Ereignis (2) müssen wir
die entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten aufsummieren:
• float(sum(B(50, 1/6, k), k = 2..18))
0.9985409078
Natürlich können wir eine solche Binomialverteilung auch grafisch
darstellen. Dazu nutzen wir den Befehl plot::Bars2d, mit dem Säu-
lendiagramme erstellt werden können:
• diagramm:= plot::Bars2d([[B(50, 1/6, 7), B(50, 1/6, 10),
B(50, 1/6, 14)]]):
Mit Hilfe des Befehls plot geben wir das Diagramm auf dem Bild-
schirm aus:
65

66
• plot(diagramm)
y
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
5.4 Berechnung der Binomialverteilung
0.00
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
Um die vollständige Binomialverteilung zu zeichnen, nutzen wir den
Folgenoperator $. So kommen wir mit einer sehr kurzen Eingabe zu-
recht:
• plot(plot::Bars2d([[B(50, 1/6, i) $ i = 0..50]]))
y
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
0 10 20 30 40 50
Nun wollen wir Binomialverteilungen für jeweils verschiedene Wahr-
scheinlichkeiten in einem Bild darstellen:
x
x

5 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
• plot(plot::Bars2d([[B(50,j/6,i) $ i = 0..50] $ j=1..5]))
y
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
Übungen
0.00
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Wir werfen mit einer idealen Münze 100 mal. Bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: (1) Genau 50
mal Zahl. (2) Mindestens 40 und höchstens 60 mal Zahl. (3)
Kein einziges Mal Zahl. Verwenden Sie dazu die Funktion B von
oben.
Wir würfeln mit einem idealen Würfel 1500 mal. Bestimmen Sie
die Wahrscheinlichkeit, zwischen 400 und 500 mal eine gerade
Zahl zu werfen.
Bei einem Glücksspiel wird ein Glücksrad 4 mal gedreht. Es können
die Ziffern 0 bis 9 auftreten. Wie groß ist die Wahrschein-
lichkeit der folgenden Ereignisse:
(a) Sie erhalten genau zweimal eine gerade Zahl.
(b) Sie erhalten mindestens dreimal eine Zahl kleiner 5.
(c) Sie erhalten 2 oder 3 mal eine Zahl, die größer ist als 2.
x
67

68
5.4 Berechnung der Binomialverteilung
6. Grafiken in MuPAD leicht gemacht
Wir haben bereits in den Abschnitten über Analysis und Stochastik
einige der Möglichkeiten kennen gelernt, die MuPAD bietet, um ma-
thematische Sachverhalte zu visualisieren. Nun wollen wir uns in die-
sem Kapitel noch etwas intensiver den grafischen Möglichkeiten von
MuPAD widmen.
Neue MuPAD-Funktionen
plot::Arrow2d/3d Zeichnen von 2D- und 3D-Pfeilen
plot::Circle2d/3d Zeichnen von 2D- und 3D-Kreisen
plot::Cone Zeichnen von 3D-Kegeln und Kegelschnitten
plot::Function2d/3d Zeichnen von 2D- und 3D-Funktionsgraphen
plot::Hatch Zeichnen von Schraffuren in 2D
plot::MuPADCube Zeichnen des MuPAD-Cubes
plot::Piechart2d/3d Zeichnen von 2D- und 3D-
Tortendiagrammen
plot::Point2d/3d Zeichnen von 2D- und 3D-Punkten
plot::PointList2d Zeichnen von 2D- und 3D-Punktelisten
plot::Polygon2d/3d Zeichnen von Polygonen in 2D und 3D
plot::Rectangle Zeichnen von Rechtecken in 2D
plot::Scene2d/3d Zeichnen von 2D- und 3D-Szenen
plot::Sphere Zeichnen von Kugeln in 3D
plot::Tube Zeichnen von Röhren in 3D
plot::XRotate Zeichnen von Rotationskörpern in 3D
Axes = Boxed Koordinatensystem in Form einer Box dar-
stellen
BackgroundColor = c Hintergrundfarbe in Farbe c
Color = RGB::Red Graphische Objekte in roter Farbe darstellen
Footer = „text“ Bildunterschrift
Header = „text“ Bildüberschrift

6 Grafiken in MuPAD leicht gemacht
Neue MuPAD-Funktionen
GridVisible = TRUE Koordinatensystem mit Gitterlinien hinterle-
gen
Height/Width Festlegung der Höhe/Breite für graphische
Szenen
Submesh Numerische (Zwischen-)Stützstellen für
6.1 Funktionsgraphen
glattere Darstellung
In den vorhergehenden Kapiteln haben wir bereits die Funktion plot-
func2d zur Darstellung 2-dimensionaler Funktionsgraphen verwen-
det. Hier wollen wir zu Beginn eine neue Funktion kennen lernen, mit
der wir ebenfalls 2-dimensionale Funktionsgraphen zeichnen können:
die Funktion plot::Function2d. Hierbei handelt es sich um eine
Funktion aus der plot-Bibliothek.
Prinzipiell leistet diese Funktion alles, was uns auch plotfunc2d
bietet, jedoch liefert uns das Konzept der plot-Bibliothek, das wir
hier kurz vorstellen wollen, weitergehende Vorteile insbesondere beim
Erstellen komplexerer Grafiken.
Wir wollen den Graphen der Funktion f( x)= x
3 im Intervall von –3
bis 3 zeichnen. Im Gegensatz zu vorher erstellen wir uns zunächst
den Graphen der Funktion als grafisches Objekt:
• f:= plot::Function2d(x^3, x = -3..3)
plot::Function2d x 3
, x =−3 ..3
Beachten Sie, dass der Graph von f nicht unmittelbar auf dem Bild-
schirm ausgegeben wird. Erst mit dem Befehl plot wird der Graph
auf dem Bildschirm ausgegeben:
69

70
• plot(f)
6.1 Funktionsgraphen
y
20
10
-3 -2 -1 1 2 3
x
Wir können das natürlich auch mit einer Zeile erledigen:
• plot(plot::Function2d(x^3, x = -3..3))
y
-10
-20
20
10
-3 -2 -1 1 2 3
x
-10
-20
Jetzt ist es aber auch möglich, den Achsenstil und die Beschriftung
der Achsen vorzugeben. Dazu ein Beispiel: Wir richten die Koordina-
tenachsen so aus, dass sie am linken bzw. unteren Rand der Szene
dargestellt werden. Die Beschriftung der x-Achse wählen wir so, dass
Markierungen an den Stellen von -3 bis 3 aufgetragen werden und
sich dazwischen keine weiteren unbeschrifteten Markierungen befin-
den:

6 Grafiken in MuPAD leicht gemacht
• plot(plot::Function2d(x^3, x = -3..3), Axes = Frame,
TicksNumber = Low, TicksBetween = 0)
y
20
10
0
-10
-20
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
Es ist auch möglich, den Wertebereich der Funktion, die man zeich-
nen möchte, einzuschränken. Wir wollen, um dies zu verdeutlichen,
einmal einen Graphen der Sinusfunktion zeichnen und wählen dazu
als Definitionsbereich das Intervall 06 , π . Im Gegensatz zur normalen
Darstellung lassen wir die Funktion aber nun nur in den Bereichen
zeichnen, in denen sie Werte aus dem Intervall 01 , annimmt:
• f:= plot::Function2d(sin(x), x = 0..6*PI,
ViewingBoxYRange = 0..1):
plot(f)
y
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
x
71

72
6.1 Funktionsgraphen
Um Gitterlinien in das Koordinatensystem eintragen zu lassen,
wodurch das Ablesen von Koordinaten wesentlich erleichtert wird,
verwendet man die Option GridVisible:
• plot(f, GridVisible)
y
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Wir können auch den sichtbaren Bereich der Darstellung bestimmen.
Soll beispielsweise die Funktion nur in dem Bereich für −2≤ x ≤22
und
−2≤ y ≤2
dargestellt werden, muss die Option ViewingBox=[-2..22,
-2..2] verwendet werden:
• plot(f, ViewingBox = [-2..22, -2..2])
y
2
1
-2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
x
-1
-2
x

6 Grafiken in MuPAD leicht gemacht
Um mehrere Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem einzu-
zeichnen, definieren wir uns zunächst die entsprechenden grafischen
Objekte, ohne sie zu zeichnen:
• f:= plot::Function2d(sin(x), x = 0..2*PI):
g:= plot::Function2d(cos(x), x = 0..2*PI):
h:= plot::Function2d(tan(x), x = 0..2*PI):
Jetzt ordnen wir diesen Objekten nachträglich Eigenschaften zu - wir
wollen, dass f in schwarzer Farbe erscheint, g in blauer Farbe und h
in grüner Farbe:
• f::Color:= RGB::Black:
g::Color:= RGB::Blue:
h::Color:= RGB::Green:
Hier erkennt man nun bereits die Vorteile der plot-Bibliothek. Wir
können bequem auf den Objekten arbeiten, ihre Eigenschaften ver-
ändern und Manipulationen vornehmen, ohne sie gleich auf dem Bild-
schirm ausgeben zu müssen.
Schließlich zeichnen wir alle Objekte in ein Koordinatensystem,
das zusätzlich mit Gitterlinien unterlegt wird und den Achsenstil Bo-
xed zugewiesen bekommt:
• plot(f, g, h, Axes = Boxed, GridVisible)
y
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0 1 2 3 4 5 6
x
73

74
6.2 Beispiele im Umgang mit der Plot-Bibliothek
6.2 Beispiele im Umgang mit der Plot-Bibliothek
Die Bibliothek plot stellt insgesamt sehr viele weitere Grafikobjekte
und Grafikfunktionen zur Verfügung, darunter:, plot::Function3d,
plot::Ellipse2d, plot::Curve2d, plot::Curve3d,
plot::Polygon2d, plot::PointList2d und plot::Scene2d/3d.
Auch diese Funktionen zeichnen nicht unmittelbar auf den Bild-
schirm, sondern liefern Objekte, die die zu erstellende Grafik reprä-
sentieren. Sie gestatten u.a. das Zusammensetzen solcher Objekte in
Gruppen oder vollständigen Grafikszenen und das Ändern von Gra-
fikoptionen und Attributen auch nach dem Erzeugen des Objektes -
ähnlich wie wir es bereits am Beispiel der Funktion
plot::Function2d gesehen haben.
Wir lernen nun einige Funktionen der plot-Bibliothek kennen, die
auch das Zeichnen anderer mathematischer Objekte als Funktionen
im 2-dimensionalen erlauben und beginnen dazu mit einem einfachen
Beispiel zum Zeichnen von Kreisen und Ellipsen:
• kreis:= plot::Circle2d([0, 0], 1):
Mit dieser Zeile haben wir uns nun das grafische Objekt kreis defi-
niert, das über den Befehl plot auf dem Bildschirm ausgegeben wird:
• plot(kreis)
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-0.2
x
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0

6 Grafiken in MuPAD leicht gemacht
Soll der Kreis zusätzlich in ein Rechteck eingeschlossen werden,
müssen wir zunächst das Rechteck als grafisches Objekt definieren
und anschließend beide Objekte in eine gemeinsame Grafikszene ein-
zeichnen.
Um dieses Ziel zu erreichen, wählen wir die altbewährte Vorge-
hensweise: Zunächst weisen wir das erzeugte Rechteck an eine Vari-
able rechteck zu.
Wir erinnern uns, dass wir den Kreis als grafisches Objekt noch
immer in der Variablen kreis gespeichert haben – wir müssen ihn
also nicht extra neu in MuPAD erzeugen.
Somit können wir uns eine „grafische Szene“ definieren, die wir
schlicht szene nennen, und in der wir beide Objekte zusammen-
schließen.
Anschließend wird die gesamte Szene in einem Koordinatensystem
auf die gewohnte Weise mit Hilfe des plot-Befehls ausgegeben:
• rechteck:= plot::Rectangle(-1..1, -1..1):
• szene:= plot::Scene2d(rechteck, kreis):
• plot(szene)
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-0.2
x
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
75

76
6.2 Beispiele im Umgang mit der Plot-Bibliothek
Abschließend geben wir ein Beispiel zur Visualisierung von Zahlenfol-
n
gen in MuPAD und betrachten dazu die Folge an
=
n
sin( ) . Um die ersten
50 Folgenglieder dieser Folge zu zeichnen, müssen wir die folgenden
Anweisungen eingeben:
• punktfolge:= plot::PointList2d([[n, sin(n)/n]
$ n = 1..50]):
• plot(punktfolge)
y
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 10 20 30 40 50
-0.1
x
-0.2
Um die Farbe der Punkte in Rot zu ändern, ersetzen wir den Wert der
Option Color des Objektes punktfolge durch die gewünschte Farbe:
• punktfolge::Color:= RGB::Red: plot(punktfolge)
y
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 10 20 30 40 50
-0.1
x
-0.2

6 Grafiken in MuPAD leicht gemacht
Als nächstes versuchen wir, die Beschränktheit dieser Folge grafisch
darzustellen.
Dazu könnten wir die Folge zwischen den beiden Funktionen
1 1
f( x)
= und gx ( ) = − einschließen.
x
x
Würden wir in diesem Fall auf die Funktion plotfunc2d zurück-
greifen, so hätten wir keine Chance, nachträglich die Folgenglieder in
unsere Grafik einzufügen.
Mit den Funktionen der plot-Bibliothek (ihre Funktionen ermögli-
chen es, dass einzelne grafische Bestandteile wie z.B. Punkte oder
Funktionsgraphen als eigenständige Objekte definiert werden können)
kann das Problem elegant und schnell durch die folgenden Zeilen ge-
löst werden:
• f:= plot::Function2d(1/x, x = 0..50):
• g:= plot::Function2d(-1/x, x = 0..50):
• szene:= plot::Scene2d(f, g, punktfolge):
plot(szene)
y
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
10 20 30 40 50
x
77

78
6.2 Beispiele im Umgang mit der Plot-Bibliothek
Auch hier können wir nachträglich auf dem Objekt szene arbeiten.
Wollen wir beispielsweise das Schaubild in einen Kasten einschließen
und mit Gitterlinien hinterlegen, so brauchen wir auch hier nicht alle
Objekte einzeln zu beeinflussen, sondern es genügt die Befehlszeile:
• szene::Axes:= Boxed: szene::GridVisible:= TRUE:
plot(szene)
y
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
0 10 20 30 40 50
x
Übungen
Zeichnen sie die Graphen der Funktionen sin, cos und tan in ein
gemeinsames Koordinatensystem. Wählen Sie dabei den Bereich
[-4, 4]!
Schränken Sie in der vorhergehenden Aufgabe den Wertebereich
auf y=-1..1 ein!
Wie können Sie erreichen, dass nur der positive Anteil der Funk-
3
tion f( x)= x −x
gezeichnet wird?
Versehen Sie Ihre letzte Zeichnung mit den oben bereits
verwendeten Gitterlinien (GridVisible)!
Versuchen Sie mit Hilfe der kennen gelernten Funktionalitäten
der plot-Bibliothek folgenden Sachverhalt an einem Beispiel zu
visualisieren: Jede konvergente Folge von reellen Zahlen ist be-

schränkt.
6 Grafiken in MuPAD leicht gemacht
Hinweis: Lassen Sie sich dazu die Folgen
a
n + 1
= b
2⋅ n + 1
n
=
n
⋅ +
2
2 1
3
−1⋅ , a f
n n n
jeweils in einer Szene von MuPAD zeichnen und versuchen Sie
dann, ähnlich wie oben, die Folgenglieder in einen „Schlauch von
zwei Funktionen“ einzuschließen.
Verfahren Sie analog mit der Folge cn
n
= 1+ H nK
1 und lassen Sie
sich auch von MuPAD den Grenzwert berechnen.
Zeichnen Sie dann den Grenzwert g als konstante Funktion der
Form y = g (Parallele zur x-Achse des Koordinatensystem) mit in
das Schaubild.
6.3 Eine Anwendung – Modellierung eines Strahlers
Wir wollen mit MuPAD einen Strahler modellieren. Wir verwenden
für die spätere grafische Ausgabe die folgenden Voreinstellungen:
• Kamera := CameraDirection = [-10, -60, 0]:
Optionen:= Scaling = Unconstrained:
a := 40: b := 8/10: c := 10:
Zunächst müssen wir eine Funktion wählen, die die Seitenlinie des
Glaskörpers beschreiben kann. Diese Funktion bezeichnen wir mit
Kontur:
• Kontur = ( K:= x -> a * sqrt(x) * exp(-b*x) /
( 1 + c * sqrt(x) * exp(-b*x) ) )
len".
Kontur = x → a ⋅ √ − b ⋅ x
x ⋅ e
1 + c ⋅ √
− b ⋅ x
x ⋅ e
Die Funktion Kontur scheint hier geradezu "vom Himmel zu fal-
F
I
79

80
6.3 Eine Anwendung – Modellierung eines Strahlers
Der Prozess, einige Funktionen auszutesten und ihre Graphen dar-
auf hin zu prüfen, ob sie für unsere Zwecke verwendbar sind, kann
hier natürlich nicht im Detail dargestellt werden. Wir beschränken uns
daher, die von uns gewählte Funktion zu betrachten. Auch scheint die
Funktion sehr kompliziert zu sein – dies soll uns nicht stören, denn
sie bietet einen guten Anreiz, die folgenden Berechnungen wirklich
nicht mit Hand, sondern mit dem Computer durchzuführen.
Ihren Graphen können wir darstellen durch:
• plot(plot::Function2d( K(x), x = 0..5.4), GridVisible)
y
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5
Das sieht schon recht gut aus - nun lassen wir den Graphen in
dem vorgegebenen Intervall 0..5.4 um die x-Achse rotieren. Auch
solche Rotationskörper können wir mit MuPAD darstellen.
Dazu benutzen wir die Funktion plot::XRotate aus der MuPAD
plot-Bibliothek, die zur Darstellung von Rotationskörpern (bei einer
um die x-Achse rotierenden Funktion oder Kurve) gedacht ist. Die
Handhabung dieser Funktion ist simpel – in Anlehnung an die Integ-
ration müssen wir nur den Funktionsterm angeben, ein geeignetes
Intervall auf der x-Achse, über dem die Funktion rotieren soll, und
(optionaler Weise) Werte für das numerische Netz von Stützstellen,
damit wir eine schöne glatte Darstellung des Körpers erhalten.
x

6 Grafiken in MuPAD leicht gemacht
• GlassKoerper:= plot::XRotate(K(x), x = 0..5.4,
Submesh = [2,2]):
plot(GlassKoerper, Kamera, Optionen):
Das Volumen dieses Rotationskörpers im Intervall 0..5.4 ist gege-
ben durch das folgende bestimmte Integral:
• Volumen = ( V:= PI * int( K(x)^2, x = 0..5.4) )
5.4
− 4 ⋅ x
5
1600 ⋅ x ⋅ e
Volumen =π⋅
0
2
10 ⋅ √
− 4 ⋅ x 2 d x
5
x ⋅ e + 1
Wir können das Volumen näherungsweise bestimmen durch
• float(V)
109.0970678
Damit ist der Glaskörper des Strahlers modelliert.
Nun fehlt noch das Gewinde, mit dem man ihn in eine Fassung
einschrauben kann. Für das Gewinde wählen wir eine Sinusfunktion.
Dabei erhöhen wir die Periode der Funktion drastisch, um die wellen-
förmige Seitenlinie eines Gewindes zu simulieren:
81

82
6.3 Eine Anwendung – Modellierung eines Strahlers
• plot(plot::Function2d(1/9*sin(22*x)+K(5.3),
x = 5.4..6.71))
y
1.10
1.05
1.00
0.95
0.90
5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
x
Der aufmerksame Leser bemerkt sofort: Mit diesem Gewinde ha-
ben wir keine Chance, die Glühbirne anschließend wirklich einzu-
schrauben. Wir mogeln hier ein wenig und geben uns der Einfachheit
halber mit dieser „Notlösung“ zufrieden.
Lassen wir auch diese Funktion um die x-Achse rotieren, so erhal-
ten wir folgendes Schaubild:
• Gewinde:= plot::XRotate(1/9*sin(22*x) + K(5.3),
x = 5.4..6.71, Submesh = [2, 2]):
plot(Gewinde, Kamera, Optionen)

6 Grafiken in MuPAD leicht gemacht
Abschließend benötigen wir noch den Kontakt, der unseren Strah-
ler beim Einschalten des Lichtschalters mit Strom versorgt. Diesen
setzen wir rechts an das Gewinde an - der Kontakt wird durch einfa-
chere lineare Funktionen modelliert:
• plot(plot::Function2d( -6*x + 41.26, x = 6.71..6.81),
plot::Function2d( -x + 7.21, x = 6.81..7.21))
y
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
6.7 6.8 6.9 7.0 7.1 7.2
Man darf aber an dieser Stelle nicht vergessen, dass das Darstel-
lungsintervall 6.71..7.1 verschwindend klein ist.
• Kontakt:= plot::XRotate(-6*x + 41.26, x = 6.71..6.81),
plot::XRotate(-x + 7.21, x = 6.81..7.1):
plot(Kontakt, Kamera, Optionen)
x
83

84
6.3 Eine Anwendung – Modellierung eines Strahlers
Und nun setzen wir alle Objekte zusammen zu einem großen Rota-
tionskörper:
• plot(GlassKoerper, Gewinde, Kontakt, Kamera, Optionen)
Eine Nachbearbeitung dieser Grafik mit dem neuen Grafik-Viewer
VCam kann wie folgt vorgenommen werden: Wir aktivieren die Grafik
mit einem Doppelklick. Der Grafik-Viewer öffnet sich automatisch und
bietet uns eine Vielzahl von interaktiven Manipulationsmöglichkeiten:
In der Tool-Bar im oberen Bereich des Fensters finden sich u.a. zwei
kleine Lupen (eine mit einem Plus-Symbol und eine weitere mit einem
Minus-Symbol), die ein Hinein- bzw. Herauszoomen in bzw. aus der
geöffneten Grafik ermöglichen. Desweiteren finden wir auf der rech-
ten Seite Fenster, die die „Objekt-Struktur“ der Grafik anzeigen. Über
diesen „Objektbaum“ kann auf alle Eigenschaften („Attribute“) eines
jeden Bestandteils der Gesamtgrafik zugegriffen werden. So lassen
sich im Grafik-Viewer auch nachträglich interaktiv per Mausklick alle
wesentlichen Eigenschaften der Einzelobjekte modifizieren. Die vor-
genommenen Änderungen werden dann auch gleichzeitig im linken
Bildschirmbereich, in dem sich die Grafik befindet, angezeigt. Das fol-
gende Bild zeigt einen Screenshot der englischen Benutzungsoberflä-

6 Grafiken in MuPAD leicht gemacht
che des Grafik-Viewers (die bei der deutschen Version von MuPAD Pro
3.0 selbstverständlich in deutscher Sprache gehalten ist):
Das Fenster mit der Überschrift „Definition“ in der linken unteren E-
cke des Grafik-Viewers zeigt uns auch die aktuelle Kamera-Position
sowie den Punkt an, auf den die Kamera ausgerichtet ist. Wir können
hier andere Werte eintragen und ändern so die Sicht des Betrachters
auf die graphische Szene. Um die Szene zu drehen, müssen wir die
Kameraposition allerdings nicht explizit angeben. Wir können auch
einfach mit der Maus auf die entsprechenden Symbole für Rotation in
der Tool-Bar (ganz oben in der VCam-Oberfläche) klicken und so die
gewünschte Sicht auf die Szene erreichen.
85

86
6.4 Grafik-Gallerie
Einige Bilder, die die Manipulationsmöglichkeiten des Grafik-Viewers
verdeutlichen, haben wir hier für unseren Rotationskörper aufgeführt:
6.4 Grafik-Gallerie
Eine Auswahl weiterer schöner 2D- und 3D-Grafiken, die mit Mu-
PAD erstellt wurden, zeigt die folgende kleine „Gallerie“. Wir verzich-
ten aus Platzgründen an dieser Stelle darauf, den Quellcode zum Er-
zeugen der jeweiligen Grafik anzugeben. Ein Großteil findet sich aller-
dings unmittelbar in der MuPAD Online-Dokumentation.

6 Grafiken in MuPAD leicht gemacht
87

88
6.5 Einfache Animationen
6.5 Einfache Animationen
In diesem Abschnitt wollen wir sehen, wie man einfache Animatio-
nen mit MuPAD erstellen kann. Prinzipiell ist nahezu jedes graphische
Objekt und jede seiner Eigenschaften animierbar. Diese Tatsache ga-
rantiert ein Höchstmaß an Flexibilität, die wir hier in diesem Rahmen
in ihrem Gesamtumfang nicht vorstellen können. Dem über diesen
Abschnitt hinaus interessierten Leser sei daher ein Blick in die Online-
Dokumentation von MuPAD Pro 3.0 empfohlen. Die dort verfügbare
„Einführung in die plot-Bibliothek“ stellt eine Vielzahl von Beispielen
bereit und erklärt Grundkonzepte und Anwendungsweise der Grafik-
Bibliothek in detaillierter und verständlicher Form.
Wir beginnen mit einem ganz einfachen Beispiel: Ein Punkt, der
sukzessiv den Graphen der Sinus-Funktion über eine volle Periode
darstellt:
• Punkt:= plot::Point2d(a, sin(a), a = 0..2*PI):
Sinus:= plot::Function2d(sin(x), x = 0..a, a = 0..2*PI):
plot(Punkt, Sinus)
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
1 2 3 4 5 6
Wir haben den Punkt “animiert”, indem wir seine Koordinaten ein-
fach von einem Parameter a abhängig gemacht haben und für den
Parameter a (den so genannten „Animationsparameter“) einen Be-
reich spezifiziert haben. Um den Funktionsgraphen zu animieren, ha-
x

6 Grafiken in MuPAD leicht gemacht
ben wir den Funktionsterm so eingegeben, als würden wir die Funkti-
on allein darstellen wollen. Die Animation ergibt sich daraus, dass wir
den Darstellungsbereich x = 0..a in Abhängigkeit des Animationspa-
rameters a angegeben haben. Auch hier müssen wir einen Bereich
mit Werten spezifizieren, die von a während der Animation durchlau-
fen werden. Die Grafik, die uns MuPAD nun ausgibt, zeigt das erste
Einzelbild der Animation. Wir können die Grafik jetzt mit einem Dop-
pelklick aktivieren, so dass sich der Grafik-Viewer VCam öffnet. Zu-
sätzlich zu der üblichen Oberfläche finden sich jetzt im oberen Bereich
des Fensters Symbole, wie wir sie von einem CD-Player, Video-
Recorder oder etwa dem Media Player von Microsoft Windows kennen.
Ein Mausklick auf den Button führt dazu, dass die Animation
abgespielt wird. Mit Hilfe des Sliders kann die A-
nimation auch interaktiv mit der Maus vor- bzw. zurückgespult und
der Verlauf der Animation dabei beobachtet werden. Darüber hinaus
bietet sich im Menü „Bearbeiten – Grafik Exportieren“ die Möglichkeit,
die Animation u.a. in dem verbreiteten AVI-Filmformat abzuspei-
chern. Die gespeicherte Datei kann dann auf jedem Rechner mit dem
mit einer entsprechenden Software zum Abspielen von AVI-Dateien
betrachtet werden. Vier Einzelbilder der oben von uns erzeugten ani-
mierten Sinus-Funktion sehen wir hier:
89

90
6.5 Einfache Animationen
Als nächstes Beispiel für eine Animation betrachten wir die Schar
von Parabeln
• fa:= a * x^2
a ⋅ x 2
Anstatt einige Parabeln der Schar statisch in ein Koordinatensys-
tem zu zeichnen, können wir mit dem folgenden Befehl eine Animati-
on erzeugen, in der sukzessive je eine Parabel gezeichnet wird:
• plotfunc2d(fa, x = -2..2, a = -3..3)
Wir stellen auch hier wieder vier Einzelbilder der erzeugten Anima-
tion dar:

6 Grafiken in MuPAD leicht gemacht
Die MuPAD Funktion plot::Hatch erlaubt es, flächige Bereiche in-
nerhalb von 2D-Koordinatensystemen schraffiert darzustellen – ein
Hilfsmittel, das im Bereich der Visualisierung der Flächenberechnung
mittels Integration sehr nützlich sein kann. Im folgenden erzeugen
wir eine Animation, die einige Funktionen der Schar
• fa:= sin(a*x)
sin(a ⋅ x)
darstellt und dabei immer die von der Funktion mit der x-Achse ein-
geschlossene Fläche mit einzeichnet:
• f:= plot::Function2d(fa, x = -PI..PI, a = 0.2..3):
plot(f, plot::Hatch(f))
Der Animationsparameter ist wieder a (dies ist der Scharparame-
ter der oben definierten Kurvenschar von Sinus-Funktionen). Die
Funktion plot::Hatch können wir schlicht auf die Funktionsgraphen
der Schar fa anwenden; sie sorgt dann automatisch dafür, dass die
Fläche zwischen dem jeweiligen Funktionsgraphen und der x-Achse
schraffiert wird. Die folgenden Einzelbilder entstammen der erzeugten
Animation:
91

92
6.5 Einfache Animationen
Zum Abschluss dieses Abschnitts betrachten wir noch eine Anima-
tion im Raum: Der Schnitt eines Kegels mit einer Ebene und die dabei
entstehenden Schnittgebilde.
Diese Animation scheint auf den ersten Blick nicht ganz so leicht
zu erzeugen zu sein wie die bisher betrachteten Animationen in der
Ebene. Das liegt jedoch lediglich daran, dass wir im folgenden separat
zuerst zwei graphische Objekte erzeugen (einen Kegel und eine Ebe-
ne) und dann anschließend zwei graphische Szenen im Raum definie-
ren, die beide sowohl den Kegel als auch die Ebene enthalten. An-
schließend lassen wir beide Szenen gleichzeitig nebeneinander dar-
stellen.
Dies hat den Vorteil, dass wir bei Ablauf der Animation links den
Kegel und die Ebene sehen werden und rechts den Schnitt des Kegels
mit der Ebene in der Ebene selbst:
• Kegel:= plot::Cone(
1, // Radius der Basis
[-sin(a), 0, -cos(a)], // Zentrum der Basis
[sin(a), 0, cos(a)], // Zentrum der Spitze

6 Grafiken in MuPAD leicht gemacht
a = 0..2*PI, // Animationsbereich
Color=RGB::Blue.[0.6]):
Ebene:= plot::Surface([x, y, 0],
x = -1.5..1.5,
y = -1.5..1.5,
MeshVisible):
S1 := plot::Scene3d(Kegel, Ebene):
S2 := plot::Scene3d(Kegel, Ebene,
ViewingBoxZRange = -0.02 .. 0.02):
• plot(S1, S2, Layout = Horizontal, Width=240)
Der Trick besteht nun darin, dass wir die zwei Szenen so definie-
ren, dass sie beide den animierten Kegel (er wird während der Ani-
mation gedreht) und die Ebene enthalten. Bei der zweiten Szene je-
doch wählen wir den Sichtbarkeitsbereich in z-Richtung so schmal,
dass es beim Betrachten der Szene so erscheint, als würden wir nur
eine Ebene und eine Kurve in der Ebene gezeichnet haben (die
Schnittkurve von Kegel und Ebene ergibt also, indem wir das gesam-
te Bild stark „zusammenschrumpfen“ und nur einen winzigen Streifen
der gesamten Szene darstellen lassen). Die Ebene selbst ist nicht a-
nimiert – in ihrer Definition taucht kein Animationsparameter auf. Der
einzige animierte Bestandteil der Grafik ist der Kegel selbst. Er wird
durch geschickte Wahl einer Parametrisierung des Zentrums und der
Spitze über die Dauer der Animation gedreht (a ist wieder der Anima-
tionsparameter). Fünf Einzelbilder der Animation sehen wir hier:
93

94
6.5 Einfache Animationen

7 MuPAD in Schule und Studium
7. MuPAD in Schule und Studium
Unter der Adresse
http://www.mupad.de/schule+studium
bietet das MuPAD-Schule-Team eine Vielzahl weiterer Materialien
und Zusatzinformationen zu und rund um MuPAD in Schule und Stu-
dium: Neben MuPAD selbst stehen dort eine große Menge von vorge-
fertigten interaktiven MuPAD Arbeitsblättern und mit MuPAD erstellte
Unterrichtseinheiten im mnb-Format sowie auch im html-Format zum
Download zur Verfügung. Der Großteil der dort verfügbaren Unter-
richtseinheiten wurde dabei nicht vom MuPAD-Schule-Team selbst,
sondern vielmehr von externen Autoren – Lehrerinnen und Lehrern
die MuPAD erfolgreich im Unterricht einsetzen – erstellt.
Diese Materialien ermöglichen nicht nur einen schnellen und un-
komplizierten Einstieg in MuPAD, sondern sie geben darüber hinaus
viele Anregungen zum Einsatz von Computeralgebra in der Lehre. Als
besonders nützlich erweist sich bei der Fülle der Materialien die Mög-
lichkeit einer Volltextsuche innerhalb aller MuPAD Arbeitsblätter, die
eine zielgerichtete und erfolgreiche Recherche auf dem Server garan-
tiert.
Ein Blick unter die Rubrik „Aktuelles“ verrät auf welchen Tagungen
MuPAD vertreten ist, wo und wann Lehrerfortbildungen und Schnup-
perkurse angeboten werden und was es sonst noch so an Neuigkeiten
rund um MuPAD gibt. Zusätzlich stehen alle bis dato erschienenen
Exemplare der Buchreihe „Mathematik 1 x anders“ sowie diverse Arti-
kel im PDF-Format zum freien Download bereit.
Desweiteren finden sich auf den Webseiten des MuPAD-Schule-
Teams diverse Zusatzpakete für MuPAD: Pakete zur „Elektrotechnik“,
zur „ebenen euklidischen Geometrie“, zur „Analysis“ uvm.
Technische Unterstützung und qualifizierter Rat zu und rund um
MuPAD kann jeder Zeit per eMail an schule@mupad.de angefordert
werden.
95

96
Literaturverzeichnis
Literaturverzeichnis
Einige der Beispiele und Übungen dieses Buches sind der folgenden Literatur
entnommen, ohne jeweils unmittelbar darauf verwiesen zu haben:
Baumann: Analysis 1. Klett, 1997
Burkhart: http://www.weihenstephan.org/~burkhart/mupad/mupad.html
Eckart; Jehle; Vogel: Analytische Geometrie. BSV Mathematik, 1994
Feuerpfeil; Heigl; Wiedling: Praktische Stochastik. BSV Mathematik, 1994
Grabinger: Projekte und Aufgaben zur Analytischen Geometrie. Schroedel,
1999
Griesel; Postel: Grundkurs Analysis Gesamtband, Mathematik heute,
Schroedel / Schöningh, 1991
Heugl; Klinger; Lechner: Mathematikunterricht mit Computeralgebra-
Systemen. Addison-Wesley, 1996.
Jahnke; Lauter; Rüdiger: Mathematik Sekundarstufe II, Analysis Leistungs-
kurse. Cornelsen, 1993
Oevel; Postel; Rüscher; Wehmeier: Das MuPAD Tutorium. Springer, 2000
Oevel: Einführung in die numerische Mathematik. Spektrum, 1996

$ 66
Index
:= 17
All 52
assume 33
delete 14, 16, 17
Diagonal 47
diff 21, 23
DIGITS 14, 16, 17
Dom 49
Integer 49
Rational 49
Real 49
Float 49
Complex 49
expand 14, 18, 56
float 14, 20
GrindVisible 78
if 64
info 35
int 25
linalg
row 44
col 44
transpose 47
addRow 52
addCol 52
multCol 52
multRow 52
expr2Matrix 52
matlinsolve 52
det 57
angle 57
normal 14, 18
numeric
op 21
solve 30
fsolve 35
plot 65, 74
Bars2d 65
Function2d 69
Function3d 74
Ellipse2d 74
Curve2d 74
Curve3d 74
Polygon2d 74
PointList2d 74
Scene2d/3d 74
XRotate 80
random 60, 64
simplify 14, 18, 36
solve 23, 30, 39, 57
sqrt 14, 15
stdlib 36
student 30
subs 21, 23

Mathematik 1 x anders: Materialien und Werkzeuge für
computerunterstütztes Lernen
Bisher erschienen:
MuPAD - Eine praktische Einführung
Kai Gehrs und Frank Postel, Band 1 - 2. überarb. und erw. Auflage, Mathematik 1 x anders -
Materialien und Werkzeuge für computerunterstütztes Lernen, August 2001, SciFace Software
GmbH & Co.KG, Paderborn, ISBN-3-933764-02-5, ca. 90 Seiten,
Titelbild, PDF-Version.
Ein Streifzug durch die Physik mit MuPAD
Alessandro Dell'Aere, Band 2, Mathematik 1 x anders - Materialien und Werkzeuge für computerunterstütztes
Lernen, August 2001, SciFace Software GmbH & Co.KG, Paderborn, ISBN-3-
933764-03-3, ca. 35 Seiten,
Titelbild, PDF-Version.
Stochastik mit MuPAD
Julia Faflek, Band 3, Mathematik 1 x anders - Materialien und Werkzeuge für computerunterstütztes
Lernen, September 2002, SciFace Software GmbH & Co.KG, Paderborn, ca. 68 Seiten,
Titelbild, PDF-Version.
Analysis mit MuPAD
Kai Gehrs, Vera Verspohl, Band 4, Mathematik 1 x anders - Materialien und Werkzeuge für
computerunterstütztes Lernen, Juni 2003, SciFace Software GmbH & Co.KG, Paderborn, ca. 88
Seiten, ,
Titelbild, PDF-Version.
Elektrotechnik mit MuPAD
Thomas Kosch, Band 5, Mathematik 1 x anders - Materialien und Werkzeuge für computerunterstütztes
Lernen, Februar 2003, SciFace Software GmbH & Co.KG, Paderborn, ca. 56 Seiten,
Titelbild, PDF-Version, PDF-Version mit Graustufenbildern für den Druck.
Lineare Transformationen mit MuPAD
Wolfgang Lindner, Band 6, Mathematik 1 x anders - Materialien und Werkzeuge für computerunterstütztes
Lernen, Mai 2003, SciFace Software GmbH & Co.KG, Paderborn, ca. 103 Seiten,
,
Titelbild, PDF-Version.
Ausgleichsrechnung, überbestimmte LGS und Pseudoinverse mit MuPAD
Wolfgang Lindner, Band 7, Mathematik 1 x anders - Materialien und Werkzeuge für computerunterstütztes
Lernen, Juni 2003, SciFace Software GmbH & Co.KG, Paderborn, ca. 110 Seiten,
, Vorabversion, Final folgt Anfang Juli,
Titelbild, PDF-Version.
Die Hefte dieser Reihe sind als PDF-Dokumente auch in Web verfügbar unter:
www.mupad.de/schule/literatur/index.shtml#books