Physikalisches Grundpraktikum Teil II Messung von ... - IFAT

Christian Niederhöfer 07.06.00
Physikalisches Grundpraktikum
Teil II
Versuch :
Messung von Induktivitäten in der
Wechselstrombrücke
Praktikanten :
Christian Niederhöfer
Dennis Weiß
Protokoll :
Christian Niederhöfer
Anhang : 1.) Ergebnisse und Meßtabellen
2.) Original Meßprotokolle mit Tabellen und Graphiken
1

Induktivitätsmessung in der Wheatstonebrücke mit Wechselstrom
Es sollen in diesem Versuch die Induktivitäten verschiedener Spulen ausgemessen werden.
Hierbei liegen dem Versuch die Gesetze der Induktion, der Selbstinduktion und der
Gegeninduktion zugrunde.
Theoretische Betrachtungen zur Wheatstoneschen Brückenschaltung
Die Brückenschaltung allgemein dient zur genauen Bestimmung von Eigenschaften
elektrischer Elemente wie Widerständen, Kondensatoren oder Spulen. Die genutzte Methode
nennt man Nullmethode. Dies kann man sehr gut am Beispiel der Wheatstone-Brücke sehen,
da hier das Prinzip der Spannungsteilung nach dem 1. Kirchhoffschen Gesetz angewandt wird.
A
R3
R1
C
D
Abb.1
Das Schaltbild zur Wheatstonebrücke wird in Abb. 1 verdeutlicht. Man verfolgt hier die
Theorie, daß an jedem Ast des Schaltbildes die gleiche Spannung U abfällt, daß heißt das
Meßinstrument in der Mitte des Schaltbildes zeigt dann Null an, wenn gilt :
R1
R3
=
R2
R4
Auf diese Weise kann man nun mit zwei bekannten Widerständen und einem Regelwiderstand
einen unbekannten Widerstand bestimmen. Denn sind R1 und R2 bekannt, und man hat den
Regelwiderstand so eingestellt, daß an dem Meßinstrument ein Nullausschlag vorliegt, kommt
man über obige Formel auf den gesuchten R4 ermitteln.
Im Praktikumsversuch liegt eine leicht veränderte Schaltung vor. Hier bedient man sich der
Tatsache, daß nur das Verhältnis zwischen R1 und R2 vonnöten ist um auf den unbekannten
Widerstand zu schließen. Dazu wird das Schaltbild wie folgt geändert.
2
R4
R2
B

Rx
a b
Abb.2
In dieser Schaltung wurden die Widerstände R1 und R2 durch einen Spannungsteiler ersetzt.
Dieser Spannungsteiler besteht aus einem linearen Drahtwiderstand, an dem mit Hilfe eines
Schleifers die entsprechende Spannung abgegriffen wird. Dieser Schleifer oder auch
Abnehmer teilt den Drahtwiderstand in 2 Teile mit der jeweiligen Länge a und b. Da der
Widerstand eines Drahtes direkt proportional zu seiner Länge ist, kann man also hier direkt
das Verhältnis der beiden Teilstücke zueinander in die Gleichung aufnehmen. Es entsteht :
a
b
=
Rx
Rn
a
Rx
b Rn
⇒ = ⋅
Somit hat man die Bestimmungsgleichung für Rx auf das Verhältnis a/b und den bekannten
Widerstand Rn eingeschränkt. Im Grunde ist diese Schaltung identisch zur original
Wheatstonebrücke und nur deswegen so geschaltet, um das Messen zu vereinfachen, denn es
ist einfacher einen Schiebeschleifer zu bewegen, als ständig neue Widerstände in die
Schaltung zu integrieren.
Betrachtungen zum Verhalten im Wechselstromkreis mit Induktivitäten
Betrachtet man nun die Wechselstromschaltung der Wheatstonebrücke, in der die
Induktivitäten gemessen werden sollen, muß man zuerst einen Blick auf die Spule selbst
werfen. Induktivitäten lassen sich nicht in einfacher Weise herstellen. Sie sind vielmehr das
Ergebnis der physikalischen Eigenschaften einer Spule ( siehe Versuch 9/10 ). Hieraus ergibt
sich nun folgendes Ersatzschaltbild für die Spule.
3
Rn
U

Diese Serienschaltung bedingt in der mathematischen Betrachtung unter der Annahme einer
sinusförmigen Spannung folgende Formeln :
Z = R+ j⋅ϖ ⋅ L , Z = R + ϖ L
4
2 2 2
Diesen Wechselstromwiderstand Z kann man in einer Wheatstonebrücke messen, solange sie
mit Wechselstrom betrieben wird. Ein Abgleich in einer solchen Brücke kann nur erreicht
werden, wenn folgende Beziehungen gelten und zwar gleichzeitig :
L
L
a R
= , =
b R
x x
0 0
Dies bedingt, daß sowohl die Induktivitäten als auch die ohmschen Widerstände sich so
verhalten, wie die Abschnitte des Schleifdrahtes. Um dies zu bewerkstelligen, braucht man
noch ein zweites verstellbares Bauteil außer der Meßdrahtleiste, diesmal jedoch um die
Induktivitäten zu verändern und deren Abgleich herbeizuführen.
Aus diesen Überlegungen folgt dann dieses Prinzipschaltbild :
Theoretische Hintergründe zur Gegeninduktion
Betrachtet man den Fall, daß sich zwei Spulen gegenüberstehen und zwar so, daß die
Feldlinien der einen durch die Querschnittsfläche der anderen gehen, ergibt sich folgende
Beziehung für die Gegeninduktivität :
a
b
u M di
u M
dt
di
2
1
1 =± , 2 =±
dt
Diese gilt dann, wenn durch eine der beiden Spulen ein sich zeitlich ändernder Strom fließt
und die resultierende Spannung an den Enden der anderen abgegriffen wird.

In unserem Experiment haben wir 6 verschiedene Kopplungsfälle.
Feldausrichtung Schaltung
parallel seriell
antiparallel seriell
ortogonal seriell
parallel parallel
antiparallel parallel
ortogonal parallel
Für die Gegeninduktion ergibt sich aus den Fällen parallel, seriell und antiparallel, seriell
folgendes :
L+ = L1 + L2 + 2M
L = L + L − 2M
−
1 2
Durch Differenzbildung dieser beiden Gleichungen erhält man sofort :
1
M = L − L
4
Diese Gleichung beschreibt die Gegeninduktivität.
( )
5
+ −
Durchführung des Experiments
Es gibt zwei Möglichkeiten zur Messung der Induktivitäten. Die erste Methode basiert darauf,
mit einer variablen Induktivität, einem sogenannten Variometer, einen Induktivitätsabgleich
herzustellen. Um den Abgleich zu bekommen, wird die Brücke zuerst im Gleichstrom und
danach mittels eines Frequenzgenerators im Wechselstrom betrieben. Zum Abgleich im
Gleichstrombetrieb wird ein empfindliches Drehspulinstrument genutzt, während man im
Wechselstrombetrieb auf einen Oszillographen zurückgreift.
Die zweite Methode soll hier nur kurz angerissen werden, da sie in der Messung nicht zum
Zuge kam. Mann nennt diese Meßmethode Iterationsverfahren. In diesem Verfahren verzichtet
man auf eine variable Induktivität zum Abgleichen im Wechselstromfall und gleicht die
Brücke mit verschieden eingestelltem Stöpselwiderstand immer wieder ab und kommt somit
dem gesuchten Ergebnis auf iterative Weise immer näher. Hat man den Abgleich erreicht
überprüft man zur Sicherheit auch noch den Gleichstromabgleich, der aber auf jeden Fall
erreicht sein sollte. Auch im jetzt vorliegenden Fall sind beide Abgleichbedingungen erfüllt.
Da wir in unserem Experiment diese Methode nicht verwandt haben soll dies als Erläuterung
dazu reichen. Im Experiment wurde wie bereits erwähnt der Abgleich mittels des
Variationsverfahrens hergestellt. Dazu muß zuerst ein Gleichstromabgleich herbeigeführt
werden und danach der Abgleich im Wechselstromfall mittels des Variometers. Hat man dies
erreicht kann man mittels der obigen Formeln die gesuchten Größen ermitteln.
Schaltbild Variationsverfahren

Schaltbild Iterationsverfahren
Anmerkung : Für die Induktivität der Spule 3 wird das Variometer anders geschaltet um eine
höhere Genauigkeit zu erreichen. Außerdem wird die geometrische Anordnung in Aufgabe 2
durch ein Steckbrett erleichtert auf dem die Anschlüsse schon in der richtigen Lage
aufgebracht sind.
Aufgabe 1 )
Aufgabe 2 )
Ergebnisse
Spule Widerstand in Ω Induktivität in mH
1 29,9 30,0
2 20,6 15,6
3 21,0 1,75
6

Aufgabe 3 )
M = 2,31 mH
Ausrichtung Schaltung Induktivität in mH
Antiparallel seriell 39,80
parallel 7,71
Parallel seriell 49,04
parallel 9,00
Ortogonal seriell 44,58
parallel 10,28
Anmerkung : Für Aufgaben 1, 2 und 3 gilt ein Fehler von ± 2,360 mH.
Aufgabe 4 )
Aufgabe 5 )
Herleitung :
a
> Lx= L0
l − a
Es folgt nach der Fehlerrechnung :
a
l
> Lx
= L0 + L0
2 a
l − a ( l − a)
Lx
L0
l
> = + a
L L al ( − a)
x 0
Es folgt für a sei ⋅ l
a
L= x L+ 0 4L0
l
Lx
L0
a
> = + 4
L L l
1
∆ ∆ ∆
∆ ∆
∆
2
∆
> ∆ ∆
∆ ∆ ∆
x
0
Herleitung :
Wenn im Wechselstromfall die Brücke stromfrei ist, muß ein Impedanzabgleich stattgefunden
haben. Dieser muß denselben Abgleichbedingungen Folge leisten wie der
Z x a
Gleichstromwiderstandsabgleich. > = . Wegen des linearen Zusammenhangs von Z und
Z 0 b
L läßt sich diese Formel hier umschreiben in Lx
a
= . Dies ist aber gerade der gesuchte
L0
b
Zusammenhang.
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