1 Methoden für die Modellbildung mit Hilfe von Sprungantworten

1 Methoden für die Modellbildung mit Hilfe von
Sprungantworten
1.1 Wendetangentenverfahren ( Küpfmüller- Approximation)
Approximation der Sprungantwort in ein PT1-Tt-Glied:
G(s) = K
e
1 + sTa
−s Tu , K = y∞
u∞
Nach Aufzeichnen der Sprungantwort wird willkürlich eine Wendetangente eingezeichnet.
Danach können die Zeitkonstanten Tu und Ta nach der untenstehenden Skizze
bestimmt werden. Der stationäre Übertragungsfaktor K ist gleich dem Verhältnis von
Aus- und Eingangsgröße.
Abbildung 1: Küpfmüller- Approximation [1]
1.2 Verbessertes Wendetangentenverfahren ( Strejc)
Verbesserte Approximation der Sprungantwort in ein PT1-Tt-Glied:
G(s) = K
1 + sT e−s Tt .
Hier werden willkürlich zwei Punkte A und B in die Sprungantwort gezeichnet. Durch
diese Punkte soll später die Übergangsfunktion des PT1-Tt-Gliedes verlaufen.
Nach dem Einzeichnen der Punkte A und B sind die Werte von t1, t2, h1 und h2
festgelegt. Durch Anwendung der nachstehenden Formeln, erhält man die gesuchten
Zeitkonstanten.
Tt = T ln
T = t2 − t1
� �
K−h1
ln
�
1 − h2
�
+ t2
K
K−h2
1

Abbildung 2: Approximation nach Strejc [1]
1.3 Approximation der Sprungantwort in ein PT2-Glied
1.3.1 PT2- Glied aus dem Wendetangentenverfahren
Wenn beim Wendetangentenverfahren das Verhältnis der Zeitkonstanten größer als 9,6
ist, eignet sich eine PT2- Approximation.
G(s) =
K
(1 + sT1) (1 + sT2) ,
wenn Ta
≥ 9,64aus Wendetangentenverfahren.
Tu
Nach der Konstruktion der Wendetangente und die Ermittlung der Zeitkonstanten Ta
und Tu, wird ihr Verhältnis gebildet. Anschließend geht man in die dritte Spalte der
folgenden Tabelle und sucht den nächstgelegenen Wert. Die zweite Spalte liefert das
Verhältnis von Ta und T1, aus dem T1 einfach berechnet werden kann. Mit Kenntnis
von T1 lässt sich aus der ersten Spalte T2 berechnen.
1.3.2 Die Zeitprozentwertmethode ( Verfahren von ORMANNS)
Um die Subjektive Konstruktion der Wendetangente zu vermeiden, wurde die Zeitprozentwertmethode
entwickelt. Dabei werden aus der Sprungantwort die jeweiligen
Zeitpunkte tm abgelesen bei der m- Prozent des stationären Endwertes erreicht werden.
Das Verfahren von Ormanns ermittelt die Zeitkonstanten für ein Näherungsmodell 2.
Ordnung ggf. mit Totzeit. Seine Übertragungsfunktion lautet:
K
s
G(s) =
e−(Tt+Ters)
(1 + sT1) (1 + sT2)
Zuerst wird der statische Übertragungsfaktor K aus dem stationären Endwert ermittelt.
Die erkennbare echte Totzeit Tt wird abgespalten. Für die weitere Rechnung
verschiebt sich der Zeitnullpunkt auf den Wert von Tt. Anschließend werden die Zeit-
2

Abbildung 3: Tabelle zur Ermittlung des PT2-Gliedes aus Wendetangentenkonstruktion
[1]
3

prozentwerte t30 und t70 aus h(t) abgelesen. Das Verfahren von Ormanns is anwendbar
für:
0,296 ≤ t30
≤ 0,45
t70
Ist das Verhältnis t30 zu t70 kleiner als 0,296 versagt das Verfahren. Für ein Verhältnis
größer als 0,45, kann versucht werden, eine Ersatztotzeit Ters von geeigneter Größe
abzuspalten und dieser der echten Totzeit zuzufügen. Der Zeitnullpunkt muss dann zu
Tt + Ters verschoben werden. Anschließend muss man die Zeitprozentwerte t30 und
t70 erneut bestimmen und das Kriterium überprüfen. Als Ersatztotzeit gilt folgende
Empfehlung:
1,42t30 − 0,92t70 ≤ Ters ≤ 1,82t30 − 0,82t70.
Natürlich darf man nur positive Ersatztotzeiten wählen. Aus den Zeitprozentwerten
berechnet man sich folgende Hilfswerte:
�
τ = 2 1 + t30
� �
0,45 −
t70
t30
,
t70
ρ = 1,2 + 0,1 � τ 2 − 0,2 � � τ 2 − 0,9 � .
Mit diesen Hilfswerten lassen sich die beiden gesuchten Zeitkonstanten bestimmen zu:
und
T1 = t70
2ρ
T2 = t70
2ρ
(1 + τ)
(1 − τ) .
Zur Überprüfung der Genauigkeit können die Zeitprozentwerte t10, t50und t70 herangezogen
werden. Diese sollten ungefähr:
bzw.
t10
t70
t50
t70
betragen.
≈ 0,218 − 0,025 � 3 + 2τ 2� τ 2
≈ 0,688 − 0,11τ 2
Günstig ist es auch die Sprungantwort mit der Sprungantwort des PT2- Gliedes zu
vergleichen.
�
h(t) =
K
0
�
if
if
t < Tt + Ters
t ≥ Tt + Ters
�
1 − T1
T1−T2 e− t−(Tt +Ters)
T1 + T2
T1−T2 e− t−(Tt +Ters)
T2 4

1.4 Approximation der Sprungantwort in ein PTn- Glied
1.4.1 PTn- Glied aus Wendetangentenkonstruktion
G(s) =
K
(1 + sT) n
Auch hier wird wieder die Wendetangente konstruiert und aus den Zeitkonstanten
Ta und Tu, das Verhältnis gebildet. Anschließend geht man in die vierte Spalte der
folgenden Tabelle und bestimmt entweder aus der dritten Spalte oder der zweiten
Spalte T. Die erste Spalte liefert die Ordnung n.
Abbildung 4: Tabelle zur Ermittlung des PTn- Gliedes aus Wendetangentenkonstruktion
[1]
5

1.4.2 PTn- Glied aus Zeitprozentwertmethode
Dies ist eine spezielle Zeitprozentwertmethode zur Approximation in ein PTn- Glied.
Aus dem Verhältnis bestimmter Zeitprozentkennwerte, wird die Ordnung mittels nachstehender
Tabelle abgeschätzt.
Abbildung 5: Graph zur Ermittlung der Ordnung n eines PTn- Gliedes aus
Zeitprozentwerten
Nach dem man die Ordnung n- kennt lässt sich das Verhältnis eines Zeitprozentkennwertes
mit der Zeitkonstanten T ablesen und somit T berechnen.
K
G(s) =
(1 + sT) n
1.5 Glied mit gestaffelten Zeitkonstanten
Das von Radtke vorgeschlagene und von Hudzovic verbesserte Verfahren für ein Übertragungsglied
mit gestaffelten Zeitkonstanten, benutzt folgenden Ansatz:
G(s) =
n−1 �
i=0
K
�
1 + s T
1+i r
� .
6

Abbildung 6: Graph zur Ermittlung der Zeitkonstanten T eines PTn- Gliedes aus
Zeitprozentwerten
7

Für die Werte von n = 1, 2,...7 und −1 ≤ r ≤ 0 lässt sich ein solches Glied aus
dem folgenden Graphen bestimmen. Nach Konstruktion der Wendetangenten und die
Bildung des Verhältnisses Tu zu Ta, lässt sich mit diesem Wert in der unteren Hälfte
des Graphen eine günstige Kurve finden, welche die Ordnung n repräsentiert. Der
dazugehörige Abszissenwert liefert den Wert r. Geht man in die obere Hälfte des Graphen
über lässt sich aus der dazugehörigen Ordinate das Verhältnis T zu Ta ermitteln.
Damit ist auch der Wert T bestimmt.
Abbildung 7: Graph nach Hudzovic
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Literatur
[1] Unbehauen, Heinz Regelungstechnik I; Vieweg Verlag
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