Physikalisches Grundpraktikum Teil II Messung von ... - IFAT
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Christian Niederhöfer 07.06.00<br />
<strong>Physikalisches</strong> <strong>Grundpraktikum</strong><br />
<strong>Teil</strong> <strong>II</strong><br />
Versuch :<br />
<strong>Messung</strong> <strong>von</strong> Induktivitäten in der<br />
Wechselstrombrücke<br />
Praktikanten :<br />
Christian Niederhöfer<br />
Dennis Weiß<br />
Protokoll :<br />
Christian Niederhöfer<br />
Anhang : 1.) Ergebnisse und Meßtabellen<br />
2.) Original Meßprotokolle mit Tabellen und Graphiken<br />
1
Induktivitätsmessung in der Wheatstonebrücke mit Wechselstrom<br />
Es sollen in diesem Versuch die Induktivitäten verschiedener Spulen ausgemessen werden.<br />
Hierbei liegen dem Versuch die Gesetze der Induktion, der Selbstinduktion und der<br />
Gegeninduktion zugrunde.<br />
Theoretische Betrachtungen zur Wheatstoneschen Brückenschaltung<br />
Die Brückenschaltung allgemein dient zur genauen Bestimmung <strong>von</strong> Eigenschaften<br />
elektrischer Elemente wie Widerständen, Kondensatoren oder Spulen. Die genutzte Methode<br />
nennt man Nullmethode. Dies kann man sehr gut am Beispiel der Wheatstone-Brücke sehen,<br />
da hier das Prinzip der Spannungsteilung nach dem 1. Kirchhoffschen Gesetz angewandt wird.<br />
A<br />
R3<br />
R1<br />
C<br />
D<br />
Abb.1<br />
Das Schaltbild zur Wheatstonebrücke wird in Abb. 1 verdeutlicht. Man verfolgt hier die<br />
Theorie, daß an jedem Ast des Schaltbildes die gleiche Spannung U abfällt, daß heißt das<br />
Meßinstrument in der Mitte des Schaltbildes zeigt dann Null an, wenn gilt :<br />
R1<br />
R3<br />
=<br />
R2<br />
R4<br />
Auf diese Weise kann man nun mit zwei bekannten Widerständen und einem Regelwiderstand<br />
einen unbekannten Widerstand bestimmen. Denn sind R1 und R2 bekannt, und man hat den<br />
Regelwiderstand so eingestellt, daß an dem Meßinstrument ein Nullausschlag vorliegt, kommt<br />
man über obige Formel auf den gesuchten R4 ermitteln.<br />
Im Praktikumsversuch liegt eine leicht veränderte Schaltung vor. Hier bedient man sich der<br />
Tatsache, daß nur das Verhältnis zwischen R1 und R2 <strong>von</strong>nöten ist um auf den unbekannten<br />
Widerstand zu schließen. Dazu wird das Schaltbild wie folgt geändert.<br />
2<br />
R4<br />
R2<br />
B
Rx<br />
a b<br />
Abb.2<br />
In dieser Schaltung wurden die Widerstände R1 und R2 durch einen Spannungsteiler ersetzt.<br />
Dieser Spannungsteiler besteht aus einem linearen Drahtwiderstand, an dem mit Hilfe eines<br />
Schleifers die entsprechende Spannung abgegriffen wird. Dieser Schleifer oder auch<br />
Abnehmer teilt den Drahtwiderstand in 2 <strong>Teil</strong>e mit der jeweiligen Länge a und b. Da der<br />
Widerstand eines Drahtes direkt proportional zu seiner Länge ist, kann man also hier direkt<br />
das Verhältnis der beiden <strong>Teil</strong>stücke zueinander in die Gleichung aufnehmen. Es entsteht :<br />
a<br />
b<br />
=<br />
Rx<br />
Rn<br />
a<br />
Rx<br />
b Rn<br />
⇒ = ⋅<br />
Somit hat man die Bestimmungsgleichung für Rx auf das Verhältnis a/b und den bekannten<br />
Widerstand Rn eingeschränkt. Im Grunde ist diese Schaltung identisch zur original<br />
Wheatstonebrücke und nur deswegen so geschaltet, um das Messen zu vereinfachen, denn es<br />
ist einfacher einen Schiebeschleifer zu bewegen, als ständig neue Widerstände in die<br />
Schaltung zu integrieren.<br />
Betrachtungen zum Verhalten im Wechselstromkreis mit Induktivitäten<br />
Betrachtet man nun die Wechselstromschaltung der Wheatstonebrücke, in der die<br />
Induktivitäten gemessen werden sollen, muß man zuerst einen Blick auf die Spule selbst<br />
werfen. Induktivitäten lassen sich nicht in einfacher Weise herstellen. Sie sind vielmehr das<br />
Ergebnis der physikalischen Eigenschaften einer Spule ( siehe Versuch 9/10 ). Hieraus ergibt<br />
sich nun folgendes Ersatzschaltbild für die Spule.<br />
3<br />
Rn<br />
U
Diese Serienschaltung bedingt in der mathematischen Betrachtung unter der Annahme einer<br />
sinusförmigen Spannung folgende Formeln :<br />
Z = R+ j⋅ϖ ⋅ L , Z = R + ϖ L<br />
4<br />
2 2 2<br />
Diesen Wechselstromwiderstand Z kann man in einer Wheatstonebrücke messen, solange sie<br />
mit Wechselstrom betrieben wird. Ein Abgleich in einer solchen Brücke kann nur erreicht<br />
werden, wenn folgende Beziehungen gelten und zwar gleichzeitig :<br />
L<br />
L<br />
a R<br />
= , =<br />
b R<br />
x x<br />
0 0<br />
Dies bedingt, daß sowohl die Induktivitäten als auch die ohmschen Widerstände sich so<br />
verhalten, wie die Abschnitte des Schleifdrahtes. Um dies zu bewerkstelligen, braucht man<br />
noch ein zweites verstellbares Bauteil außer der Meßdrahtleiste, diesmal jedoch um die<br />
Induktivitäten zu verändern und deren Abgleich herbeizuführen.<br />
Aus diesen Überlegungen folgt dann dieses Prinzipschaltbild :<br />
Theoretische Hintergründe zur Gegeninduktion<br />
Betrachtet man den Fall, daß sich zwei Spulen gegenüberstehen und zwar so, daß die<br />
Feldlinien der einen durch die Querschnittsfläche der anderen gehen, ergibt sich folgende<br />
Beziehung für die Gegeninduktivität :<br />
a<br />
b<br />
u M di<br />
u M<br />
dt<br />
di<br />
2<br />
1<br />
1 =± , 2 =±<br />
dt<br />
Diese gilt dann, wenn durch eine der beiden Spulen ein sich zeitlich ändernder Strom fließt<br />
und die resultierende Spannung an den Enden der anderen abgegriffen wird.
In unserem Experiment haben wir 6 verschiedene Kopplungsfälle.<br />
Feldausrichtung Schaltung<br />
parallel seriell<br />
antiparallel seriell<br />
ortogonal seriell<br />
parallel parallel<br />
antiparallel parallel<br />
ortogonal parallel<br />
Für die Gegeninduktion ergibt sich aus den Fällen parallel, seriell und antiparallel, seriell<br />
folgendes :<br />
L+ = L1 + L2 + 2M<br />
L = L + L − 2M<br />
−<br />
1 2<br />
Durch Differenzbildung dieser beiden Gleichungen erhält man sofort :<br />
1<br />
M = L − L<br />
4<br />
Diese Gleichung beschreibt die Gegeninduktivität.<br />
( )<br />
5<br />
+ −<br />
Durchführung des Experiments<br />
Es gibt zwei Möglichkeiten zur <strong>Messung</strong> der Induktivitäten. Die erste Methode basiert darauf,<br />
mit einer variablen Induktivität, einem sogenannten Variometer, einen Induktivitätsabgleich<br />
herzustellen. Um den Abgleich zu bekommen, wird die Brücke zuerst im Gleichstrom und<br />
danach mittels eines Frequenzgenerators im Wechselstrom betrieben. Zum Abgleich im<br />
Gleichstrombetrieb wird ein empfindliches Drehspulinstrument genutzt, während man im<br />
Wechselstrombetrieb auf einen Oszillographen zurückgreift.<br />
Die zweite Methode soll hier nur kurz angerissen werden, da sie in der <strong>Messung</strong> nicht zum<br />
Zuge kam. Mann nennt diese Meßmethode Iterationsverfahren. In diesem Verfahren verzichtet<br />
man auf eine variable Induktivität zum Abgleichen im Wechselstromfall und gleicht die<br />
Brücke mit verschieden eingestelltem Stöpselwiderstand immer wieder ab und kommt somit<br />
dem gesuchten Ergebnis auf iterative Weise immer näher. Hat man den Abgleich erreicht<br />
überprüft man zur Sicherheit auch noch den Gleichstromabgleich, der aber auf jeden Fall<br />
erreicht sein sollte. Auch im jetzt vorliegenden Fall sind beide Abgleichbedingungen erfüllt.<br />
Da wir in unserem Experiment diese Methode nicht verwandt haben soll dies als Erläuterung<br />
dazu reichen. Im Experiment wurde wie bereits erwähnt der Abgleich mittels des<br />
Variationsverfahrens hergestellt. Dazu muß zuerst ein Gleichstromabgleich herbeigeführt<br />
werden und danach der Abgleich im Wechselstromfall mittels des Variometers. Hat man dies<br />
erreicht kann man mittels der obigen Formeln die gesuchten Größen ermitteln.<br />
Schaltbild Variationsverfahren
Schaltbild Iterationsverfahren<br />
Anmerkung : Für die Induktivität der Spule 3 wird das Variometer anders geschaltet um eine<br />
höhere Genauigkeit zu erreichen. Außerdem wird die geometrische Anordnung in Aufgabe 2<br />
durch ein Steckbrett erleichtert auf dem die Anschlüsse schon in der richtigen Lage<br />
aufgebracht sind.<br />
Aufgabe 1 )<br />
Aufgabe 2 )<br />
Ergebnisse<br />
Spule Widerstand in Ω Induktivität in mH<br />
1 29,9 30,0<br />
2 20,6 15,6<br />
3 21,0 1,75<br />
6
Aufgabe 3 )<br />
M = 2,31 mH<br />
Ausrichtung Schaltung Induktivität in mH<br />
Antiparallel seriell 39,80<br />
parallel 7,71<br />
Parallel seriell 49,04<br />
parallel 9,00<br />
Ortogonal seriell 44,58<br />
parallel 10,28<br />
Anmerkung : Für Aufgaben 1, 2 und 3 gilt ein Fehler <strong>von</strong> ± 2,360 mH.<br />
Aufgabe 4 )<br />
Aufgabe 5 )<br />
Herleitung :<br />
a<br />
> Lx= L0<br />
l − a<br />
Es folgt nach der Fehlerrechnung :<br />
a<br />
l<br />
> Lx<br />
= L0 + L0<br />
2 a<br />
l − a ( l − a)<br />
Lx<br />
L0<br />
l<br />
> = + a<br />
L L al ( − a)<br />
x 0<br />
Es folgt für a sei ⋅ l<br />
a<br />
L= x L+ 0 4L0<br />
l<br />
Lx<br />
L0<br />
a<br />
> = + 4<br />
L L l<br />
1<br />
∆ ∆ ∆<br />
∆ ∆<br />
∆<br />
2<br />
∆<br />
> ∆ ∆<br />
∆ ∆ ∆<br />
x<br />
0<br />
Herleitung :<br />
Wenn im Wechselstromfall die Brücke stromfrei ist, muß ein Impedanzabgleich stattgefunden<br />
haben. Dieser muß denselben Abgleichbedingungen Folge leisten wie der<br />
Z x a<br />
Gleichstromwiderstandsabgleich. > = . Wegen des linearen Zusammenhangs <strong>von</strong> Z und<br />
Z 0 b<br />
L läßt sich diese Formel hier umschreiben in Lx<br />
a<br />
= . Dies ist aber gerade der gesuchte<br />
L0<br />
b<br />
Zusammenhang.<br />
7