Lösung 1

Lösungsblatt Nr. 1, 14.4.2009
Vorlesung Beschleuniger und Detektoren
Sommersemester 2009
Dr. Andreas Wagner
1. Kaskadenbeschleuniger
Wie groß ist der Spannungsabfall eines vierstufigen Kaskadengenerators bei einer Terminalspannung
von 500 kV (1 MV) und einem Gleichstrom von 5 mA. Die Kapazität der Kondensatoren sei 10 nF,
die Wechselspannung habe eine Frequenz von 500 Hz.
U
ges
N
N n Q
Q
n
C C
I
i1
n i1
C
T
N(
N 1)
I
N(
N 1)
10 kV
2 2 fC
Q
ΔU N N
C
Q
ΔU N 1
2N(N 1
)
C
Q
ΔU N 2
2N2(N 1
) (N 2 )
C
...
Q
ΔU1
2N2(N 1
) 2(N
2 ) ... 2 2 1
C
N Q 2 Q N(N 1
)( 2N
1
)
ΔU ges 2nn
2
N(N 1
)
C 1
6
n
C
Q 1 3 1 2 1
2(
N N N) N(N 1
)
C 3 2 3
Q 2
3 1 2 1
N N N
C 3
2 6
I 2
3 1 2 1
N N N 50 kV
fC 3
2 6
Spannungsabfall und Rippel hängen nicht von der Beschleunigungsspannung ab. Es wäre somit
sinnvoller, die Kapazität um etwa einen Faktor von 10 3 zu erhöhen.
2. Tandem-Beschleuniger
In einem Tandembeschleuniger werden zunächst einfach negativ geladene Ionen erzeugt. Diese
durchlaufen genau einmal die Beschleunigungsspannung und treffen dann auf eine sogenannte
Stripperfolie, die Elektronen abstreift. Jetzt sind die Ionen positiv geladen und durchlaufen die
Beschleunigungsspannung noch einmal.
Der Tandem-Beschleuniger der TU München in Garching hat eine Beschleunigungsspannung von 14
MV und am FZD existiert ein Tandem-Beschleuniger mit 5 MV maximaler Terminalspannung.
Betrachten Sie nachfolgend immer beide Beschleuniger.

(a) Welche maximale Energie kann für p, d, 4 He und 7 Li erreicht werden? Annahme: die Ionen werden
in der Folie vollständig ionisiert.
Ion München FZD
p,d 14*(1e+1e) MV = 28 MeV 5*(1e+1e) MV = 10 MeV
He 14*(1e+2e) MV = 42 MeV 5*(1e+2e) MV = 15 MeV
Li-7 14*(1e+3e) MV = 56 MeV 5*(1e+3e) MV = 20 MeV
(b) Das Bohrsche Kriterium besagt, dass beim Durchgang eines Ions durch eine Stripperfolie alle
Elektronen abgestreift werden, deren Bahngeschwindigkeit kleiner oder gleich der
Projektilgeschwindigkeit ist.
Schätzen Sie mit Hilfe des Bohrkriteriums ab, bis zu welchem Element eine vollständige Ionisation in
der Stripperfolie (5 g/cm 2 Kohlenstoff) erreicht werden kann.
(siehe Gerthsen, Kneser, Vogel, 12.3.4)
2
Ze
FCoulomb
F
r
mvr n
2
Ze mvr v
nv
2
v 1 Ze 1
Z
c n c
n
Z
1
m 2 2
eU c ;
2
2eU
2
mc
2eU
2
mc
2eU
2
2ZmNc
Z
eU
2
Zm c
2 2
Z
N
Z
3
1 eU
2
m c
N
2
Zentripetal
mv
r
Ion München (TUM) FZD
Z 6.56 = 6 (Kohlenstoff) 4.65 = 4 (Beryllium)
2

(c) Man verwendet in elektrostatischen Beschleunigern in der Regel einen 90° Analysiermagneten.
Könnte man bei einer Biegekraft von 1.87 Tm mit diesem Magneten bei der maximalen
Terminalspannung einen 238 U-Strahl (häufigster Ladungszustand: 13+) ablenken?
pc
pc
pc
pc
E
kin
mc
2
TUM
FZD
300 MeV
Tm 2 2 2
Emc mc
( q 1)
eU;
5
238 931.
5 MeV 2.22 10
MeV
B
9320 MeV/q
5570 MeV/q
E
kin
( TUM)
717 MeV;
428
2
MeV;
E
2
196
B
B
2E
kin kin
kin
MeV;
TUM
FZD
mc
E
2
kin
2.
39 Tm
1.
43 Tm
( FZD)
70 MeV
Der höherenergetische Münchener Strahl ließe sich also nicht mit einer Biegekraft von 1.87 TM
ablenken, der Dresdner hingegen schon.
3. Strahlenergie und Strahlimpuls
Wie genau muss man die Geschwindigkeit β= v/c messen, um den Impuls p eines Protons mit einem
relativen Fehler von 0.2% zu erhalten? Benutzen Sie hierzu den Zusammenhang zwischen Δβ/β und
Δp/p.
p
m 2 2
; 1
p m
2
2 2
1
2
2 1
1 2
1
3
2 3
p
( )
p
2 2 1 2
Zusammenhang zwischen der nötigen Messgenauigkeit der Geschwindigkeit
für ein Proton und der Bestimmung seiner kinetischen Energie auf 0.2%.

4. Beschleunigung durch Magnetfelder
a) Geladene Punktteilchen werden durch die Lorentzkraft F = q(E + v≈B) beschleunigt oder
abgelenkt, wobei der magnetische Anteil keine Arbeit leistet. Berechnen Sie hingegen den
Energiegewinn eines magnetischen Dipols mit einem Kernmagneton ( N e 2mp
) in einem
magnetischen Gradientenfeld von 2 T/cm und einer Laufstrecke von 10 cm.
E
B
mag
E
z
10
BBBB 2
25
1
J 6
10
ec
2m
c
7
p
eV
2
2
1
197 MeVfm
310
2 931MeV
C 20 T
b) Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Energiegewinn eines einfach geladenen Teilchens durch eine
elektrostatische Beschleunigung von 100 kV/cm.
elect
8
m
s
12
VV1MeV 1.67 10
Emag
E e
2
1
1.
602 10
19