ExPhy6 SS11 Dueren Uebungen+Lsg.pdf

Experimentalphysik VI – SS 2011 – Übungsblatt 1 

Abgabe am 20.04.2011, Besprechung am 27.04.2011 

Kontakt Irina Brodski, Irina.Brodski@math.uni-giessen.de 

Peter Koch, Peter.Koch@physik.uni-giessen.de 

Aufgabe 1 

In einem Zyklotron werden H − -Ionen beschleunigt und nach 

Umladung an einer stripper foil Protonen extrahiert. Die 

Injektion erfolgt mit T = 200 keV, das homogene Magnetfeld 

ist B = 1 T, und zwischen den Halbschalen mit einer angelegten 

Wechselspannung von U(t)= 100 kV· sin ωt wechseln die 

Ionen genau zu den Spannungsspitzen. 

a) Berechnen sie die erforderliche Kreisfrequenz ω in nichtrelativistischer 

Näherung. Welcher Energie entspricht ein 

Bahnradius von r = 1 m? 

b) Die Stripperfolie sei so einjustiert, dass sie Teilchen auf 

Bahnradien r > 1 m extrahiere. Nach wievielen Umläufen n 

werden die Ionen extrahiert? Welche Energie und welchen Bahnradius haben die Protonen 

auf dem Bahnstück nach der Stripperfolie. 

c) Wie groß ist der Abstand nach 1, 2 und n Umläufen zur vorhergehenden Bahn? 

d) Berechnen sie relativistisch ω und T für den Bahnradius r = 1 m. 

(5 Punkte) 

Aufgabe 2 

In einem Synchrotron werden Protonen von einer kinetischen Energie von 40 MeV auf 

eine kinetische Energie von 2.5 GeV beschleunigt. Der Umfang des Synchrotrons ist 200 m. 

Berechnen sie Impuls, Geschwindigkeit und Umlauffrequenz bei Injektion und Extraktion. 

Aufgabe 3 

(3 Punkte) 

Berechnen sie den Krümmungsradius eines Elektronenstrahls mit 15 KeV kinetischer 

Energie im Magnetfeld der Erde (B= 3 · 10 −5 T). Welchen Abstand haben die Elektronen 

nach einer Flugstrecke von 50 cm von ihrer ursprünglichen, geraden Bahn? Müssen sie 

relativistisch rechnen? 

(2 Punkte)

ExPhy VI - Übungsblatt 1 20.04.2011 

Nach Skript beträgt die Zyklotronfrequenz, welche im Betrieb der Kreisfrequenz ω entspricht, ω = q·B 

m . Die Masse eines H- -Ions 

beträgt 1,0085u, die Ladung q entspricht der Elementarladung e und das Magnetfeld beträgt ein Tesla. Daraus folgt 

Die kinetische Energie berechnet sich folgendermaßen: 

 

ω = 

q · B 

m 

T = m 

2 v2 

= m 

2 ω2 r 2 

= 1,6 · 10−19 C · 1T 

1,0085u 

= 95,672 MHz 

= e2 B 2 

2m r2 

= (1,6 · 10−19C) 2 (1T ) 2 

(1m) 

2 · 1,0085u 

2 

= 7,664 · 10 −12 J 

= 47,836 MeV 

Pro Umlauf gewinnt das Teilchen eine Energie von ∆T = 2·q·100kV 

zu den Spannungsspitzen die Halbschale wechselt. 

sin(ωt) 

 

Zu dem Zeit punkt 1 

= 200keV, da vorausgesetzt ist, dass das Ion genau 

⇒ ∆n = TEnde − TAn f ang 

200keV 

= 4,763MeV 

200keV 

= 238,18 

Daraus folgt, dass die Ionen nach 238,5 Umläufen extrahiert werden. 1 Nach diesen 238,5 Umläufen, also nach der Stripper Foil, haben 

die Ionen eine Energie von 

Der Bahnradius berechnet sich dann folgendermaßen: 

 

Der Radius nach n Durchläufen berechnet sich als 

200keV + 238,5 · 200keV = 47,9 MeV 

T = e2B2r2 √ 

2m 

2mT 

⇒ r = 

 

e · B 

2 · 1,0073u · 7,674 · 10−12J = 

1,6 · 10−19C · 1T 

= 1,0006m 

r = 

2m(T0 + n · 200keV) 

q · B 

1 Korrektur: Extraktion immer jeweils nur nach ganzen Umläufen möglich, deshalb 239 

1

Damit ergibt sich 


 

2m(T0 + 1 · 200keV) − 

r1−0 = 

√ 2mT0 

q · B 

√ √ 

2 · 1,0085u · 400keV − 2 · 1,0085u · 200keV 

= 

1,6 · 10−19C · 1T 

= 2,68cm 

Analog berechnet sich r2−1 zu 2,05 cm. Allgemein gilt 

 

2m(T0 + n · 200keV) − 

rn−(n−1) = 

2m(T0 + (n − 1) · 200keV) 

q · B 

 

Der Bahnradius berechnet sich relativistisch zu 

Damit folgt 

Die Frequenz beträgt 

Die kinetische Energie beträgt 

 

Der Impuls p ist gegeben als 

β = 

= 

r = mγβc 

q · B 

B · q · r 

(B · q · r) 2 + (c · m) 2 

1T · e · 1m 

(1T · e · 1m) 2 + (c · 1,0085u) 2 

= 0,304 

ω = e · B 1 − β 2 

m0 

= e · 1T 1 − 0,304 2 

1,0085u 

= 91,144 MHz 

T = ( 1 − β 2 − 1)m0c 2 

= ( 1 − 0,304 2 − 1)1,0085u · c 2 

= 7,477 · 10 −12 J 

= 46,669 MeV 

 

p = T 2 + 2T m 

Die Geschwindigkeit β berechnet sich nach oben bereits verwendeter Beziehung als 

 

β = 1 − 

c4m2 (c2m + T ) 2 

Die Umlauffrequenz berechnet sich mit dem oben verwendeten relativistischen Radius zu 

ω = γβc 

r 

2

Die Impulse ergeben sich somit als 

pIn jektion = 

 

(40 MeV) 2 + (·2 · 1,0073u · 40 MeV) pExtraktion = 


= 276,878 MeV = 3,308 GeV 

−19 kg m 

= 1,479 · 10 

s 

Für die Geschwindigkeiten ergeben sich 

 

c 

βIn jektion = 1 − 

4 (1,0073u) 2 

(c2 · 1,0073u + 40 MeV) 2 

βExtraktion = 

 

(2,5 GeV) 2 + (·2 · 1,0073u · 2,5 GeV) 

−18 kg m 

= 1,767 · 10 

s 

 

1 − 

= 0,283 = 0,962 

Damit ergeben abschließend die Umlauffrequenzen als 

ωIn jektion = 

0,283c 

1 − 0,283 2 31,89m 

ωExtraktion = 

c 4 (1,0073u) 2 

(c 2 · 1,0073u + 2,5 GeV) 2 

0,962c 

1 − 0,962 2 31,89m 

= 2,665MHz = 9,060MHz 

Mit ω = 2π f ergibt sich fIn jektion = 424 kHz und fExtraktion = 1,442 MHz. 

 

Nichtrelativistisch berechnet sich die Geschwindigkeit zu 

Relativistisch berechnet sie sich zu 

2Ekin 

Ekin = 1 

2 mev 2 ⇒ v = 

me 

 

2 · 15keV 

= 

511keV 

= 0,242 · c 

 

β = 1 − m2 

E2 , E = E0 + Ekin ⇒ 

 

(511keV ) 

= 1 − 

2 

(511keV + 15keV ) 2 

= 0,237 

Daraus folgt, dass nicht relativistisch gerechnet werden müsste, da der Unterschied zu gering ist. 2 Da wir die relativistische Geschwindigkeit 

jedoch sowieso schon ausgerechnet haben, wird mit dieser weiter gerechnet. Der Radius berechnet sich durch Gleichsetzen der 

Lorentzkraft (v ⊥ B) mit der Zentrifugalkraft 

γmev 2 

r 

γmev 

= evB ⇒ r = 

eB = 

511keV · 0,237c 

= 13,861 m 

1 − 0,2372 · e · 3 · 10−5T Es ergibt sich ein Radius von 13,861 m. Der Abstand zur Bahn ergibt sich nach nebenstehender Skizze als 

l = r · α ⇒ α = l 

r 

a = r · sinα = r · sin l 

= 13,861m · sin 

r 

Es ergibt sich ein Abstand von 8,73 mm zur geraden Bahn. 

2 Korrektur: Ab β > 0,1 ist relativistisch zu rechnen 

3 

 

0,5m 

= 8,73 mm 

13,861m





Aufgabe 1 - Graphische Darstellung 

Stellen Sie die Teilchengeschwindigkeit β = v als Funktion der kinetischen Energie in 

c 

MeV für Elektronen, Protonen, Alpha-Teilchen und Gold-Kerne in einer Abbildung von 

Hand(!) dar. Bei welchen kinetischen Energien der o.g. Teilchen werden 99% der Lichtgeschwindigkeit 

erreicht? 

Wählen Sie einen sinnvollen Energiebereich, d.h. für alle Teilchen soll der Verlauf gut 

sichtbar sein, die Datenpunkte sollen sinnvoll verteilt sein und der gesamte Energiebereich, 

in dem sich β signifikant ändert, soll abgedeckt werden. Verwenden Sie verschiedene 

Linienarten und Farben, beschriften Sie die Linien und auch die Koordinatenachsen. 

(4 Punkte) 

Aufgabe 2 - Dispersionsbahn, Momentum-Compaction-Faktor 

Wir betrachten die Kreisbewegung von 

Teilchen in der Laufstrecke s = 100m in 

einem homogenen Magnetfeld und einem 

Radius von R = 1000m. Die Ablage x 

wird durch die Dispersionsbahn D(s) über 

x = D(s)·∆p/p berechnet. Es gilt folgende 

Transformation: 

⎛ 

D(s) 

⎝D 

′ ⎞ ⎛ 

(s) ⎠ = MDipol· ⎝ 

1 

D0 

D ′ 0 

1 

⎛ 

⎞ 

cos 

⎜ 

⎠ MDipol = ⎜ 

⎝ 

s 

R · sin 

R 

s 

 

R · 1 − cos 

R s 

 

R 

− 1 s 

· sin cos 

R R 

s 

sin 

R 

s 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

R 

0 0 1 

Man berechne 

a) die Dispersionsbahn D(s) mit den Anfangbedingungen der Bahngleichung: 

s0 = 0 D(s0) = D(0) = D0 = 0 

b) die Ablage x, die bei einer Impulsabweichung ∆p/p = 10 −3 zu der Sollbahn in horizontaler 

Ebene auftritt. 

c) den Momentum-Compaction-Faktor α für beliebige ∆p/p = 0, und man zeige dass α 

unabhängig von ∆p/p bestimmt werden kann. 

(6 Punkte)

Präsenzaufgaben 

Aufgabe 1 - Zyklotron 

Betrachten Sie ein Zyklotron (Magnetfeld B = 0.6T und Beschleunigungspannung 

U = 50kV), um Protonen zu beschleunigen. Es soll die Reaktion pp → ppπ 0 untersucht 

werden. 

a) Welchen Radius muss der Beschleuniger mindestens haben, um diese Reaktion 

untersuchen zu können? 

b) Mit welcher Frequenz muss der Beschleuniger betrieben werden? 

c) Welche Flugstrecke legt ein Proton zurück, bis es die nötige Energie erreicht hat? 

Hinweis: Bei diesem Experiment benutzt man als Target flüssige Wasserstoff (p). 

Aufgabe 1 - Linearbeschleuniger 

Protonen sollen auf eine kinetische Energie von 20MeV beschleunigt werden. Es 

steht ein hochfrequente Wechselspannung U(t) = U0 sin ωt mit U0 = 200keV und 

ω/(2π) = f = 20MHz zur Verfügung. Rechnen Sie bitte nicht-relativistisch: 

Linearbeschleuniger vom Wideröe Typ: 

a) Wie viele Driftröhren werden benötigt? 

b) Wie groß müssen die Rohrlängen ln des Linearbeschleunigers sein? 

c) Wie groß ist der gesamte LINAC?

⎛ 

⎝ D(s) 

D ′ ⎞ ⎛ 

(s) ⎠ = ⎝ 

1 

Mit D0 = 0 folgt daraus 

 

 

Mit L = R und ∆L = ∆R = x(s) 

− 1 R sin s R cos s R sin s R 

0 0 1 


cos s R R · sin s R R · (1 − cos s ⎞⎛ 

R 

⎠⎝ 

D0 

D ′ ⎞ ⎛ 

D0 cos 

⎠ 

0 = ⎝ 

1 

s R + D′ 0Rsin s R + R(1 − cos s R ) 

− D0 

R sin s R + D′ 0 cos s R + sin s ⎞ 

⎠ 

R 

1 

D(s) = D ′ 0Rsin s 

R 

+ R(1 − cos s 

R ) 

= 99,833m · D ′ 0 + 4,996m 

x(s) = D(s) · ∆p 

p = R(D′ 0 sin s s 

+ 1 − cos 

R R )∆p 

p 

= 1000m(D ′ 0 sin 100m 100m 

+ 1 − cos ) · 10−3 

1000m 1000m 

= 1m(D ′ 0 sin 100m 100m 

+ 1 − cos 

1000m 1000m ) 

= 1m(D ′ 0 · 99,833 · 10 −3 + 4,996 · 10 −3 ) 

α = 

∆L 

L 

∆p 

p 

= ∆R 

R 

p 

∆p 

= ✓R(D ′ 0 sin s R + 1 − cos s R ) 

✓R ✁ ✁✁ 

∆p p 

✓ 

p ✓∆p 

= D ′ 0 sin s s 

+ 1 − cos 

R R 

= D ′ 0 · 99,833 · 10 −3 + 4,996 · 10 −3 

1



Kontakt Dr. Klaus Föhl (Raum 528, Tel. 33225) klaus.foehl@exp2.physik.uni-giessen.de 

Dr. Avetik Hayrapetyan (Raum 527, Tel. 33226) avetik.hayrapetyan@uni-giessen.de 

Aufgabe 1 (3 Punkte) Linearbeschleuniger 

Mit einem Linearbeschleuniger vom Widerøe-Typ sollen Protonen auf eine kinetische 

Energie von 20 MeV beschleunigt werden. Es steht eine hochfrequente Wechselspannung 

U(t) = U0 sin ωt mit U0 = 200 kV und ω/2π = f = 20 MHz zur Verfügung. Rechnen sie 

bitte relativistisch. 

a) Welche Längen ln müssen die Driftröhren des Linearbeschleunigers haben? 

b) Wie lang ist der gesamte Linac? 

c) In der Präsenzaufgabe 1 auf Übungsblatt 2 sind die Längen der Driftröhren in nichtrelativistischer 

Kinematik berechnet worden. Ein Beschleuniger sei mit dieser Geometrie 

gebaut worden. Welche Phasenverschiebung ergibt sich aufgrund dieser Näherung für jene 

Driftröhre, welche mit der Hälfte der kinetischen Endenergie durchlaufen wird? 

Aufgabe 2 (3 Punkte) Phasenellipse 

In einem Beschleuniger sei die engste Stelle in der Vakuumkammer in x-Richtung 20 mm 

breit. An dieser Stelle werden selbst Teilchen des mittig durchlaufenden Strahls akzeptiert, 

die 20σ von der Strahlmitte entfernt sind. Es seien in x-Richtung βx = 10 m und γx = 0.2 m. 

Berechnen sie die Emittanz εx,ST D (für eine Standardabweichung) und stellen sie das 

Phasenraumdiagramm (z.B. mit Hilfe von Maxima) graphisch dar. 

Aufgabe 3 (4 Punkte) Lineare Strahloptik 

Zur Fokussierung eines Teilchenstrahls verwendet man Quadrupolmagnete. Diese wirken 

in einer Ebene fokussierend und in der dazu senkrecht stehenden Ebene defokussierend. 

Bei geeigneter Kombination zweier Quadrupole kann insgesamt eine Fokussierung erreicht 

werden. Bei einer Abfolge von FODO-Elementen (siehe Vorlesung) ergibt sich nach n 

Elementen wieder der anfängliche Phasenraum. 

Im folgenden wird nur eine Ebene betrachtet, die F- und D-Quadrupole haben gleiche 

Stärke, stehen im Abstand der Brennweite und werden als dünne Linsen genähert. 

a) Berechnen sie die Transportmatrix für ein FODO-Element in jener Ebene durch die 

FODO-Struktur, welche mit einem fokussierenden Magneten beginnt. 

b) Nach wievielen FODO-Elementen erhält man wieder den Ausgangsphasenraum? 

Aufgabe 4 (Präsenzaufgabe) Quadrupoltriplett 

Eine fokussierende Linse kann mittels dreier hintereinander angeordneter Quadrupolmagnete 

alternierender Polarität gebaut werden. 

a) Leiten sie ausgehend von der allgemeinen Transportmatrix eines Quadrupols endlicher 

Länge die Näherung für eine dünne Linse her. 

b) Das Quadrupoltriplett sei spiegelsymmetrisch aufgebaut. Wir betrachten eine Hälfte. 

Wie lauten die Transportmatrixen in beiden Ebenen für Quadrupolelement Q1 mit 

Brennweite f1, Abstand l1, Quadrupolelement Q2 mit Brennweite f2 und Abstand l2 zum 

Fokuspunkt der gesamten Anordnung? 

c) Das halbe Triplett soll von der Mitte ausgehend achsenparallele Strahlen auf einen 

Fokuspunkt abbilden. Wie stehen Brennweiten fi und Abstände li im Zusammenhang? 

(es kann praktisch sein, mit xi = 1/fi zu rechnen) 

d) Welche Brennweiten fi ergeben sich im Spezialfall l = l1 = l2?


Nach der n-ten Röhre haben die Teilchen eine Energie En = n · q ·U0 sin(ωt). Dies entspricht einer kinetischen Energie vo Tn = (γ − 

1)mc 2 = ( 1 

√1−β 2 − 1)mc2 . Auflösen nach β liefert 

 

 

 

 

β = 

(n · q ·U0 sin(ωt))(2 − n·q·U0 sin(ωt) 

cm2 + n · q ·U0 sin(ωt) 

cm 2 +n·q·U0 sin(ωt) ) 

Beim Durchlaufen einer Driftstrecke vergeht genau eine halbe Periodendauer τHF 

2 , womit die Länge der n-ten Röhre sich folgendermaßen 

berechnet 

= 

2 2νHF 

βnλHF 

2 

= λHF 

 

 

 

 

2 

(n · q ·U0 sin(ωt))(2 − n·q·U0 sin(ωt) 

cm2 + n · q ·U0 sin(ωt) 

ln = vnτHF 

= vn 

cm 2 +n·q·U0 sin(ωt) ) 

Es wird eine Phase von 0,7 angenommen, so dass in jeder Röhre 140keV dazukommen. Einsetzen ergibt somit, mit λHF = c 

νHF = 

14,9896m 

 

n·140 keV 

(n · 140 keV)(2 − 938,272 MeV+n·140 keV 

ln = 7,4948m 

) 

938,272 MeV + n · 140 keV 

 

Um 20MeV zu erreichen, müssen die Protonen n = 20MeV 

140keV 143 Röhren durchlaufen. 

 

143 

∑7,4948m 1 

= 146,939 m 

 

n·140 keV 

(n · 140 keV)(2 − 938,272 MeV+n·140 keV ) 

938,272 MeV + n · 140 keV 

10 MeV 

Die Hälfte der kinetischen Energie wird nach n = 140 keV = 71,43 72 Röhren erreicht. Man betrachte also die Länge der 72. Röhre, 

jeweils relativistisch bzw. nichtrelativistisch. 

 

72·140 keV 

(72 · 140 keV)(2 − 938,272 MeV+72·140 keV 

l72,rel. = 7,4948m 

) 

938,272 MeV + 72 · 140 keV 

= 1,09894 m 

l72,nichtrel. = 0,15 m · √ 72 

= 1,27279 m 

1 Der Längenunterschied beträgt ∆l72 = 0,18295 m. Die Länge der relativistischen Röhre entspricht einer halben Schwingung, also π. 

Damit berechnet sich der Phasenunterschied ∆Phase als 

∆Phase = 0,18295 

1,27279 π 

= 0,45 rad 

= 25,87 ◦ 

1 Die nichtrelativistische Länge wurde falsch berechnet, d.h. l72,nichtrel hat den falschen Wert. Der Rechenweg stimmt. 

1 

20mm 

} 

20σ 

} 

Strahl

Die Emittanz berechnet sich als ε = 

berechnet sich die Emittanz als 

Das Phasendiagramm berechnet sich über 


σ 2 

β . Laut Aufgabe gilt 10 mm = 20σ, daraus folgt σ = 0,5 mm. Mit β = 10 m 

ε = 

σ 2 

β 

= (0,5 mm)2 

10 m 

= 2,5 · 10 −8 m 

u(s) = α β cos(φ − δ) 

u ′ (s) = α (sin(φ − δ) − 

β 1 d 

β cos(φ − δ)) 

2 ds 

α erhält man durch Umstellen der Formel γ = 1+α2 

β als α = √ γβ − 1. Mit β = 10 m und γ = 0,2 m errechnet sich α 

netterweise als Eins. Das Phasendiagramm wurde mit Hilfe von Maxima und folgendem Befehl erstellt: 

plot2d([parametric,sqrt(10)*cos(t),1/sqrt(10)*sin(t)],[plot_format, gnuplot],[x,-2*%pi,2*%pi], [y,-2*%pi,2*%pi],[nticks,50]); 

Weiterhin wurde die Phasenverschiebung δ gleich Null gesetzt und β = β(s), da im Text nicht anders angegeben, als konstant angesehen. 

Abbildung 1: Phasendiagramm 

2

Aufgabe 3: 

Teil A: 

Mit den Näherungen aus der letzten Präsenzaufgabe und den in der Aufgabe gegebenen Bdingungen 

x1 x2 x und l1 l2 x ergibt 

1 0 

In[3]:= MF : 

x 1 

Mo : 

1 1 

0 

x 

1 

1 0 

MD : 

x 1 

In[6]:= MFODO : Mo.MD.Mo.MF 

In[8]:= MatrixFormMFODO 

Out[8]//MatrixForm= 

1 3 

x 

x 2 

Teil B: 

Damit man wieder den Ausgangsphasenraum erhält muss die Gesamtmatrix in der Gleichung xs 

x' s Mges x0 

Form 

1 0 

0 1 

haben. Dies kann durch sechs FODO Elementen erreicht werden: 

In[10]:= Mgesamt : MFODO.MFODO.MFODO.MFODO.MFODO.MFODO 

In[11]:= MatrixFormMgesamt 

Out[11]//MatrixForm= 

1 0 

 

0 1 

Printed by Mathematica for Students 

x'0 

die

Experimentalphysik VI – SS2011 – Übungsblatt 4, 

Ablenkung im Magnetfeld (10 Punkte) 


Kontakt Dr. Avetik Hayrapetyan (Raum 527, Tel. 33226) avetik.hayrapetyan@uni-giessen.de 

Dr. Klaus Föhl (Raum 528, Tel. 33225) klaus.foehl@exp2.physik.uni-giessen.de 

Aufgabe 1, (3 Punkte) LHC Protonen 

Der LHC im LEP-Tunnel beschleunigt (Umfang ≈ 27km, Radius des Bogens 2,803 km) 

Protonen auf hohe Energie. 

a) Welche maximale Energie der Protonen kann erreicht werden, wenn die supraleitenden 

Magnete im Vakuum ein maximales Magnetfeld von 8,36 Tesla erzeugen? 

b) Nehmen Sie an, dass die Höhe des Strahlrohrs etwa 18mm beträgt. Nach wie vielen 

Umläufen würde ohne vertikale Fokusierung der Protonenstrahl alleine auf Grund der 

Gravitation verloren gehen? Wie viele Umläufe führt der Protonenstrahl während eines 

normalen Runs (≈ 10 Stunden) aus? 

Aufgabe 2, (3 Punkte) Separation bei der Compton-Rückstreuung 

Beim transversalen Polarimeter des HERA Elektro- 

6m 

Kalo 

10m 

γ 

nenstrahls befindet sich der Compton Wechselwir- IP 

Dipole 

∆ 

e 

kungspunkt(IP) bei z=0 m. Von dort aus fliegen die 

65m 

Rückstossphotonen und die gestreuten Elektronen in 

positive z-Richtung. Nach 10 m steht ein Dipolmagnet 

mit der Länge 6 m und Ablenkung 0.54 mrad. Die Strahlenergie beträgt 27.5 GeV. 

a.)Wie groß ist die Separation (in cm) zwischen dem Elektronenstrahl und den Compton 

Photonen an der Kalorimeterposition, 65m vom IP. Es wird angenommen, dass sich 

dazwischen ausser dem Dipol keine anderer Magnet befindet. 

b.) Die Compton gestreuten Elektronen haben ein Spektrum das zwischen der Comptonkante 

bei 13.5 GeV, und der Strahlenergie, 27.5GeV liegt. Wie groß ist die Separation 

zwischen den Strahlelektronen und den Elektronen in der Comptonkante an der Kalorimeterposition. 

Aufgabe 3, (4Punkte) Messung von Teilchensimpulsen 

Im HERMES Spektrometer wurde die Ortskoordinate 

der Pionspuren transversal zum Magnetfeld der 

Stärke1.2Tauf einer Längevom L=1.5 mmit Hilfe 

von drei präzisen Kammern vermessen. 

a.) Leiten Sie bitte die Beziehung zwischen dem 

Krümmungsradius ρund der Sagittasder Kreisbahn 

her (s

Nach Vorlesung 2 (Folie 40) besteht folgender Zusammenhang: 

 

Man erinnert sich an das erste Semester: 


R = E 

⇒ E = RecB 

ecB 

= 2,803 · 10 3 m · 1,6 · 10 −19 8 m 

C · 2,9979 · 10 · 8,36T 

s 

= 7,025TeV 

s(t) = 1 

2 gt2 

2s 

⇒ t = 

g 

 

2 · 0,009m 

= 

9,81 m 

s2 = 0,0428s 

Aus der Energie der Protonen errechnet sich deren Geschwindigkeit zu: 

 

β = 1 − m2 

E2 

= 

1 − (938MeV)2 

(7,025TeV) 2 

= 0.9999999911 

Nun kann einfach das Weg-Zeit-Gesetz angewendet werden, wobei jedoch berücksichtigt werden muss, dass die 0,0428 s im ruhenden 

Bezugssystem vergehen: 1 

s = βc · γt 

1 

= βc · 

1 − β 2 t 

= 0.9999999911c · 

= 96.095.840,042km 

1 

· 0,0428s 

1 − 0,99999999112 Dies entspricht ca. 3.559.105 Umläufen. 

Für einen normalen Run von 10 Stunden ergeben sich nach analoger Rechnung ca. 2,994 · 10 12 Umläufe. 

 

 

Die Abweichung beträgt ca. 2,8 cm. 

 

tanα = ∆ 

x ⇒ ∆ = tanα · x = tan0,54 · 10−3 · (65m − 10m − 3m) = 0,028m 

Vorgehensweise: Über Geometrie Radius bestimmen, darüber B-Feld, über Verhältnis Teilchenenergien den neuen Radius und damit 

die neue Ablenkung bestimmen. 

1 Korrektur: Schwachsinn, Gammafaktor ignorieren 

1

Der Radius ρ ergibt sich über den Satz des Pythagoras und nebenstehender Skizze als 

ρ 2 

⇔ ρ 2 = L2 

4 + ρ2 − 2ρs + s 2 

⇔ ρ = L2 s 

+ 

8s 2 

Für s ≪ 1 ergibt sich die geforderte Näherung ρ ≈ L2 

8s . 

 


= 

2 L 

+ (ρ − s) 

2 

2 

Die Pionen verfügen über die Ladung q = e und über einen Impuls von P = 18 GeV = 

9,619714 · 10 −18 kgm 

s . Der Radius in einem Magnetfeld der Stärke B = 1,2 T ergibt sich als 

r = P 

eB 

. Die Sagitta s berechnet sich durch Umstellen der oberen Gleichung als 

 

s = r ± r2 − L2 

4 

= P 

eB ± 

 

P 

eB 

2 

− L2 

4 

= 9,619714 · 10−18 kgm 

s 

e · 1,2T 

= 5,62142mm 

± 

 

9,619714 · 10−18 kgm 2 

s − 

e · 1,2T 

1,5m2 

4 

Die zweite Lösung für s mit s = 100,06361m wurde verworfen, da die Sagitta nur schwerlich größer als der Radius werden kann. 

Zur Messgenauigkeit der Sagitta wurde angenommen, dass der Impuls mit 2,5% Genauigkeit bestimmt werden soll, womit sich ∆P = 

2,40493·10−19 kgm 

s ergibt. Alle anderen Größen wurden als nicht-fehlerbehaftet angesehen, womit sich nach dem Maximalfehlergesetz 

ergibt: 

 

 

∆s = 

∂s 

 

∂P 

∆P 

 

 

 

= 

1 

 

eB 

 

− 

P 

(qB) 2 

 

2 PqB − L2 

 

 

 

 

 

∆P 

 

4 

Die Sagitta muss also ebenso auf ∆s 

s 

= 0,14055mm 

= 2,5% genau gemessen werden. 

2 

L/2 

s 

L 

ρ 

ρ-s

Experimentalphysik VI – SS2011 – Übungsblatt 5, 

Synchrotronstrahlung,Luminosität (10 Punkte) 




Aufgabe 1, (3 Punkte) Synchrotronstrahlung 

Die Leistung, die ein relativistisch beschleunigtes Teilchen der Masse m, Ladung q und 

Energie E abstrahlt, ist: 

dE 

dt = q2 γ 6 

6πǫ0c 3[(d−→ β 

dt )2 −( −→ β X d−→ β 

dt )2 ] (Vorlesung 6,Gleichung 25) 

Zeigen Sie bitte, dass ein auf einer Kreisbahn mit Radius R umlaufendes Teilchen mit 

Ladung q = e pro Umlauf die Energie 

∆E(MeV) = 6.02∗10 −15 ∗ β3 E 

∗( 

R[m] mc2) 4 

(Vorlesung 6,Gleichung 28) 

verliert. 

Berechnen Sie bitte ∆E für ein Proton mit E = 1 TeV bei einem Radius von 1 km. Wie 

groß müßte der Radius eines Kreisbeschleunigers für Elektronen derselben Energie sein, 

damit pro Umlauf dieselbe Energie abgestrahlt wird? 

Aufgabe 2 (3 Punkte) Synchrotronstrahlung, Energieverlust 

1)Wieviel Energie verliert ein hochrelativistischen Elektron im HERA Speicherring pro 

Umlauf? 

2)Wieviel Energie verliert ein Elektronen−Bunch pro Umlauf? 

3)Wieviel Energie verliert ein ganzer Strahl pro Umlauf? 

Hinweis: Energie HERA Elektronstrahl 27.56GeV, Radius =779m; es waren etwa 10 10 

Elektronen in einen Bunch; und es waren 180 Bunche im Speicherring. 

Bitte wenden.

Aufgabe 3, (4Punkte) Luminosität 

Für die HERA-Experimente H1 und ZEUS wurde die Luminosität durch die Strahlintensitäten 

der Elektron und Protonstrahlen gegeben, für das HERMES-Experiment durch 

Elektronstrahlintensität und die in das Gastarget ( ” storage cell “) injizierte Gasdichte. 

In beiden Fällen ist die Luminosität direkt proportional zu diesen Parametern. Wir Experimentatoren 

einigten uns darauf , nach dem Befüllen der Strahlringe(genannt ” Fill“, 

siehe Vorlesung 7, Seite 9) für die Dauer der jeweligen Messung 10mal mehr Gas ins 

HERMES Gastarget zu injizieren, als während eines ” Fill“ erlaubt war. Bei diesen sogenannten 

High-Density (HD) Runs verringert sich die Elektronenstrahllebensdauer von 

circa13Stundenauf5Stunden(siehedasaktuelleStrahlverhalten vorundnach12Uhrim 

obigen Bild als Beispiel). Unter der Voraussetzung , dass die Erhöhung bei einer Strahlintensität 

von circa 13mApassiert, und alle High-Density-Runs 1 Stunde dauern, berechnen 

sie bitte den relativen Gewinn/Verlust in integrierter Luminosität für HERMES und für 

die Collider-Experimente H1 und ZEUS. Gehen Sie davon aus, dass für H1 (ZEUS) der 

Protonenstrahlstrom konstant bleibt.

P = dE 

dt 


= q2 

6πε0c 

3 γ6 

⎛ 

⎝ 

d 2 

β 

− d 

β × 

dt 

⎞ 

2 

β 

⎠ 

dt 

Mit β = β + β⊥ und Betrachtung des auf einer Kreisbahn relevanten transversalem Teils (es wird gerechnet mit c = 1): 

Mit d β⊥ 

dt 

1 dp⊥ 

= folgt 

γm dt 

Weiterhin gilt dp⊥ 

dt 

P⊥ = q2 

γ 

6πε0 

4 

 

dβ⊥ dt 

P⊥ = q2 

γ2 

6πε0m2 2 

2 dp⊥ 

dt 

 

β 2 p 

= q β⊥ ×B = γm mit B = 

R qR sowie p = γmβ. Dadurch ergibt sich P⊥ zu 

P⊥ = q2 

6πε0R2 β 4 

E⊥ 

⊥ 

mc2 4 ∆E ergibt sich als P⊥dt, mit dt = 1 

β ds. Da der Radius R konstant ist, ist ds = 2πR. Somit erhält man 

Mit γ = E 

m sowie einsetzen von q = e = 1,6 · 10−19 C erhält man 

∆E⊥ = 2 

q 

6ε0 

2 β 3 γ 

⊥ 

4 

R 

∆E⊥[MeV ] = 6,031 · 10 −15 · β 3 ⊥ 

R 

 

E 

mc2 4 Der Unterschied auf der zweiten Nachkommastelle dürfte sich als Rundungsfehler erweisen. 

 

 

 

mc2 Durch Einsetzen und der Beziehung β = 1 − 

E 

2 

∆E = 6,02 · 10 −15 

= 7,777 eV 

errechnet sich ∆E als 

 

1 − 938MeV 

1TeV 

1000 

2 3 

 

1TeV 

938MeV 

4 Umstellen der Gleichung und Einsetzen der Elektronenmasse sowie des gerade berechneten Energieunterschieds liefert 

R = 6,02 · 10 −15 

 

1 − 511keV 

1TeV 

7,777eV 

2 3 

= 1,135 · 10 13 km ∼ 1,2 Lichtjahre 

4 1TeV 

511keV 

Das deckt sich mit der Aussage, dass Elektronen ungefähr das 1 · 10 13 -fache an Leistung abstrahlen. 

1

Mit oben hergeleiteter Formel ergibt sich 

 

∆E = 6,02 · 10 −15 


 

= 65,3871 MeV 

1 − 

3 

2 

511keV 

27,56GeV 

779 

4 27,56GeV 

511keV 

In einem Bunch befinden sich ungefähr 10 10 Elektronen, die Energie pro Bunch beträgt also 65,3871 MeV ·1 · 10 10 = 653,871 PeV = 

0,10476 J 

 

Im gesamten Strahl fliegen 180 solcher Bunches, die Energie beträgt also 653,871 PeV ·180 = 117,6968 EeV = 18,857 J 

 

Nach Aufgabenstellung ist die Luminosität bei HERMES direkt proportional zur Strahlintensität I(t), der Gasdichte σ sowie einer Konstante 

A. Es wird angenommen, dass die Strahlintensität nach dem Zerfallsgesetz mit der Zeit exponentiell abnimmt. Mit Lebensdauern 

von τ1 = 13 h und τ2 = 5 h ergeben sich die Zerfallskonstanten λ1 = 1 

13 h sowie λ2 = 1 

5 h . Die Intensitäten ergeben sich allgemein als 

I(t) = I0 ·e−λ·t mit I0 = 13 mA. Weiter gilt nach Aufgabe, dass σ1 = 1 10 ·σ2 = σ. Für HERMES werden die Konstanten A, I0 sowie σ zu 

der Konstante α zusammengefasst. Für H1 und ZEUS ergibt sich im Prinzip der gleiche Rechenweg, nur dass hier die Gasdichten wegfallen, 

dafür die Protonenstrahlintensität als Konstante hinzukommt. Zusammengefasst werden die Konstanten als β. Man berechnet 

also für HERMES: 

L1 = α 

3600 

− 1 

e 46800s t dt = 3465,021978 · α 

0 

L2 = 10 · α 

Das Verhältnis L2 

beträgt 9,4165. Für H1 und ZEUS berechnet man 

Das Verhältnis 

L1 

L ′ 

2 

L ′ 

1 

3600 

− 1 

e 18000s t dt = 32628,46385 · α 

0 

L ′ 

3600 

− 1 

1 = β e 46800s t dt = 3465,021978 · β 

0 

L ′ 

3600 

− 1 

2 = β e 18000s t dt = 3262,846385 · β 

0 

beträgt 0,94165. Bei HERMES ist die integrierte Luminosität während den »High Density Runs« also ungefähr 

9,4-mal höher, wohingegen sie bei H1 und ZEUS nur ca. 94% der »normalen« Runs beträgt. 

2





Aufgabe 1 (3 Punkte) Undulator und Wiggler 

In Bahnrichtung des durchlaufenden Elektronenstrahls mit p=600MeV/c wechselt in einem 

Wiggler/Undulator nach jeweils 5mm die Polarität des transversalen Magnetfeldes. 

Präsenzteil: Die Elektronenbahn sei idealisiert als gerade angenommen. Welche Wellenlänge 

hat die Grundfrequenz (=erste Harmonische) der Undulatorstrahlung? Bitte betrachten 

sie einen Lösungsweg komplett im Laborsystem sowie eine Rechnung, welche die 

Anregungsfrequenz im Ruhesystem der Elektronen als Zwischenschritt beinhaltet. 

a) Bei einem Magnetfeld |B|=1T beschreibt die Elektronenbahn eine merkbare Schlangenlinie. 

Welche Wellenlänge ergibt sich jetzt für die Grundfrequenz der Undulatorstrahlung? 

b) Vergleichen sie den charakteristischen Winkel 1/γ der in einen Vorwärtskegel konzentrierten 

Synchrotronstrahlung mit der maximalen Richtungsabweichung der Schlangenlinie 

bei B=1T von der idealen geraden Bahn. 

c) Berechnen sie den Undulatorparameter K = eBλu für B=1T und B=0.1T. 

2πmc 

me=0.511 MeV/c2 , c=299792458 m/s. 

Aufgabe 2 (3 Punkte) Comptonstreuung, transversales Polarimeter 

Bei HERA treffen die Photonen des YAG-Lasers (λ =532 nm) frontal auf Elektronen der 

Energie T = 27.5 GeV. 

Präsenzteil: Berechnen sie die Energie der Photonen im Ruhesystem der Elektronen und 

im Schwerpunktsystem. 

a) Berechnen sie im Laborsystem die Energien und Streuwinkel von Photonen, welche im 

Schwerpunktsystem Streuwinkel von 90 ◦ und 180 ◦ haben. 

b) In 65 m Abstand vom Wechselwirkungspunkt steht ein Kalorimeter und misst Positionen 

der auftreffenden Photonen. Wie hoch muss die Auflösung des Kalorimeters sein, 

damit die beiden Fälle unterschieden werden können? 

Aufgabe 3 (4 Punkte) Dynamische Polarisation 

Protonen können durch das Anlegen eines Magnetfeldes und der Einstrahlung von Hochfrequenz 

dynamisch polarisiert werden. 

Präsenzteil: Bitte skizzieren Sie das Termschema und tragen die Vorgänge der folgenden 

Aufgabenteile ein. — Welche Gründe kann es für eine mögliche Abweichung der berechneten 

magnetischen Momente zum Literaturwert geben? — Welche Besetzungszahlen ergeben 

sich bei einem Kelvin ohne Hochfrequenzeinstrahlung? 

a) In einem von außen angelegten Magnetfeld von 2.5 Tesla wird die Aufspaltung der Elektronenspinzustände 

mit 70.0 GHz angegeben. Welchem Zahlenwert für das magnetische 

Moment µ entspricht dies. 

b) Die Hyperfeinstrukturaufspaltung wird mit 106 MHz angegeben. Welcher Energie in 

eV entspricht dies? Mit welchen Einstrahlfrequenzen kann polarisiert werden? 

c) Energieniveaus mit unterschiedlicher Orientierung des Kernspins brauchen lange, um 

ins thermische Gleichgewicht zu gelangen; diese Kopplung ist hier zu vernachlässigen. Die 

Hochfrequenzeinstrahlung ergebe (idealerweise) gleiche Besetzungszahlen für die so gekoppelten 

Energieniveaus. Welche Besetzungszahlen ergeben sich für die vier Energieniveaus 

bei 1 K, wenn die Population des zweittiefsten Niveaus maximiert werden soll.

λn ergibt sich als 1 2 


λn = λ0 

2γ2 

1 + 

n 

K2 

2 + γ2θ 2 

 

Mit der Periodenlänge des Undulators λ0, dem bekannten Gammafaktor γ = 

 

1 + p 

mc 

2 eBλ0 

sowie K = 2πmc . Die Aufgabenstellung 

behauptet, das Magnetfeld betrage 1 Tesla, die Undulatorperiodenlänge sei 10 mm und der Impuls betrage 600 MeV 

c . Da die Grundfrequenz, 

also die erste Harmonische gefragt ist und wir wie in der Präsenzaufgabe den Abstrahlung bei θ = 0 ◦ betrachten, berechnet sich 

die Wellenlänge als 

 

λ1 = 

2 · 

 

1 + 

= 5,2076nm 

0,01m 

600 MeV 

c 

511 keV 

c 

⎛ 

 

⎜ 

⎝1 + 

2 

 

β = 1 − 1 

p2 m2 = 0,9999996373 

+ 1 

1 

γ = 

1 − β 2 

 

e·1T·0,01m 

2πc·9,109·10 −31 kg 

1 

γ = tanθ ⇒ θ = arctan 1 − β 2 = 0,0488 ◦ 

Für den charakteristischen Winkel ergibt sich 0,0488 ◦ . Durch Gleichsetzen der Lorentzkraft mit der Zentripedalkraft erhält man für den 

Radius des abgelenkten Teilchens: 

m · v2 

q · v · B = 

r 

m · v p 

⇒ r = = = 2,001m 

e · B e · B 

Die maximale Richtungsabweichung tritt beim Eintritt in das Magnetfeld ein. Die dortige Tangente bildet 

mit dem Radius einen Winkel von 90 ◦ . Der gesuchte Winkel ist also 90 ◦ - β. Dieser Winkel findet sich im 

Dreieck nocheinmal und lässt sich über den Sinussatz berechnen als α = sin −1 0,0025 

2,001 

sieht, dass die Winkel ungefähr von der gleichen Größenordnung sind. 

 

K1 = 

K0,1 = 

e · 1T · 0,01m 

2πc · 9,109 · 10 −31 kg 

= 0,933729 

e · 0,1T · 0,01m 

2πc · 9,109 · 10−31kg = 0,0933729 

2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

 

= 0,0716 ◦ . Man 

1T. Knuth Auslegung, Entwicklung und Inbetriebnahme eines longitudinalen und transversalen Feedbacksystems zur Dämpfung gekoppelter Teilchenpaket-Instabilitäten 

im BESSY-II-Speicherring 

2Korrektur: Gilt nur bei sinusartigem Verlauf des B-Felds. Laut Aufgabenstellung wechselt das B-Feld instantan, insofern andere Herleitung. 

1 

β 

α 

r 

l /2 

θ=α

Die Transformation der Winkel ins Laborsystem erfolgt über 

βL errechnet sich über βL = 

 

1 − 

 

mc2 mc2 

 

2 

= 1 − 

+T 


⎛ 

⎞ 

sinφcm 

φL = arctan⎝ 

γ(cosφcm + βL 

βcm ) 

⎠ 

511keV 

511keV+27,5GeV 

2 

= 0,9999999998. γ berechnet sich nach altbekanntem Muster 

als γ = 53816,97958. βcm = pν +pe 

Eν +Ee , mit pe = √ T 2 + 2T m ≈ 27,5GeV, pν = h 

λ = 2,331eV = Eν, Ee = T +m = 27,500511GeV. Daraus 

folgt βcm = 0,9999814. Somit berechnen sich die Winkel als 3 

Hiermit errechnet sich die Energie der Photonen zu 

⎛ 

φL,90 = arctan⎝ 

sin90◦ 53816,97958(cos90◦ + βL 

βcm ) 

⎞ 

⎠ = 0,3494 ◦ 

⎛ 

φL,180 = arctan⎝ 

sin180◦ 53816,97958(cos180◦ + βL 

βcm ) 

⎞ 

⎠ = 180 ◦ 

E ′ ν = Eν 

1 − β cosθ 

(1 − β cosθ ′ ) + hν 

γmc2 (1 − cosφ) 

Hierbei entspricht θ dem Winkel zwischen Elektron und Photon vor der Streuung (180 ◦ ), θ ′ ist der Winkel zwischen Elektron vor 

der Streuung und dem Photon nach der Streuung (0,3494 ◦ bzw. 0 ◦ ) und φ ist der Winkel zwischen Photon vor und nach der Streuung 

(179,6506 ◦ bzw. 180 ◦ ). Einsetzen ergibt 

 

E ′ 1 − 0,9999999998cos180 

ν = 2,33ev 

◦ 

(1 − 0,9999999998cos0,3493◦ 2,33 

) + 59999,99893·511keV (1 − cos179,6506◦ = 125,279kev 

) 

E ′ 1 − 0,9999999998cos180 

ν = 2,33ev 

◦ 

(1 − 0,9999999998cos0◦ 2,33 

) + 59999,99893·511keV (1 − cos180◦ = 12,187Gev 

) 

Der Abstand, zwischen den Punkten, an denen die zwei Strahlen auftreffen, berechnet sich als x = 65m · tanα, wobei α dem oben 

berechneten Winkel entspricht. Einsetzen liefert, dass das Polarimeter 39,639cm auflösen können muss. 

 

 

Allgemein gilt E = −µ · B. Unter der Annahme, dass B ⊥ µ, berechnet sich das magnetische Moment als µ = − E B . Die Aufspaltung 

beträgt 70 GHz, das entspricht einer Energieaufspaltung von E = hν 2 = 2,3191 · 10−23 J. Der Faktor 1 2 erklärt sich damit, dass die 

Aufspaltung, je nach Spinorientierung, einmal nach oben und einmal nach unten geschieht. Damit berechnet sich das magnetische 

Moment als µ = − 2,3191·10−23 J 

2,5T = −927,6496 · 10−26 J T . Der Literaturwert beträgt −928,4764 · 10−26 J T . 

 

Es gilt E = h · ν = h · 106 · 10 6 Hz = 7,0236 · 10 −26 J = 0,43838µeV. Es gibt vier verschiedene Übergangsenergien: 1 → 2 ≡ 3 → 4 = 

0,43838µeV, 1 → 3 ≡ 2 → 4 = 0,28950meV, 1 → 4 = 0,28994meV und 2 → 3 = 0,28906meV. Diese entsprechen Frequenzen von 

(in gleicher Reihenfolge:): 106 MHz, 70, GHz, 70,106 GHz und 69,896 GHz. Polarisieren kann man jedoch nur mit den Frequenzen, 

welche Übergänge von 1 nach 4 oder von 2 nach 3 anregen. Frequenzen, die von 1 nach 2 anregen, regen auch von 3 nach 4 an. 

Frequenzen, die von 1 nach 3 anregen, regen auch von 2 nach 4 an. Es bleiben also die Frequenzen 69,896 GHz und 70,106 GHz. 

3 Korrektur: Der erste Winkel ist falsch, damit alles nachfolgende 

2


Da wir den zweitniedrigsten Zustand besetzen möchten, ist es sinnig, in diesen Anzuregen, aber nicht aus diesem raus. Als Anregungsfrequenz 

wählen wir 70,106 GHz, also eine Anregung von 1 nach 4. Von 4 relaxieren die Zustände nach 2, wo sie verbleiben. Es gilt 

also 

Man sieht leicht, dass w2 = 

− ∆E 

w3 = w1e kBT = 0,00117. 

1 

− ∆E 

1+2e kBT − 

+e 2∆E 

kBT w3 

w1 

w1 = w4 

= w4 − ∆E 

= e kBT w2 

4 

∑ = 1 

n=1 

− ∆E 

ist. Einsetzen liefert w2 = 0,9343. Es ist w1 = w4 = w2e kBT = 0,0323. Weiterhin gilt 

3





Aufgabe 1 - Menschenversuche 

In sogenannten “grand unified theories” wird der Zerfall des Protons vorausgesagt. Eine 

denkbare Zerfallsreaktion wäre p → π + ν. Eine untere Grenze für die Proton Zerfallswahrscheinlichkeit 

wird durch die Lebensdauer eines Menschen gegeben. Die im lebenden 

Organismus zerfallenden Protonen würden eine Strahlenbelastung durch die emittierten 

Teilchen erzeugen. Diese Strahlenbelastung darf natürlich die tödliche Dosis nicht uberschreiten. 

Gehen Sie von folgenden Annahmen aus: 

• Ein Mensch habe 100 kg Masse und lebe 70 Jahre 

• Die letale Strahlendosis beträgt ca. 3 Gray; nehmen Sie 1 Gray Bestrahlung durch 

den Protonzerfall an. (1 Gray = 1 Joule/kg = 6.24 · 10 12 MeV/kg) 

• Das Pion aus dem Protonzerfall habe eine Energie von Eπ 480 MeV; die 

Energiedeposition dE/dx beträgt 2.2 MeV cm 2 /g (Dichte: 1 g/cm 3 ), die mittlere 

Weglänge der Pionen sei 10 cm. 

Machen Sie eine vernünftige Annahme über die Anzahl der Protonen im Menschen. Wieviele 

Protonen müssen zerfallen, damit der Mensch in 70 Jahren eine Strahlenbelastung 

von 1 Gray akkumuliert? Welcher Lebensdauer des Protons entspricht das? Vergleichen 

Sie das Ergebnis mit dem Alter des Universums (Particle Booklet). 

(3 Punkte) 

Aufgabe 2 - Flugzeit 

Zwei Teilchen der Massen m1 und m2 (m1 > m2 ) aber gleichem Impuls p, sollen in einem 

Detektor nachgewiesen und identifiziert werden. Dazu legen sie eine Strecke L zwischen 

zwei Szintillationszählern zurück. 

• Berechnen Sie den Flugzeitunterschied an Zähler 2, falls beide zur gleichen Zeit in 

Zähler 1 nachgewiesen werden. 

• Zeigen Sie, dass für hohe Impulse (d.h. | p | 2 ≫ m 2 ) die Flugzeitdifferenz proportional 

zu | p | −2 abnimmt. 

• In welchem Abstand müssen die Szintillationszähler aufgestellt werden, damit Pionen 

von Kaonen getrennt werden können? Die Teilchen sollen einen Impuls von 3 

GeV /c haben, die Apparatur ein Auflösungsvermögen von 200 ps. 

(3 Punkte)

Aufgabe 3 - Neue Resonanz 

Es ist 2027 und die Wissenschaftler haben es endlich geschafft einen µ + µ − Ringcollider 

zu bauen, der es auf Schwerpunktenergien von √ s = 10TeV bringt. Die vorläufigen Daten 

zeigen die dargestellte Verteilung der invarianten Masse. 

• Bestimmen Sie die Masse, Zerfallsbreite und Lebensdauer des Zustandes ungefähr 

anhand der Darstellung (Bitte einzeichnen, nicht nur Wert angeben). 

• Die Daten zeigen die Massenverteilung der Datenaufnahme eines Monats. Die Luminositätsmessgeräte 

habe eine mittlere Luminosität von 10 32 cm −2 s −1 für diesen Zeitraum 

gemessen. Geben Sie eine Abschätzung des Wirkungsquerschnitts (in barn) für 

den neuen Zustand der µ + µ − -Anihilation. Nehmen Sie an, dass jedes der tatsächlichen 

Ereignisse auch gemessen wird. 

(4 Punkte)

Der menschliche Körper setzt sich folgendermaßen zusammen 1 


Massenanteil [%] Masse [kg] Protonen 

Sauerstoff 56,1 56,1 1,6892 · 10 28 

Kohlenstoff 28 28 8,4300 · 10 27 

Wasserstoff 9,3 9,3 5,6006 · 10 27 

Stickstoff 2 2 6,0221 · 10 26 

Calcium 1,5 1,5 4,5166 · 10 26 

Chlor 1 1 2,8838 · 10 26 

Phosphor 1 1 2,9139 · 10 26 

Kalium 0,25 0,25 7,3347 · 10 25 

Schwefel 0,2 0,2 6,0221 · 10 25 

Er enthält also ungefähr NP = 3,3 · 1028 Protonen. Die Protonenanzahl wurde gemäß nP = Na·m·N 

M berechnet, wobei Na die Avogadrokonstante 

ist, m entspricht der Masse, N der Ordnungszahl und M der molaren Masse des Bestandteils. 

Für die Energiedeposition wird zunächst eine Dichte des menschlichen Körpers von 1,02 cm-3g angenommen. Die Energiedeposition 

der Pionen ist mit 2,2 MeV cm2g-1 angegeben, die mittlere Weglänge als 10 cm. Darüber berechnet sich die Energiedeposition pro Pion 

als 22,44 MeV. Um also in dem 100 kg Menschen eine Strahlendosis von 1 Gray = 6,24 ·1012 MeV 

kg zu erreichen, benötigt man nPion = 

= 2,7807 · 1013 Pionen. Diese Zerfälle sollen sich über einen Zeitraum von 70 Jahren ereignen. Das entspricht einer Aktivität 

6,24·1012·100 

22,44 

von A = 2,7807·1013 

70·365·24·60·60s = 12596,70881 1 s . Die Anzahl der Protonen in Menschen sei über diese 70 Jahre konstant. Die Lebensdauer des 

Protons errechnet sich demnach über τ = NP 

A = 2,6197 · 1024 s = 8,3071 · 1016 a. Das Universum hat ein geschätztes Alter von 1,4 · 10 10 

a, ist also sechs Größenordnungen jünger. 

 

Bekanntermaßen gilt 

Weiterhin ist 

1 http://www.chemie.fu-berlin.de/medi/suppl/mensch.html 

β = 

P 

m 2 + p 2 

L = β · c ·t 

⇒ t = L 

β · c 

= L 

 

m2 + 1 

c P2 ⇒ ∆t = L 

⎛ 

⎝ 

c 

m2 

1 + 1 − 

P2 m2 ⎞ 

2 + 1⎠ 

P2


Da nach Aufgabenstellung |P| 2 ≫ m 2 , machen wir eine Taylorentwicklung bis zur ersten Ordnung. 

√ 

1 + x 

 

= 

Taylor 

⇒ ∆t = L 

c 

= 

1 + x 

2 + σ(x2 ) 

 

1 + m2 1 

L 

2 · c|P| 2 

2 · P 2 − 1 − m2 2 

2 

m1 − m 2 2 

Mit den Massen mPion = 139,6 MeV 

c 2 und mKaon = 493,6 MeV 

c 2 und einem Auflösungsvermögen von 200ps ergibt sich 2 : 

 

 

L = (βPion − βKaon)c ·t 

⎛ 

3 GeV 

c 

= ⎝ 

(139,6 MeV 

c2 ) 2 + (3 GeV 

c )2 

− 

= 0,731mm 

3 GeV 

c 

2 · P 2 

 

 

(493,6 MeV 

c 2 ) 2 + (3 GeV 

c )2 

⎞ 

⎠ · c · 200 · 10 −12 s 

Die Gaußfunktion wurde so angezeichnet, dass der Untergrund 211,1 Ereignisse beträgt. Der Erwartungswert wurde bei einer Energie von 

0,9777 TeV abgelesen, was einer Masse von 1,7429 · 10 −24 kg oder 1049,6042u entspricht. Die Höhe der Funktion an dieser Stelle beträgt, 

bereits vom Untergrund bereinigt, 419,4 Ereignisse. Weiterhin wurden die Massen markiert, bei welchen die Funktion auf 1/e 1/2 der Höhe 

abgefallen ist. Die Zerfallsbreite Γ ergibt sich als Mittelwert dieser beiden Abweichungen, Γ = 0,0106TeV. Diese hängt wiederum mit 

der Lebensdauer τ des Zustands über Γ = ¯h τ zusammen. Somit ergibt sich die Lebensdauer als τ = ¯h Γ = 6.2095 · 10−26 s. 

 

Damit ergibt sich (mit σ = Γ 

Binning ) 

Das Binning ergibt sich als B = 0,2745TeV 

68 

kungsquerschnitt berechnet sich als σ = N L·t 

2 Korrektur: L ≥ 

 

c200ps 

 

m2 1 

m2 P2 +1− 2 

P2 +1 

Normalverteilung :1 = 

Gauverteilung :F = 

1 

F = 

∞ 

1 

σ 

−∞ 

√ 2π e− 1 x−µ 

2 ( σ )2 

dx 

∞ 

Ae − 1 x−µ 

2 ( σ )2 

dx 

−∞ 

1 

σ √ 2π · A 

⇒ F = A · σ · √ 2π 

= 4,0363GeV. Also haben wir F = 419,44·0,0106TeV√ 

2π = 2761,1004 Ereignisse. Der Wir- 

. N = F und t = 1 Monat. Also σ = 

4,0363GeV 

2761,1004 

1·10 32 1·30·24·60·60 

cm 2 s 

s = 1,0649·10−35 cm 2 = 10,549pbarn

Experimentalphysik VI – SS2011 – Übungsblatt 

8,Myonstrahlpolarisation, Teilchenidentifikation (12 

Punkte) 




Aufgabe 1 (3 Punkte) Myonstrahl, Polarisation 

Es gibt kein Polarimeter, um die Polarisation eines Myonstrahls zu messen. a) Woher 

kennen wir die Strahlpolarisation zum Beispiel im COMPASS Experiment?. 

b) Ein Primärstrahl mit einer Energie von 400 GeV wird genutzt, um einen Myonstrahl 

zu erzeugen. Ist ein Primärstrahl von Pionen oder von Kaonen vorzuziehen, um eine hohe 

Polarisation von Myonen zu erzeugen? 

c) Wie groß ist Myonpolarisation bei 180 GeV. 

Aufgabe 2 (4Punkte) Cherenkov Detektor 

Ein geladenes Teilchen, dass sich durch ein Medium mit einer Geschwindigkeit bewegt, die 

größer ist als die Lichtgeschwindigkeit in diesem Medium, erzeugt Cherenkov-Strahlung. 

Die Strahlung wird auf einem Kegelmantel ausgesendet, für dessen Öffnungswinkel die 

folgende Beziehung gilt: 

cosθ = 1/(βn) (0.1) 

wobei n der Brechungindex des Mediums ist und β = v/c die Geschwindigkeit des 

Teilchens in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit. 

1) Berechnen Sie bitte die Schwelle in γ = (1−β 2 ) −1/2 ab der Teilchen in den unten angegebenen 

Radiatormaterialien Cherenkov-Licht aussenden. Welchen Impulsen entspricht 

dies für geladene Kaonen?? 

Medium N2 C4F10 Aerogel Quartz 

Brechungsindex 1.000293 1.00153 1.05 1.458 

2) In einem Schwellen-Cherenkovzähler werden Teilchenarten unterschieden, indem der 

Brechungsindex über den Gasdruck so eingestellt wird, dass bei gegebenem Impuls eine 

Teilchensorte Licht erzeugt , die andere aber nicht. Bestimmen Sie bitte die optimalen 

Brechungsindizes bei 10 GeV/c Teilchenimpuls, um Pionen von Kaonen und Kaonen von 

Protonen trennen zu können. 

Bitte wenden.

Aufgabe 3 ( 5 Punkte) Teilchenidentifikation bei großen 

Experimenten 

Abbildungen 1 und 2 zeigen zwei verschiedene Detektorsysteme der Hochenergiephysik: 

a) Das Fixed-Target-Experiment COMPASS (COmmon Muon Apparatus for Structure 

and Spectroscopy, Details siehe http://wwwcompass.cern.ch) 

b) Das Collider-System CMS (Compact Muon System, Details siehe http://cms.cern.ch) 

Abbildung 1: COMPASS Spektrometer 

Abbildung 2: CMS Spektrometer 

Überlegen Sie sich bitte, wie mit beiden Systemen 

• Photonen 

• Elektronen 

• Myonen 

• geladene Hadronen 

• ungeladene Hadronen 

nachgewiesen werden können. Beschreiben Sie die Unterschiede der beiden Detektoren.


Im COMPASS Experiment werden Protonen auf ein fixes Lithium-Deuterium-Target geschossen. Dabei entstehen hauptsächlich Pionen 

und ein wenig Kaonen. Die Pionen (sowie auch die Kaonen, gleicher Mechanismus) zerfallen dabei in ein Myon und ein Myon-Neutrino: 

π + → µ + + νµ. Pionen besitzen keinen Spin und dieser muss beim Zerfall erhalten bleiben. Unter der (mittlerweile wiederlegten) Annahme, 

dass Neutrinos masselos sind und somit immer linkshändig sind, also eine negative Helizität besitzen, ist der Spin der Neutrinos 

bekannt, nämlich antiparalell zu ihrem Impuls. Über die Spinerhaltung ergibt sich, dass die Myonen einen entgegengesetzten Spin haben. 

 

Die Polarisation berechnet sich als 

P µ + = 

m2 π,K + 

 

1 − 2Eπ,K 

Eµ 

m 2 π,K − m2 µ 

Die Massen betragen mµ = 105,658 MeV, mπ und mK siehe 2), die Primärstrahlenergie beträgt 400 GeV. Man erhält also folgenden Plot 

für die Polarisation in Abhängigkeit der Energie. Geplottet wurde nur in dem Bereich, wo der Betrag der Polarisation kleinergleich 1 ist. 

 

m 2 µ 

(a) Pionen (b) Kaonen 

Wie man den Graphen ansieht, eignen sich Kaonen wesentlich besser, da die Polarisation wesentlich schneller steigt und schon bei 200 

GeV nahe 1 ist. 

 

Obige Formel liefert für Pionen für diese Energie kein sinnvolles Ergebnis. Für Kaonen berechnet sich |P| als |P| = 0,8827. 

 

 

Tscherenkow-Strahlung entsteht, wenn gilt 1 n ≤ β. Die Schwelle ist also bei 1 n 

Kaonenmasse von mK = 493,677 MeV. Mit γ = 1 √ ergibt sich 

1−β 2 

Medium N2 C4F10 Aerogel Quartz 

Brechungsindex 1,000293 1,00153 1,05 1,458 

β 0,999707 0,99847 0,952 0,6859 

γ 41,312646 18,08446 3,267 1,3742 

mβ 

= β. Der Impuls berechnet sich als P = √ , mit der 

1−β2 P 20,3891 GeV 9,8142 GeV 1,5354 GeV 0,465322 GeV 

1


Der Brechungsindex, ab dem Tscherenkow-Strahlung aufritt, berechnet sich über n = 1 

β . Mit β = 

mK = 493,677 MeV und mp = 938,272013 MeV ergibt sich 

Teilchen Pion Kaon Proton 

β 0,99990 0,9988 0,995627 

n 1,0001 1,0012 1,004392 

p 

√ p 2 +m 2 , sowie mπ = 139,57018 MeV, 

Um Pionen von Kaonen zu trennen, gilt also 1,0001 ≤ n < 1,0012. Um Kaonen von Protonen zu trennen, gilt 1,0012 ≤ n < 1,004392 

 

 

Bei COMPASS handelt es sich um ein Fixed Target-Experiment. Da bei diesem die entstehenden Teilchen die Richtung des Primärstrahls 

also Vorzugsrichtung erhalten, sind die Experimente in Strahlrichtung aufgebaut. CMS hingegen ist ein Collider-Experiment. Bei diesem 

fliegen die entstehenden Teilchen in alle Richtungen weg, weswegen die Detektoren den gesamten Raumwinkel um den Kollisionsort 

abdecken. 

 

Zwei Dipolmagnete (SM1 und SM2) trennen zunächst geladene von ungeladenen Teilchen. SM1 trennt Teilchen niedrigen Impuls und 

großer Winkelabweichung vom Strahl, SM2 Teilchen hohen Impuls und kleiner Winkelabweichung. Geladene Hadronen niedrigen Impuls 

und großen Winkels werden mit RICH (Tscherenkow-Detektor) nachgewiesen, sowie Hadronen allgemein über HCAL1 und HCAL2 

(hadronische Kalorimeter). ECAL1 und ECAL2 (elektromagnetische Kalorimeter) weisen Photonen und Elektronen nach. Diese werden 

also Unterschieden, ob sie von den Dipolmagneten abgelenkt wurden oder nicht und in welchem Detektor sie anschließend landen. 

Myonen schließlich werden über Myon-Filtersysteme nachgewiesen, welche sich am Ende des jeweiligen Detektorbereichs befinden. 

 

Myonen lassen sich detektieren, wenn sie sowohl ein (koinzidentes) Signal im Inner Tracker als auch in den Myonenkammern erzeugen. 

Elektronen werden erkannt, wenn ein koinzidentes Signal sowohl im Tracker als auch im ECAL ausgelöst wird. Geladene Hadronen 

liefern Signale im Tracker und im HCAL, neutrale Hadronen nur im HCAL, womit diese sich trennen lassen. Photonen schlussendlich 

liefern nur ein Signal am ECAL. Somit lassen sich alle Teilchen detektieren, je nachdem in welchen Detektoren koinzidente Signale 

auftreten. 

2

Experimentalphysik VI – SS2011 – Übungsblatt 9 




Aufgabe 1 (3 Punkte) Relativistische Kinematik 

Präsenzteil) Ein ruhendes System mit Gesamtmasse M (M= √ s) zerfalle in zwei Teilchen 

der Massen m1 und m2. Welche Energien und Impulse ergeben sich? 

Geladene Pionen zerfallen zu >99% in Myonen und Neutrinos: π + → µ + + νµ 

(mπ=139.57MeV/c 2 , mµ=105.66MeV/c 2 ). 

a) Welchen Energie hat das Zerfallsmyon im Schwerpunktsystem des Pion? 

b) Ab einer gewissen kinetischen Energie kann das Myon nicht mehr in 4π Raumwinkel 

emittiert werden, sondern nur noch innerhalb eines Kegels, dessen Achse durch den 

Geschwindigkeitsvektor des Pions gegeben ist. Berechnen sie bitte diese Pionenergie. 

c) Ein Pion mit der kinetischen Energie 50MeV bewege sich in positive x-Achsenrichtung. 

Stellen sie für das Zerfallsmyon die möglichen Werte des Impulsvektors graphisch dar, und 

lesen sie den maximal möglichen Winkel zur x-Achse ab. 

Aufgabe 2 (3 Punkte) Schwache Wechselwirkung 

Ein D 0 -Meson kann unter anderem in ein Pion und ein Kaon zerfallen. 

Präsenzteil) Zeichnen sie Feynman-Diagramme für den Zerfall in neutrale Mesonen. 

a)Zeichnen sieFeynman-DiagrammefürdieZerfallskanäleD 0 → K − π + undD 0 → K + π − 

und beschriften sie die Propagatorlinien und die Wechselwirkungsvertices. 

b) Der Zerfallskanal D 0 → K − π + hat ein Verzweigungsverhältnis von 3.8E-2, der Zerfallskanal 

D 0 → K + π − hat ein Verzweigungsverhältnis von 1.43E-4. Erklären sie quantitativ 

den Quotienten dieser zwei Zahlenwerte. 

Aufgabe 3 (4 Punkte) PID, DIRC und Dispersion 

Präsenzteil) Pionen und Kaonen durchstoßen senkrecht die Platte eines DIRC-Radiators 

aus synthetischen Quarzglas. Ab welcher Geschwindigkeit β=v/c, ab welchem Impuls p 

wird das von Pionen und Kaonen erzeugte Čerenkovlicht durch Totalreflektion in der 

Glasscheibe im Zickzack weitergeleitet. Berechnen sie die Werte für λ=400nm und 600nm. 

a) Die Auflösung eines ansonsten idealen 

DIRC-Detektors sei für ein Photon 

durch die Differenz der Cherenkovwinkel 

bei λ=400nm und 600nm gegeben, und 

skaliere wie 1/ √ N mit der Photonenzahl 

N. Wieviele Photonen müssen nachgewiesen 

werden, um bei einem Impuls von 

3GeV/c Pionen und Kaonen trennen zu 

können. Wie groß ist N bei 6GeV/c? 

b) Licht mit Wellenlänge λ von (nicht senkrecht auftreffenden) Kaonen mit Impuls p soll 

zumindest teilweise durch Totalreflektion in der Platte weitergeleitet werden. Bitte leiten 

sie eine Formel für die Beziehung zwischen Teilchenimpuls und dem Winkel zwischen 

Teilchenspur ϕ und Plattennormalen her, welche angibt, wann dies der Fall ist? 

c) Welche Winkelbedingung ergibt sich für λ=600nm und pK=1GeV/c? 

n(λ=400nm)=1.47011, n(λ=600nm)=1.45804, m(K)=493.68MeV/c 2 .


Nach Präsenzaufgabe gilt Eµ = m2π +m2 µ 

2m2 , da das Neutrino als masselos angesehen wird. Einsetzen liefert 

π 

 

Eµ = (139,57MeV)2 + (105,66MeV) 2 

2 · (139,57MeV) 2 

= 109,779MeV 

Dieser Kegel entsteht, wenn die Geschwindigkeit des Myons im CMS-System (des Pions) gleich der Geschwindigkeit des Pions und 

damit des CMS-Systems ist. Die Geschwindigkeit des Myons berechnet sich folgendermaßen: 

β = p 

E 

⇒ βµ = 

 

(m2 π +m2 µ ) 2 

2mπ 

− m2 µ 

m 2 π +m 2 µ 

2mπ 

= m2 π − m 2 µ 

m 2 π + m 2 µ 

= 0,2714 

Weiterhin gilt Eπ = mπ √ . Da gelten soll, dass βµ = βπ, setzt man in diese Formel also βµ ein und erhält 

1−β 2 

π 

Eπ = 139,57MeV 

 

1 − 0,27142 = 145,013MeV 

Ab dieser Pionenenergie 1 kann das Myon nicht mehr im 4π-Raumwinkel emittiert werden. 

 

Zur Bestimmung des Raumwinkels wird die Impulsverteilung des Myons zunächst lorentztransformiert: 

px = γ(βEcm + pcm cos(t)) 

py = pcm sin(t) 

 

mit Ecm = 109,779MeV, β = 1 − m2 

(m+T ) 2 = 0,7343, γ = 1,4731 sowie pcm = m4π +m4 µ −2m2 π m2 µ 

4m2 = 29,791MeV. 

π 

1 Korrektur: Gefragt war die kinetische Energie 

1

Aus der geometrischen Betrachtung ergibt sich φ = 15,430 ◦2 

 

 

D 0 

{ 

c 

u 

cosθ c 

cosθ c 


W + 

{ 

u 

d 

u 

{ 

s 

π + 

D 0 

K - 

b) Verhältnis ergibt sich aus der CKM-Matrix: 

c→s 4 

c→d = 350 ≈ 266. Das erste Quadrieren macht aus den Einträgen Übergangswahrscheinlichkeiten, 

das zweite berücksichtigt die zwei Vertices. 350 ist für Feynmandiagramm erster Ordnung eine beachtliche Näherung. 

 

 

Für p = 3 GeV, sowie mπ = 139,57 MeV und mK = 493,677 MeV gilt 

β = 

p 

p 2 + m 2 

 

 

 

⇒ βKaon = 1 − 

 

 

 

⇒ βPion = 1 − 

{ 

1 

c 

u 

(3MeV) 2 

(493,677MeV) 2 + 1 

1 

(3MeV) 2 

(139,57MeV) 2 + 1 

Weiter ist cos(θ) = 1 

nβ ⇒ θ = arccos(n(λ)β). Also lässt sich berechnen 

Weiter ist 3 

= 0,9867 

= 0,9989 

1 

θπ,400 = arccos( 

) = 0,82171rad 

n(400nm)0,9989 

1 

θK,400 = arccos( 

) = 0,81015rad 

n(400nm)0,9867 

1 

θπ,600 = arccos( 

) = 0,81398rad 

n(600nm)0,9989 

1 

θK,600 = arccos( 

) = 0,80224rad 

n(400nm)0,9867 

⇒ ∆θπ = 7,73mrad 

⇒ ∆θK = 7,91mrad 

2 Korrektur: Wert falsch, richti wären 17 ◦ . Ablese und/oder Formelfehler 

3 Korrektur: Auflösung: ∆θπ 

√N = ∆θ400nm 

∆θ 

2 

= σ ∼ 1 

√ N 

⇒ Nπ = 

4 

= 66.942,358 

(∆θπ) 2 

⇒ NK = 

4 

= 63.930,342 

(∆θK) 2 

2 

sinθ c 

sinθ c 

W + 

{ 

u 

s 

u 

{ 

d 

K + 

π -

Analog berechnet sich für einen Impuls von 6 GeV 

 

 


Nπ = 

NK = 

sin(θ ′ ) = 1 

n 

cos(θ) = 1 

βn 

4 

= 67.290,11 

(∆θπ) 2 4 

= 66.425,76 

(∆θK) 2 

θ ′ = θ + φ 

⇒ 1 

= sin(θ + φ) 

n 

= sin(φ + arccos( 1 

βn )) 

 

p2 + m2 = sin(φ + arccos( )) 

np 

⇒ arcsin( 1 

 

p2 + m2 ) = φ + arccos( ) 

n np 

⇒ φ ≥ arcsin( 1 

 

p2 + m2 ) − arccos( ) 

n np 

 

1 

(1GeV) 2 + (493,68MeV) 2 

φ = arcsin( ) − arccos( 

1,45804 1,45804 · 1GeV 

= 0,05583rad 

3





Aufgabe 1 - Tiefinelastische Neutrinostreuung 

a) Welche Gründe gibt es für die Verwendung von (Anti-)Neutrinos anstelle von Elektronen 

als Sonden für die Lepton-Nukleon-Streuung? 

b) Um Neutrinos als Sonden zur Untersuchung der Struktur von Nukleonen verwenden 

zu können, müssen Neutrinostrahlen mit ausreichend hoher Energie und Intensität zur 

Verfügung stehen. Wie kann ein solcher Strahl erzeugt werden? 

c) Zeichnen Sie die Feynman-Diagramme für die erlaubten Prozesse bei der Streuung 

νµ (¯νµ) am Nukleon. Welchen Wert erwartet man für das Verhältnis R der totalen Wirkungsquerschnitte 

von ν-N und ¯ν-N Streuung, wenn das Nukleon nur aus u- und d-Quarks 

besteht? Experimentell findet man R 2. Was bedeutet das für die Zusammensetzung 

des Nukleons? 

(5 Punkte) 

Aufgabe 2 - Pion-Zerfall 

Geladene Pionen können als leichteste geladene Hadronen nur in einem semileptonischen 

Prozess zerfallen. Die beobachtete Lebensdauer ist τπ = 2.603 · 10 −8 s. Die Messung des 

Verzweigungsverhältnisses R ergab 

R = Γ(π− → e − + ¯νe) 

Γ(π − → µ − + ¯νµ) 

= 1.23 · 10−4 

a) Warum treten die energetisch möglichen Zerfälle π ± → e ± + γ oder π ± → µ ± + γ nicht 

auf? 

b) Zeichnen Sie das Feynman-Diagramm für den Zerfall des Pions und überlegen Sie 

sich wie sich Spin und Impuls der Zerfallsprodukte im Schwerpunktssystem des Pions 

verhalten. Wie würden die geladenen Pionen zerfallen, wenn Elektron und Myon masselos 

wären? 

c) Welches Verzweigungsverhältnis R für den Zerfall von geladenen Pionen würden Sie 

aufgrund von Phasenraumbetrachtungen erwarten? 

d) Zeigen Sie, dass der experimentelle Wert für das Verzweigunsverhältnis R erklärt werden 

kann, wenn das W-Boson nur an linkshändige Teilchen und rechthändige Antiteilchen 

koppelt. 

e) Die schwache Wechselwirkung hat keine Symmetrie unter Paritätstransformation (P) 

und Ladungskonjugation (C). Überlegen Sie sich, dass beides gleichbedeutend ist mit der 

Helizitätsabhängigkeit der Kopplung der W/Z-Bosonen. Wie verhält sich die schwache 

Wechselwirkung unter einer CP-Transformation? 

(5 Punkte)


Neutrinos wechselwirken, anders als Elektronen, über die schwache Wechselwirkung. Da die schwache Ladung der Quarks im Nukleon, 

anders als die elektrische Ladungen, bei allen gleich ist, erhält man mit Neutrinostreuung ungewichtete Impulsverteilungen der Quarks 

im Nukleon, was von Vorteil ist. 

 

Durch Fixed-Target-Experimente mit Protonen kann man diese in Pionen und Kaonen umwandeln und diese mit Hilfe eines Magnetfelds 

aussortieren. Pionen zerfallen, wie wir bereits gelernt haben, hauptsächlich in Myonen. Dabei entsteht zusätzlich noch ein Myon-(Anti- 

)Neutrino. Die Myonen und Myon-(Anti-)Neutrinos behalten im ruhenden System beim Zerfall die Vorzugsrichtung bei. Stellt man 

nun noch eine dicke Wand in die Flugbahn der Myonen, oder legt ein magnetisches Feld an, bleiben Neutrinostrahlen über. Diese sind 

allerdings nicht 100% rein, da z.B. auch Zerfälle µ − → e − + νe + νµ möglich ist. Somit sind in jedem Neutrinostrahl auch Antineutrinos 

enthalten und umgekehrt. 

 

μ - ,e - ,τ - 

νμ,e,τ 

W + 

d 

u 

μ + ,e + ,τ + 

νμ,e,τ 

W - 

Betrachtet wurden die Reaktionen an den Valenzquarks. An der schwachen WW nehmen nur linkshändige Neutrinos (bzw. rechtshändige 

Antineutrinos) teil. Es ist also wichtig, die Helizität der beteiligten Teilchen zu betrachten. Für die Streuung an Quarks gilt, dass die 

Spinerhaltung für alle Streuwinkel erfüllt ist. Für die Streuung an Antiquarks gilt, dass die νq− bzw. νq−Streuung nur für einen der drei 

Spinzustände J = -1,0,1 möglich ist. Man würde also ein theoretisches Verhältnis von σtot 

ν,N 

σtot = 

ν,N 

1 

1/3 = 3 erwarten. Da der experimentelle Wert 

aber ungefähr 2 ist, folgt daraus, dass im Nukleon auch Antiquarks sein müssen, bei denen der Wirkungsquerschnitt der Antineutrinos 

größer ist. Nukleonen enthalten also 3 Valenzquarks sowie die Seequarks, Quark-Antiquark-Paare. 

 

 

Pionen und Photonen sind Bosonen, also Teilchen mit ganzzahligem Spin. Elektronen und Myonen hingegen sind Fermionen, also Teilchen 

mit halbzahligem Spin. Aus diesem Grund kann das Boson Pion nicht in ein Fermion und ein Photon zerfallen. Erlaubt sind Zerfälle 

in z.B. Elektron, Positron und zwei Photonen bzw. ganz selten direkt in zwei Photonen (in der Quantenfeldtheorie erklärbar). Zudem 

verletzt dieser Prozess die Leptonenfamilienzahlerhaltung. 

 

Die Impulse der Zerfallsprodukte im Schwerpunktsystem müssen von gleichem Betrag und entgegengesetzter Richtung sein, da der Gesamtimpuls 

im Schwerpunktsystem (per Definition) null und eine Erhaltungsgröße ist. Das Pion hat einen Spin von Null, woraus folgt, 

dass aufgrund der Spinerhaltung die Spins der Zerfallspartner entgegengesetzt sein müssen. Das Antineutrino wird als masselos angesehen, 

weswegen es eine positive Helizität hat, sein Spin also in Richtung der Flugrichtung (des Impulses) zeigt. Daraus folgt, dass der 

andere Zerfallspartner ebenfalls eine positive Helizität hat, sein Spin also (abhängig von der Ruhemasse) ebenfalls hauptsächlich in Flugrichtung 

zeigt. Je schwerer das Teilchen, desto größer die Polarisation (siehe Paritätsverletzung des Pionenzerfalls). Wären Elektronen 

und Myonen masselos, könnte der Zweikörperzerfall so nicht stattfinden, da die Gesamtdrehimpulserhaltung nicht möglich wäre. 

1 

d 

u

Siehe Präsenzaufgabe 

 

u,d 

d,u 


W -/+ 

νe,νμ 

μ - ,e - 

Abbildung 1: Feynmandiagramm für π − und π + 

Aus der Präsenzaufgabe folgt, dass das Phasenraumverhältnis zwischen Elektronen und Myonen w folgendermaßen aussieht 

w = 

(p2 d p 

dE )e 

(p 2 d p 

dE )µ 

Für den rechtshändigen Anteil berechnet sich β zu β = p 

= (m2π + m2 e)(m2 π − m2 e) 2 

(m2 π + m2 µ)(m2 π − m2 ≈ 3,5 2 

µ) 

E = m2π −m2 e,µ 

m2 π +m2 e,µ 

. Damit ergibt sich (1 - βe) = 2,7·10 −5 , sowie (1 - βµ) = 0,73. Man 

sieht also, dass der Elektron-Zerfallskanal gegenüber dem myonischen stark unterdrückt ist. Zusammen mit dem Phasenraumverhältnis 

w erhalten wir 

Nähert man jetzt noch me ≪ mπ so erhält man 

R = m2 e 

m 2 µ 

1 − βe 

R = w 

1 − βµ 

 

1 − m2 µ 

m 2 π 

Bis auf Rundungsfehler ist das Ergebnis also reproduzierbar. 

 

−2 

= m2 e(m 2 π − m 2 e) 2 

m 2 µ(m 2 π − m 2 µ) 2 

= 1,28 · 10 −4 ≈ 1,24 · 10 −4 

Die Verletzung der Symmetrie unter P- bzw. C-Transformation bedeutet, dass die Prozesse der schwachen WW unter einer dieser Transformationen 

nicht ablaufen. Beispielhaft sein hier die Neutrinos erwähnt: Gefunden wurden linkshändige Neutrinos und rechtshändige 

Antineutrinos. Die P-Transformation macht aus linkshändigen Neutrinos rechtshändige Neutrinos – wegen P-Verletzung der schwachen 

WW nicht existent. Die C-Transformation macht aus linkshändigen Neutrinos linkshändige Antineutrinos – wegen der C-Verletzung 

der schwachen WW nicht existent. Erst die CP-Transformation macht aus linkshändigen Neutrinos rechtshändige Antineutrinos, welche 

existieren. Man sieht also, dass die C- und P-Verletzung der schwachen WW bedingt, dass W/Z-Bosonen nur mit Teilchen der richtigen 

Händigkeit wechselwirken. Einschränkung: im K 0 - K 0 -System ist auch die CP-Symmetrie (minimal) verletzt. 

2





Aufgabe 1 - Z 0 -Zerfallsbreiten 

Beim LEP wurde die Zerfallsbreite des Z0-Bosons sehr genau gemessen. Für den Zerfall 

Z0 → f ¯ f in ein Fermion-Antifermion-Paar ist die Zerfallsbreite (in erster Näherung) 

 

ΓZ0→f f ¯ = 

αMZ 

12 sin 2 θW cos 2 θW 

 

(g f 

V )2 + (g f 

A )2 

mit MZ = 91.2 GeV/c 2 , sin 2 θW ≈ 0.25 des Weinberg-Winkels θW , den Vektor- und 

Axialvektorkopplungen g f 

V 

= T f 

3 − 2Q f sin 2 θW und g f 

A 

= T f 

3 , wobei T f 

3 die entsprechende 

Komponente des schwachen Isospins und Q f die elektrische Ladung ist. 

a) Berechnen Sie das Verhältnis der Zerfallsbreite für neutrale Leptonen zur Zerfallsbreite 

für geladene Leptonen. 

b) Berechnen Sie das Verhältnis der Zerfallsbreite für “up-like” Quarks zur Zerfallsbreite 

für “down-like” Quarks. 

c) Berechnen Sie die Lebensdauer des Z0-Bosons aus der obigen Formel. und vergleichen 

Sie mit dem Wert aus dem Particle Physics Booklet (http://pdg.lbl.gov) 

(3 Punkte) 

Aufgabe 2 - Solare Neutrinos 

Im Zentrum der Sonne entstehen 7 Be-Neutrinos in der Reaktion 

e − + 7 Be → 7 Li + νe 

mit einer festen Energie von Eν = 862keV. Der vom Sonnenmodellen vorhergesagte Fluss 

auf der Erde ist Φν = 3.3 · 10 9 cm −2 s −1 . 

a) Welche Reaktionen eignen sich zum Nachweis von niederenergetischer Neutrinos im 

Bereich einiger MeV? Welche Prozesse erzeugen Teilchen vergleichbarer Energie, die 

einen Untergrund für die Detektion darstellen können? Nennen Sie jeweils mindestens 

zwei. 

b) Im Gran Sasso-Untergrundlabor weist das Experiment Borexino 7 Be-νe über die 

elastische Streuung an Elektronen nach. Der Wirkungsquerschnitt für diese Reaktion 

beträgt σνee(E) = 9.2(E/MeV) · 10 −45 cm 2 . Als Target dienen 300t des Flüssigszintillators 

Pseudocumol (C9H12). Wie vielen Target-Elektronen entspricht das? Welche Ereignisrate 

erwarten Sie? 

c) Berchnen Sie die Rückstoßenergie des Elektrons in Abhängigkeit vom Streuwinkel ϑ 

des Neutrinos und fertigen Sie dazu einen Graphen. Wie groß ist die Maximalenergie der 

Rückstoßelektronen?

d) Die in Borexino-Experiment bestimmte Ereignisrate der 7 Be Neutrinos beträgt 49 ± 

3(stat) ± 4(sys) pro Tag und 100 Tonnen. Wie lässt sich das gemessene Defizit gegenüber 

den Voraussagen erklären? Nennen Sie mindestens zwei Erklärungsversuche. 

(4 Punkte) 

Aufgabe 3 - Größenordnungen 

a) Was ist die mittlere kinetische Energie eines thermischen Neutrons (in eV)? Welcher 

Geschwindigkeit für das Neutron entspricht diese Energie? 

b) Ultrakalte Neutronen haben Geschwindigkeiten von maximal wenigen m/s. Welcher 

Energie entspricht eine Fallhöhe von 1 cm? 

c) Berechnen Sie c in Einheiten MeV·fm. Welche Broglie-Wellenlängen ergeben sich für 

die Werte aus Aufgabenteilen (a) und (b)? 

d) Das Proton ist möglicherweise nicht stabil. Für den Zerfall sind Lebensdauern im 

Bereich von 10 33 a vorgeschlagen worden. Wievielen Zerfällen pro Zeiteinheit würde dies 

in einem kubischen Wasservolumen von 10 m Seitenlänge entsprechen? 

e) Im Strahlrohr des LHC fliege ein Urankern mit 1 TeV/A. Was ist seine kinetische 

Energie in Joule? 

f) Im Ring des LHC kreisen Protonen mit E = 1 TeV. Es wird ein Strom von 1 mA 

gemessen. Welche kinetische Energie hat diese Füllung Protonen im Ring? 

(3 Punkte) 

Präsenzaufgabe - Teilchenlebensdauer 

Ein Kaon habe eine Lebensdauer von τ = 1.2380 · 10 −8 s und eine Masse von 0.494 

GeV/c 2 . 

Ein D-Meson habe eine Lebensdauer von τ = 1040 · 10 −15 s und eine Masse von 1.870 

GeV/c 2 . 

Welcher Anteil der Teilchen ist nach einer Wegstrecke von 1mm bzw. von 10m für einen 

Teilchenimpuls von 1 GeV/c noch nicht zerfallen?

Mit γ = 


f T3 Q f g f 

V 

νe,νµ,ντ 

1 

2 0 1 2 

g f 

A 

1 

2 

e − , µ − ,τ − − 1 2 -1 0 − 1 2 

u,c,t 

1 2 

2 

3 

1 

6 

1 

2 

d,s,b − 1 2 − 1 3 − 1 3 − 1 2 

αMZ 

12sin(θW ) 2 ergeben sich die einzelnen Zerfallsbreiten als 

cos(θW ) 2 

Γν,ν = 1 

2 γ Γ 1 

l,l = 

4 γ Γu,u = 5 

18 γ Γ 13 

d,d = 

36 γ 

Γu,u 

Γd,d Γν,ν 

Γ l,l 

= 2 

= 10 

≈ 0,75 

13 

Für die Lebensdauer wird zunächst die totale Zerfallsbreite Γtot berechnet. 

Γtot = 3 · Γν,ν 

 

+ 3 · Γl,l 

+ 2 · 3 · Γu,u 

 

+ 3 · 3 · Γd,d 

3 neutrale Leptonen 3 geladene Leptonen 2 Flavor (t zu schwer) + 3 Farben 3 Flavor + 3 Farben 

= 43 

γ ≈ 7,17γ 

6 

Der Vorfaktor γ berechnet sich als γ = 

91,2GeV 

137·12·0,25·0,75 = 0,2959GeV. Damit ergibt sich Γtot = 2,1213GeV. Die Lebensdauer berechnet 

sich somit zu τ = ¯h 

Γtot = 3,1028·10−25 s. Das PDG gibt die Gesamtzerfallsbreite mit 2,4952GeV an, was einer Lebensdauer von 2,6379· 

10−25 s entspricht. Der berechnete Wert ist also um 17,62% größer. 

 

 

Nachweis 

• Wie in Aufgabenteil b) genannt, eignet sich die elastische Neutrino-Elektron-Streuung νx + e − → e − + νx, welche für νe einen 

höheren Wirkungsquerschnitt als für νµ,τ besitzt, da bei der Reaktion ein zusätzlicher Kanal mit geladenen Strömen auftritt. Der 

Nachweis erfolgt über Flüssigkeitsszintillatoren oder Tscherenkow-Detektoren. 

• Möglich wäre auch ein Nachweis über den inversen Betazerfall νe + p → n + e + . Nachweis wie bei der elastischen Streuung. 

• Eine weitere Möglichkeit wäre zudem die Wechselwirkung direkt an Kernen, wie z.B. νe + d → p + p + e − , νx + d → p + n + νx 

oder νe + 71 Ga → 71 Ge + e − . 1 Nachweis erfolgt bei leichten Kernen über Kohlenstoffszintillatoren oder Tscherenkowdetektoren, 

bei schwereren durch chemische Extraktion der erzeugten Atome. 

Untergrund 

1 http://www.astroteilchenphysik.de/topics/neutrino/sol/gno.htm 

1


Abbildung 1: Plot von E ′ ν(x) für Eν = 862keV 

• Bei der natürlichen Radioaktivität gibt es Isotope, welche beim Zerfall Neutrinos aussenden. Es gilt also zu vermeiden, dass solche 

als Verunreinigung in Detektorkomponenten gelangen. 

• Eine weitere Quelle ist die kosmische Strahlung, welche einerseits in der Atmosphäre bereits Prozesse anregt, bei welchen Neutrinos 

freiwerden. Bis auf Myonen lassen sich diese Reaktionspartner jedoch durch dicke Abschirmungen (Untergrundlabors) 

abhalten. Myonen müssen durch aktive Unterdrückung der Signale herausgefiltert werden. Diese können jedoch wiederum Spallationsprozesse 

in Gang setzen, welche wieder abgeschirmt oder durch aktive Detektion unterdrückt werden müssen. 

C9H12 hat eine atomare Masse von mPC = 9 · 12u + 12 · 1u120u und verfügt über ne = 9 · 6 + 12 · 1 = 66 Elektronen. Daraus folgt, dass 

das Target aus NPC = 300.000.000gMol·NA 

120g = 1,506·1030 Teilchen besteht. Das entspricht Ne = NPC ·ne = 9,937·1031 Targetelektronen. Man 

erwartet dadurch eine Ereignisrate pro Tag von 

 

R = Ne · σνee−(0,862MeV · Φν 

= 9,937 · 10 31 −45 cm2 

· 9,2 · 10 

MeV 

= 224,687 

1 

· 0,862MeV · 3,3 · 109 

cm2 · 86400s 

s 

Herleitung analog der Comptonstreuung. Es gilt p = (Eν, pν), p ′ = (E ′ ν, p ′ ν), q = (me,=), q ′ = (E ′ e, p ′ e) = p + q − p ′ . Weiter berechnet 

sich 

(p + q) 2 = (p ′ + q ′ ) 2 

⇔ p 2 + 2pq + q 2 = p ′2 + 2p ′ q ′ + q ′2 

⇔ m 2 ν + 2Eνme + m 2 e = 2p ′ (p + q − p ′ ) + m 2 e | : 2 − m 2 e 

⇔ Eνme = EνE ′ ν(1 − cosθ) + E ′ νme 

⇔ E ′ ν = 

Eν 

1 + Eν (1 − cosθ) 

me 

Der Ausdruck wird minimal, wenn 1 + Eν 

me (1 − cosθ) maximal wird. Das ist der Fall für cosθ = −1 , woraus folgt, dass θ = 180◦ ist, 

also Rückwärtsstreuung eintritt. Mit Eν = 0,862MeV folgt E ′ ν = 197,084keV bzw. E ′ e = 664,916keV. 

2


Pro Tag und 100 Tonnen würde man eine Ereignisrate von ungefähr 75 erwarten. Die fehlenden Neutrinos könnten einmal durch die 

(mittlerweile nachgewiesene) Neutrinooszillation erklärt werden. Durch die Oszillation kommen auf der Erde weniger νe an, als in der 

Sonne produziert werden. Weiterhin könnte das Sonnenmodell falsch sein. Eine Änderung in z.B. der Temperatur der Sonne sollte auch 

Auswirkung auf die Produktionsrate der Neutrinos haben. 

 

 

Von thermischen Neutronen spricht man ab einer √ kinetischen Energie von unter 100 meV. Raumtemperatur entspricht ungefähr 25 meV, 

2mT +T 2 

was einer Neutronengeschwindigkeit von β = m+T = 7,294938 · 10−6 ≡ 2186,967 m s = 607,491 km h entspricht. 

 

Nach Epot = m · g · h entspricht 1 cm Fallhöhe einer Energie von 92,171326 MeV. 

 

¯h = 6,582 · 10 −16 8 m 

eVs , c = 2,998 · 10 

s 

¯hc = 197,328 · 10 −9 eVm 

= 197,328 · 10 −15 MeVm 

= 197,328MeVfm 

Die DeBroglie-Wellenlänge ist definiert als λ = h p . Mit p = √ T 2 + 2T m ergibt sich für Aufgabenteil a) λ = 

0,176 nm und für Aufgabenteil a) λ = 

 

√ h 

= 2,838 fm. 

(92,171MeV) 2 +2·92,171MeV·989,565E6MeV 

√ h 

= 

(25meV) 2 +2·25meV·989,565MeV 

Ein kubisches Wasservolumen von 10m Kantenlänge enthält 1 · 109cm3 Wasser. Bei einer Dichte von ρ = 1 g 

cm3 entspricht dies einer 

Masse m = 1 · 109 g. In Kombination mit der molaren Masse von M = 18 g 

Mol ergibt sich eine Stoffmenge von n = 55,556 · 106Mol oder 

N = n · NA = 3,346 · 1031 . Die Aktivität berechnet sich als A = N τ und beträgt 0,03346 pro Jahr. 

 

Der Kern habe eine kinetische Energie von T = 1 TeV 

A 

 

= 38,1318µJ, bei einer Massenzahl von A = 238. 

 

Die Protonen kreisen im Ring mit einer Geschwindigkeit von β = 1 − 

m 2 

E = 

des Rings von 26,658883 km entspricht dies einer Umlaufzeit von t = 26,658883km 

βc 

 

1 − 

2 938,272MeV 

1TeV = 0,9999995598. Bei einer Länge 

= 8,89245 · 10 −5 s. Die Anzahl der Teilchen im 

Beschleuniger berechnet sich aus dem Strom und der Elementarladung: N = 1mA·8,89245·10−5 s 

e = 5,55023 · 1011 . Diese Teilchen haben 

insgesamt eine kinetische Energie von Tgesamt = N · T = 5,55023 · 1011 · (E − m) = 5,545022 · 1023 eV = 88,84104kJ. 

3

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