Subtraktion der Komponenten von ˜vk in Richtung von v1,v2,...,vk-1 ...

v 1
v
~
1
v 2
~
v
2
W 2
-v (v ,
~
v )
1 1 2
Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens.
k. Schritt: Subtraktion der Komponenten von ˜vk in Richtung von v1,v2,...,vk−1
und Normierung von wk auf Eins
k−1
wk = ˜vk − vi(vi,˜vk)
i=1
vk = wk
||wk||
Mit {v1,v2,v3,...} hat man schließlich ein Orthonormalsystem gewonnen.
Wir haben ja zu Beginn dieses Kapitels festgestellt, dass wir mit R 2 bzw. R 3 nicht
nur die Vektorräume der Parallelverschiebungen der Ebene bzw. des Raums verbinden
können, die dann bei Vorliegen einer Basis durch reelle Zahlenpaare bzw. Zahlentripel
dargestelltwerden,sondernauchaffine(Punkt)Räume.DasPendantzumBasisbegriff
in einem Vektorraum ist der Begriff des Koordinatensystems in einem affinen Raum.
Bei Vorliegen eines Koordinatensystems its in einem affinen Raum jeder Punkt ein-
deutig durch Angabe eines n-Tupels von Zahlen eindeutig festgelegt.
50

Definition 1.28 — Ein (n+1)-Tupel (P0,P1,P2,...,Pn) von Punkten Pi ∈ P
heißt Koordinatensystem des affinen Raums (P,V), wenn die Vektoren
−−→
P0P1, −−→
P0P2, −−→
P0P3,..., −−→
P0Pn eine Basis des Vektorraums V sind.
Ist (P0,P1,P2,...,Pn) ein Koordinatensystem von (P,V), so existieren
zu jedem Punkt X ∈ P eindeutig bestimmte Skalare x1, x2,...,xn ∈ K,
sodass −−→
P0X die Basisdarstellung
−−→ −−→ −−→ −−→
P0X = x1P0P1
+x2P0P2
+···+xn P0Pn
besitzt. Die Skalare x1,x2,...,xn heißen Koordinaten des Punktes X
bezüglich des Koordinatensystems (P0,P1,P2,...,Pn).
Bemerkung — Die Dimension eines affinen Raums (P,V) ist gleich der Di-
mension des zugehörigen Vekorraums V.
Der Punkt P0 wird “Ursprung des Koordinatensystems” genannt und
manchmal auch mit O bezeichnet.
−−→
P0X wirdOrtsvektordesPunktesX genannt.DerKoordinatenvektorvon
−−→
P0X (siehe Seite 45) ist durch die Koordinaten des Punktes X bezüglich
des Koordinatensystems (P0,P1,P2,...,Pn) gegeben:
⎛ ⎞
−−→
P0X =
x1
⎜ ⎟
⎜x2⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ . ⎠
xn
{ −−−→
P0P1, −−−→
P0P2,..., −−−→
P0Pn}
Definition 1.29 — Sei (P,V) ein affiner Raum und V ein euklidischer oder
unitärer Vektorraum (d.h. ein reeller bzw. komplexer Vektorraum mit
Skalarprodukt). Dann heißt (P,V) ein euklidischer bzw. unitär affiner
Raum.
Ist { −−→
P0P1, −−→
P0P2, −−→
P0P3,..., −−→
P0Pn} eine Orthonormalbasis von V, so heißt
(P0,P1,P2,...,Pn) ein kartesisches Koordinatensystem von (P,V).
51

Analytische Geometrie
Sobald man in einem affinen Raum ein Koordinatensystem eingeführt hat, wird es
möglich geometrische Sachverhalte rechnerisch zu erfassen. Geometrische Beziehun-
gen gehen dann in rechnerische Beziehungen zwischen Zahlen über, nämlich zwischen
den Koordinaten jener Punkte, die die betrachteten geometrischen Objekte charak-
terisieren.
Die Lage eines Punktes P bezüglich eines (oft
kartesischen) Koordinatensystems wird durch
den Ortsvektor
r = −→
OP = x1e1 +x2e2 +x3e3
beschrieben. Dieser Vektor verbindet den Ur-
sprung des Koordinatensystems O mit dem
Punkt P. Es ist ein “gebundener Vektor”, der
von der Wahl des Ursprungs abhängig ist und
somit kein Vektor (d.h. Element eines Vektor-
raums) im eigentlichen Sinn.
Wenn der Ortsvektor von einem reellen Pa-
rameter t abhängt und t die reellen Zahlen
durchläuft, so beschreibt r(t) eine Kurve im
Raum.
Im einfachsten Fall ist die t-Abhängigkeit linear
und man erhält die
Parameterform einer Geraden
r(t) =r0 +ta.
Der Parameter t legt die Punkte auf der Ge-
raden eindeutig fest. Zu t = 0 befindet man
sich am Punkt mit Ortsvektor r0. a gibt die
Richtung der Geraden vor.
52
e 1
e 1
e 1
e 3
e 3
e 3
O
O
O
r
e 2
r(t)
r 0
e 2
e 2
P
a

Bemerkung — DieseFormderGeradengleichungistinbeliebigenDimensionen
gültig.
Sehen wir uns nun die Geradengleichung in 2 Dimensionen etwas näher an:
r(t) =
x1(t)
x2(t)
=r0 +ta =
x01
x02
+t
a1
a2
=
x01 +ta1
x02 +ta2
.
Ein Vergleich der beiden Komponenten ergibt
x1 = x01 +ta1 =⇒ t = (x1 −x01)
,
a1
x2 = x02 +ta2 =⇒ t = (x2 −x02)
.
Gleichsetzen der beiden rechten Seiten führt schließlich zur
impliziten Form der Geradengleichung (in 2 Dimensionen):
(x1 −x01)
= (x2 −x02)
−→ x2 = (x02 − a2
a1
a2
c ist dabei die Steigung (dx2/dx1) der
Geraden und ˜x02 der Schnittpunkt der
Geraden mit der x2 Achse.
a2
x01) +
a1
˜x02
a2
x1 = cx1 + ˜x02.
a2
c
~
x
02
x 2
Steigung c
Um eine Gerade festzulegen, brauchen wir also die Koordinaten eines Punktes auf der
Geraden (Ortsvektor r0) und einen Vektor a, der die Richtung der Geraden vorgibt.
Statt des Richtungsvektors kann man auch einen zweiten Punkt (Ortsvektor r1) auf
der Geraden angeben. Der Richtunsgvektor ergibt sich dann als a =r1 −r0.
53
x 1

In 2 Dimensionen kann die Gerade auch durch einen Punkt (mit Ortsvektor r0) und
einen Normalvektor n auf die Gerade festgelegt werden. Dies führt zur
Hesse’schen Normalform der Geradengleichung (in der Ebene):
Wenn r der Ortsvektor eines beliebi-
gen Punktes auf der Geraden ist, so ist
(r−r0) ein Richtungsvektor der Gera-
den, Dieser muss aber orthogonal zum
Normalvektor n sein, es muss also
(r −r0)·n = 0
gelten. In Komponenten ausgeschrie-
ben bedeutet das:
x1
x2
−
x01
x02
·
n1
n2
= (x1 −x01)n1 +(x2 −x02)n2
= n1x1 +n2x2 −(n1x01 +n2x02) = 0.
Die Komponenten des Normalvektors
lassen sich also als Koeffizienten von
x1 und x2 identfizieren.
r 0
(r-r 0 )
Bemerkung — Eliminiert man aus der Parameterform der Geradengleichung
im Raum den Parameter t so erhält man die implizite Darstellung der
Geraden in 3 Dimensionen in Form von 2 linearen Gleichungen in den 3
Unbekannten x1, x2, x3.
54
r
n

In Analogie zu einer Geraden kann meine eine Ebene durch einen Punkt in der Ebene
(mitOrtsvektorr0)und2(linearunabhängigen)Richtungsvektorenuundv festlegen.
Das führt zur Parameterform der Ebene:
bzw.
⎛ ⎞
x1(s,t)
⎜ ⎟
⎝x2(s,t)
⎠ =
x3(s,t)
r(s,t) =r0 +su+tv
=
⎛
⎜
⎝
x01
x02
x03
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠+s ⎝
u1
u2
u3
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠+t ⎝
⎛ ⎞
x01 +su1 +tv1
⎜ ⎟
⎝x02
+su2 +tv2⎠
.
x03 +su3 +tv3
DieParametersundtlegenbeivorgegebenenRichtungsvektorenuundv diePosition
eines Punktes uaf der Ebene eindeutig fest. Eliminiert man aus den 3 Gleichungen für
die Komponenten die Parameter s und t, so resultiert 1 lineare Gleichung in den 3
Unbekannten x1, x2 und x3. Diese Gleichung ist die implizite Form der Ebenenglei-
chung. Analog zu einer Geraden in der Ebene lässt sich eine Ebene im Raum auch
durch einen Punkt in der Ebene (Ortsvektor r0) und einen Vektor n, der normal
auf die Ebene steht, festlegen. Das führt zur Hesse’schen Normalform der Ebene im
Raum:
v1
v2
v3
⎞
⎟
⎠
(r −r0)·n = 0,
wobei r der Ortsvektor eines beliebigen Punktes in der Ebene ist. Komponentenweise
r 0
O
P
n
r
u
v
(r-r 0 )
hingeschrieben ergibt sich auch die implizite Form der Ebenengleichung:
⎡⎛
⎞ ⎛ ⎞⎤
⎛ ⎞
⎢⎜
⎣⎝
x1
x2
x3
oder kurz
⎟ ⎜
⎠− ⎝
x01
x02
x03
⎟⎥
⎜
⎠⎦·
⎝
n1
n2
n3
⎟
⎠ = (x1 −x01)n1 +(x2 −x02)n2 +(x3 −x03)n3
= n1x1 +n2x2 +n3x3 −(n1x01 +n2x02 +n3x03) = 0,
c
n1x1 +n2x2 +n3x3 = c.
In dieser impliziten Darstellung einer Ebene im Raum liefern also die Koeffinizienten
von x1, x2 und x3 die Komponenten des Normalvektors auf die Ebene.
55

Kennt man den Normalvektor, so lässt sich sehr einfach der (Normal)Abstand eines
Punktes Q im Raum von der Ebene ermitteln. Es ist die Projektion des Vektors
−→
PQ, der von einem Punkt P in der Ebene zum Punkt Q geht, auf den normierten
Normalvektor n/|n|:
| −→
FQ| = | −→
PQ n
|n| |,
wobei F der Fußpunkt des Lots durch
Q auf die Ebene ist.
56
P
n
Q