Fermienergie
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Fermienergie
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Atom-, Molekül- und Festkörperphysik<br />
für LAK, SS 2013 – Peter Puschnig<br />
basierend auf Unterlagen von<br />
Prof. Ulrich Hohenester<br />
9. Vorlesung, 20. 6. 2013<br />
Transport, von 1D zu 2 & 3D, Bandstruktur<br />
<strong>Fermienergie</strong>, Zustandsdichte
Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?<br />
Gruppengeschwindigkeit<br />
Elektrisches Feld F, Energieänderung in Zeit δt<br />
andererseits gilt<br />
Bewegungsgleichung für Elektron im Festkörper – ähnlich wie 2. Newtonsches Gesetz
Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?<br />
Bewegungsgleichung für Elektron im Festkörper … Dispersion freies Teilchen<br />
Ohmsches Gesetz … Strom (mittlere Geschwindigkeit der Elektronen) ist proportional<br />
zu angelegter Spannung<br />
Was ist falsch ?<br />
Was müssen wir noch zusätzlich berücksichtigen ?
Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?<br />
Bewegungsgleichung für Elektron im Festkörper … Dispersion freies Teilchen<br />
Ohmsches Gesetz … Strom (mittlere Geschwindigkeit der Elektronen) ist proportional<br />
zu angelegter Spannung<br />
Reibungsterm (Stöße mit Gitterfehlstellen und Gitterschwingungen)
Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?<br />
Streuung<br />
Beschleunigung<br />
F<br />
Reibungsterm (Stöße mit Gitterfehlstellen und Gitterschwingungen)
Wie viele Zustände gibt es im Festkörper ?<br />
Spin
Wie viele Zustände gibt es im Festkörper ?<br />
Beispiel: ein Atomzustand, ein Elektron pro Atom<br />
unbesetzte Zustände<br />
besetzte Zustände<br />
Nur Zustände bis zur Hälfte des Bandes sind besetzt
Wie viele Zustände gibt es im Festkörper ?<br />
Beispiel: ein Atomzustand, zwei Elektronen pro Atom<br />
besetzte Zustände<br />
Alle Zustände des Bandes sind besetzt<br />
Was passiert, wenn man elektrisches Feld anlegt ?
Isolator versus Metall<br />
Ohne Feld : es gibt genau so viele Elektronen, die sich nach links bewegen, wie solche,<br />
die sich nach rechts bewegen … kein Nettostrom<br />
Elektronen, die sich nach links bewegen<br />
Elektronen, die sich nach rechts bewegen
Isolator versus Metall<br />
Mit Feld : alle Endzustände sind besetzt, es kann kein Strom fließen<br />
… Isolator<br />
alle Endzustände besetzt<br />
… keine Umbesetzung<br />
Elektronen, die sich nach links bewegen<br />
Elektronen, die sich nach rechts bewegen
Isolator versus Metall<br />
Ohne Feld : es gibt genau so viele Elektronen, die sich nach links bewegen, wie solche,<br />
die sich nach rechts bewegen … kein Nettostrom<br />
unbesetzte Zustände<br />
besetzte Zustände<br />
Elektronen, die sich nach links bewegen<br />
Elektronen, die sich nach rechts bewegen
Isolator versus Metall<br />
Mit Feld : mehr Elektronen, die sich nach rechts als links bewegen<br />
… Metall<br />
Elektronen werden angeregt<br />
F<br />
Elektronen, die sich nach links bewegen<br />
Elektronen, die sich nach rechts bewegen
Isolator versus Metall<br />
Isolator, Halbleiter und Metall unterscheiden sich durch die vollständige bzw. teilweise<br />
Besetzung der Energiebänder<br />
Isolator, Halbleiter: Unterstes Energieband (Valenzband) vollständig besetzt<br />
Metall:<br />
Unterstes Energieband (Leitungsband) nur teilweise besetzt
Von 1D zu 2D und 3D<br />
Beispiel Graphene<br />
eine einzelne Schicht von Graphit Brillouinzone
Von 1D zu 2D und 3D<br />
Zustände unbesetzt<br />
Zustände besetzt<br />
Beispiel Graphene<br />
eine einzelne Schicht von Graphit Brillouinzone
Kann man Bandstruktur E(k) messen ?<br />
ARPES Angle Resolved Photon Emission Spectroscopy<br />
K<br />
Photon überträgt Energie und Impuls<br />
an Elektron im Festkörper
3D Bandstruktur E(k)<br />
Brillouinzone<br />
In 3D (Beispiel GaAs) trägt man üblicherweise die Bandstruktur E( kx, ky, kz )<br />
entlang bestimmter Symmetrielinien (L – Γ – ∆ – X) auf
Zustandsdichte und <strong>Fermienergie</strong><br />
Die höchste in einem Festkörper besetzte Elektronenenergie bezeichnet man als<br />
„<strong>Fermienergie</strong>“<br />
<strong>Fermienergie</strong>
Zustandsdichte und <strong>Fermienergie</strong><br />
Wie zählt man (unendlich) viele Zustände ?<br />
Zustandsdichte … Zahl bzw. Dichte der Zustände pro Energieintervall<br />
Gesamtzahl der Zustände muß N ergeben<br />
Zahl der Zustände mit einer Energie kleiner als E
2D Zustandsdichte<br />
Beispiel: Dispersion eines freien Teilchens<br />
Zahl der Zustände im Intervall [ E, E + δE ]
2D Zustandsdichte<br />
Beispiel: Dispersion eines freien Teilchens<br />
Fläche konstanter Energie E
Zustandsdichte und <strong>Fermienergie</strong><br />
Bestimmen Sie N 2D<br />
(E) und N 3D<br />
(E) für freies Teilchen<br />
Zahl der Zustände mit einer Energie kleiner als E
Zustandsdichte und <strong>Fermienergie</strong><br />
Bestimmen Sie E F<br />
für N = 10 23 Atome pro cm -3 und m=m 0<br />
Zahl der Elektronen pro Bohr 3<br />
<strong>Fermienergie</strong>
Zustandsdichte und <strong>Fermienergie</strong><br />
Bestimmen Sie E F<br />
für N = 10 23 Atome pro cm -3 und m=m 0<br />
<strong>Fermienergie</strong><br />
Thermische Energie<br />
Temperatureffekt
<strong>Fermienergie</strong>, -geschwindigkeit, -wellenvektor<br />
Elektronengasparameter r s<br />
, <strong>Fermienergie</strong>n E F<br />
,<br />
Fermivektoren k F<br />
, und Fermigeschwindigkeiten v F<br />
für typische Metalle.
Freie Elektronen im fcc-Gitter<br />
1. Brillouin Zone<br />
Wellenvektor 1. Brillouin Zone<br />
Reziproker Gittervektor
Vergleich: Freie Elektronen vs. Aluminium<br />
fcc Al
Bandstruktur von Na<br />
[Ne]3s 1<br />
Brillouin Zone eines kubischraumzentrierten<br />
Gitters
Bandstruktur von Al [Ne]3s 2 3p 1<br />
Brillouin Zone eines kubischflächenzentrierten<br />
Gitters
Bandstruktur von Kupfer und Silber<br />
Cu [Ar]3d 10 4s 1 Ag [Kr]4d 10 5s 1
Bandstruktur Gold<br />
Licht überträgt an Festkörper Impuls: Da Lichtwellenlänge (~ µm) viel größer als Gitterkonstante<br />
(~ nm) ist, ist der Wellenzahlvektor von Licht sehr klein im Vergleich<br />
zu dem Festkörper – Wellenzahlvektor<br />
… die Übergänge erfolgen „senkrecht“
Bandstruktur Palladium<br />
Licht überträgt an Festkörper Impuls: Da Lichtwellenlänge (~ µm) viel größer als Gitterkonstante<br />
(~ nm) ist, ist der Wellenzahlvektor von Licht sehr klein im Vergleich<br />
zu dem Festkörper – Wellenzahlvektor<br />
… die Übergänge erfolgen „senkrecht“
Fermifläche für 2D und 3D<br />
3D … Fläche konstanter Energie E F<br />
liegt ≈ auf einer Kugeloberfläche<br />
2D … „Fläche“ konstanter Energie E F<br />
liegt ≈ auf einem Kreis<br />
<strong>Fermienergie</strong>
2D Fermifläche<br />
Sr 2<br />
RuO 4
3D Fermifläche<br />
Ein Energieband bei <strong>Fermienergie</strong><br />
Mehrere Energiebänder bei <strong>Fermienergie</strong><br />
Silber<br />
Palladium
Bandstruktur Diamant<br />
Diamant ist Halbleiter bzw. Isolator und<br />
absorbiert nicht im sichtbaren Bereich.<br />
Farben entstehen durch Einlagerung von<br />
Fremdatomen.
Bandstruktur Silizium
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