Quantenmechanik 1

Quantenmechanik I SS 2004 - Wege zur Quantenmechanik 1
Quantenmechanik 1
Zusammengefasst von Florian Hebenstreit – Alle Angaben ohne Gewähr!
I. Wege zur Quantenmechanik
Einleitung:
MECHANIK (klassische Physik): Punktmechanik FELDMECHANIK: partielle DGen (Maxwell)
Große v, E
RELATIVITÄTSTHEORIE
Photoelektrischer Effekt
Atommodell (diskrete Spektren)
QUANTENMECHANIK: Äquivalent Punktmechanik
Vielteilchensysteme (Festkörperphysik)
QUANTENFELDTHEORIE: Äquivalent Feldmechanik
RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK: Dirac, Fermi
RELATIVISTISCHE QUANTENFELDTHEORIE: Elementarteilchenphysik

Quantenmechanik I SS 2004 – Wege zur Quantenmechanik 2
Quantenmechanik: Zeittafel
Hier eine Übersicht zur Entwicklung der Quantenmechanik (Quelle: L.Pittner, Vorlesungsunterlagen SS 2001).
1869 M. Mendelejeff Periodensystem der Elemente
1897 P. Zeeman Aufspaltung der blauen Spektrallinie von Cadmium in ein Triplett im
äußeren Magnetfeld (normaler Zeeman-Effekt)
1900 M. Planck Gesetz der Hohlraumstrahlung (Strahlung eines schwarzen Körpers)
1905 A. Einstein Photoeffekt (Teilchennatur des Lichts)
1908 W. Ritz Kombinationsprinzip (Emissionsfrequenzen des Wasserstoffatoms)
1911 E. Rutherford Streuung von Alpha-Teilchen an Gold- und Silberfilmen
1913 N. Bohr Atommodell (Quantisierung der Energie)
1913 J. Stark Aufspaltung von Spektrallinien von Kanalstrahlen in einem äußeren
elektrischen Feld
1916 N. Bohr Korrespondenzprinzip (Grenzübergang zur Klassischen Mechanik)
1921 A. H. Compton Streuung von Photonen an Elektronen (Teilchennatur von Elektronen und
Photonen)
1921 0. Stern, W. Gerlach Aufspaltung eines Strahls von Silberatomen in einem inhomogenen
Magnetfeld dank ihrem magnetischen Moment
1923 A. Lande g-Faktor des Elektrons (magnetisches Moment)
1924 L. De Broglie Formel für die Wellenlänge des Elektrons
1925 S. A. Goudsmit, G. E.
Uhlenbeck
postulieren einen inneren Drehimpuls und dementsprechend ein
magnetisches Moment des Elektrons.
1925 W. Heisenberg Matrizenmechanik (Transformationstheorie)
1925 M. Born, P. Jordan Vertauschungsrelation von Ort und Impuls
1925 W. Pauli Ausschließungsprinzip (Besetzung von Quantenzuständen durch
Fermionen)
1926 E. Schrödinger Nichtrelativistische Wellengleichung für das Elektron
1926 E. Born Wahrscheinlichkeitswelle (statistische Interpretation)
1926 W. Pauli Matrizendarstellung des inneren Drehimpulses eines Elektrons
1927 N. Bohr Komplementarität der Teilchen- und Wellennatur der Materie
1927 W. Heisenberg Unbestimmtheitsrelation (unverträgliche Observable)
1927 N. Bohr, W. Heisenberg Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik
1927 J. v. Neumann Axiomatische Formulierung der Quantenmechanik im separablen
Hilbertraum mit Hilfe des Spektraltheorems für selbst- adjungierte
Operatoren
1927 C. I. Davisson, L. H. Germer Reflexion von Elektronen an Nickel- einkristallen (Wellennatur des
Elektrons)
1928 P. A. M. Dirac Relativistische Wellengleichung für das Elektron
1935 A. Einstein, B. Podolsky, N.
Rosen
Gedankenexperiment zur Frage der Lokalität
1943 C. G. Shull et al Polarisierung von Elektronen durch Streuung an einer Goldfolie
1952 D. Bohm Verborgene Parameter (Kausalität und Lokalität?)
1956 G. Möllenstedt, H. Düker Elektronenoptisches Biprisma (erstes Doppel- spaltexperiment )
1958 R. Mößbauer Einbau eines Gamma-strahlenden Atoms in ein Kristallgitter (scharfe
Spektrallinien dank dem fehlenden Rückstoß)
1959 Y. Aharonov, D. Bohm Phasenverschiebung der Elektronwellen-funktion durch ein magnetisches
Vektorpotential (Nichtlokalität)
1965 J. Bell Nicht-Lokalität der Quantenmechanik (Bell'sche Ungleichung)
1985 D. Deutsch Quantencomputer
1988 A. Zeilinger et al Beugung von Neutronen am Doppelspalt (genaueste Bestätigung der
Wellennatur des Elektrons)
1992 Quanteninformation, "Teleportation"

Quantenmechanik I SS 2004 – Wege zur Quantenmechanik 3

Quantenmechanik I SS 2004 – Wege zur Quantenmechanik 4
Experimente der Quantenmechanik:
* Hohlraumstrahlung (Schwarz-Körper-Strahlung):
Dies war der Ausgangspunkt von Planck. Es geht um die Energieverteilung in einem Schwarzen
Körper in Abhängigkeit von der Frequenz. Dabei realisiert man einen Schwarzen Körper als
Hohlraum, bei dem die Wände auf konstanter Temperatur gehalten werden.
• Kirchhoff (1860): Energiedichte eines Hohlraumes ist u ( ν ,T )
3
• Wien (1894): Er fand, dass u ( ν , T)
∝ ν und der Zusammenhang zwischen der Frequenz und
der Temperatur geht wie ν T . Er stellte schließlich sein Gesetz auf, das Wien’sche Gesetz:
u(
ν , T)
= αν
3
⋅ e
βν
−
T
Diese Gesetz gilt aber nur bei hohen Frequenzen, bei niedrigen Frequenzen hingegen fanden
zwei andere Physiker einen anderen Zusammenhang:
• Rayleigh, Jeans (1900, 1905): Dabei arbeiteten sie mit den Moden (stationäre
2 3
Eigenschwingungen des elektromagnetische Feldes) N( ν ) = 8π
ν c . Mithilfe der
statistischen Mittel Boltzmanns flogt schließlich das Rayleigh-Jeans’sche Strahlungsgesetz:
u
2
8πν
k T
( ν , T ) =
3
c
B
Das Problem dieses Gesetzes ist, dass es nur bei niedrigen Frequenzen gilt. Bei hohen
Frequenzen würde es nämlich zu einer nicht beobachteten Ultraviolettkatastrophe kommen.
Somit kam Max Planck auf die Idee einer „glücklichen Interpolationsformel“:
• Planck (1900): u( ν T )
2
8πν
k T
hν
k
B
B
, = ⋅
3 hν
kBT
c
e
T
−1
Dabei sieht man, dass der Interpolationsterm für kleine Frequenzen entwickelt
werden kann und es folgt das Rayleich-Jeans’sche Strahlungsgesetz:
e
hν
kBT
hν
≈ 1+
k T
B
+ O
2
2 8πν
( ν ) ⇒ u( ν , T ) =
3
c
k
B
T
Für große Frequenzen kann man (-1) im Nenner vernachlässigen und es folgt das Wien’sche
Gesetz:
e
hν
kBT
−1
≈ e
hν
kBT
⇒
u
8πhν
3
c
3
hν
−
−
kBT
3 T
( ν , T ) = ⋅e
= αν ⋅e
βν
Zum Interpolationsterm kommt man mithilfe der Beziehung zwischen der mittleren Energie
und Frequenz. Dies ist die Begründung für die Quantenidee, dass es nämlich kein
kontinuierliches Integral darstellt, sondern eine diskrete Summe. Die Energie kann immer nur
in Vielfachen von hν
auftreten.

Quantenmechanik I SS 2004 – Wege zur Quantenmechanik 5
Zur Gleichung für den Interpolationsterm kommt man über die Beziehung zwischen der
Mittleren Energie in Abhängigkeit von der Frequenz und der Temperatur. Wir verwenden
hier β = 1 T
k B
E
( ν , T )
=
∞
∑
n=
0
∞
nhνe
∑
n=
0
e
−nhνβ
−nhνβ
= %
∞
∑
n=
0
∞
∑
n=
0
nhνe
e
−nhνβ
−nhνβ
= −
1
=
1−
e
∂
∂
−hνβ
⎛
⎜
β ⎝
∞
∑
n=
0
e
−nhνβ
⎞ ∂ ⎛ 1
⎟ = − ⎜
⎠ ∂β
⎝1−
e
−hνβ
⎞
⎟
⎠
=
hνe
−hνβ
−hνβ
( 1−
e )
2
E
( ν , T )
=
∞
∑
n=
0
∞
nhνe
∑
n=
0
e
−nhνβ
−nhνβ
=
hνe
−hνβ
−hνβ
( 1−
e )
2
⋅
−hνβ
( 1−
e )
=
hνe
−hνβ
=
hν
−hνβ
hνβ
( 1−
e ) e −1
Hierbei wurde h als das Planck’sche Wirkungsquantum eingeführt. In Formeln hingegen
−34
−15
verwendet man dann meist ! = h 2π = 1,054 ⋅10
Nm ⋅ s = 0,668⋅10
eV ⋅ s . Da diese
Konstante die Einheit einer Energie ⋅ Zeit = Wirkung hat, heißt sie Wirkungsquantum.
Die schwarze Kurve ist die Interpolationskurve von Planck. Die Rayleigh-Jeans-Kurve passt nur
für niedrige Frequenzen (dunkelgrau), die Wien’sche Kurve (hellgrau) passt erst bei hohen
Frequenzen.

Quantenmechanik I SS 2004 – Wege zur Quantenmechanik 6
* Photoelektrischer Effekt:
Dieser Versuch wurde bereits 1887 von
Hertz durchgeführt, die Erklärung dafür
gelang aber erst 1905 von Einstein (erhielt
dafür dann auch den Nobelpreis). Weiters
experimentierten damit Lewis, Millikan...!
Dabei wird Metall mit einer
hochfrequenten Strahlung angestrahlt,
wobei dann Elektronen emittiert werden.
Dabei beobachtet man einige Tatsachen:
Strahlung
Elektron
• Bei Erhöhung der Intensität kommt es zu einer Erhöhung der Elektronenanzahl
• Elektronen werden erst über einer Grenzfrequenz ν ≥ ν 0
herausgeschlagen (vom Material
abhängig)
• Die kinetische Energie der Elektronen ist proportional zu ν − ν 0
und intensitätsunabhängig
Die erste Tatsache passt noch zum Wellenbild, jedoch die zweite und dritte nicht mehr. Verwendet
man jedoch eine Quantentheorie des Lichts, kann man diese Erscheinung problemlos erklären.
Zunächst muss eine Austrittsarbeit geleistet werden. Hat das Photon zu wenig Energie ( E ≤ hν 0
),
wird kein Elektron herausgeschlagen. Überschreitet die Energie jedoch diesen Grenzwert, wird die
restliche Energie dazu verwende, kinetische Energie zu übertragen ( E kin = h ν −ν ) ).
* Compton Effekt:
(
0
Dieser Effekt wurde von Compton 1921
beobachte. Dabei kommt es zu dem Effekt,
dass, wenn Photonen mit bestimmter
Wellenlänge auf eine Graphitplatte
geschossen werden, diese in Abhängigkeit
von der Wellenlänge in verschiedenen
Winkeln reflektiert werden. Die Berechnung
dieses Effekts ist nicht sehr kompliziert, da
eigentlich nur das Teilchen-Bild (Photonen
als Energiepakete) und die Spezielle
Relativitätstheorie verwendet werden.
J(O)
J(O’)
T(O’)
h
m ⋅c
h
m ⋅ c
Als Formel erhält man dabei: λ'
−λ
= ⋅( 1−
cosθ
) = ⋅( 2sin( θ 2
)
e
Da wir mit der Speziellen Relativitätstheorie rechnen, verwenden wir hier den Energie-Impuls-Vektor.
Die Energie des Quants sei E = hν
und die Masse des Elektrons (das vor dem Stoß ruht) sei m
e
.
e
γ :
e
−
:
γ’
γ e θ
O
e’
Massenschalenbedingung:
2
2 2
E − p c =
Weiters gilt, dass der Viererimpuls erhalten bleiben
muss. Der Gamma-Quant hat keine Ruhemasse (m = 0):
( E c,
E c,0,0)
γ ': ( E'
c,
E'
c ⋅cosθ
, E'
c ⋅sinθ
,0)
( mc,0,0,0) −
e ': ( E c + mc − E'
c,
E c − E'
c ⋅ cosθ
, E'
c ⋅sinθ
,0)
m
2
c
4

Quantenmechanik I SS 2004 – Wege zur Quantenmechanik 7
Setzt man nur diese Betrachtung für das Elektron in die Massenschalenbedingung ein, erhält man
schließlich mit der Formel λ = c / ν :
2 2
2
( E c + mc − E'
c) ⋅c
− ( E c − E'
c ⋅cosθ
, E'
c ⋅sin
θ ,0)
⋅ c
2 2
2
( E c + mc − E'
c) ⋅c
− ( E / c − E'
c ⋅ cosθ
) + ( E'
c ⋅sin
θ )
2 2 2 4
( ) ⋅ c = m c
2 2 4 2
2
2 2
2 2 2 2
( E + m c + E'
+ 2Emc
− 2EE'
−2E'
mc ) − ( E − 2EE'cosθ
+ E'
cos θ + E'
⋅sin
θ )
2 2 4 2
2
2 2
2 2 2 2
( E + m c + E'
+ 2Emc
− 2EE'
−2E'
mc − E + 2EE'cosθ
− E'
cos θ − E'
⋅sin
θ ) =
2
2
( 2Emc
− 2EE'
−2E'
mc + 2EE'cosθ
) = 0
2hνmc
mc
mc
mc
2
2
3
⋅
⋅
⋅
2
2
− 2h
νν ' −2hν
' mc
( ν −ν
') = hνν
' ⋅( 1−
cosθ
)
2
( c λ − c λ'
) = h( c ( λλ')
) ⋅( 1−
cosθ
)
( λ'
−λ
λλ'
)
= hc
h
λ'
−λ
= ⋅ (1 − cosθ
)
m ⋅ c
2
2
2
+ 2h
νν ' cosθ
= 0
λλ'
⋅ (1 − cosθ
)
2
2
= m c
4
2
= m c
m
2
c
4
4
Die Massenschalenbedingung lautet wie bereits gesagt:
2
2 2 2 4
− p c m c .
E =
Betrachten wir nur die x-Komponente und setzen c = 1, dann ist dies eine Hyperbelgleichung
2 2 2
E − p
x
= m . Dabei ist die Masse der Abschnitt auf der Energieachse. Für m > 0 erhalten wir
eine Hyperbel, die in allen Raumdimensionen betrachtet eine Schale wäre, für m = 0 erhalten wir den
Lichtkegel.
E
E
m>0
p m=0 p
* Doppelspaltexperiment:
Dieses Experiment stammt eigentlich aus der Optik. Dort kommt es, wenn eine ebene Lichtwelle auf
einen Spalt fällt, zu Interferenzerscheinungen, da die Spalten Ausgangspunk von Kugelwellen sind,
die entweder konstruktiv oder destruktiv interferieren. Verdünnt man das Licht dermaßen, dass nur
noch einzelne Photonen auf den Schirm fallen, kommt es noch immer zur Interferenz („interferieren
mit sich selbst“). Und selbst Elektronen, Neutronen, Fullarene (Kohlenstoff-Kugelpackungen)
interferieren.
ψ
−iωt+
ik r
−iωt
−ikr1 −iωt
−ikr2
( r, t) ∝ e
ψ
1( r1
, t) = e ⋅e
r1
und ψ
2
( r2
, t) = e ⋅e
r2
Die Addition dieser beiden Funktionen
2
I = ψ 1 + ψ 2
führt wieder zu einem Interferenzmuster!

Quantenmechanik I SS 2004 – Wege zur Quantenmechanik 8
*Atommodell:
Nach dem Rutherford’schen Atommodell kreisen die Elektronen auf Bahnen um den Kern. Das
Problem dabei ist, dass beschleunigt bewegte Objekte abstrahlen würden und somit Energie verlieren
müssten und das Elektron schließlich in den Kern stürzen müsste.
Deshalb postulierte Niels Bohn 1913, dass sich Elektronen in bestimmten Energieniveaus befinden, in
denen sie nicht abstrahlen. Es kann somit nicht zu kontinuierlichen Übergängen der Energie kommen,
sondern immer nur zu diskreten Übergängen zwischen stationären Zuständen. Dabei gilt dann immer:
∆ E =
Ei − E j = hν
Dabei stellte auch er sich zunächst Kreisbahnen vor, jedoch in jener Form, dass der Drehimpuls auch
gequantelt ist: L = n!
. Unter der Annahme von stationären Bahnen, muss das Zentrifugalpotential
gleich groß wie das Coulombpotential sein. Weiters muss man den Rückstoß des Kern
berücksichtigen, weswegen man mit der reduzierten Masse rechnet. Da die Masse des Elektrons
jedoch fast das 2000fache geringer ist als die Masse des Kerns, entspricht die reduzierte Masse
ungefähr der Elektronenmasse. Die Vorfaktoren im Coulombfeld werden hierbei in die Konstante Z
mitgenommen. Für den effektiven, klassischen Bahnradius („Bohrradius“ mit n = 1) erhält man
damit:
2
L
2µ
r
r
2
BOHR
2
n
=
2µ
r
!
!
2
2
=
µ Ze
2
2
Ze
=
r
2
≈ 4,3 ⋅10
2
n
⇒ −
µ r
−11
m
!
3
2
Ze
= −
2
r
Für die Bindungsenergie in diesem stationären Zustand erhalten wir dann schließlich:
2
L
2µ
r
2
Ze
−
r
2
µ ⎛ Z e
− ⋅
2
2
⎜
⎝ n !
2
4
2
c
c
2 2
n ⎛ µ Ze
= ⋅
2
2µ
⎜
⎝ n ⋅
2
2
!
⎞ µ
⎟ = − ⋅
⎠ 2
!
2
2
⎞
⎟
⎠
2
1
n
2
( Zαc) 2
Ze
−
2
n
!
2
2
2
⋅ µ Ze
2
2
µ Z
=
2µ
n
2
2
e
!
4
2
2 2
2µ
Z e
−
2 2
2µ
n
!
4
µ ⎛ Z
= − ⋅
2
⎜
⎝ n
2
2
e
!
4
2
⎞
⎟ =
⎠
Dabei wurde die Feinstrukturkonstante α =
2
e
⋅c
!
=
1
137,036
eingeführt.
Mithilfe dieser Entdeckung wurde schließlich auch das Ritz’sche Kombinationsprinzip von 1908
verständlich, welches eine Formel für die Berechnung der Wellenlänge von Emissionslinien darstellte:
⎛ 1 1 ⎞
ν = R ⋅⎜
−
2 2
⎟ mit R = Rydbergkonstante (nun konnte sie rechnerisch bestimmt werden)
⎝ n m ⎠
Es ergibt sich somit als Frequenz für den Übergang zwischen zwei Energieniveaus:
E
ν
mn
mn
= E
m
1
= ⋅
h
− E
= hν
( E − E )
m
n
n
mn
µ
= ⋅
2
2
( Zαc) 1 1 µ ⋅( Zαc)
⎛ ⎞
⋅⎜
− ⎟ =
2 2
2π! ⎝ n m ⎠ 4π!
2
⎛ 1
⎜
2
⎝ n
1
−
m
2
⎞
⎟
⎠

Quantenmechanik I SS 2004 – Wege zur Quantenmechanik 9
* Franck-Hertz-Versuch:
Dieser Versuch von Franck und Hertz
aus dem Jahr 1914 war ein weiterer
Nachweis für die Energiequantelung
zwischen verschiedenen Anregungszuständen.
Dazu werden in einer
Quecksilberdampflampe Elektronen aus
einer Glühkathode emittiert und auf ein
Gitter hin, welches auf einer variablen
Spannung U gehalten wird,
beschleunigt. Der Schirm dahinter wird
auf einer Spannung U - ∆U gehalten
und die Elektronen werden abgebremst.
Sie erreichen den Schirm nur dann,
wenn ihre Energie größer als E ⋅ ∆U
ist.
Dahinter wird dann die Stromstärke in
Abhängigkeit der Spannung U
gemessen. Man erkennt dann, dass bis
zu 4,86eV die Stromstärke steigt, dann
aber wieder abfällt. Quantenmechanisch
kann man dies so erklären, dass es,
wenn die Elektronen eine Energie
>4,86eV haben, zu Stößen und
Anregungen von Quecksilberatomen
vom Energiezustand n = 1 auf n = 2
kommt, die Elektronen dabei Energie
verlieren und somit nicht mehr auf den
Schirm gelangen können.
V
U
G
S
∆U
I
* Stern-Gerlach-Versuch:
Dieser Versuch wurde das erste Mal
1921 und 1922 von Stern und Gerlach
durchgeführt. Dabei wurden Silberatome
in einem Ofen verdampft, die
dann in ein Vakuum flogen und
schließlich durch einen Blende
gesammelt wurden. Dann wurde der
Strahl durch ein Magnetfeld geschickt,
das jedoch nicht homogen war, sondern
in dem es zu einer Feldlinienverdünnung
kommt.
Ofen
Blende
∂B Diese Feldlinienverdünnung lässt sich folgendermaßen ausdrücken: z
< 0
∂z
S
N
z-Richtung
Würde man eine klassische Rechnung durchführen, würde man folgendermaßen vorgehen:
Die Silberatome besitzen ein magnetisches Moment:
µ ∝ −s
Die Energie im Magnetfeld ist gegeben durch: U
= −µ
⋅ B
∂
∂
= − − µ ⋅ B = µ ⋅
∂z
∂z
Als Kraft auf die Silberatome ergibt sich somit: ( ) B
F z

Quantenmechanik I SS 2004 – Wege zur Quantenmechanik 10
Klassisch würde sich also entweder eine Kraft nach oben
oder nach unten ergeben, je nachdem, ob z < 0 (Kraft
nach oben) oder ob nach oben oder nach unten ergeben, je
nachdem, ob z > 0 (Kraft nach unten).
Klassisch würde man also erwarten, dass: __” z ”__
und somit die Schwärzungskurve einer Normalverteilung
ähneln würde.
Die Messung jedoch ergab zwei scharf getrennte
Maxima. Es kam also zu einer spontanen Aufspaltung
zwischen zwei Einstellungen. Dazwischen gibt es nichts.
Wir bezeichnen diese Eigenschaft bereits jetzt als s z , da es
sich ja bekanntlich dabei um den Spin handeln wird.
Schwärzungskurve
Klassisch vermutete Kurve
Schwärzungskurve
s 2 s 2
z
= −!
z
=!
Interessant wird es nun, wenn wir Sequenzen von Stern-Gerlach-Messungen durchführen. Es wird
sich dabei herausstellen, dass der Spin keine klassische, statische Eigenschaft ist, sondern eine
veränderliche Eigenschaft. Betrachten wir zunächst (a) einen einzigen Stern-Gerlach-Apparat mit
Magnetfeld in z-Richtung. Wir erhalten bei einer Messung zwei Maxima, eines bei s z = +1, eines bei
s z = -1 (genormt auf 1). Weiters betrachten wir (b) einen einzigen Stern-Gerlach-Apparat mit
Magnetfeld in x-Richtung. Wir erhalten bei einer Messung zwei Maxima, eines bei s x = +1, eines bei
s x = -1. Nun (c) koppeln wir 2 Stern-Gerlach-Apparate dermaßen, dass beide in z-Richtung das
Magnetfeld besitzen. Nach Durchgang durch Gerät 1 wird s z = -1 weggeblendet und nur der Strahl bei
s z = +1 wird nochmals durch Gerät 2 geschickt. Wir erhalten hierbei, dass wir nach Durchgang durch
Gerät 2 weiterhin nur eine s z = +1 Komponente vorhanden ist. Dann (d) betrachten wir 2 Stern-
Gerlach-Apparate dermaßen, dass der erste in z-Richtung, der zweite in x-Richtung das
Magnetfeld besitzt. Nach Durchgang durch Gerät 1 wird s z = -1 wieder weggeblendet. Der Strahl s z =
+1 wird dann durch den zweiten Stern-Gerlach-Apparat geschickt. Was wir erhalten ist sowohl eine
Komponente s x = +1, als auch eine Komponente s x = -1. Schließlich (e) betrachten wir den Fall von 3
Stern-Gerlach-Apparaten, zunächst der erste in z-Richtung, der zweite in x-Richtung, der dritte
wieder mit Magnetfeld in z-Richtung. Nach Durchgang durch Gerät 1 wird s z = -1 wieder
weggeblendet. Der Strahl s z = +1 wird dann durch den zweiten Stern-Gerlach-Apparat geschickt. Nach
Durchgang wird wiederum die s x = -1 Komponente weggeblendet und nur die s x = +1 Komponente
durch den dritten Stern-Gerlach-Apparat gelassen. Was wir hier wiederum erhalten sind beide
Komponenten, sowohl s z = +1 als auch s z = -1.
s z = +1 s x = +1
a) Z b) X
s z = -1 s x = -1
s z = +1 s z = +1
c) Z Z
s z = +1 s x = +1
d) Z X
s x = -1
s z = +1 s x = +1 s z = +1
e) Z X Z
s z = -1

Quantenmechanik I SS 2004 – Wege zur Quantenmechanik 11
Wie man aus diesen Betrachtungen erkennen kann, sind diese s x , s x keine invarianten Eigenschaften.
Sie sind vielmehr solche Eigenschaften, die nicht gleichzeitig gemessen werden können (dies ist z.B.
völlig ungleich zum klassischen Drehimpuls).
Als Analogie dazu betrachten wir hier polarisiertes Licht. Dies kann helfen, das bis jetzt diskutierte
besser zu verstehen. Gegeben sei monochromatisches Licht, das linear polarisiert werden kann. So
sei z.B. φ = 0° senkrecht polarisiertes Licht, φ = 45° schräg polarisiertes Licht und φ = 90° waagrecht
polarisiertes Licht. Für den Feldstärkevektor gilt:
E = E ⋅ε
⋅expi
0
( k x − ωt)
Der erste Versuch (a) entspricht nun der Kombination zweier Z-Apparate. Das Licht wird hier
zunächst senkrecht polarisiert und dann wieder durch einen senkrechten Polarisator geschickt. Was
herauskommt ist senkrecht polarisiertes Licht. Der zweite Versuch (b) entspricht nun der
Kombination zweier Z-Apparate, wobei hier jedoch zunächst senkrecht polarisiertes Licht erzeugt
wird (s z = +1) und dann beobachtet wird, was nach dem zweiten Apparat, einem waagrechten
Polarisator, an der Stelle s z = -1 herauskommt. Es kommt nichts heraus. Schließlich (c) wird Licht
zunächst senkrecht polarisiert (s z = +1), dann wird dieser Strahl durch einen schrägen Polarisator
geschickt und wir erhalten somit schräg polarisiertes Licht (s x = +1), lassen wir nun diesen Strahl
wieder durch einen senkrechten (oder waagrechten) Polarisator laufen, wird weiterhin immer wieder
senkrecht (oder waagrecht) polarisiertes Licht herauskommen (s z = +1 oder s z = -1)
Senkrecht polarisiert
a) φ = 0° φ = 0°
Senkrecht polarisiert
Senkrecht polarisiert
b) φ = 0° φ = 90°
nichts
Senkrecht schräg Senkrecht
c) φ = 0° φ = 45° φ = 0°
Dies liegt daran, dass bei einer Drehung um nur 45° immer wieder eine Komponente des Vektors
übrig bleibt, der dann entweder in die senkrechte oder in die waagrechte Richtung projiziert werden
kann.