Festkoerper

WS 2012/13, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff 

Vorlesung: Festkoerperphysik, inoffizielle Mitschrift 

by: Christian Krause, Matr. 1956616 Inhaltsverzeichnis 

Inhaltsverzeichnis 

1 Kristalle 3 

1.1 Kristallstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.1.1 Gitterstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.1.2 Kristallebenen und Millersche Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.1.3 Das reziproke Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.1.4 Brillouin-Zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.2 Beugung von Wellen an periodischen Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.2.1 Bragg-Bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.2.2 von-Laue-Bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

1.2.3 Ewald-Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

1.2.4 Allgemeine Beugungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.2.5 Debye-Waller-Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

1.3 Experimentelle Bestimmung der Kristallstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.3.1 Wellentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.3.2 Methoden der Röntgendiffraktometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

1.4 Bindungskräfte in Festkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

1.4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

1.4.2 Van-der-Waals-Bindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.4.3 Lennard-Jones-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.4.4 Ionische Bindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

1.4.5 kovalente Bindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

1.4.6 Metallische Bindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

1.4.7 Wasserstoffbrückenbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

1.5 Reale Kristalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

1.5.1 Punktdefekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

1.5.2 Liniendefekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

1.5.3 Flächendefekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

1.6 Nichtkristalline Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

1.6.1 Gläser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

1.6.2 Metallische Gläser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

1.6.3 Flüssigkristall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

2 Dynamik von Kristallen 25 

2.1 Gitterschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

2.1.1 Kristallgitter mit einatomiger Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

2.1.2 Kristallgitter mit zweiatomiger Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

2.1.3 Phononen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

2.2 Thermische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

2.2.1 Spezifische Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

2.2.2 Anharmonische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

2.2.3 Thermische Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3 “Freie“ Elektronen im Festkörper 32 

3.1 Modell des freien Elektronengases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3.1.1 Grundzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.1.2 Fermi-Gas bei T = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

3.1.3 Chemisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

3.2 Spezifische Wärme des Elektronengases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 Inhaltsverzeichnis 

3.3 Transporteigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

3.3.1 Elektrische Stromdichte J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

3.3.2 Temperaturabhängigkeit von J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

3.3.3 Bewegung im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

4 Energiebänder 40 

4.1 Bloch-Elektron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

4.2 “Fast freie“ Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

4.3 Stark gebundene Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

4.4 Bandstrukturen (Beispiele) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

4.5 Fermi-Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

5 Transportphänomene 47 

5.1 Semiklassisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

5.2 Bewegung von Kristallelektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

5.3 Streuprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

5.4 Transportgleichung und -koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

6 Halbleiter 52 

6.1 Grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

6.2 Inhomogene Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

6.3 Halbleiter-Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

6.3.1 Solarzelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

6.3.2 Bipolarer Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

7 Magnetismus 59 

7.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

7.2 Magnetismus von Atomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

7.3 Festkörpermagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

7.4 Magnetische WW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

7.5 Kollektiver Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

7.5.1 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

7.5.2 Antiferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

7.5.3 Helikale Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

7.6 Magnetische Domänenstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

7.6.1 Magnetische Domänen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

7.6.2 Domänenwände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

7.6.3 Abschlussdomänen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 1 KRISTALLE 

1 Kristalle 

1.1 Kristallstrukturen 

1.1.1 Gitterstrukturen 

Wichtiges Ordnungskriterium: räumliche Struktur 

• Einkristalle 

– Orte der Atome: Beschreibung durch periodisches Gitter von Raumpunkten 

– Periodenlänge: charakteristische Größe 

• Polykristalline Festkörper 

– besteht aus vielen kleinen Einkristallen 

– Größe und Orientierung variieren regellos 

– Periodizität der Atomanordnung: gilt für jeden einzelnen Mikrokristall 

• Amorphe Festkörper 

– keine Periodizität 

– z.B. Flüssigkeiten, Glas (siehe Kap. 1.6) 

Atomare Kristalle an jedem Punkt des Raumgitters genau 1 Atom, siehe Folien 

Rechtwinkliges Gitter: a1,a2,a3 entlang x−, y−, z−Richtung 

Ortsvektoren zu beliebigen Gitterpunkten: T = n1aa + n2a2 + n3a3 mit ni ∈ Z Translationsvektor 

Elementarzelle oder Einheitszelle 

Parallelepiped aus den drei Basisvektoren → ist nicht eindeutig 

Kristall lässt sich aufbauen durch Translation der Elementarzelle → Translationsgitter 

Volumen der Elementarzelle VE 

⎛ 

VE = (a1 × a2) · a3 = det ⎝ 

a1x a2x a3x 

a1y a2y a3y 

a1z a2z a3z 

⎞ 

⎠ 

Seitenlänge |a1|, |a2|, |a3| der Elementarzelle: Gitterkonstanten a1, a2, a3 typischerweise 3 . . . 6 ˚ A 

Basis kann auch aus Atomgruppen bestehen! : Kristall = Basis + Gitter 

Primitive (Einheits)zelle besitzt genau 1 Atom(gruppe) pro Zelle 

Stapeln von primitiven Einheitszellen: Raum wird ausgefüllt: 

• lückenlos 

• ohne Überlapp 

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Man kann zeigen: Es gibt in 2 Dimensionen 5 verschiedene Gittertypen und in 3 Dimensionen 14 

verschiedene Gittertypen. 

Wahl der primitiven Einheitszelle nicht eindeutig. 

Wigner-Seitz-Zelle 

Primitive Einheitszelle mit eindeutiger Definition 

Def. Raumbereich, der einem gegebenen Gitterpunkt näher ist als jedem anderen Gitterpunkt. 

Konstruktionsverfahren 

1. Ermittele Mittelebenen(-senkrechte) zu den nächsten Nachbarn 

2. ... zu den übernächsten Nachbarn 

kleinste umschlossene Raum(-Fläche) ist die Wigner-Seitz-Zelle 

Konvention 

Einteilung in Gittertypen unterschiedlicher Symmetrie → Hohe Anschaulichkeit, aber teilweise mehr 

als 1 Gitterpunkt pro Zelle 

⇒ 7 Kristallsysteme 

• nur je 1 einziges primitives Gitter 

• eventuell noch zusätzliche nichtprimitive Gitter mit mehr als einem Gitterpunkt pro 

Einheitszelle → 14 Gittertypen: Bravaisgitter 

Einteilung möglichst mittels 

• relative Längen der Basisvektoren → Gitterkonstante(n) 

• deren Winkel zueinander α1, α2, α3 

Bezeichnungen: 

kubisch raumzentriert, früher kurz: body-centered cubic (bcc) 

kubisch flächenzentriert: face-centered cubic (fcc) 

kubisch primitiv: single cubic (sc) [nur bei Plutonium bei ca. 500 K] 

Bravaisgitter in 2 Dimensionen 

1. Quadratisches Gitter mit a1 = a2 und α = 90 ◦ 

2. Rechteckiges Gitter mit a1 = a2 und α = 90 ◦ 

3. Zentriertes, rechteckiges Gitter 

a) a1 = a2 und α = 90 ◦ , rechteckige Zelle, nichtprimitiv 

b) a1 = a2 und α = 90 ◦ , nichtrechteckige Zelle, primitiv 

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4. Hexagonales Gitter mit a1 = a2 und α = 120 ◦ 

5. Schiefwinkliges Gitter mit a1 = a2 und α = 90 ◦ 

Höchste Symmetrie 

2D: quadratisches Gitter 

3D: kubisches Gitter 

Nichtprimitive Gitter 

Lassen sich reduzieren auf primitive Gitter mit geringerer Symmetrie und kleinerer Einheitszelle 

Atome pro Einheitsztelle: Primitive Zelle immer = 1 

Beispiel: bcc ist nicht primitiv, Basiselemente in (0, 0, 0) und (1/2, 1/2, 1/2) 

kleinere primitive Einheitszelle: Trigonales System mit gleich langen Basisvektoren 

a ′ 1 = 1/2(a1 + a2 − a3) 

a ′ 2 = 1/2(−a1 + a2 − a3) 

a ′ 3 = 1/2(a1 − a2 − a3) 

Einheitszelle enthält nur noch 1 Basiselement → primitiv 

V ′ E = (a ′ 1 × a ′ 2) · a ′ 3 = · · · = 1/2a 3 

VE = (a1 × a2) · a3 = · · · = a 3 

⇒ halb so groß wie nichtprimitive Elementarzelle des bcc-Gitters 

Dichteste Kugelpackungen 

fcc- und hcp-Gitter: beide mit Packungsdichten von 74% 

Unterschied: Stapelfolge der hexagonalen Ebenen 

fcc: A B C A 

hcp: A B A B 

Willkürliche Stapelfolge der hexagonalen Ebenen: z.B: ABACBABCA... ⇒ unendlich viele 

Möglichkeiten für dichteste Kugelpackungen 

Elementkristalle mit einatomiger Struktur 

fcc: Edelgase, Cu, Ni, Ag, Au, Pt 

bcc: Alkalimetalle, Fe, Cr, Mo, Ta, W 

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hcp: Seltenerdmetalle, Mg, Cd, Zn, Ti 

Weitere Kristallstrukturen 

Diamantstruktur 

fcc-Gitter mit zweiatomiger Basis, Atome in (0,0,0) und (1/4, 1/4, 1/4) ⇔ 2 fcc-Gitter mit 

einatomiger Basis verschoben gegeneinander (1/4, 1/4, 1/4) 

In der Natur: C, Si, Ge 

Kristalle mit 2 Atomsorten 

Zinkblendenstruktur (Zinksulfid) 

Diamantstruktur, Atomsorte B in (1/4, 1/4, 1/4) 

In der Natur ZnS, III-V-Halbleiter z.B. GaAs (Galliumarsenid) 

Natriumchloridstruktur 

fcc-Raumgitter mit zweiatomiger Basis 

Atomsorte A in (0,0,0), Atomsorte B in (1/2, 0,0) 

In der Natur: I-VII-Mischung wie NaCl, II-VI-Mischung wie MgO 

Cäsiumchloridstruktur 

sc-Raumgitter mit zweiatomiger Basis 

Atomsorte A in (0,0,0), Atomsorte B in (1/2, 1/2, 1/2) ⇔ 2 sc-Gitter mit einatomiger Basis 

verschoben um (1/2, 1/2, 1/2) 

1.1.2 Kristallebenen und Millersche Indizes 

Kristallebenen, -flächen 

Beschreibung durch 3 beliebige, nichtkollineare Punkte in der Ebene: Punkte auf unterschiedlichen 

Kristallachsen 

Angabe in Einheiten der Gitterparameter 

Regeln 

1. Bestimmung der Schnittpunkte in Einheiten der Gitterparameter m1 m2 m3: 3 1 2 

2. Bilde Kehrwerte 1/m1 1/m2 1/m3: 1/3 1 1/2 

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3. Suche (kleinste) ganze Zahlen mit gleichem Verhältnis wie Kehrwerte: 2 6 3 

4. In Klammern: Millersche Indizes ( 2 6 3 ) 

5. Bei negativen Zahlen: statt Minuszeichen Strich über die Zahl z.B. (2 6 3) 

6. Wenn kein Schnittpunkt, d.h. mi = 0 ⇒ 1/m = ∞, dann Millerindex = 0 

1.1.3 Das reziproke Gitter 

Warum Millersche Indizes? FKP: oft Studium von ebenen “Wellen“ in periodischen Potentialen, 

Beschreibung ebene Welle durch Wellenvektor k ⇒ reziprokes Gitter immens wichtig! 

Startpunkt: Bravaisgitter R = n1a1 + n2a2 + n3a3 

Ebene Wellen: Ψ k (r) = Ψ0e i kr 

I.a. Periodizität ebene Welle = Periodizität Bravaisgitter 

Def: Alle diejenigen Wellenvektoren k, die ebene Wellen ergeben mit der Periodizität des 

Bravaisgitters, bilden das zum Bravaisgitter reziproke Gitter 

Ebene Welle mit Periodizität des Bravaisgitters 

Ψ k (r) = Ψ k (r + R) ⇒ Ψ0e i kr = Ψ0e i k(r+ R) = Ψ0e i kr e i k R 

Also: e i kr = 1 für alle R 

Daher äquivalente Def: 

Sei R = n1a1 + n2a2 + n3a3 ein Bravaisgitter. 

Das hierzu reziproke Gitter besteht aus allen Vektoren G, für die gilt: e i G R = 1 

Vektoren des reziproken Gitters G = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 mit h, k, l ∈ Z 

Wegen e i G R = 1 = cos( G R) + i · sin( G R) ⇒ G · R = 2πn mit n ∈ Z 

Eigenschaften des reziproken Gitters 

• Koeffizienten sind ganzzahlig 

• Reziprokes Gitter eines Bravaisgitters ist wieder ein Bravaisgitter 

• Das reziproke Gitter eines reziprokten Gitters ist das ursprüngliche Gitter 

• Länge der reziproken Gittervektoren ∝ Kehrwert der Länge der Gittervektoren (daher der 

Name “reziprokes Gitter“) 

• Koeffizienten h,k,l sind die Millerschen Indizes [!] 

Bedingung wird erfüllt durch: 

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a2 

× a3 

b1 = 2π 

a1 · (a2 × a3) 

b2 = 2π 

(a3 × a1) 

VE 

b3 = 2π 

(a1 × a2) 

VE 

2π 

= (a2 × a3) 

VE 

G = h b1 + k b2 + l b3 und e i G R = 1 

Daraus folgt: ai · bj = 

Matrixschreibweise 

⎛ 

A = ⎝ 

a1x a2x a3x 

a1y a2y a3y 

a1z a2z a3z 

⎞ 

2π i = j 

0 i = j 

⎛ 

⎠ B = ⎝ 

b1x b2x b3x 

b1y b2y b3y 

b1z b2z b3z 

Es gilt: A t ⎛ 

1 0 

⎞ 

0 

· B = 2π ⎝0 

1 0⎠ 

= 2π1 

0 0 1 

⇒ B = 2π(A t ) −1 

Beispiel sc-Gitter mit Gitterkonstante a 

⎛ ⎞ 

1 0 0 

A = a ⎝0 

1 0⎠ 

⇒ B = 

0 0 1 

2π 

⎛ ⎞ 

1 0 0 

⎝0 

1 0⎠ 

a 

0 0 1 

⇒ Reziprokes Gitter eines sc Gitters ist wieder ein sc Gitter. 

⎞ 

⎠ mit den kartesischen Komponenten der Vektoren 

Man findet: Reziprokes Gitter eines bcc-Gitter ist ein fcc-Gitter, sowie vice versa. 

1.1.4 Brillouin-Zone 

Erste Brillouin-Zone: Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters 

Gitter reziprokes Gitter Form der 1. B.Z 

sc sc Würfel 

bcc fcc Rhombischer Dodekaeder 

fcc bcc gekappter Oktaeder 

hexagonal hexagonal hexagonale Säule 

Bezeichnungen im reziproken Gitter Beispiel: fcc-Kristall 

Konvention für Bezeichnungen 

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• Mittelpunkt der BZ: Γ 

• Hochsymmetriepunkte und -linien: Buchstaben, z.B. X , Γ 

• Hochsymmetriepunkte innerhalb der Brillouin-Zone: griechische Buchstaben, z.B. Γ, Σ, ∆, Λ 

• Hochsymmetriepunkte auf dem Rand der Brillouin-Zone: lateinische Buchstaben, z.B. X, W, K 

1.2 Beugung von Wellen an periodischen Strukturen 

1912 (von Laue) + 1913 (Bragg): 

Bestrahlung eines Kristalls mit Röntgenlicht 

• intensitätsstarke Reflexe für bestimmte Streuwinkel 

• dazwischen Intensität praktisch Null 

λ (Röntenlicht) ≈ ai: Kristalle sind 3D-Beugungsgitter für Röntgenlicht 

Annahmen: 

• λ (wellen) ≈ Gitterkonstante im Kristall 

• elastische Streuung 

1.2.1 Bragg-Bedingung 

Sehr vereinfachende Annahmen: 

• Zerlegung des Kristalls in Ebenen mit Abstand α 

• jede Ebene teildurchlässiger Spiegel 

⇒ Beugungsreflexe nur bei konstruktiver Interferenz 

⇒ Bragg-Bedingung: 2d · sin θ = nλ mit n ∈ N 

⇒ λ sinθ 

= 

2d n 

≤ 1 ⇒ λ ≤ 2d ⇒ funktioniert nicht mit sichtbarem Licht 

• Direkte Konsequenz der Periodizität des Raumgitters (alle Gitterpunkte liegen auf parallelen 

Ebenen) 

• Basis geht nicht ein → bestimmt relative Intensität 

• Reflexion jeder Ebene: 10 −3 . . . 10 −5 → 10 3 bis 10 5 Gitterebenen tragen zur Interferenz bei → 

sehr große Schärfe der Reflexionen 

• einfallende Welle mit vielen Wellenlängen λ ⇒ viele Reflexe 

• viele Möglichkeiten, Bravaisgitter in Ebenenscharen zu unterteilen → viele Netzebenenabstände 

α → viele verschiedene Streuwinkel θ selbst bei monochromatischer Strahlung 

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1.2.2 von-Laue-Bedingung 

Beugung von ebenen Wellen Ψ(r) = Ψ0e i( k)r an einem Bravaisgitter → Kugel von jedem Gitterpunkt 

z.B. durch erzwungene Schwingung der Elektronen 

λ ≈ ai ⇒ Berücksichtigung des Gangunterschieds 

Herleitung für: 

• Streuung an 2 Gitterpunkten in 0 und r 

• elastische Streuung; d.h. | k| = | k ′ | 

für konstruktive Interferenz: 

Gangunterschied = n · λ mit n ∈ N 

d.h. |r|cos(ϕ ′ ) − |r| · cos(ϕ) = n · λ 

Damit: r( k ′ − k) = r k ′ − r k 

= |r|| k ′ |cos(ϕ ′ ) − |r|| k|cos(ϕ) 

= | k|nλ = 2π 

nλ = 2πn 

λ 

Oder: 

e i( k ′ − k)r = 1 

Wegen: 

• Bravaisgitter r = R 

• Def. reziprokes Gitter e i G R = 1 

⇒ Laue-Bedingung k ′ − k = ∆ k = G 

elastische Streuung 

= | k ′ |(|r|cos(ϕ ′ ) − |r|cos(ϕ)) 

Reziproke Gittervektoren bestimmen mögliche Beugungsreflexe 

1.2.3 Ewald-Kugel 

Mit 

• elastische Streuung | k| = | k ′ | 

• ∆ k = G von-Laue-Bedingung 

Auswahlregel graphisch darstellbar → Ewald-Konstruktion 

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1. von einem Punkt des reziproken Gitters − k ′ (Anfangspunkt von k) abtragen mit Spitze auf 

Gitterpunkt 

2. Endpunkt dieses Vektors ist Mittelpunkt einer Kugel (2D-Kreis) mit Radius k = 2π 

λ → 

“Ewald-Kugel“ 

3. Beugungsreflexe nur dann gegeben, wenn auf der Ewald-Kugel ein Gitterpunkt des reziproken 

Gitters liegt 

Folge: 

1. Gebeugte Strahlung zeigt in Richtung k ′ = k + G 

2. Beugungsbedingung immer erfüllbar durch 

• Änderung des Betrages von k 

• Änderung der Richtung von k 

1.2.4 Allgemeine Beugungstheorie 

Formulierung sodass: 

• keine Mehrfachstreuprozesse 

• feste Phasenbeziehung zwischen einlaufender und auslaufender Welle 

Adäquate Näherung für: 

• Röntgenstrahlung 

• Neutronen 

Häufig aber Mehrfachprozesse für Elektronen 

Ebene Welle am Ort der Probe P des Streuzentrums 

Amplitude ΨP (r, t) = Ψ0e i k( L+r) e −iω0t 

Streuung → Kugelwellen von allen Punkten P → Amplitude und relative Phase zur einlaufenden 

Welle → daraus komplexe Streudichte ρ(r) 

Da erzwungene Schwingung, Zeitabhängigkeit der Kugelwelle bestimmt durch Zeitabhängigkeit der 

einlaufenden Welle 

Am Ort B(eobachter): 

ΨB(t) = ΨP (r, t)ρ(r) ei k ′ ( L ′ +r) 

| L ′ − r ′ | 

Großer Abstand zwischen P und B, d.h. |r|




→ ΨB(t) = ΨP (r, t)ρ(r)e i k ′ ( L ′ +r) 1 

L ′ 

Ebene Welle: k ′ 

 

 

k ′ 

′ 

L 

 

hat dieselbe Richtung für alle Orte der Probe 

k 

k L 

Einsetzen von Gl. 0 

ΨB(t) = Ψ0e i k( L+r) e −iω0t ρ(r ′ ) 1 

L ′ ei k ′ ( L ′ −r) = Ψ0ρ(r) 1 

L ′ e−iωt e i( k L+ kr+ k ′ L ′ − k ′ r) 

= Ψ0ρ(r) 1 

L ′ e−iωt e i( k− k ′ )r e i(kL+k ′ L ′ ) 

Gesamte Streuamplitude: 

Integration über alle Positionen P 

Ψ ges 

 

B (t) ∝ eiω0t 

ρ(r)e i( k− k ′ )r dr 

⇒ ΨB enthält nur Frequenzen der einlaufenden Welle 

Schwingende Gitter: Gestreute Welle besitzt Frequenzen ω = ω0 → inelastische Streuung 

Im Experiment Messung Intensität: 

I(∆k) ∝ |Ψ ges 

B |2 

∝ 

dr mit ∆k = k ′ − k ρ(r) e i( k− k ′ )r 

e −i∆ kr 

also: Streuintensität ist gegeben durch Fouriertransformierte der Streudichte ρ(r) 

ΨB ∝ F T (ρ) 

D.h. Bestimmung der Streuamplitude Ψ ges 

B 

⇒ inverse FT ⇒ ρ(r) ⇒ Gitterstruktur 

Aber: Im Experiment geht Phaseninformation verloren ⇒ I(∆ k) = Gitterstruktur 

Daher umgekehrter Weg: 

1. Wähle wahrscheinlichste Gitterstruktur 

2. Berechne I(∆ k) 

3. Vergleiche I th mit I exp. 

4. Übereinstimmung gut ⇒ Mögliche Gitterstruktur bekannt 

Übereinstimmung schlecht ⇒ verändere Gitterstruktur und zurück zu 1 

Faltung zweier reeller Funktionen f und g 

Seite 12




 

(f ⊗ g)(r) = 

f(r ′ )g(r − r ′ )dr ′ (1 D Überlapp) 

Streudichte ρ(r) der gesamten Kristallstruktur (“Gitter + Basis“) ist Faltung einer 

• Gitterfunktion g(r) 

• Streufunktion der Basis ρB(r) 

Gitterfunktion ist Summe von Deltafunktion g(r) = 

δ(r − R) 

Summation über N Gitterpunkte R des Bravaisgitter 

Faltungssatz: 

F T (f ⊗ g) = F T (f) · F T (g) 

Also: Ψ ges 

B (r) = F T (ρ) = F T (g ⊗ ρB) = F T (g) · F T (ρB) 

FT der Gitterfunktion “Interferenzfunktion“ 

 

 

F T (g) = 

F T (g) = 

R 

R 

δ(r − R)e i∆ kr dr Mit 

e i∆ k R = 

 

+∞ 

−∞ 

 

N für ∆ k = G 

0 für ∆ k = G 

FT der Stromdichte der Basis “Strukturfaktor“ 

 

SG,hkl := F T (ρB) = 

Also: Ψ ges 

B 

= N · Shkl 

ρB(r) = b(r) ⊗ ρ j 

A 

Atome der Basis an Ort rj 

( R) 

f ⊗ δ(x − x0)dx = f(x0) 

ρB(r)e i Gr dr mit ∆ k = G, weil sonst F T (g) = 0 

 

mit b(r) = δ(r − rj)Basisfunktion 

ρ j 

A :(“Atomfunktion“): Streudichte des Atoms A an Ort rj 

Damit: SA = F T (ρB) = F T (b ⊗ ρ j 

A ) = F T (b) · F T (ρj A ) 

Ψ ges 

B 

= F T (g ⊗ b ⊗ ρj 

A ) = F T (g) · F T (b) · F T (ρj A ) 

 

 

F T (b) = δ(r − rj)e −i 

Gr 

dr = 

j 

j 

j 

e −i Gr 

Seite 13




F T (ρ j 

A ) = 

 

Atom 

(ρ j 

A )r′ e −i G ′ r ′ 

dr ′ 

r ′ : Ortsvektor vom Zentrum des j-ten Atoms zu einem Volumenelement seiner Elektronenhülle 

⎛ 

SG = 

⎜ 

j ⎜ 

⎝ 

Beobachtungen 

e −i Grj · 

⎡ 

⎢ 

⎢ (ρ 

⎢ 

⎣Atom 

j 

A )(F ′ )e −i ⎥⎟ 

⎥⎟ 

⎥⎟ 

Gr 

dr ⎥⎟ 

⎥⎟ 

mit fj Atomformfaktor, atomarer Streufaktor 

⎥⎟ 

 

⎦⎠ 

fj 

⎤⎞ 

• Strukturfaktor: Summe der FT der Ladungsverteilung der einzelnen Basisatome (fj) 

Multiplikation jedes Terms mit Phasenfaktor, der abhängt von der Position rj des Atoms in 

der Basis e −i Grj 

• Bei einatomiger Basis SG = f, da rj = 0 

• Bei Röntgenstreuung ρ j 

A wird bestimmt durch Elektronendichte des j-ten Atoms 

Gute Annahme: 

– Kugelsymmetrische Ladungsverteilung 

– punktförmig 

⇒ ρ j 

A = zeδ(rj) ⇒ f ∝ z ⇒ I ∝ |f| 2 ∝ z 2 mit I = gemessene Intensität 

d.h. leichte Elemente nur schwer nachweisbar 

• Strukturanalyse mittels Beugungsmethode 

– Lage der Reflexe: Form und Abmessung der Einheitszelle 

– Intensität der Reflexe: Inhalt der Einheitszelle, d.h. Basis 

Beispiel für Strukturfaktor 

Zweckmäßig: primitives Raumgitter → einatomige Basis 

Bei nichtprimitivem Gitter: primitives Gitter mit mehratomiger Basis 

rj = uja1 + vja2 + wja3 liegt innerhalb der Zelle ⇒ uj, vj, wj < 1 

G · rj = (h b1 + k b2 + l b3) · (uja1 + vja2 + wja3) = 2πn(huj + kvj + lwj) 

Also: SG = Shkl = 

fje −i 

Grj = fje −i2πn(huj+kvj+lwj) 

sc-Gitter Beispiel CsCl-Struktur 

j 

Primitive Zelle: zweiatomige Basis (0,0,0) und (1/2, 1/2, 1/2) 

u1 = v1 = w1 = 0, und u2 = v2 = w2 = 1/2 

Für n=1: Shkl = f1 + f2 · e −iπ(h+k+l) = 

j 

f1 + f2 h + k + l gerade 

f1 − f2 h + k + l ungerade 

Seite 14




⇒ unterschiedliche Intensität der Beugungsreflexe! 

bcc-Gitter äquivalent zu CsCl-Struktur mit identischen Basisatomen 

⇒ f1 = f2 = f ⇒ völlige Auslöschung der Reflexe für h + k + l ungerade 

Anschaulich für Streuung an (100)-Ebenen, Übergang sc → bcc 

fcc-Gitter 

siehe Übung 

1.2.5 Debye-Waller-Faktor 

Bisher: Atome in Ruhe ⇒ ρA = ρA(T ) → elastische Streuung 

Aber: Annahme nicht gerechtfertigt 

• thermisch angeregte Schwingung für T > 0 

Bei Raumtemperatur: Schwingungsamplitude ≈ 10% des Atomabstandes 

• Schwingung selbst bei T = 0 → QM 

• Folge: auch gestreute Wellen mit ω = ω0 → inelastische Streuung 

• Energieübertrag Welle ↔ Gitter 

Jetzt: Einfluss der Gitterschwingungen auf Beugungsreflexe 

Position des j-ten Atoms: rj(t) = rj + uj(t) mit rj: Ruhelage und u(t):momentane Auslenkung von 

Atom j 

Annahme (gut für höhere Temperaturen): Atome schwingen unabhängig voneinander 

Streuamplitude in Richtung k ′ = k + G 

ΨB ∝ SG = 

Nun: 

j 

fje −i Grj 

1. rj → rj + uj(t) = rj(t) 

2. Schwingungsdauer




Also: < SG >t=< 

fje −i G(rj+u(t)) 

>t= 

< SG >= S stat 

G 

j 

< e −i Gu(t) >t mit S stat 

G 

Wegen Nullpunktschwingungen: S stat 

G 

Da G ≈ 1 

a und u t=< 1 − i Gu(t) − 1 

2 ( Gu(t)) 2 + ... >t= 1 − i < Gu(t) >t − 1 

2 < ( Gu(t)) 2 >t +... 

Zufällige thermische Bewegung → Richtungen von G und u sind unkorreliert < G · u(t) >t= 0 

Sei θ = ∡( G, u): 

1 

2 < ( Gu(t)) 2 >t= 1 

2 < G 2 u 2 (t)cos 2 θ >t 

Mittelung von cos 2 θ über alle Winkel → Faktor 1 

3 

= 1 

6 G2 t 

Also: < SG >t= S stat 

G (1 − 1 

6 G2 

1 

− 

G e 6 G2 t 

Beobachte Intensität im Experiment: I ∝ |SG| 2 

I = I0 · e 1 

3 G2 t 

 

Debye-Waller-Faktor 

Temperaturabhängigkeit des Debye-Waller-Faktor: 

Mittlere potentielle Energie < Epot >t eines harmonischen Oszillators in 3D 

3 

2 kT =< Epot >t= 1 

2 D < u2 (t) >t= 1 

2 Mω2 t= mit D: Kraftkonstante, M: Atommasse, 

 

D 

ω = : Schwingungsfrequenz 

M 

⇒t= 3kt 

Mω 2 

Also: Ihkl = I0 · e 

Beobachtungen: 

kT 

− 

Mω2 G2 

Seite 16




• Intensität der Beugungsreflexe fällt mit zunehmender Temperatur, verschwindet aber nicht 

• Bei fester Temperatur fällt die Intensität mit wachsendem h + k + l 

• inelastisch gebeugte Strahlen → diffuser Hintergrund 

– Intensität des diff. Hintergrundes wächst mit zunehmender Temperatur 

– keine Verbreiterung der Reflexe 

• QM-Nullpunktsschwingungen: I/I0 ≈ 10% 

• keine drastische Abnahme der Intensität bei Raumtemperatur 

1.3 Experimentelle Bestimmung der Kristallstruktur 

1.3.1 Wellentypen 

• Strahlung 

• Materiewellen (z.B. e − , n, He) 

Impuls nichtrelativistischer Teilchen: p = 2mEkin 

De-Broglie Wellenlänge λ = h 

p = 

Voraussetzung für Beugungsexperimente: 

h 

√ 2mEkin 

• λ ≈ Gitterkonstante ≈ 1 ˚ A 

• nicht zu starke Dämpfung: Eindringtiefe e − ≈ nm bis µm-Bereich, γ, n ≈ mm bis cm-Bereich 

a) Röntgenstrahlung 

Beschuss eines Metalltarget mit Elektronen, Abbremsen → Röntgenstrahlung 

• kontinuierliches Bremsspektrum 

• charakteristische Röntgenlinien 

b) Elektronen 

Ekin(λ ≈ 1 ˚ A) ≈ 150eV → Eindringtiefe sehr klein ≈ 1...5nm 

Vorteil: Strahl ist fokussierbar 

Beispiel: fcc(111) 

c) Neutronen 

Ekin(λ ≈ 1 ˚ A) = 0, 08eV ≈ kT bei Raumtemperatur ⇒ “thermische Neutronen“ 

Hohe Flüsse in Kernreaktoren 

Monochromatisierung 

• Kristall → Bragg-Streuung 

• Flugzeitspektrometer 

Seite 17




– keine Coulomb-WW (WW nur mit Gitteratomen) 

– auch Nachweis leichter Elemente möglich 

– sehr unterschiedlicher Streuquerschnitt für verschiedene Elemente 

Beispiel: FeCo-Legierung, geordnet und ungeordnet, Auslöschung bei bcc für h+k+l=ungerade 

1.3.2 Methoden der Röntgendiffraktometrie 

Wegen Bragg-Bedingung 2d sin ϑ = nλ 

Laue-Verfahren 

• kontinuierliches Röntgenspektrum (λ variabel) 

• feste Orientierung zwischen Röntgenlicht und Kristall (ϑ fest) → Punktmuster in 

Detektorebene 

• positiv: Bestimmung der Kristallsymmetrie und Orientierung 

• negativ: Strukturbestimmung, da oft Überlagerung von Reflexen verschiedener Ordnung 

Drehkristallverfahren 

• monochromatisches Röntgenlicht (λ fest) 

• Kristalldrehung (ϑ variabel) 

– Kristalldrehung um ϑ 

– Detektordrehung um 2ϑ 

Debye-Scherrer-Verfahren 

• monochromatisches Röntgenlicht (λ fest) 

• statt großem Einkristall viele kleine Einkristalle, d.h. feinkörnige einkristalline Pulverprobe 

• Netzebene der einzelnen Kristallite mit gleichen Miller-Indizes → Reflexion auf Kegelmantel 

um einfallenden Strahl mit Öffnungswinkel 2ϑ 

1.4 Bindungskräfte in Festkörpern 

1.4.1 Grundlagen 

Gravitation? Magnetische WW? Viel zu klein → Bindung nur durch elektrostatische WW 

Van-der-Waals-Bindung Bindung zwischen neutralen Atomen mit Edelgaskonfiguation der 

Elektronenhülle 

Ionische Bindung Bindung zwischen positiven und negativen Ionen jeweils mit Edelgaskonfiguration 

der Elektronenhülle 

kovalente Bindung Bindung zwsichen neutralen Atomen ohne Edelgaskonfiguration 

Seite 18




metallische Bindung Aotome geben Teil ihrer Elektronen ab, Positive Ionen im “See“ der 

Elektronen 

Wasserstoffbrückenbindung Spezieller Typ mit weitgehend ionischem Charakter 

Bindungsenergie 

• Energiedifferenz zwischen 

– Summe der Energie aller freien Atome / Moleküle 

– Gesamtenergie des daraus aufgebauten Festkörpers 

• Arbeit, um FK in seine Einzelteile zu zerlegen 

• Spanne: 3 Größenordnungen 

– Ne (Neon) 2kj/mol, 20 meV/Atom 

– W (Wolfram) 859 kJ/mol, 9 eV/Atom 

Direkter Zusammenhang mit BE 

• Schmelztemperatur: Mit steigender BE ⇒ steigende ST 

• Kompressibilität: Mit sinkender BE (weich) ⇒ steigende K 

1.4.2 Van-der-Waals-Bindung 

• Neutrale Atome 

• Edelgaskonfiguration der Elektronenhülel: keine ionische Bindung, keine kovalente Bindung 

Im zeitlichen Mittel: kugelsymmetrische Ladungsverteilung → Schwerpunkt der Elektronenverteilung 

= Schwerpunkt der Kernladung 

Van der Waals: Bewegung der Elektronen → ständige Störung der kugelsymmetrischen 

Ladungsverteilung → zeitlich fluktuierende Dipole 

Elektrisches Feld des Dipols pA von Atom A induziert Dipol in benachbartem Atom B: pB → 

anziehende WW 

Epot ∝ pA pB = αAαB|E| 2 mit α = Polarisierbarkeit 

Epot = −c αA αB 

R 6 : kurzreichweitig und anziehend 

Bei kleinen Abständen: Überlapp der Elektronenorbitale → Abstoßung wegen Pauli-Prinzip. 

Insgesamt: “Lennard-Jones-Potential“ Epot(R) = a b 

− 

R12 R6 1.4.3 Lennard-Jones-Potential 

Epot = 4ε 

σ 

12 − 

R 

 

σ 

 

6 

R 

Seite 19




Potentielle Energie für Atome im FK: 

E i pot = 4ε 

σ 

j=i 

PijRnN 

12 

 

6 

σ 

− 

PijRnN 

mit RnN : Abstand zu nächsten Nachbarn 

Gleichgewichtsabstand R0: 

R0 = 2 1/6 τ, Epot = −ε 

Gesamte potentielle Energie (N Atome) 

Epot = 1 

 

 

12 

6 

σ 

σ 

N4ε − 

2 PijRnN PijRnN 

j=i 

Beispiel fcc-Gitter: 12 nächste Nachbarn 

 

−6 

Pij = 12, 13 ≈ 12 

⇒ fast nur nächste Nachbaratome tragen zur WW bei 

−12 

Pij = 14, 45 ≈ 12 

1.4.4 Ionische Bindung 

• Ionenkristall 

• wegen abgeschlossener Schale (Edelgaskonfiguration) kugelsymmetrische Ladungsverteilung 

Ionisationsenergie I: Energie zum Entfernen eines Elektrons 

Elektronenaffinität A: Gewonnene Energie bei Aufnahme eines Elektrons → negativs Ion stabil: 

A > 0 

Für stabile Ionenkristalle: 

• I möglichst klein 

• A möglichst groß 

Beachte: 

• Moleküle: Heranziehen eines Elektrons: Elektronegativität 

• FK: vollständige Lokalisation: Elektronenaffinität 

Energiebilanz für z.B. NaCl-Ionenkristall: 

1. Na + I → Na + + e − 

2. Cl + e − → Cl − + A 

3. Na + + Cl − → Na + Cl − + EMad 

Seite 20




4. ⇒ Na + Cl + I → Na + Cl − + A + EMad 

EMad = Madelungsenergie, elektrostatische WW zwischen den beiden Ionen 

EB = A + EMad − I 

Madelungsenergie: 2 Beiträge 

E tot 

• Coloumb-WW ∝ 1/r 

• Abstoßung wegen Pauli-Prinzip (kurzreichweitig) 

pot = E C + E P = 1 

Term E P 

 

 

±q2 N 

2 4πε0rij 

i=j 

+ λe − rij ρ 

Reichweite sehr klein → Summation nur über Zahl ZnN der nächsten Nachbarn im Abstand 

RnN → E P = 1 

2 NZnNλe −RnN /ρ 

Term E C 

Setze rij = αijRnN ⇒ E C = − 1 

2 N 

4πε0RnN 

Madelungskonstante: abhängig von Kristallstruktur 

Beispiel fcc (wie NaCl) 

Na + -Ion: 

• im Abstand RnN: 6 Cl − 

• im Abstand √ 2RnN: 12 Na + 

• im Abstand √ 3RnN: 8 Cl − 

• im Abstand √ 4RnN: 6 Na + 

αfcc = 6 − 12 

√ 2 + 8 

√ 3 − 6 

√ 4 + · · · = 1, 748 

αbcc = 1, 763 

αsc = 1, 634 

αbcc am größten ⇒ Ionenkristalle in bcc-Struktur 

Berücksichtigung der Ionenradien rA und rB 

q 2 

 

±1 

αij 

 

=:αMadelungskonstante 

q 2 

= −α 1 

2 N 

4πε0RnN 

Ionische Bindung nicht richtungsabhängig → Struktur mit möglichst dichter Packung 

Seite 21




⇒ “Berühren“ der Ionen unterschiedlicher Ladung → sonst Verringerung der Bindungsenergie 

Sei rA ≥ rB: 

• rA/rB < 1, 366 = V1: CsCl-Struktur: bcc 

• rA/rB > 2, 44 = V2: ZnS-Struktur: sc 

• V1 < rA/rB < V2: NaCl-Struktur: fcc 

1.4.5 kovalente Bindung 

Bisher: Elektronen lokalisiert 

Jetzt: teilweise gefüllte Schalen → Überlapp von Orbitalen, Pauli-Prinzip: Ladungsverteilung hängt 

von relativer Spinorientierung ab 

→ Mischung von Atomorbitalen zur Molekülbindung, Molekülorbitale: “Hybridisierung“ 

Beispiel: H + 2 

• bindend 

• antibindend 

Beispiel: H2 

S=0-Zustand: Singlett 

S=1-Zustand: Triplett 

Beispiel: H20 

H 1s 

0 2S 2 2P 1 x 2P 1 y 2P 2 z 

Mischung zweier 1s-Orbitale zu neuen Orbitalen: 

Ohne Hybridisierung (reine Atomorbitale) ⇒ Bindungswinkel = 90 ◦ 

Mit Hybridisierung: Mischen der 2s, 2px 2py-Orbitale zu neuen Molekülorbitalen 

Beispiel: C 2s 2 2p 2 

Beobachtung: Diamant: 4 nicht unterscheidbare Bindungen? 

Anregung um 4eV: 1s 1 2p 3 (ausführlich: 2s 1 2p 1 x 2p 1 y 2p 1 z) → neue Bindungen: Energiegewinn > 4eV 

sp-Hybridisierung 

Entgegengesetzt gerichtete Bindungen → lineares Molekül 

z.B. Ethin: C2H2 H-C≡C-H 

sp 2 -Hybridisierung 

Seite 22




3 gerichtete Bindungen unter 120 ◦ in einer Ebene: Ethen C2H4, nicht drehbar. 

sp 3 -Hybridisierung 

Tetraedergeometrie: CH4 

Kohlenstoffchemie: Elementarer Kohlenstoff neigt stark zu Hybridisierung → verschiedene 

Modifikationen 

• Graphit: sp 2 : planare Geometrie 

• Graphen: (1 Lage Graphit), Nobelpreis 2010 Physik 

• Diamant: sp 3 

• Fullerene: spärische Form sp 2 mit Fünf- und Sechsecken 

• Nanoröhrchen: Biegen einer Graphenlage zu Röhrchen 

1.4.6 Metallische Bindung 

Elektronen der äußersten Schale (Valenzelektronen) nicht an ein Atom gebunden 

• kein Nachbaratom nimmt Elektron auf 

• gleichmäßige Verteilung über gesamtes Metall “Delokalisierung“ → Leitungselektronen 

• “See“ von ungebundenen Elektronen, Einbettung der positiven Ionenrümpfe 

Ursache: Große Amplitude der Wellenfunktion bei nächsten und übernächsten Nachbarn und 

Energieabsenkung 

1.4.7 Wasserstoffbrückenbindung 

Bindung eines H-Atoms an 2 Atome? 

Kovalente Bindung von H mit elektronegativem Atom → e − fast vollständig bei anderem Atom → 

starke elektrostatische WW mit weiterem “negativen“ Ion 

H δ+ sehr klein → keine Bindung an dritten Partner aus sterischen Gründen 

Beispiele: 

• organische Verbindungen, z.B. Verknüpfungen der Doppelhelix in der DNA 

• Wasser H20: Komplex von H20-Molekülen mit Wasserstoffbrückenbindung, Größeres Volumen 

als ohne diesen Beitrag, Dichteanomalie von Wasser. Bei Temperaturerhöhung: Schmelzen der 

Komplexe → Erhöhung der Dichte 

1.5 Reale Kristalle 

völlig regelmäßige Anordnung in der Natur nur näherungsweise → Gitterfehler 

Seite 23




1.5.1 Punktdefekte 

Störung nur einzelner Gitterplätze 

Leerstelle / Fehlstelle (“Schottky-Defekt“): Atom fehlt auf Gitterplatz 

Zwischengitteratom (“Frenkel-Defekt“): Verschiebung von regulärem Platz auf Zwischengitterplatz 

Fremdatom (“F(arb)-Zentrum“): Ersetzen mit Atom anderer Elektronendichte → Charakteristische 

Absorption von Licht 

Diffusion von Atomen (z.B. Temperatur-Erhöhung) → Erhöhung der Defektanzahl 

1.5.2 Liniendefekte 

• Stufenversetzung 

• Schraubenversetzung 

1.5.3 Flächendefekte 

• Stapelfehler: A B C A B C 

• Korngrenzen: “Nahtstelle“ zwischen einkristallinen Bereichen 

1.6 Nichtkristalline Festkörper 

• Keine Periodizität auf signifikanter Längenskala 

• aber Nahordnung möglich, “amorphe Festkörper“ 

1.6.1 Gläser 

Glas: Unterkühlte Flüssigkeit, Modifikationen hängen von Abkühlgeschwindigkeit ab 

• kein definierter Schmelzpunkt 

• Wärmeleitfähigkeit λ sehr klein 

– keine frei beweglichen Elektronen 

– fast keine Gitterschwingungen 

– λ steigt mit zunehmender Temperatur 

Hauptanwendungsgebiet: Optik 

1.6.2 Metallische Gläser 

Amorphe Metallverbindungen, Herstellung: sehr schnelle Abkühlung 

Seite 24



by: Christian Krause, Matr. 1956616 2 DYNAMIK VON KRISTALLEN 

1.6.3 Flüssigkristall 

Mischform zwischen kristallin und amorph 

Aufbau aus stäbchenförmigen Molekülen 

Kristalline Ordnung unabhängig für Position und Orientierung 

Anwendung: Flüssigkristallanzeige (liquid crystal display, LCD) 

Position Orientierung 

flüssig - - 

nematisch - + 

smektisch + + 

2 Dynamik von Kristallen 

2.1 Gitterschwingungen 

Startpunkt: 

• klassische Beschreibung 

• adiabatische Näherung: Kerne viel schwerer als Elektronen → Elektronen im Grundzustand → 

Entkopplung der Bewegung 

• harmonische Näherung: M ¨ R ∝ ∆R = R − R0 

Ziel: Zusammenhang zwischen Schwingungsfrequenz und Wellenvektor der Gitterschwingung ω(q) 

bzw. Energie: ω(q) 

ohne Beweis: 

• Für jeden Wellenvektor q gibt es 3r Lösungen mit r: Anzahl der Basisatome und 3 = 

Dimensionalität → lineare Kette einer Atomsorte: genau 1 Lösung 

• ω(q) = ω(q + G) 

ω(q): Dispersionsrelation 

3r Lösungen: Zweige der Dispersionsrelation 

2.1.1 Kristallgitter mit einatomiger Basis 

Starre Netzebenen 

• Longitudinale Gitterschwingungen: Netzebenen verschieben sich entlang ihrer Normalen 

• Transversale Gitterschwingungen: Netzebenen verschieben sich entlang der Ebene 

Auslenkung Un der Gitterebene n → eindimensionales Problem → Auslenkung einer linearen Kette 

Kraft auf Netzebene n durch Netzebenen n + p in harmonischer Näherung ∝ Un+p − Un 

Seite 25




Gesamtkraft rn = 

Cp(Un+p − Un) mit p ∈ Z und Cp: Kopplungskonstante 

p 

Bewegungsgleichung für Netzebene n mit Masse M: M d2Un 

− Cp(Un+p − Un) = 0 

dt2 Lösungsansatz: Un+p = Ae i(qpa−ωt) 

mit q: Wellenvektor, ω: Frequenz der laufenden Welle, a: Netzebenenabstand 

Einsetzen: −ω 2 MAe −iωt − 

CpA(e iqpa e −iωt − e −iωt ) = 0 ⇒ −ω 2 M − 

Aus Symmetriegründen: Cp = C−p, also: −ω 2 M = 

mit (e ix + e −ix ) = 2cos x gilt −ω 2 M = 2 

Dispersionsrelation: ω 2 = 2 

M 

p 

∞ 

p=0 

∞ 

Cp(cos(qpa) − 1) 

p=1 

∞ 

Cp(1 − cos(qpa)) 

p=1 

p 

∞ 

p=−∞ 

Cp(e iqpa − 1 + e −iqpa − 1) = 0 

Nun: Nur Berücksichtigung nächster Netzebene, d.h. C1 = 0, C2 = 0 für i ≤ 2 

ω 2 (q) = 2G 

 

1 − cos x 

(1 − cos(qa)) mit 

= sin 

M 2 

x 

2 

ω 2 (q) = 4C1 

M sin2 qa2 

ω(q) = 

4C1 

M 

 

 

 

sinqa 

 

 

2 

Gruppengeschwindigkeit VG = ∂ω(q) 

∂q = 

 

a2C1 · cos(1/2qa) 

M 

Spezialfälle 

• q = π/a, d.h. Rand der Brillouinzone, VG = 0 → stehende Welle 

• q > a 

a q 

a2C1 Wegen sin x = x für kleine x ist ω(q) = 

M q 

 

Lineare Dispersionsrelation ⇒ VG = ∂ω 

 

= VP h = 

∂q 

ω 

 

= const 

q 

Dies ist Schallgeschwindigkeit 

Anmerkungen 

Cp(e iqpa − 1) = 0 

Seite 26




• Wegen ω(q) = ω(q + G) → 1. BZ ausreichend → in 1 D: −π/a ≤ q ≤ π/a 

• Wegen ω(q) = ω(−q) → 0 ≤ q ≤ +π/a 

2.1.2 Kristallgitter mit zweiatomiger Basis 

r=2, ⇒ 2 Lösungen 

• Masse der beiden Netzebenen/Atome Mi mit M1 ≥ M2 

• longitudinale Schwingung 

• in jeder Netzebene nur 1 Atomsorte 

• Abstand der Netzebenen mit gleichen Atomen sei a 

• nur WW unmittelbar benachbarter Ebenen 

• Kopplungskonstante benachbarter Ebenen sei f 

Unj: Auslenkung der Ebene n mit Atomsorte j (j=1,2) 

d 

M1 

2Un1 dt2 − f(Un−1,2 − Un1 + Un2 − Un1) = 0 

d 

⇒ M1 

2Un1 dt2 + f(2Un1 − Un−1,2 − Un2) = 0 

d 

Analog: M2 

2Un1 dt2 + f(2Un2 − Un1 − Un−1,1) = 0 

Lösungsansatz: Unj(q) = 1 

Aj(q)e 

Mj 

i(qan−ωt) 

Man erhält: 

ω 2 ± = f 

1 

Spezialfälle 

M1 

q → 0 d.h. λ → ∞ 

+ 1 

1 

± f + 

M2 M1 

1 

2 − 

M2 

4 

M1M2 

Für q = 0, sin 2 

 

1 

2 qa 

 

= 0 

 

1 

ω−(0) = 0, ω+(0) = λf 

M1 

+ 1 

 

M2 

Verhältnis der Schwingungsamplituden Aj 

A1(0) 

A2(0) = 

 

+1 für ω− 

− M2 

für ω+ 

M1 

sin 2 1 

qa 

2 

2 

Seite 27




q → π/a, Für M1 > M2 : ω+(π/a) = 

2f 

M2 

, ω−(π/a) = 

⇒ Frequenzlücke am Rand der BZ: M1 > M2 ⇒ ω− < ω+ 

ω−-Zweig: 

2f 

Benachbarte Ebenen schwingen in Phase → Analogie zur akustischen Welle: “akustischer Zweig“ 

Für q → 0 : ω−(q → 0) ∝ q 

ω+-Zweig 

Gegenphasiges Schwingen, invers zum Massenverhältnis → Schwerpunkt in Ruhe 

→ “optischer Zweig“ (Schwingen analog zum Schwingen von Dipolen der Elektrodynamik) 

2.1.3 Phononen 

Bisher: klassische Behandlung → Gitterschwingungen 

Jetzt: QM. quantenmechanischer, harmonischer Oszillator → E = 

Welle-Teilchen-Dualismus 

Phononen: Quanten des Auslenkungsfeldes in einem Kristall 

Impuls: p = q, Energie: E = ω, akustische und optische Phononen 

2.2 Thermische Eigenschaften 

2.2.1 Spezifische Wärme 

Wärmekapazität: C = ∆Q 

∆T 

Molare Wärmekapazität: Cmol = C 

ν 

= ∆Q 

ν · ∆T 

Spezifische Wärmekapazität: c = C ∆Q 

= 

m m · ∆T 

1. Hauptsatz der Thermodynamik 

dQ = dU + dW mit U : innere Energie und dW : geleistete Arbeit 

Konstantes Volumen: CV = ∂Q 

∂T 

 

 

 

V 

= ∂U 

∂T 

 

 

 

V 

M1 

 

n + 1 

 

ω(q), 

2 

Seite 28




Konstanter Druck: CP = ∂Q 

∂T 

Klassische Betrachtung 

Kristallgitter: N Teilchen mit harmonischer WW 

 

 

 

P 

Gleichverteilungssatz: < Ekin >=< Epot >= 1 

kT pro Freiheitsgrad 

2 

Jedes Atom: 6 Freiheitsgrade (3D) (3 kin / 3 pot) 

U = U stat + N6 1 

2 kT = U stat + 3NkT mit U stat : innere Energie des statischen Gitters 

Also: CV = ∂U 

∂T 

 

 

 

V 

= 3Nk 

Gesetz von Dulong und Petit 

• gilt für hohe Temperaturen 

• es gilt immer Cp > CV 

⇒ Abweichung durch anharmonische Effekte 

spez. Wärme 

• Gesetz von Dulong-Petit gilt für hohe Temperaturen 

• Cp ≥ CV 

• Bei tiefen Temperaturen: drastische Abnahme von Cp, Cp ∝ T 3 

→ Versagen der klassischen Überlegung 

QM-Betrachtung 

Innere Energie durch quantisierte Gitterschwingung QM-Oszillator En = 

Hohe Temperaturen kT >> ω → viele Eigenfrequenzen möglich 

Tiefe Temperaturen kT < ω → nur Grundzustand möglich, “Ausfrieren“ der 

Schwingungsfreiheitsgrade ⇒ C → 0 für T → 0 

Mittlere innere Energie 

= U stat + 

∞ 

Ene−En/kT n=0 

∞ 

e−En/kT n=0 

Neu mehratomige Basis mit r Atomen ω → ωqr 

· 3N = U stat 

1 

+ 3Nω + < n > 

2 

 

n + 1 

 

ω 

2 

Seite 29




< n >= 

1 

e ω qr/kT − 1 

= U stat + 1 

2 

spez. Wärme 

CV = 

∂ 

∂r 

 

 

 

V 

 

ωqr + 

qr 

= 

qr 

∂ 

∂T 

 

qr 

hohe Temperaturen kT >> ωqr 

Nutze: e x = 1 + x für kleine x 

< n >= kT 

ωqr 

Damit: CV = 

qr 

∂ 

∂r 

Tiefe Temperaturen kT < ωqr 

ωqr 


ωqr 


kT 

ωqr 

ωqr 

CV = V 2π2 

5 k 

3 kT 

∝ T 

vSchall 

3 

Einstein Näherung 

 

= 

k = 3Nkr Dulong-Petit 

3N Eigenschwingungen des Gitters haben gleiche Frequenz ωE 

= U stat 

1 

+ 3NωE · 

2 + 

1 

eωE/kT 

− 1 

Einstein-Temperatur: ΘE = ωE 

k 

C E V = 3Nk 

2 ΘE 

· 

T 

Debye-Näherung 

Annahmen 

eΘE/T (eΘE/T − 1) 2 = 

 

qr 

3Nke −ΘE/T 

3Nk(Dulong-Petit) 

• Für alle Dispersionszweige lineare Dispersion: ωi = vi · q 

• Summation über alle Vektoren q → Integration über 1. BZ 

D(ω): Anzahl der Zustände / Frequenz x Volumen 

 

D(ω)dω: Anzahl der Schwingungsmoden, Grenze für Integration qD = 

 

6π 

2 N 

v 

1 

3 

Seite 30




Debye-Frequenz: ωD = vschall · qD 

Debye-Temperatur: ΘD = ωD 

k 

C D ⎧ 

⎨12 

V = 

⎩ 

5 π4 3 T 

Nk T > ΘD 

ΘD: Grenze zwischen klassischer und QM-Beschreibung: 

T < ΘD: QM: Moden frieren aus 

T > ΘD: klassisch: alle Moden angeregt 

2.2.2 Anharmonische Effekte 

Bisher: Harmonische Näherung für Gitterschwingungen, d.h. F = −kx, Epot = 1 

2 kx2 = − 

→ Es gibt keine thermische Ausdehnung, Massenschwerpunkt bleibt unverändert! 

Jetzt: 

U = U(x0) + 1 ∂ 

2 

2U ∂x2 

 

 

x0 

= U stat + U harm + U anharm 

U 2 + 1 ∂ 

6 

3U ∂x3 

 

 

x0 

U 3 + . . . 

x2 

x1 

F (x)dx 

U = U0 + au 2 − bu 3 − cu 4 mit a, b, c >> 0 durch stärkere Abstoßung bei kleineren Abständen und 

Abschwächung der Schwingung bei großen Amplituden 

2.2.3 Thermische Ausdehnung 

Längenausdehnung: αL = 1 

L 

Volumenausdehnung: αV = 1 

V 

Mittlere Auslenkung 

= 

ue −u/kT du 

e −u/kT du 

· ∂L 

∂T 

 

 

 

P 

· ∂V 

∂T 

e −u/kT = e −β(au2−bu3−cu4 ) −βau 

= e 2 

· e β(−bu3−cu4 ) 

 

 

 

P 

= 3αL für isotrope Festkörper 

Seite 31



by: Christian Krause, Matr. 1956616 3 “FREIE“ ELEKTRONEN IM FESTKÖRPER 

mit e x = 1 + x ⇒ e −βau2 

(1 + βbu 3 + βcu 4 ) 

 

Also: 

ue −βU du = 

 

+∞ 

−∞ 

e −βau2 

βbu 4 du + 

 

+∞ 

−∞ 

e −βau2 

βcu 5 du 

• Anharmonischer Term −bu 3 − cu 4 klein gegen au 2 

• Setze β = 1 

kT 

Integrale mit ungeraden Potenzen in u verschwinden → in harmonischer Näherung = 0 → 

keine Längenausdehnung. 

Mit: 

 

+∞ 

−∞ 

 

+∞ 

−∞ 

βbu 4 e −βau2 

e −βau2 

du = 

π 

βa 

du = 3√ 

β 

πb 

4 (βa) 5/2 

3b 

ergibt sich: = kT 

4a2 Relative Längenausdehnung: /R0 

αL = 1 

R0 

· ∂ 

∂T 

 

 

 

P 

= 3bk 1 

· 

4a2 R0 

3 “Freie“ Elektronen im Festkörper 

Bisher: Jedes Atom in FK verliert kein Elektron → “lokalisierte“Elektronen → keine Bewegung der 

Elektronen 

Jetzt: Elektronen sind beweglich 

3.1 Modell des freien Elektronengases 

• keine WW der Elektronen untereinander 

• keine WW mit den Atomrümpfen 

Aber wir bekommen gute Beschreibung vieler Eigenschaften 

QM-Beschreibung 

• Spin 1/2-Teilchen (Fermionen) 

• “Drude-Sommerfeld-Modell“ 

Seite 32




3.1.1 Grundzustand 

• N nicht-wechselwirkende Elektronen 

• in einem Volumen V=L 

• mit unendlich hohen Potentialwänden 

• bei T=0 

keine WW → Löse QM-Problem für 1 Elektron mit Spin σ 

HΨ(r, σ) = − 2 

∆Ψ(r, σ) = EΨ(r, σ) 

2m 

Lösung: Ebene Wellen Ψ k (r) = 1 

√ V e i kr mit | k| = 2π 

λ 

 

Normierungsbedingung: 

Damit: E( k) = 2 k 2 

V 

2m , p = k 

|Ψ k (r)| 2 dr = 1 

Randbedingungen: Lx, Ly, Lz ⇒ 4 stehende Wellen ⇒ Nur bestimmte Wellenvektoren zulässig: 

kx = 2π 

nx , ky = 2π 

ny , kz = 2π 

nz mit nx,y,z = 0, ±1, ±2, . . . 

Lx 

Ly 

Elektronenzustand → charkterisiert durch nx, ny, nz, τ 

En = 2 

 

(2π) 2 

2m L2 x 

n 2 x + (2π)2 

L 2 y 

Lz 

n 2 y + (2π)2 

L2 n 

z 

2 

z 

Zu jedem Wellenvektor k 2 Zustände mit unterschiedlicher Spinrichtung 

Zustandsdichte im k-Raum Z( k) 

Erlaubte Zustände im k-Raum → in jeder Richtung äquidistant, Aufteilung des k-Raums in gleiche 

Teile mit genau 1 Zustand 

1D: 2π 

Lx 

= 2π 

L 

2D: 2π 

· 

Lx 

2π 

Ly 

= (2π)2 

A 

3D: 2π 

· 

Lx 

2π 

· 

Ly 

2π 

Lz 

= (2π)3 

V 

Zustandsdichte in 3D: Z( k) = V 

· 2 mit σ = 2 = Anzahl der Elektronen pro Aufenthaltsraum 

(2π) 3 

Seite 33




Zustandsdichte in Energieraum D(E) 

D(E): Anzahl der Energiezustände pro Energieeinheit: D(E) = Z( k)d k 

Es gilt: E(k) = 2 k 2 

2m 

dE 

, 

dk = 2k m 

Flächen konstanter Energie/Impuls: Kugeloberflächen 

In 3D: Z( k)d k = 2 · V 

Kugeloberfläche 

 

· 4πk 

(2π) 3 2 dk = D(E)dE 

D(E) = m 

2 V 

· 2 · 

k (2π) 3 · 4πk2 = mkV 

2 V 2m 

= · 

π2 2π2 

D(E) = V 

2π 2 

 

2m 

2 3 

2 

· E 1 

2 

In 2D: Z( k)d k = 2 A 

2πkdk = D(E)dE 

(2π) 2 

D(E) = A 

2π · 

 

2m 

2 1 · E 0 = const 

In 1D: Z(k)dk = 2 L 

2dk = D(E)dE 

2π 

D(E) = L 

2π 

Fermi-Energie 

 

2m 

2 1 

2 

· E −1 

2 

Jetzt: 1 e − → N e − 

Pauli-Prinzip: nur 2 e − mit ↑↓ pro Energiezustand 

2 · 

√ 2m 

 

· k 

√ 2m 

Also: Auffüllen der Energiezustände mit N Elektronen zu höheren Energien 

Höchste Energie, die besetzt wird: Fermi-Energie 

Fermi-Energie EF 

Bei T=0 

• besetzte Zustände E ≤ EF 

• unbesetzte Zustände E > EF 

Es gilt: HΨ = EΨ mit E = 2 k 2 

2m 

Seite 34




3D-Elektronengas: Flächen konstanter Energie: Kugeloberflächen → in k-Raum Kugel mit Radius 

kF , die alle erlaubten Zustände enthält: “Fermi-Kugel“ mit Oberfläche: Fermi-Fläche 

Anzahl der Zustände innerhalb der Fermi-Kugel 

2 · 4 

3 πk3 F 

V 

(2π) 3 

! 

= N 

mit 2= Spin, 4 

3 πk3 F = Volumen der Fermi-Kugel, 

k-Werte 

Mit Teilchenzahldichte n = N 

V 

kF = (3π 2 n) 1 

3 

Fermi-Energie: EF = 2 k 2 F 

2m 

Fermi-Temperatur: TF = EF 

kB 

Fermi-Wellenlänge: λF = 2π 

kF 

Fermi-Geschwindigkeit: vF = pv 

m 

2 

= 

2m (3π2n) 2 

3 

= kF 

m 

Zustandsdichte bei EF : D(EF ) = 3 N 

· 

2 EF 

3.1.2 Fermi-Gas bei T = 0 

Elektronen sind Fermionen → Fermi-Dirac-Verteilung 

f(E) = (e E−µ 

kT + 1) −1 mit µ: chemisches Potential 

V 

= Kehrwert der im Volumenelement erlaubten 

(2π) 3 

Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustand mit der Energie bei Temperatur T besetzt ist. 

Mit steigender Temperatur: Umverteilung der Besetzung von E ≤ EF nach E > EF (mit Näherung 

µ = EF ) 

Wegen kBT




3.1.3 Chemisches Potential 

Bei T=0: f(E) = 

Also: µ(T = 0) = EF 

 

N = 

 

= 

0 für E > µ 

1 für E < µ 

D(E)f(E)dE Teilchenzahl ist temperaturunabhängig 

D(E)dE + N ′ = N(T = 0) + N ′ mit N ′ 2 π 

= (µ − EF )D(EF ) + (kT ) 

6 

Damit: µ(T ) = EF 

Metalle bei RT: T 

TF 

 

1 − π2 

12 

T 

TF 

2 

≈ 0, 01, damit µ(T = 300K) ≈ EF ! 

3.2 Spezifische Wärme des Elektronengases 

klassisch: C klass 

V 

= ∂ < v > 

∂T 

 

 

 

V 

= ∂ 

∂T 

 

3 · 1 

 

kT · N · 2 

2 

Gemessener Wert ≈ 1 

100 Cklass V ⇒ QM-Beschreibung 

U = 

∞ 

0 

E · D(E) · f(E)dE = · · · ≈ U(T = 0) + EF · N ′ 

Damit: CV = ∂U 

∂T 

 

 

 

V 

Mit D(EF ) = 3 N 

2 

CV = 1 

2 π2 T 

NkB 

EF 

TF 

≈ 1 

3 π2 k 2 BT D(EF ) 

= γT (mit 1 

2 π2 1 

NkB 

TF 

= γ) 

 

=0 

= 3NkB 

2 π2 

+(kBT ) 

6 D(EF ) 

⇒ nur ein Bruchteil der Elektronen trägt zur Wärmekapazität bei 

Gesamte Wärmekapazität bei tiefen Temperaturen 

Cp = γT + AT 

 

Elektronen 

3 

⇒ 

Gitter 

Cp 

T 

= γ + AT 2 

∂D(E) 

∂E 

 

 

 

E=µ 

Plotten bei experimenteller Messung von Cp 

T gegen γ + AT 2 ergibt γ als Achsenabschnitt. 

Seite 36




3.3 Transporteigenschaften 

3.3.1 Elektrische Stromdichte J 

J =< v > en mit n: Ladungsträgerdichte mit < v >=< k 

m > 

J = en 

m < k >= e 1 

V 

 

kT 

k 

m 

In (thermischen) Gleichgewicht < k >= 0 ⇒ kein Stromfluss 

Stromdichte nur in Ungleichgewichtssituation! < k > 0 : Impuls im Gleichgewicht. Analogie zum 

Wärmetransport: < n > 0 = 0 

J = en 

m (< k > − < k > 0 ) = en 

m δ k 

Abweichung der Impulsverteilung von Gleichgewichtsverteilung nötig für Stromfluss! Änderung der 

Impulsverteilung möglich durch: 

• Kräfte von außen 

• Streuprozesse (Stossprozesse) der Elektronen 

d < k > 

dt 

d < k > 

dt 

Streuprozesse 

= ∂ < k > 

∂t 

 

 

 

Kraft 

+ ∂ < k > 

∂t 

 

 

 

Strom 

! 

= 0 

= 0 ⇒ nur stationäre Situation, d.h. keine Ein- und Ausschaltvorgänge 

Mittlere Streuzeit τ beschreibt Änderung des mittleren Elektronenimpulses 

∂ < k > 

∂t 

 

 

 

Streu 

Äußere Kräfte 

F = m · 

∂ < v > 

∂t 

= − < k > − < k > 0 

τ 

= ∂ < k > 

∂t 

= − δ k 

τ 

⇒ ∂ < k > 

∂t 

 

 

 

Kraft 

= F 

⇒< k > − < k > 0 = δk = F · t 

 

d.h. Kraft F bewirkt Änderung von k in der Zeit t um δ k ≡ Verschiebung der gesamten Fermikugel 

um δ k innerhalb der Zeit t 

Abschalten der Kraft → Relaxation von δ k ∝ e −t/τ wegen der Streuprozesse gegen Null. 

Stationaritätsgleichung 

Seite 37




F 

= δ k 

τ ⇒ δ k = F 

 

· τ 

Mit F = e · E erhalten wir das Ohm’sche Gesetz: 

J = en 

m δ ne eτ 

k = 

m E = neµ E = σ E mit Beweglichkeit µ = eτ 

m und Leitfähigkeit σ = ne2τ m 

Mittlere freie Weglänge l 

Strecke zwischen 2 Streuprozessen innerhalb von τ: l = vF · τ 

Warum vF = kF 

m und nicht Driftgeschwindigkeit vD = δ k 

m ? 

Nur Elektronen nahe der Fermi-Energie dürfen streuen! → Pauli Prinzip 

• Maximale Energieübertrag ≈ kBT 

• hohe Temperaturen T >> ΘD 

ρP h ∝ 1 

∝< n >∝ T 

⇒ ρP h ∝ T 

τP h 

ΘD 

• tiefe Temperaturen T ∝ T 3 → T 5 (warum T 5 , siehe theoretische Festkörperphysik) 

Streuung an Defekten und Verunreinigungen 

Anzahl temperaturunabhängig (nahezu): ρDef (T ) = ρ0 = const. ⇒ materialabhängiger 

Restwiderstand 

Seite 38




→ beobachtbar bei sehr tiefen Temperaturen (keine e − -Phonon-Streuung) 

• T ≈ 0 ⇒ ρ = ρ0 

• T > 0 ⇒ ρ ∝ T 5 

• T >> 0 ⇒ ρ ∝ T 

Normierung: 

 

ρ → ρ/ρ(ΘD) 

→ universelles Verhalten verschiedener Materialien 

T → T/ΘD 

3.3.3 Bewegung im Magnetfeld 

Bisher: nur E-Feld 

Jetzt: zusätzlich B-Feld → Lorentzkraft FL 

F = FE + FL = −e E − e(v × B) = −e( E + v × B) 

Wieder stationärer Fall (Änderung muss verschwinden): 

0 ! = d < k > 

dt 

= F 

− δk τ = −−e( E + v × B) 

− 

 

δk τ 

Mittlere Driftgeschwindigkeit δv = δ k 

m 

δv = − eτ 

m ( E + δv × B) *da nur mittlere Zusatzgeschwindigkeit relevant 

* 

Sei B z, d.h. B = (0, 0, B) Dann: 

δvx = −ωcτ(Ex/B + δvy) 

δvy = −ωcτ(Ey/B − δvx) 

δvz = −ωcτ(Ez/B) 

mit ωc = eB 

m 

⎛ ⎞ 

⎝ 

Jx 

Jy 

Jz 

⎠ = 

Hall-Effekt 

der Zyklotronfrequenz 

σ0 

1 + ω 2 c τ 2 

⎛ 

⎝ 

1 −ωcτ 0 

+ωcτ 1 0 

0 0 1 + ω 2 c τ 2 

⎞ ⎛ 

⎠ ⎝ 

Ex 

Ey 

Ez 

⎞ 

⎠ mit σ0 = ne2 τ 

m , J = −neδv 

elektrisches Feld von außen: E = (Ex, 0, 0), Magnetfeld B = (0, 0, B) 

Man erwartet: Ladungsfluss nur in x-Richtung: j = (Jx, 0, 0) 

Jy = 0 → ωcτEx + Ey = 0 

Seite 39



by: Christian Krause, Matr. 1956616 4 ENERGIEBÄNDER 

Damit: Ey = −ωcτEx = − eBτ 

m Ex = −µBEx 

⇒ Aufbau eines elektrischen Feldes in y-Richtung: “Hall-Effekt“ 

Grund: FL bewirkt Ablenkung in y-Richtung → Ansammlung/Abwanderung an beiden Seiten → 

Prozess so lange, bis Kompensation eintritt. 

Jx = σ0Ex 

Ey = − eBτ 

m Ex = − eBτ 

m 

· Jx 

σ0 

= − eτ 

BJx 

mσ0 

Ey = − eτm 

mne 2 τ BJx = − 1 

ne BJx mit − 1 

ne = RH: “Hall-Konstante“ 

spez. Hall-Widerstand: ρxy = Ey 

Jx 

= RHB 

Hall-Spannung: UH = bEy = bRHBJx = bRHB · I 1 

= 

bd d RHBI ⇒ Bestimmung von RH! 

4 Energiebänder 

Weiterhin Elektronen wechselwirken nicht untereinander → Lösen der Schrödingergleichung für 1 

Elektron → N-Elektronenzustand durch Auffüllen der 1-Elektronen-Zustände mit Pauli-Prinzip 

Aber jetzt Elektronen “spüren“ periodisches Kristallpotential V (r) der positiven Ionenrümpfe 

“Bloch-Elektron“ 

Unterschiedliche Näherungen 

Quasifreie Elektronen Modell des freien Elektronengases mit Kristallpotential als kleiner Störung → 

Metalle mit stark delokalisierten Elektronen 

Quasigebundene Elektronen lokalisierte Elektronen in Atomorbial → LCAO-Methode 

• Energiebänder in FK 

• getrennt durch verbotene Bereiche, sog. Energielücken 

4.1 Bloch-Elektron 

Periodisches Kristallpotential → Elektronenwellen mit gitterperiodischer Modulation “Bloch-Wellen“ 

Keine Streuung bei perfekter Periodizität, SG für 1 Elektron: 

HΨ(r) = 

 

− 2 

 

∆ + V (r) Ψ(r) = EΨ(r) 

2m 

Seite 40




mit V (r) = V (r + R), R = n1a1 + n2a2 + n3a3 

V (r): gleiche Periodizität wie Raumgitter 

V (r) = 

G 

V G e i Gr mit G = h b1 + k b2 + l b3 rez. Gitter 

Lösungsansatz: Ψ(r) = 

 

2k2 ⇒ 

2m 

k 

 

− E C + k 

SG im reziproken Raum 

G 

G e i kr mit kx = 2π 

V G C k− G = 0 

Lx 

nx . . . 

Entwicklungskoeffizienten von Ψ(r) nur C k , C k− G , C k+ G , . . . 

d.h. nur diejenigen, deren k-Werte sich um einen reziproken Gittervektor unterscheiden. ⇒ N 

unabhängige Gleichungssysteme 

Lösung jedes Gleichungssystems: Superposition von ebenen Wellen, die sich um einen reziproken 

Gittervektor unterscheiden. 

• Indizierung der Energieeigenwerte durch k : E( k) = E k 

• Zu jedem k gibt es unendlich viele Lösungen mit E( k) = E( k + Gn) → zusätzliche Zahlen zur 

Klassifizierung 

→ Bandindex n nach Größe: E1( k) ≤ E2( k) ≤ . . . 

Betrachtung im Ortsraum 

1 von N Lösungen: Ψ k (r) = u k (r)e i kr 

u k (r): Fourierreihe über reziproke Gittervektoren → besitzt Periodizität des Gitters 

Lösung der 1-Elektron-SG für periodisches Potential 

Ψ k = u k (r)e i kr mit u k (r) = u k (r + R) “Bloch-Theorem“ → 

Bandstruktur 

Für jeden k-Wert: Satz von Energieeigenwerten En( k) 

Allgemeine Eigenschaften von En( k) 

HΨk(r) = En(k)Ψk(r) 

HΨk+G(r) = En(k + G)Ψk+G(r) 

Welle 

Elektronen 

Seite 41




Wegen: Ψk+G = Ψk → HΨk(r) = E(k + G)Ψk(r) ⇒ E(k) = E(k + G) 

• E( k) periodische Funktion bzgl. k 

• En( k) ist beschränkt (n fest) → endliche Bandbreite (daher: n= Bandindex) 

• Bei Inversionssymmetrie, d.h. V (r) = V (−r) → E( k) = E(− k) 

⇒ ∂E( k) 

∂ k 

 

 

 

k→0 

= 0 wenn ∂E( k) 

∂ k 

→ Minimum oder Maximum 

stetig diffbar ist 

Periodisches Gitterpotential ⇒ Energiebänder 

Reduziertes Zonenschema 

Betrachtung “freie“ Elektronen mit V → 0 

Folge: für Elektronenzustände nicht nur 1 Parabel, auch Parabeln um G verschoben sind erlaubt 

E( k) = 2k 2 

2m = E(k + G) = 2 (k + G) 2 

2m 

In 1D: G = G = 2π 

a 

· m mit m ∈ Z 

E( k) periodisch in k-Raum → Darstellung in der 1. BZ ausreichend! → bei geeigneter Verschiebung 

der Parabel 

⇒ reduziertes Zonenschema 

Anmerkung 

• Elektronenwellen: 

– keine Beschränkung auf 1 BZ 

– dennoch zweckmäßig 

• Gitterschwingungen 

– Wellenvektoren außerhalb der 1. BZ physikalisch nicht sinnvoll 

Damit Dispersion: 

E( k ′ ) = 2 

2m (k + G) 2 = 2 

kx + h 

2m 

2π 

2 

+ ky + k 

a 

2π 

2 

+ kz + l 

a 

2π 

 

2 

wobei 

a 

k ′ in der 1. BZ 

Berechnung in [100]-Richtung, d.h. E(kx, 0, 0) 

Verschiedene Darstellungen der Dispersion in 

• ausgedehntem 

• reduziertem 

• periodischem 

Seite 42




Zonenschema 

4.2 “Fast freie“ Elektronen 

Jetzt: Schwaches periodisches Potential V > 2 k 2 

2m 

• starke Bindung am jeweiligen Atom 

• nur geringe Beeinflussung durch andere Atome im Kristall → tiefliegende Elektronen in 

Rumpfniveaus 

Daher: Statt ebene Welle 

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• atomare Wellenfunktion 

• daraus Linearkombination LCAO 

Elektron lokalisiert 

• atomares Potential VA(r) entscheidend → V (r) = VA(r)+ Störung V ′ (r) 

Spezialfall: 

Energie für kugelsymmetrischen Zustand 

E(k) = E (i) 

A − α(i) 

(i) 

− β e ik( R− R ′ ) 

Coloumbintegral α (i) 

nN 

V ′ < 0 ⇒ α (i) positiv ⇒ Energieabsenkung 

Transferintegral β (i) 

Dispersion und Ausbildung eines Bandes, β ist Maß für die Bandbreite 

Je geringer der Atomabstand, desto größer der Überlapp ⇒ die Bandbreite wird größer 

Für kleine k-Werte, d.h. Zentrum der 1. BZ, und sc-Gitter mit Gitterkonstante a: 

E(k) = EA − α − 6β + βk 2 a 2 = Eu + βa 2 k 2 mit Eu = EA − α − 6β Bandunterkante 

Dispersion bezogen auf die Bandunterkante E ∗ (k) = βa 2 k 2 

⇒ entspricht freiem Teilchen mit effektiver Masse m∗ 

2 k 2 

2m∗ = βa2 k 2 

⇒ m∗ = 2 

2βa 2 

m∗ beschreibt “Steilheit“ des Bandes 

• m∗ klein: steiles Band 

• m∗ groß: flaches Band 

Metalle, Halbleiter, Isolatoren 

• Energiebänder mit Bandlücken 

• Auffüllen der Zustände → höchste Energie EF 

Prinzipiell unterschiedliche Fälle 

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1. vollständiges Auffüllen von Bändern, alle anderen bleiben leer → EF liegt in der Mitte 

zwischen obersten besetzten und untersten unbesetzten Band ⇒ bei T=0 kein Stromfluss 

• Isolator: Energielücke ≥ 3eV 

• Halbleiter: Energielücke ≤ 3eV → durch thermische Anregung geringer Stromfluss möglich 

2. Oberstes Band nicht vollständig gefüllt → EF liegt innerhalb des Bandes ⇒ Stromfluss möglich 

• Metall 

4.4 Bandstrukturen (Beispiele) 

Einfache Metalle (z.B. Al) 

• In guter Näherung “freies Elektron“-Verhalten 

– parabelförmiger Verlauf 

– kleine Bandlücke 

• D(E) wenig Struktur und √ E-Verlauf 

Einfache Metalle (z.B. Cu) 

• komplizierte Bandstruktur 

– stark gebundene 3d-Elektronen → schmale d-Bänder 

– breite sp-Bänder mit annähernd parabolischem Verlauf 

• bei EF s-Elektronen → Modell freier Elektronen für Cu geeignet 

 

D(E) = 

E( k)d k 

E[eV ] · λ[nm] ≈ 1250 

3d-Übergangsmetalle (Beispiel Fe) 

EF im Bereich der d-Bänder → freies Elektronengasmodell ungeeignet 

Halbleiter (Beispiel Ge) 

• Bandlücke für alle k-Richtungen 

• ELücke ≈ 0,7 eV 

Isolator (Beispiel Diamant) 

• Bandlücke für alle k-Richtungen 

• ELücke ≈ 6 eV 

Experimentelle Bestimmung 

Photoelektronenspektroskopie (UPS) 

Seite 45




• Photonenbeschuss hν (= 5..100eV ) 

• Anregung in unbesetzte Zustände 

• Verlassen des Festkörpers 

Energiebilanz: hν = EB + Φ + Ekin mit Φ: Austrittsarbeit, EB:Bindungsenergie bezogen auf EF 

Impulsbetrachtung: p(P hoton ≈ eV ) kF 

a a 

⇒ Fermi-Kugel der freien Elektronen berührt Zonenrand nicht 

Aber: periodisches Gitterpotential → Absenkung der Bandenergie am Rand → Aufwölbung der 

Fermi-Fläche → doch Berühren des Zonenrandes + senkrechtes Schneiden 

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 5 TRANSPORTPHÄNOMENE 

5 Transportphänomene 

Bisher: Energie(eigen)werte En( k) der Kristallelektronen durch Lösen der zeitunabhängigen 

Schrödingergleichung mit gitterperiodischem Potential, d.h. keine äußeren Kräfte ⇒ kein Ladungsund 

Wärmetransport 

Jetzt: Dynamik von Kristallelektronen unter äußeren Kräften → zeitabhängige SG → schwierige 

Beschreibung 

5.1 Semiklassisches Modell 

• Klassische Beschreibung externe Kräfte 

• Bandstruktur durch QM-Analyse → beschreibt Bewegung der Elektronen zwischen Stößen, 

d.h. ohne Streuprozesse 

Transportphänomene besser beschreibbar in Teilchenbild → Bloch-Welle −→ Wellenpakete aus 

Blochwellen 

Relevante Längenskalen: a




5.2 Bewegung von Kristallelektronen 

• Beschreibung in semiklassischem Modell 

• Betrachtung nur 1 Bandes, da n konstant 

• T = 0 ⇒ f(E, T ) = f(E, T = 0) 

1. Band vollständig leer, uninteressant, da kein Elektron vorhanden 

2. Band vollständig gefüllt, uninteressant, da keine Elektronenbewegung erlaubt 

3. Teilweise gefüllte Bänder 

• Nichtbesetzte Elektronenzustände ≡ positiv geladene Löcher 

• Beschreibung des Stromtransportes durch beide möglich 

Beispiel: Band bis auf einen freien Platz gefüllt 

• Beschreibung durch Elektronen: sehr viele Elektronen 

• Beschreibung durch Löcher: nur 1 Loch 

• Bei Vorliegen äußerer Kräfte 

– Unbesetzte Zustände entwickeln sich zeitlich identisch zu besetzten Zuständen 

– Elektronen: negative Ladung, negative effektive Masse (Masse=1) 

– Loch: positive Ladung, positive effektive Masse (Masse=1) 

5.3 Streuprozesse 

Bisher: Bewegung zwischen zwei Streuprozessen 

Aber: ohne Streuprozesse kein elektrischer Widerstand 

Blochmodell/Blochwellen: ungestörte Ausbreitung von Elektronenwellen bei exakt periodischer 

Anordung des Gitters (perfektes Bravaisgitter) → ungestörte Ausbreitung von Blochwellenpaketen 

→ ungestörte Bewegung der Elektronen im Teilchenbild 

Streuung nur bei Störung der Ausbreitung 

Störungen 

• Elektron-Elektron-Streuung 

• Abweichung von der Periodizität des Kristallgitters 

– Kristalldefekte: zeitunabhängige Störungen 

– Phononen: zeitabhängige Störungen 

Elektron-Elektron-Streuung 

2 Elektronen in Zustände 1,2 Streuung 

−→ Zustände 3,4 

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Energieerhaltung: E1( k1) + E2( k2) = E3( k3) + E4( k4) 

Impulserhaltung: k1 + k2 = k3 + k4 

Erwartung: 

• sehr hohe Dichte (1 e − pro E.Z.) 

• starke Coloumbabstoßung 

⇒ hohe Wahrscheinlichkeit für e − -e − -Streuung 

Aber: Starke Unterdrückung wegen Pauli-Prinzip 

Annahme zur Illustration 

1. Elektron im angeregten Zustand, d.h. E1 > E2 

2. Elektron innerhalb der Fermi-Kugel, d.h. E2 < EF 

Pauli-Prinzip: Zustände 3 und 4 sind unbesetzt, d.h. E3 > EF und E4 > EF , Energieerhaltung: 

E1 + E2 = E3 + E4 > 1EF 

⇒ (E1 − EF ) 

 

>0 

+ (E2 − EF ) > 0 

 




• tiefe Temperaturen: e − -e − -Streuung ≈ 10 −10 e − -Defekt-Streuung 

• bei höheren Temperaturen: etwas größer 

1. Wegen des Pauli-Prinzips: Beschreibung von Elektronen im Festkörper als 

nichtwechselwirkende Teilchen möglich 

2. Elektron-Defekt-Streuung dominiert 

Streuung an Phononen 

ρP hon ∝ 

T 

ΘD 

5 

· 

ΘD/T 

4x 

0 

5 

(ex − 1)(1 − e−x ωq 

dx mit x = 

) kBT 

Bei hohen Temperaturen (T >> ΘD): Integral ∝ 

4 ΘD 

, ρP hon ∝ T 

T 

Bei tiefen Temperaturen (T




d.h. Fermi-Dirac-Verteilung, verschoben um eτE 

 

gegenüber Gleichgewichtsverteilung 

Dann Abschalten der äußeren Kraft → Relaxation in den Gleichgewichtszustand 

• erfolgt nur über inelastische Streuung 

• bei elastischen Streuprozessen käme es zu einem Aufblähen der Fermi-Kugel 

Allgemeine Transportgleichung 

Jel = L 11 E + L 12 (−∇T ) Matrix L ij beinhaltet “Transportkoeffizienten“ 

JWärme = L 21 E + L 22 (−∇T ) 

Man findet: 

L 11 = σ(EF ) 

L 21 = T L 12 = − π2 

3e (kBT ) 

L 22 = π2 

3 

k 2 B 

e 2 σ(EF ) 

Thermokraft S 

 

 

2 ∂σ(E) 

 

∂E 

E=EF 

→ ermöglicht Temperaturbestimmung 

S: Proportionalitätskonstante zwischen elektrischem Feld E und Temperaturgradienten unter der 

Bedingung, dass kein Strom fließt 

E = S · ∇T = (L 11 ) −1 L 12 ( ∇T/T ) 

Damit S = − π2 

3 

Seebeck-Effekt: 

k 2 B T 

e 

Messung der Thermokraft 

∂ ln σ(E) 

∂E 

 

 

 

E=EF 

Geschlossener Stromkreis aus Metall A und B. Kontaktstellen auf unterschiedlichen Temperaturen 

T1 und T2. Dazwischen Spannungsmessung bei beliebiger, identischer Temperatur T0. 

Potentialdifferenz als Integral des elektrischen Feldes längs des Kreises 

U = 

= 

T2 

T1 

1 

0 

 

EBds + 

1 

(SA − SB)dT 

2 

 

EAds + 

2 

0 

EBds = 

1 

2 

∂T 

SB 

∂s 

 

ds + 

1 

2 

∂T 

SA ds = 

∂s 

T1 

T2 

 

SBdT + 

T1 

T2 

SAdT 

Seite 51



by: Christian Krause, Matr. 1956616 6 HALBLEITER 

U ist Funktion 

• der Differenz der Thermokraft beider Metalle 

• der Temperaturdifferenz an beiden Kontaktstellen 

Anordnung nennt man Thermoelement 

T2 bekannt 

In der Praxis: 

Materialwahl so, dass 

Bestimmung von U 

−→ unbekannte Temperatur T1 

• Differenz der Thermokräfte möglichst groß → hohe Seebeck-Spannung 

• sie zur Messsituation passt → z.B. bei hohen Temperaturen Schmelzpunkt beachten 

6 Halbleiter 

T = 0: vollkommen gefüllte und leere Bänder ⇒ kein Stromtransport 

T > 0: thermische Anregung von Elektronen möglich 

Unterscheidung Halbleiter-Isolator: 

• HL: Eg ≤ 3 eV 

• Isolator: Eg ≥ 3 eV 

Herausragende Eigenschaft gegenüber Metallen 

Änderung der elektrischen Leitfähigkeit über mehrere Größenordnungen möglich durch kleinste 

Mengen an Fremdatomen → “Dotierung“ 

Klassifizierung 

• Element-HL wie Si, Ge 

• Binäre HL: III-V-HL z.B. GaAs; II-VI-HL z.B. ZnS, CdS 

• Organische HL 

mit von oben nach unten zunehmenden ionischen Charakter ⇒ Erhöhung der Bandlücke 

6.1 Grundlegende Eigenschaften 

Bandstruktur: EF bei T = 0 genau in der Mitte der Bandlücke 

Beispiel: Ge: 

Seite 52




Si: 

• kleinste Bandlücke Eg = 0, 75 eV zwischen Γ-Punkt ( k = (0, 0, 0)) und L-Punkt 

([111]-Richtung) 

• direkte Bandlücke am Γ-Punkt etwas größer Eg = 1, 1 eV → “indirekte HL“ 

• minimale Energielücke zwischen Γ-Punkt ([0, 0, 0]) und X-Punkt ([0, 0, 1]-Richtung) 

Relevante elektronische Zustände liegen an der 

• Oberkante des Valenzbandes 

• Unterkante des Leitungsbandes 

Bandverlauf in der Nähe der Bandkante parabelförmig 

• leichte / schwere Elektronen / Löcher 

• zusätzlich Spin-Bahn-Aufspaltung 

GaAs: direkte HL 

Intrinsische HL 

Intrinsisch: Erzeugung freie Elektronen und Löcher nur durch Anregung vom Valenz- ins 

Leitungsband 

Relevante Größen: 

• nc: Dichte der Elektronen im Leitungsband 

• PV : Dichte der Löcher im Valenzband 

 

nc = 

PV = 1 

V 

Dc(E)f(E, T )dE mit Dc(E): jeweilige Zustandsdichte 

 

⇒ nc = PV 

DV (E)(1 − f(E, T ))dE 

⇒ µ = EV + 1 

2 Eg + 3 

4 kBT ln m∗ h 

m ∗ e 

D.h. m ∗ e = m ∗ h , wenn Biegung von Leitungsband und Valenzband gleich ⇒ µ in der Mitte der 

Energielücke 

Ladungsträgerdichte 

Typische Werte für n bei RT 

Ge: 2 × 10 13 cm −3 ; Si: 2 × 10 11 cm −3 

Dotierte Halbleiter 

Seite 53




• n für intrinsische HL zu gering für viele Anwendungen 

• Erhöhung um viele Größenordnungen durch Einbringen von Fremdatomen 

• auch reinste HL enthalten Verunreinigungen 

Typische Donatoren für Si, Ge (IV Hauptgruppe): 

Elemente der V-Hauptgruppe wie P und As 

• 4 Elektronen für kovalente Bindung 

• 1 Elektron: nach Anregung mit Ed freies Elektron 

Für Si: Ed ≈ 50 meV 

Mit Donatorzustand ED : Ed = EC − ED 

Da Ed ≈ kBT bei Raumtemperatur: leichte thermische Ionisierung des Donatorzustandes 

Bohrscher Radius des Donatorzustandes in Si: ≈ 10aSi 

Typische Akzeptoren für Si, Ge: 

Elemente der III HG wie B, Al, Ga 

• 3 Elektronen für kovalente Bindung 

• 1 Elektron: zusätzlich nötig aus der Umgebung = Loch in Umgebung des Akzeptoratoms (nach 

Anregung mit Ea) 

Es gilt ED ≈ Ea 

Bsp für Si-Dotierung mit: EP hosphor = 45 meV, EBor = 45 meV, EArsen = 54 meV, EAlu = 72 meV 

Ladungsträgerdichte 

Elektron in Leitungsband stammt aus: 

• Valenzband 

• Donatorniveau 

Loch im Valenzband analog: 

• Elektron im Leitungsband 

• Akzeptorniveau 

Dichte der Donatoren und Akzeptoren: 

ND = N 0 D + N + 

D 

NA = N 0 A 

 

neutral 

+ N − 

A 

 

Ionisiert 

Seite 54




Wegen Ladungsneutralität: nc + N − 

A = PV + N + 

D 

Diskussion: 

• n-Halbleiter (nur Donatoratome) 

• tiefe Temp. → keine thermische Anregung vom Valenz- ins Leitungsband 

⇒ nc ≈ N + 

D = ND − N 0 D = ND 

⎛ 

⎝1 − 

exp 

1 

E0−µ 

kBT 

 

m∗ mit nc,eff = 2 

ekBT 

2π2 3 

2 

, m ∗ e = eff. Masse Elektron 

Tiefe Temperatur: 

⎞ 

⎠ ≈ 

+ 1 1 + 

Wegen ND 

 

Ed 

exp >> 1 ⇒ nc ≈ 

nc,eff kBT 

 

NDnc,eff exp − Ed 

 

kBT 

2ND 

1 + 4 ND 

nc,eff exp 

 

Ed 

kBT 

D.h. mit abnehmender Temperatur exponentielle Abnahme (wie bei intrinsischen HL), aber Ed statt 

ELücke(Eg) 

µ zwischen EC und ED 

“Hohe“ Temperatur 

Wegen ND 

 

Ed 

exp




Zentrale Struktur: p-n-Übergang 

• linke Seite: p-dotiert 

• rechte Seite: n-dotiert 

• Grenzfläche: abrupte Konzentrationsänderung 

• thermisches Gleichgewicht 

NA(x) = 

ND(x) = 

NA für x < 0 

0 für x > 0 

0 für x < 0 

ND für x > 0 

p-n-Übergang ohne äußere Spannung 

Dotierte HL getrennt: chemisches Potential µ liegt bei unterschiedlichen Werten 

Nach Kontaktierung: µ in ganzer Struktur konstant → Verbiegung der Valenz- und Leitungsbänder 

in der Übergangszone 

Beschreibung durch inneres elektrostatisches Potential (Makropotential) Φ(x) 

Verknüpfung mit Raumladung ρ(x) über Poisson-Gleichung 

−∇ 2 Φ(x) = − ∂2Φ(x) 1 

= ρ(x) 

∂x2 ε · ε0 

Entstehung der Raumladungszone 

Diffusion der Elektronen in n-HL und Löcher in p-HL im Gebiet der jeweils anderen Dotierung, dann 

Rekombination 

Abwanderung der Elektronen: positive Raumladungszone wegen ortsfester ionisierter Donatoren 

Abwanderung der Löcher: analog negative Raumladungszone 

⇒ elektrisches Feld in der Grenzschicht → wirkt Diffusionsstrom entgegen 

Potentialdifferenz: Φ(+∞) − Φ(−∞) = VD “Diffusionsspannung“ → Driftstrom → kompensiert 

gerade Diffusionsstrom 

Weit entfernt von der Grenzfläche: ρ(x) = 0 

Majoritätsladungsträger 

• Elektronen im n-Gebiet: nn 

• Löcher im p-Gebiet: PP 

Minoritätsladungsträger 

Seite 56




• Elektronen im p-Gebiet: nP 

• Löcher im n-Gebiet: Pn 

Typische Ausdehnung der Raumladungszone: 10nm ... 1 µm 

p-n-Übergang mit angelegter Spannung U 

U zeitunabhängig 

Sehr geringe Ladungsträgerdichte in der Verarmungszone → angelegte Spannung fällt über diese 

Zone ab, d.h. 

• Bandschema ändert sich nur in der Raumladungszone 

• außerhalb horizontaler Verlauf 

Damit: Φ(+∞) − Φ(−∞) = VD − U 

Spannung U verändert Breite der Verarmungszone 

 

dnP = dnP (U = 0) · 1 − U 

1 

2 

VD 

• U > 0: Verkleinerung der Raumladungszone (Durchflussrichtung) 

• U < 0: Verbreiterung der Raumladungszone (Sperrrichtung) 

I-U-Kennlinie 

Bei (U = 0) Kompensation von Diffusions- und Driftstrom ⇒ I = 0 

Jetzt U = 0 

Elektronenstrom: 

• U > 0: Driftstrom der Minoritätsladungsträger, d.h. e − von p − → n-Bereich 

Durch thermische Aktivierung ständige Erzeugung von e − im p-Bereich 

→ Generationsstrom I gen 

n 

Bei genügend dünner Raumladungszone: 

Jedes Elektron, das im p-Gebiet erzeugt wird, erreicht durch E-Feld den n-Bereich 

≈ unabhängig von U 

⇒ I gen 

n 

d.h. I gen 

n (U) = U gen 

n (0) 

• U < 0: Diffusionsstrom der Majoritätsladungsträger, d.h. e − von n → p-Bereich → 

Rekombinationsstrom I rek 

n , da dort Rekombination mit Löchern 

Bewegung gegen Potentialschwelle der Diffusionsspannung 

Vorzeichen von U erniedrigt oder erhöht diese Schwelle 

Anteil der Elektronen, die Schwelle überwinden: Boltzmann-Faktor 

→ I rek 

n (U) ∝ exp 

 

−e(VD − U) 

kBT 

Seite 57




Es ist: 

• I gen 

n (0) = I rek 

n (0) 

• I gen 

n (U) = I gen 

n (0) 

I rek 

n (U) = x · exp 

I rek 

n (0) = x · exp 

⇒ x = I gen 

n exp 

= I gen 

n 

 

eU 

· exp 

kBT 

 

−e(VD − U) 

kBT 

 

e(VD) 

= I 

kBT 

gen 

n (0) 

 

−e(VD) 

kBT 

Gesamtstrom Elektronen 

In(U) = I rek 

n (U) − I gen 

n (U) = I gen 

 

eU 

n exp 

kBT 

Gesamtstrom Löcher 

Ip(U) = I gen 

p 

 

eU 

· exp 

kBT 

Gesamtstrom: I(U) = (I gen 

n 

⇒ I rek 

n (U) = I gen 

 

eVD −eVD eU 

n · exp · exp · exp 

kBT kBT kBT 

 

− 1 

6.3 Halbleiter-Bauelemente 

+ I gen 

 

eU 

p ) · exp 

kBT 

 

− 1 

 

− 1 

Exemplarisch Bauelemente, die auf p-n-Übergang basieren 

6.3.1 Solarzelle 

• p-n-Übergang 

• Lichteinstrahlung → Elektronen und Löcher in Verarmungszone → Elektronen wandern in 

n-Bereich, Löcher wandern in p-Bereich → Aufladung 

6.3.2 Bipolarer Transistor 

1947 entwickelt, 1956 Nobelpreis 

2 p-n-Kontakte: 1x Durchflussrichtung Emitter-Basis, 1x Sperrrichtung Basis-Kollektor 

Seite 58



by: Christian Krause, Matr. 1956616 7 MAGNETISMUS 

1. kleine Änderung δUEB ⇒ große Änderung IEB 

2. Änderung UBC ⇒ kaum Änderung IBC 

3. Breite der Basis 0 wegen paralleler Ausrichtung im 

Feld 

• Ausrichtung im externen Magnetfeld beeinflusst durch thermische Fluktuation → χ para (T ) 

• lokalisierte Momente 

Seite 59




– durch Innerschalenelektronen 

– bei hohen Temperaturen: χ Langevin (T ) = c 

T 

• itinerante Momente 

– durch Bandelektronen χ P auli = χ P auli (T ) 

– Im Vergleich χ Langevin P auli 

>> χ 

Kollektiver Magnetismus 

• komplizierter Zusammenhang χ koll = χ koll (T, H, V orgeschichte) 

• durch Austausch-WW permanente magnetische Dipole → QM 

• Existenz einer kinetischen Temperatur T ∗ 

– unterhalb T ∗ : spontante Magnetisierung auch ohne externes Feld 

– oberhalb T ∗ : paramagnetisches Verhalten 

• Ferromagnetismus 

T ∗ : Curie-Temperatur TC 

Bei T = 0: magnetische Momente parallel 

0 < T < TC: Vorzugsorientierung 

• Ferrimagnetismus: (Mindestens) zwei ferromagnetische Untergitter mit unterschiedlicher 

Magnetisierung: MA = MB und M = MA + MB = 0 für T < TC 

• Antiferromagnetismus: Spezialfall des Ferrimagnetismus mit | MA| = | MB| = 0 für T < T ∗ und 

MA = − MB ⇒ M = MA + MB = 0 T ∗ : Néel-Temperatur 

• Verlauf der magnetischen Suszeptibilität: hier nicht im Skript :D 

• Beispiele T ∗ : 

Itinerante Momente (Bandelektronen:) Fe 1043 K, Co 1388 K, Ni 627 K 

Lokalisierte Momente (Innenschalenelektronen) Gd 293 K 

Antiferromagnetismus: Cr 311 K, NiO 525 K 

7.2 Magnetismus von Atomen 

Zi 

 

P 2 

i 

H = + Vi + µB( 

2m 

i=1 

L + g S) · B + 

 

para 

e2 

Z 

( 

8m 

i=1 

B × Vi) 

 

dia 

= H0 + H1 + H2 

Atomarer Diamagnetismus 

Seien alle Schalen gefüllt ⇒ L = S = 0 ⇒ H para 

1 

χ = − N 

V 

Damit: 

µ0e 2 

6m 

Z 

i=1 

< V 2 

i > 

• χ dia < 0 

• nur äußerste Schale(n) tragen bei 

• vernachlässigbare Temperaturabhängigkeit 

= 0 

Seite 60




Atomarer Paramagnetismus 

Permanente magnetische Momente durch ungepaarte Elektronen 

semiklassisch: µE = µ · cosϑ 

< µz > 

µ 

= coth(y) − 1 

 

2J + 1 

y 2J y 

 

− 1 

2J coth 

 

y 

 

= BJ(y) Brillouinfunktion 

2J 

J = ∞: B∞(y) = coth(y) − 1 

y 

J = 1 

2 

: B 1 (y) = tanh(y) 

2 

=: L(y) Langevin-Funktion → Semiklassisches Bild 

y




Damit ∆E = ∆Ekin + ∆Epot = 1 

2 g(EF )δE 2 · (1 − U · g(EF )) 

 

↑ 

⇒ Spontante Spinaufspaltung, wenn ∆E ≤ 0: (U · g(EF ) > 1 Stoner-Kriterium 

7.4 Magnetische WW 

a) Magnetische Dipol-WW: 2 magnetische Dipole µ1, µ2 getrennt durch r 

 

µ0 

E = 

· µ1 · µ2 − 

4πr3 J 

 

 

(µ1r)(µ2r) 

r2 Sei µ1 = µ2 = µB, r = 2 ˚ A, µ1 ↑↑ µ2, µi ↑↑ r 

⇒ E = µ0µ 2 B 

2πr 3 = 2 · 10−24 J 

Mit E = kT → T 0 ⇒ F M, J < 0 ⇒ AF M 

i,j 

RKKY-Wechselwirkung (Ruderman, Kittel, Kasuya, Yosida) 

JRKKY (r) ∝ F (2kF r) mit F (x) = 

AFM als Funktion des Abstandes. 

Beispiel: Seltenerdmetalle 

sin(x) − x · cos(x) 

x 4 

Hspin 

⇒ oszillierendes Verhalten zwischen FM und 

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7.5 Kollektiver Magnetismus 

• Ferromagnetismus 

• Antiferromagnetismus 

• Spinglas 

• Helikale Anordnung 

• Spiralanordnung 

7.5.1 Ferromagnetismus 

Ohne Magnetfeld: M 

MS 

 

3J M 

= BJ 

J + 1 

MS 

Mit MS= Sättigungsmagnetisierung und M= Magnetisierung 

Damit: 

T < TC : M = 0(, M = 0) 

T ≤ TC : M = 0 

c 

χ = für B → 0 (Curie-Weiß-Gesetz) 

T − TC 

Mit Magnetfeld: Siehe Folie 

7.5.2 Antiferromagnetismus 

Modell ↑↓=↑ + ↓ 

Temperaturabhängigkeit: M(T) 

 

TC 

(implizite Funktion, nur Näherungsweise lösbar) 

T 

Existenz einer Kompensationstemperatur möglich: M(Tcomp) = 0 mit Tcomp < TC 

1 

χ ∝ 

T + TN 

7.5.3 Helikale Anordnung 

• Jede Kristallebene ferromagnetisch 

• Magnetisierung um ϑ gedreht zwischen Ebenen 

Sei J 1(2) Kopplungskonstante zwischen (über)nächsten Ebenen 

Ji = 0 für i ≥ 3 

E = −2NS 2 (J1 · cos ϑ + J2cos 2ϑ) 

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7.6 Magnetische Domänenstruktur 

7.6.1 Magnetische Domänen 

1907 (Pierre Weiß) 

Ferromagnet besteht aus kleinen Bereichen 

• mit Sättigungsmagnetisierung 

• unterschiedliche Ausrichtung 

→ Weiß’sche Bezirke 

Hystereseschleife M(B) 

MS: Sättigungsmagnetisierung, MR: Remanenz, HC : Koerzitivfeld 

Kleine Hysterese: weichmagnetisch, Große Hysterese: hartmagnetisch 

Barkhausensprünge: Magnetisierung kein kontinuierlicher Prozess, sondern in mikroskopischen 

Sprüngen 

7.6.2 Domänenwände 

Grenzen zwischen magnetischen Domänen. Unterscheidung: 180 ◦ -Wand, 90 ◦ -Wand 

Beispiel: Co nur 180 ◦ -Wände 

bcc-Fe: [100]-Richtungen: “leichte“ Magnetisierungsrichtungen, Magnetisierung in {100}-Richtungen 

⇒ 180 ◦ -Wand oder 90 ◦ -Wand 

fcc-Ni: [111]-Richtungen: “leichte“ Magnetisierungsrichtungen 

Blochwand: in makroskop. FK 

Néelwand: dünne magnetische Schichten 

7.6.3 Abschlussdomänen 

Streufeld an der Oberfläche ist energetisch ungünstig ⇒ Wechselspiel: Streufeldenergie ↔ 

Domänenwandenergie 

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