Produktion von Biomasse durch Mikroorganismen ...

Produktion von Biomasse durch Mikroorganismen:
Optimierungsproblem
Optimierung eines Fermentationsprozesses. Bei einem Fermentationsprozess werden
Nährstoffe (Substrate) durch Mikroorganismen in Biomasse und ein oder mehrere Produkte
umgewandelt. Die Mikroorganismen wachsen und vermehren sich und führen die
gewünschte Produktbildung aus. Am Ende der Fermentation - dies ist der Fall wenn die
Biomasse einen kritischen Wert erreicht - wird die Biomasse abgetrennt und das Produkt
isoliert. Ziel der Fermentation ist die Produktivität - gebildete Produktmenge bezogen auf
die Fermentationsdauer - zu maximieren. Dabei ist die Wachstumsrate der Biomasse keine
konstante Größe sondern regelbar zwischen einem minimalen und einem maximalen Wert.
1. Problemaufbereitung. Der Bioreaktor in welchem ein Überschuss aller notwendigen
Nährstoffe vorliegt, wird mit einer Anfangs-Biomassemenge X0 beimpft. Zu einem beliebigen
Zeitpunkt t bezeichne P = P (t) die Produktmenge und X = X(t) die Biomasse. In
dem Fermenter laufen nun zwei Prozesse ab:
Wachstum und Vermehrung der Biomasse. Die Mikroorganismen wachsen und
vermehren sich. Für die Zunahme der Biomasse nehmen wir ein exponentielles Wachstum
an, dh. je mehr an Biomasse X vorhanden ist, desto mehr kommt neu hinzu.
Formelmäßig
dX
= µ · X . (1)
dt
Hat man zum Zeitpunkt ti die Biomassemenge Xi und ist die Wachstumsrate µ
während der Zeitdauer dt konstant mit dem Wert µi, so berechnet sich aus (1) die
Menge an Biomasse zum Zeitpunkt ti+1 zu
Xi+1 = X(ti+1) = Xi · e µi·dt . (2)
Produktbildung. Oft wird von einer Kultur nicht nur Biomasse, sondern als Folge
des Stoffwechsels auch ein Produkt P gebildet und in das Medium ausgeschieden. Die
Zunahme der Produktmenge kann dabei von der Biomasse X oder vom Wachstum
der Biomasse dX/dt abhängen. Dies läßt sich allgemein so formulieren:
dP
dt = q1 · X + q2 · dX
dt
Setzt man hier für dX/dt den Ausdruck aus Formel (1) ein, so erhält man
dP
dt = q1 · X + q2 · µ · X = q · X , (3)
mit q = q1 + q2 · µ. Hierbei ist q2 ein Proportionalitätsfaktor für die wachstumsabhängige
und q1 für die wachstumsunabhängige Produktbildung.
1

Ist q1 = 0, so ist q proportional zu µ, formelmäßig q = q2 · µ . Dieser Zusammenhang
tritt z.B. auf, wenn das Produkt die Biomasse selbst ist. Ein proportionaler Zusammenhang
zwischen Produktbildungsrate q und Wachstmsrate µ ist aber oftmals nicht über den
gesamten Bereich der möglichen Wachstumsraten gültig. Eine gängige Formel - analog zur
Monod-Gleichung zwischen Wachstumsrate und limitierender Substratkonzentration oder
zur Michaelis Menten Gleichung der Enzymkinetik - wird durch
gegeben.
Produktbildungsrate [q]
µ
q = qmax
k + µ
Wachstumsrate [mu]
q als Funktion von µ.
Wir sehen, daß die Produktbildungsrate q mit steigender Wachstumsrate wächst. Die
Produktbildungsrate ist daher am größten wenn die Wachstumsrate µ ihren größten Wert
annimmt. Man könnte daher glauben, daß die größtmögliche Produktivität dadurch erzielt
wird, daß das Wachstum der Mikroorganismen über den gesamten Fermentationsprozess
mit maximaler Wachstumsrate erfolgt. Dies ist aber nicht der Fall wie wir an einem
konkreten Beispiel im nächsten Abschnitt sehen werden.
2. Konkretes Beispiel: Eingabe und Lösung in Excel. Wir können nun mit Hilfe der
Formeln (1)-(4) und dem Solver von Microsoft Excel konkrete Probleme lösen. Konkret
wollen wir die optimale Prozeßsteuerung (Wachstumssteuerung) für die untenstehenden
Werte der Modellparameter finden:
Anfangswerte für Modellparameter Einheit Wert
X0 Anfangsbiomassekonzentration [g/L] 10
P0 Anfangsproduktkonzentration [g/L] 0
qmax maximale Produktbildungsrate [1/h] 0,02
k Sättigungskonstante [1/h] 0,01
Xmax maximale Biomassekonzentration [g/L] 150
mumin minimale Wachstumsrate [1/h] 0,01
mumax maximale Wachstumsrate [1/h] 0,05
2
(4)

Dazu legen wir in Excel eine Wertetabelle nach folgendem Muster an:
A B C D E F G H
1 Zeit Wachstumsrate Biomasse zum Produkt- Produktmenge Änderung der Produktivität Zeitdauer
2 Zeitpunkt t bildungsrate zum Zeitpkt t Produktmenge
3 t X(t) q P(t) P'(t) dt
In die Zellen A1:H3 kommt, wie abgebildet, erklärender Text. Die Zelle H4 erhält den
Namen dt und als Wert 1. Zum Beginn der Fermentation (Zeitpunkt t = 0) ist X0 = 10
g/L an Biomasse und kein Produkt vorhanden. Wir tragen daher in die Zelle A4 den
Wert 0, in die Zelle C4 den Wert 10 und in die Zelle E4 den Wert 0 ein. In die Zelle
B4 tragen wir die Formel =0,05 ein. Den Wert der Zelle D4 berechnen wir mit Hilfe der
Formel (4) mit qmax = 0, 02 und k = 0, 01, dh. wir schreiben in die Zelle D4 die Formel
=0,02*B4/(0,01+B4). Die Änderung der Produktmenge P ′ (t) in der Zelle F4 berechnet
sich gemäß Formel (3) zu =D4*C4.
Als nächstes kommt in die Zelle A5 die Formel =A4+dt. Während der Zeitdauer A5-A4
wächst die Biomasse mit dem µ-Wert aus der Zelle B4. Die Biomasse zum Zeitpunkt A5
berechnet sich somit nach Formel (2) zu =C4*Exp(B4*dt). Anschließend kopieren wir die
Formeln aus den Zellen B4, D4 und F4 in die darunterliegenden Zellen B5, D5 und F5. In
die Zelle E5 kommt gemäß der Formel von Euler - in der Form Pneu = Palt + P ′ · dt - die
Formel =E4+F4*dt. Anschließend berechnen wir in der Zelle G5 die Produktivität durch
die Formel =E5/A5. Abschließend markieren wir die Zellen A5:G5 und kopieren den Inhalt
in die darunterliegenden Zellen, bis Zeile 100.
Die Fermentation wird beendet wenn die Biomasse den vorgegebenen Wert Xmax =
150 erreicht. Wir sehen daher in der Spalte B nach, wann X = 150. Dies ist etwa nach 54
Stunden in der Zeile 58 mit einer Produktkonzentration 45, 11 g/L und einer Produktivität
von 0, 8355 erfüllt.
In der bisherigen Wachstumsstrategie wächst die Biomasse mit konstantem und maximal
möglichem µ = µmax. Ändert man die Wachstumsstrategie indem man alle Werte für
µ auf 0, 01 ändert so läuft die Fermentation ca. 271 Stunden. Man erhält eine Produktkonzentration
von 139, 59 g/L aber nur eine Produktivität von 0, 515. Im ersten Fall
µ = µmax ist die Fermentationsdauer zwar kurz, aber die Produktkonzentration gering. In
zweiten Fall µ = µmin ist die Produktkonzentration zwar hoch aber die Fermentationsdauer
untragbar lange. Beide Fälle führen somit nicht zur maximalen Produktivität.
Die optimale Wachstumsstrategie erhalten wir nun folgendermaßen: Wir starten aus
dem Menü Extras den Solver mit folgenden Einstellungen: Die Zelle G100 soll maximal
werden. Die veränderlichen Zellen sind die Wachstumsraten µ, welche in den Zellen B4:B99
stehen und die Zeitdauer dt in Zelle H4! Als Nebenbedingungen müssen die Wachstumsraten
zwischen µmin und µmax liegen und die Zelle C100 den Wert 150 annehmen. Drücken
des Lösen-Buttons liefert folgendes Ergebnis: Nach einer Zeitdauer von ca. 74, 5 Stunden
ist die Biomasse auf 150 g/L angewachsen. Die Produktmenge hat den Wert 71, 4 g/L und
die Produktivität einen Wert von 0, 958. Das Zeitintervall dt = 0, 77. Um die Güte dieser
Steuerung zu beurteilen starten wir den Solver neu mit folgenden Einstellungen: Die Zelle
G150 soll maximal werden. Die veränderlichen Zellen sind die Wachstumsraten µ, welche
in den Zellen B4:B149 stehen und die Zeitdauer dt in Zelle H4! Als Nebenbedingungen
3

müssen die Wachstumsraten zwischen µmin und µmax liegen und die Zelle C150 den Wert
150 annehmen.
Drücken des Lösen-Buttons liefert jetzt das folgende Ergebnis: Nach einer Zeitdauer von
ca. 74, 4 Stunden ist die Biomasse auf 150 g/L angewachsen. Die Produktmenge hat den
Wert 71, 6 g/L und die Produktivität einen Wert von 0, 96. Das Zeitintervall dt = 0, 5.
(Halbstündige Steuerung.) Wir sehen, daß sich weder an der Produktmenge noch an der
Fermentationsdauer (und somit an der Produktivität) etwas ändert.
Zum Schluß zeichnen wir den zeitlichen Verlauf der Wachstumsrate und den zeitlichen
Verlauf der Biomasse und der Produktmenge. Wir stellen fest, daß die optimale Wachstumsstrategie
zu Beginn sehr viel Biomasse produziert (µ = µmax bzw. exponentielle
Zunahme der Biomasse) während dem Ende zu die Wachstumsrate µ exponentiell abnimmt
bzw. die Biomasse nur mehr linear ansteigt.
Wachstumsrate [mu]
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Zeit [h]
zeitlicher Verlauf der Wachstumsraten
4
Biomasse/ Produktmenge [g/l]
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Zeit [h]
Biomasse X Produktmenge P
zeitlicher Verlauf der Biomasse