Produktion von Biomasse durch Mikroorganismen ...

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Ist q1 = 0, so ist q proportional zu µ, formelmäßig q = q2 · µ . Dieser Zusammenhang tritt z.B. auf, wenn das Produkt die Biomasse selbst ist. Ein proportionaler Zusammenhang zwischen Produktbildungsrate q und Wachstmsrate µ ist aber oftmals nicht über den gesamten Bereich der möglichen Wachstumsraten gültig. Eine gängige Formel - analog zur Monod-Gleichung zwischen Wachstumsrate und limitierender Substratkonzentration oder zur Michaelis Menten Gleichung der Enzymkinetik - wird durch gegeben. Produktbildungsrate [q] µ q = qmax k + µ Wachstumsrate [mu] q als Funktion von µ. Wir sehen, daß die Produktbildungsrate q mit steigender Wachstumsrate wächst. Die Produktbildungsrate ist daher am größten wenn die Wachstumsrate µ ihren größten Wert annimmt. Man könnte daher glauben, daß die größtmögliche Produktivität dadurch erzielt wird, daß das Wachstum der Mikroorganismen über den gesamten Fermentationsprozess mit maximaler Wachstumsrate erfolgt. Dies ist aber nicht der Fall wie wir an einem konkreten Beispiel im nächsten Abschnitt sehen werden. 2. Konkretes Beispiel: Eingabe und Lösung in Excel. Wir können nun mit Hilfe der Formeln (1)-(4) und dem Solver von Microsoft Excel konkrete Probleme lösen. Konkret wollen wir die optimale Prozeßsteuerung (Wachstumssteuerung) für die untenstehenden Werte der Modellparameter finden: Anfangswerte für Modellparameter Einheit Wert X0 Anfangsbiomassekonzentration [g/L] 10 P0 Anfangsproduktkonzentration [g/L] 0 qmax maximale Produktbildungsrate [1/h] 0,02 k Sättigungskonstante [1/h] 0,01 Xmax maximale Biomassekonzentration [g/L] 150 mumin minimale Wachstumsrate [1/h] 0,01 mumax maximale Wachstumsrate [1/h] 0,05 2 (4)
Dazu legen wir in Excel eine Wertetabelle nach folgendem Muster an: A B C D E F G H 1 Zeit Wachstumsrate Biomasse zum Produkt- Produktmenge Änderung der Produktivität Zeitdauer 2 Zeitpunkt t bildungsrate zum Zeitpkt t Produktmenge 3 t X(t) q P(t) P'(t) dt In die Zellen A1:H3 kommt, wie abgebildet, erklärender Text. Die Zelle H4 erhält den Namen dt und als Wert 1. Zum Beginn der Fermentation (Zeitpunkt t = 0) ist X0 = 10 g/L an Biomasse und kein Produkt vorhanden. Wir tragen daher in die Zelle A4 den Wert 0, in die Zelle C4 den Wert 10 und in die Zelle E4 den Wert 0 ein. In die Zelle B4 tragen wir die Formel =0,05 ein. Den Wert der Zelle D4 berechnen wir mit Hilfe der Formel (4) mit qmax = 0, 02 und k = 0, 01, dh. wir schreiben in die Zelle D4 die Formel =0,02*B4/(0,01+B4). Die Änderung der Produktmenge P ′ (t) in der Zelle F4 berechnet sich gemäß Formel (3) zu =D4*C4. Als nächstes kommt in die Zelle A5 die Formel =A4+dt. Während der Zeitdauer A5-A4 wächst die Biomasse mit dem µ-Wert aus der Zelle B4. Die Biomasse zum Zeitpunkt A5 berechnet sich somit nach Formel (2) zu =C4*Exp(B4*dt). Anschließend kopieren wir die Formeln aus den Zellen B4, D4 und F4 in die darunterliegenden Zellen B5, D5 und F5. In die Zelle E5 kommt gemäß der Formel von Euler - in der Form Pneu = Palt + P ′ · dt - die Formel =E4+F4*dt. Anschließend berechnen wir in der Zelle G5 die Produktivität durch die Formel =E5/A5. Abschließend markieren wir die Zellen A5:G5 und kopieren den Inhalt in die darunterliegenden Zellen, bis Zeile 100. Die Fermentation wird beendet wenn die Biomasse den vorgegebenen Wert Xmax = 150 erreicht. Wir sehen daher in der Spalte B nach, wann X = 150. Dies ist etwa nach 54 Stunden in der Zeile 58 mit einer Produktkonzentration 45, 11 g/L und einer Produktivität von 0, 8355 erfüllt. In der bisherigen Wachstumsstrategie wächst die Biomasse mit konstantem und maximal möglichem µ = µmax. Ändert man die Wachstumsstrategie indem man alle Werte für µ auf 0, 01 ändert so läuft die Fermentation ca. 271 Stunden. Man erhält eine Produktkonzentration von 139, 59 g/L aber nur eine Produktivität von 0, 515. Im ersten Fall µ = µmax ist die Fermentationsdauer zwar kurz, aber die Produktkonzentration gering. In zweiten Fall µ = µmin ist die Produktkonzentration zwar hoch aber die Fermentationsdauer untragbar lange. Beide Fälle führen somit nicht zur maximalen Produktivität. Die optimale Wachstumsstrategie erhalten wir nun folgendermaßen: Wir starten aus dem Menü Extras den Solver mit folgenden Einstellungen: Die Zelle G100 soll maximal werden. Die veränderlichen Zellen sind die Wachstumsraten µ, welche in den Zellen B4:B99 stehen und die Zeitdauer dt in Zelle H4! Als Nebenbedingungen müssen die Wachstumsraten zwischen µmin und µmax liegen und die Zelle C100 den Wert 150 annehmen. Drücken des Lösen-Buttons liefert folgendes Ergebnis: Nach einer Zeitdauer von ca. 74, 5 Stunden ist die Biomasse auf 150 g/L angewachsen. Die Produktmenge hat den Wert 71, 4 g/L und die Produktivität einen Wert von 0, 958. Das Zeitintervall dt = 0, 77. Um die Güte dieser Steuerung zu beurteilen starten wir den Solver neu mit folgenden Einstellungen: Die Zelle G150 soll maximal werden. Die veränderlichen Zellen sind die Wachstumsraten µ, welche in den Zellen B4:B149 stehen und die Zeitdauer dt in Zelle H4! Als Nebenbedingungen 3
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