Produktion von Biomasse durch Mikroorganismen ...

Dazu legen wir in Excel eine Wertetabelle nach folgendem Muster an:
A B C D E F G H
1 Zeit Wachstumsrate Biomasse zum Produkt- Produktmenge Änderung der Produktivität Zeitdauer
2 Zeitpunkt t bildungsrate zum Zeitpkt t Produktmenge
3 t X(t) q P(t) P'(t) dt
In die Zellen A1:H3 kommt, wie abgebildet, erklärender Text. Die Zelle H4 erhält den
Namen dt und als Wert 1. Zum Beginn der Fermentation (Zeitpunkt t = 0) ist X0 = 10
g/L an Biomasse und kein Produkt vorhanden. Wir tragen daher in die Zelle A4 den
Wert 0, in die Zelle C4 den Wert 10 und in die Zelle E4 den Wert 0 ein. In die Zelle
B4 tragen wir die Formel =0,05 ein. Den Wert der Zelle D4 berechnen wir mit Hilfe der
Formel (4) mit qmax = 0, 02 und k = 0, 01, dh. wir schreiben in die Zelle D4 die Formel
=0,02*B4/(0,01+B4). Die Änderung der Produktmenge P ′ (t) in der Zelle F4 berechnet
sich gemäß Formel (3) zu =D4*C4.
Als nächstes kommt in die Zelle A5 die Formel =A4+dt. Während der Zeitdauer A5-A4
wächst die Biomasse mit dem µ-Wert aus der Zelle B4. Die Biomasse zum Zeitpunkt A5
berechnet sich somit nach Formel (2) zu =C4*Exp(B4*dt). Anschließend kopieren wir die
Formeln aus den Zellen B4, D4 und F4 in die darunterliegenden Zellen B5, D5 und F5. In
die Zelle E5 kommt gemäß der Formel von Euler - in der Form Pneu = Palt + P ′ · dt - die
Formel =E4+F4*dt. Anschließend berechnen wir in der Zelle G5 die Produktivität durch
die Formel =E5/A5. Abschließend markieren wir die Zellen A5:G5 und kopieren den Inhalt
in die darunterliegenden Zellen, bis Zeile 100.
Die Fermentation wird beendet wenn die Biomasse den vorgegebenen Wert Xmax =
150 erreicht. Wir sehen daher in der Spalte B nach, wann X = 150. Dies ist etwa nach 54
Stunden in der Zeile 58 mit einer Produktkonzentration 45, 11 g/L und einer Produktivität
von 0, 8355 erfüllt.
In der bisherigen Wachstumsstrategie wächst die Biomasse mit konstantem und maximal
möglichem µ = µmax. Ändert man die Wachstumsstrategie indem man alle Werte für
µ auf 0, 01 ändert so läuft die Fermentation ca. 271 Stunden. Man erhält eine Produktkonzentration
von 139, 59 g/L aber nur eine Produktivität von 0, 515. Im ersten Fall
µ = µmax ist die Fermentationsdauer zwar kurz, aber die Produktkonzentration gering. In
zweiten Fall µ = µmin ist die Produktkonzentration zwar hoch aber die Fermentationsdauer
untragbar lange. Beide Fälle führen somit nicht zur maximalen Produktivität.
Die optimale Wachstumsstrategie erhalten wir nun folgendermaßen: Wir starten aus
dem Menü Extras den Solver mit folgenden Einstellungen: Die Zelle G100 soll maximal
werden. Die veränderlichen Zellen sind die Wachstumsraten µ, welche in den Zellen B4:B99
stehen und die Zeitdauer dt in Zelle H4! Als Nebenbedingungen müssen die Wachstumsraten
zwischen µmin und µmax liegen und die Zelle C100 den Wert 150 annehmen. Drücken
des Lösen-Buttons liefert folgendes Ergebnis: Nach einer Zeitdauer von ca. 74, 5 Stunden
ist die Biomasse auf 150 g/L angewachsen. Die Produktmenge hat den Wert 71, 4 g/L und
die Produktivität einen Wert von 0, 958. Das Zeitintervall dt = 0, 77. Um die Güte dieser
Steuerung zu beurteilen starten wir den Solver neu mit folgenden Einstellungen: Die Zelle
G150 soll maximal werden. Die veränderlichen Zellen sind die Wachstumsraten µ, welche
in den Zellen B4:B149 stehen und die Zeitdauer dt in Zelle H4! Als Nebenbedingungen
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