“Unlimited Point”-Ansatz zur Lösung des ... - EEH - ETH Zürich

Diss. ETH Nr. 12437 

“Unlimited Point -Ansatz 

” 

zur Lösung 

des optimalen Lastflussproblems 

ABHANDLUNG 

zur Erlangung des Titels 

DOKTOR DER TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN 

der 

EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE 

ZÜRICH 

vorgelegt von 

GIORGIO TOGNOLA 

Dipl. El.-Ing. ETH 

geboren am 13. Juli 1967 

von Grono (GR) 

Angenommen auf Antrag von 

Prof. Dr. R. Bacher, Referent 

Prof. Dr. A. Germond, Korreferent 

Zürich 1998 

Diss.-ETH 12437 Diss.-ETH 12437 Diss.-ETH 12437 Diss.-E


Meinen Eltern und Alessandra 



Dank 

Die vorliegende Arbeit ist in den Jahren 1992-1997 an der Fachgruppe 

für elektrische Energieübertragung der ETH Zürich (Leitung der 

Gruppe: Herrn Prof. Dr. H. Glavitsch) entstanden. 

Mein herzlicher Dank gebührt Herrn Prof. Dr. R. Bacher für die Unterstützung 

und die zahlreichen Ratschlägen während der Arbeit und 

für die Übernahme des Referates. 

Prof. Dr. A. Germond der EPF in Lausanne, danke ich sehr für die 

Übernahme des Korreferates sowie für sein Interesse und seine wertvollen 

Anregungen. 

An meinen Kollegen Dr. Charlie Werlen und meinem Vater, Dipl. Ing. 

F. Tognola gebürt ein besonderer Dank für die kompetente Durchsicht 

des Manuskripts. Allen Arbeitskollegen der Fachgruppe, die durch ihre 

Anregungen, die aufbauenden Diskussionen und das angenehme 

Arbeitsklima möchte ich ebenfalls herzlich danken. 

Mein Dank geht schliesslich aber auch an meine geliebte Alessandra 

und an unsere Familien für ihre Unterstützung und Geduld, die wesentlich 

zum Gelingen der Arbeit beigetragen haben. 

Zürich, im April 1998 Giorgio Tognola 



Kurzfassung 

Ein globaler deregulierter elektrischer Strommarkt wird in Zukunft 

immer öfter zu kritischen Netzbelastungen führen, wodurch die Bestimmung 

eines optimalen Betriebszustandes und die Beherrschung 

der betrieblichen Begrenzungen (Spannungsgrenzen, Leitungsstrombegrenzungen, 

Generatorleistungsbegrenzungen, usw.) eines elektrischen 

Versorgungsnetzes für die Netzbetreiber zunehmende Bedeutung 

gewinnen. Die Forschung auf diesem Gebiet ist so weit fortgeschritten, 

dass in modernen Netzleitsystemen Anwendungen für die Optimierung 

von Lastflüssen (OPF, “Optimal Power Flow ” )zurVerfügung stehen. 

Die wichtigsten Eigenschaften eines im “online ” -Einsatz stehenden 

OPF-Programms sind hohe Robustheit des Algorithmus und schnelle 

Ausführungsgeschwindigkeit. Speziell bei Netzwerken mit vielen Knoten 

(> 500 Knoten) haben diese Eigenschaften grosse Bedeutung. 

In dieser Arbeit wurde ein neuer OPF-Algorithmus basierend auf der 

Newton-Raphson Methode entwickelt, der Ähnlichkeiten mit dem “interior 

point ” (IP)-Verfahren hat. Die Behandlung der Begrenzungen 

beim neuen “unlimited point ” -Verfahren weist einen wesentlichen Vorteil 

gegenüber dem IP-Algorithmus auf: der unbegrenzte Variablenbereich, 

welcher dem Algorithmus seine Bezeichnung “unlimited point ” 

gibt. Der Name bedeutet, dass die Werte der Variablen während des 

gesamten Optimierungsverfahrens weder von unten noch von oben begrenzt 

sind. Die Effizienz des entwickelten OPF-Algorithmus wurde 

zudem mit einer gestaffelten Einführung von denjenigen Begrenzungen, 

die während des Verfahrens überschritten werden, erhöht. Diese 

Flexibilität ermöglicht auch die Berechnung gewöhnlicher Lastflüsse. 

Die Programmierung dieses OPF-Algorithmus wurde mit einer neuen 

Software-Engineering Vorgehensweise erzeugt. Der zentrale Newton- 

Raphson ähnliche Lösungsschritt ist nicht, wie bisher, hart codiert, 

sondern das zugrundeliegende, lineare Gleichungssystem wird automatisch 

ausgehend von einer algebraischen Datenbank erzeugt. Der Zeitaufwand 

für die Codeerstellung des zu lösenden linearen Gleichungssystems 

wird damit stark reduziert. Die Vorgehensweise ermöglicht 

eine einfache Aufstellung der schwachbesetzten Jacobimatrix in einer 

kompakten algebraischen Form. 


An Testnetzen von 14 bis rund um 2500 Knoten hat das “unlimited 

point ” -Verfahren ein stabiles Iterationsverhalten und sehr kurze Rechenzeiten 

bestätigt. Die aufgrund der neuartigen Softwareengineering- 

Methode erwartete hohe Flexibilität, Qualität und schnellere Softwareentwicklungszeit 

wurde bei der Entwicklung der zum Algorithmus 

zugehörigen Software vollauf bestätigt. 


Abstract 

A global deregulated market of the electrical energy will lead in the 

future more often to critical network loading situations, whereby the 

determination of an optimal operating condition and the control of 

operational limits (voltage limits, current limits on transmission lines, 

power limits of generator, etc.) of an electrical network will get 

increasing importance for the company responsible for the operation 

of the power transmission networks. The research and its practical 

application in this area has progressed in the recent years to a point, 

where applications for an OPF (Optimal Power Flow) are provided in 

modern energy management systems. The most important properties 

of an OPF program in online-mode are today the high robustness of 

the algorithm and fast executing speed. Especially for large networks 

with more than 500 nodes these properties are very important. 

In this thesis a new OPF algorithm has been developed which is based 

on the Newton-Raphson method. The new algorithm has similarity 

with the well known interior-point (IP) optimization algorithm. The 

handling of inequality constraints or limits within the new proposed 

“unlimited point ” algorithm, however, is distinctly different from the 

interior point approach: It is the unbounded space for all variables 

which gives the algorithm its name “unlimited point ” . This means, 

that the transformed variable values within the “unlimited point ” optimization 

procedure have neither upper nor lower limits. In addition, 

the efficiency of the developed OPF-algorithm was increased by introducing 

a grouped implementation of limited quantities, which are 

violated during the iterative solution process. This procedure leads to 

a high algorithmic flexibility which allows also the computation of an 

ordinary load flow with the same algorithm. 

The coding of this “unlimited point ” OPF algorithm was done with 

a new software engineering approach. The Newton-Raphson step of 

the solution is not hard coded, as usually done. In the new approach 

i.e. a linear system of equations is generated automatically from an 

algebraic data base. The new software engineering method allows the 

compact algebraic representation of the sparse linear system matrix. 

The time effort for coding the algorithm is thus strongly reduced by 


this approach. Also, the coding quality of the algorithm is increased 

as compared to hand-coding. 

The “unlimited point ” algorithm has been applied to simulations of 

networks from 14 to 2500 nodes. It has shown robust and very fast 

iterative behavior. The proposed advanced software engineering approach 

has been realized at the example of the “unlimited point ” algorithm. 

The expected high coding flexibility, the resulting high code 

quality and the expected much faster software development time have 

been strongly confirmed. 


Riassunto 

La prossima introduzione di un mercato libero dell’energia elettrica, 

porteràsemprepiù spesso a situazioni critiche di carico sulle reti elettriche 

di interconnessione. 

La determinazione delle condizioni di carico ottimali e la conoscenza 

delle limitazioni d’esercizio su una rete elettrica di alimentazione (limiti 

di tensione, limitazione del carico sulle linee e sui generatori, ecc.), 

assumeranno pertanto, per i responsabili dell’esercizio, un’importanza 

sempre maggiore. 

La ricerca in questo campo ha fatto notevoli progressi, così che un 

moderno centro di comando di rete dispone già oggi di programmi per 

l’ottimizzazione dei flussi energetici (OPF, “Optimal Power Flow ” ). 

Le caratteristiche più importanti sono la sicurezza dell’algoritmo e la 

velocità di esecuzione. Queste caratteristiche assumono particolare 

importanza soprattutto per le grandi reti (> 500 nodi). 

In questo lavoro è stato sviluppato un nuovo algoritmo OPF basato 

sul metodo Newton-Raphson, che ha qualche similitudine col procedimento 

“interior point ” (IP). Nei confronti dell’algoritmo IP questo 

nuovo procedimento “unlimited point ” ha l’importante vantaggio di 

permettere un campo illimitato di variabili, qualità questa cui deve 

appunto la sua denominazione “unlimited point ” .Ciò significa che il 

valore delle variabili, sia all’inizio, come pure durante il procedimento 

di ottimizzazione, non devono sottostare a limitazioni né dall’alto né 

dal basso. L’efficienza dell’algoritmo OPF sviluppato è stata inoltre 

rafforzata con l’inserimento graduale di quelle delimitazioni che vengono 

superate durante il procedimento. Questa flessibilità permette 

inoltre anche il calcolo di flussi normali. 

La programmazione di questo algoritmo OPF è stata realizzata con 

una nuova modalità di procedura di programmazione. Il passo centrale 

della soluzione, simile a quello del metodo Newton-Raphson, non 

è rigidamente codificato come finora; il sistema di equazioni lineari 

di base viene invece automaticamente ricavato partendo da una banca 

dati algebrica. Il tempo di codificazione del sistema di equazioni lineari 

da risolvere viene così fortemente ridotto, tanto da permettere una 

semplice compilazione della matrice di Jacobi in una forma algebrica 


compatta. In reti di prova da 14 fino a circa 2’500 nodi, il procedimento 

“unlimited point ” ha dimostrato un comportamento iterativo 

stabile e tempi di calcolo estremamente ridotti. 


Inhaltsverzeichnis 

1 Einleitung 5 

1.1 Motivation......................... 5 

1.2 StandderTechnik .................... 6 

1.3 ZieldieserArbeit..................... 9 

1.4 Übersicht überdieeinzelnenKapitel .......... 10 

2 OPF Grundlagen 11 

2.1 Einführung ........................ 11 

2.2 OPFderKlasseA .................... 13 

2.2.1 Problemformulierung............... 13 

2.2.2 AnnäherungdesOptimierungsproblems..... 13 

2.2.3 Lösungsverlauf .................. 14 

2.3 OPFderKlasseB..................... 16 

2.3.1 Der Lagrange Ansatz und die Optimalitätsbedingungen..................... 

16 

2.3.2 DieNewton-Methode............... 19 

2.3.3 Die sequentielle quadratische Programmierung . 23 

2.3.4 Der “interior point ” -Algorithmus ........ 25 

2.4 ErwartungenaneineneueMethode........... 29 

3 “Unlimited Point ” -Algorithmus 31 

3.1 Einführung ........................ 31 

3.2 DietransformiertenKKT-Bedingungen......... 31 

3.3 Lösungsverfahren ..................... 34 

3.4 Beispiel .......................... 38 

3.5 Zusammenfassung..................... 42 

4 Struktur des Algorithmus 43 

4.1 Das elektrische Übertragungssystem........... 43 

I 


II INHALTSVERZEICHNIS 

4.2 N-Tor-Typen ....................... 44 

4.3 DieZielfunktion...................... 45 

4.3.1 Kostenminimierung................ 46 

4.3.2 Verlustminimierung................ 47 

4.3.3 Einhalten eines vorgegebenen Spannungsprofils . 48 

4.3.4 Kombination mehrerer Zielfunktionen durch Gewichtsfaktoren................... 

49 

4.4 Gleichheitsnebenbedingungen .............. 49 

4.5 Ungleichheitsnebenbedingungen............. 51 

4.5.1 Begrenzungen der Spannungsbeträge ...... 51 

4.5.2 Begrenzungen von Generatorgrössen ...... 52 

4.5.3 Begrenzungen von Zweigsgrössen ........ 52 

4.5.4 Begrenzungen von Transformatorgrössen .... 52 

4.6 DaslineareGleichungssystem .............. 53 

4.6.1 BlockorientierteZusammensetzung ....... 55 

4.6.2 Schwachbesetzte Blockmatrizen und Blockvektoren........................ 

58 

5 Software-Entwicklung 59 

5.1 Einführung ........................ 59 

5.1.1 Eigenschaften von “Maple V ” .......... 61 

5.1.2 Anpassungsfähigkeit für Änderungen und Ergänzungen......................... 

61 

5.1.3 Benutzte Grundkomponenten .......... 62 

5.2 ErzeugungderTeilelemente ............... 62 

5.2.1 “Maple V ” Umgebung . . ............ 63 

5.2.2 Fortran Umgebung ................ 67 

5.3 BerücksichtigungvonOptimierungsvariablen...... 67 

5.4 ErzeugungdeslinearenGleichungssystems ....... 70 

5.5 Die optimale Lastflusslösung............... 72 

6 Robustheitsaspekte 77 

6.1 OptimalesLastflussverfahren............... 78 

6.2 OPFnacheinerLastflussrechnung............ 78 

6.3 Gestaffelte EinfügungderBegrenzungen ........ 80 

6.4 Einfluss von Variablen und Konstanten ......... 82 

6.4.1 Dämpfungsfaktor α ................ 83 


INHALTSVERZEICHNIS III 

6.4.2 Optimierungsvariablen .............. 84 

6.4.3 Problemkonstantenrunds............ 85 

7 Simulationsresultate 89 

7.1 Übersicht ......................... 89 

7.2 Testnetze ......................... 90 

7.3 GewöhnlicherLastfluss.................. 92 

7.4 Verlustoptimierung.................... 93 

7.4.1 Iterationsverhalten ................ 93 

7.4.2 Rechenzeiten ................... 97 

7.4.3 Verhalten der Optimierungsvariablen µ und z . 98 

7.4.4 Verhalten bei Belastungsänderungen ...... 100 

7.4.5 “Online ” -Einsatz ................. 100 

7.5 Kostenoptimierung .................... 101 

7.6 VergleichmitanderenMethoden............. 103 

7.7 Zusammenfassung..................... 105 

8 Schlussbetrachtungen 107 

A Bezeichnungen 111 

A.1 AllgemeineSymbole ................... 111 

A.2 Spezielle Bezeichnungen ................. 112 

A.3 Abkürzungen ....................... 113 

B N-Tor-Typen 115 

B.1 Die Übertragungsleitung................. 115 

B.2 DerTransformator .................... 116 

B.3 DieQuerimpedanz .................... 117 

C Verhalten von OPF-Variablen 119 


IV INHALTSVERZEICHNIS 


Kapitel 1 

Einleitung 

1.1 Motivation 

Der Ausbau der heute bestehenden elektrischen Energieübertragungssysteme 

ist aufgrund hoher ökologischer Ausprüche nur schwierig und 

in sehr langer Zeit möglich. Das bedeutet, dass im Falle eines steigenden 

Stromverbrauches und der damit verbundenen zunehmenden 

Belastung der elektrischen Energieübertragungssysteme, für den Netzbetreiber 

in steigendem Masse die Notwendigkeit entsteht, die Energieverteilung 

sicher zu beherrschen und das Netz in einem möglichst 

optimalen Zustand zu halten. Die mit dieser rein technischen Problematik 

verbundenen wirtschaftlichen Interessen haben der Forschung 

auf diesem Gebiet neue Impulse gegeben. Darüber hinaus ist es zu 

erwarten, dass ein freier, globaler elektrischer Strommarkt öfters zu 

Netzüberlastungen führen wird und dass demzufolge die Beherrschung 

der betrieblichen Begrenzungen eines Versorgungsnetzes, eine zunehmende 

Bedeutung haben wird. 

Heute ist die Entwicklung auf diesem Gebiet bereits soweit fortgeschritten, 

dass eine moderne Netzleitstelle (“Energy Management System 

” , EMS), neben den bekannten Lastfluss-, Kurzschlussrechnungen 

und “State-Estimation ” , den Betriebspersonal auch OPF (= “Optimal 

Power Flow ” )-Anwendungen zur Verfügung stellt. 

Das OPF-Programm wird hauptsächlich für die elektrische Energiesystemplanung, 

Betriebsplanung und den Echtzeitbetrieb benutzt. Die 

Betonung der Anwendungen verändert sich entsprechend. Während 

bei der Leistungsplanung das Hauptziel in der Verminderung der Erzeugungskosten 

und des Energieverbrauches besteht, stehen bei der 

5 


6 KAPITEL 1. EINLEITUNG 

Betriebsplanung die Verlustminimierung und die Betriebssicherheit im 

Vordergrund. 

Wie die Entwicklung in letzter Zeit deutlich zeigt, besteht ein wachsendes 

Interesse für eine zuverlässige Behandlung der stetig zunehmenden 

Anzahl der von den Sicherheitsanforderungen gestellten Begrenzungen. 

Dies gilt vor allem für die zeitlich gesehen kurzfristige 

Optimierung, z.B. als “Online ” -Anwendung. Verluste und Betriebskosten 

sind hingegen für die mittel- oder langfristige Optimierung und 

natürlich auch für die tägliche Einsatzplanung von Wichtigkeit. 

Aus der Sicht der Praxis interessiert nicht so sehr die Lösungsmethode; 

es sind vor allem die Performance- sowie auch die Robustheitsaspekte 

welche im Vordergrund stehen. Trotz der enorm grossen, von den 

Computern der neuen Generation angebotenen Rechengeschwindigkeit, 

hängt die Gesamtleistung eines Verfahrens in grösserem Masse 

von analytischen Einzelheiten und methodologischen Spezialfächern 

ab. Die Rechenzeit wird um so wichtiger, wenn grosse Netze (> 500 

Knoten) herangezogen oder wenn mehrere Lastfälle in Betracht gezogen 

werden müssen. Aus der Erfahrung mit den üblichen Lastflussberechnungen 

erwartet der Netzbetreiber eine quasi-lineare Beziehung 

zwischen Netzgrösse und Rechenzeit. 

In der vorliegenden Arbeit wird ein neuer Optimierungsalgorithmus 

entwickelt, der selbst bei einer grossen Anzahl Begrenzungen in der 

Lage ist, effizient und stabil zu bleiben. 

1.2 Stand der Technik 

Die Bestimmung eines optimalen Lastflusses ist die Suche nach der optimalen 

Einstellung von Steuergrössen. Dadurch soll ein relatives Extremum 

(Minimum oder Maximum) einer vorgegebenen Zielfunktion 

erreicht werden. Mögliche Steuergrössen sind Generatoreinspeisungen, 

Einstellung der Stufenschalter von Transformatoren, Blindleistungskompensatoren, 

usw. Dabei müssen die Leistungen der Verbraucher, 

die Lastflussgleichungen und die betrieblichen Begrenzungen berücksichtigt 

werden. Eine derartige Problemstellung lässt sich mathematisch 

als Minimierung einer skalaren Zielfunktion unter Einhaltung von 

Gleichheits- und Ungleichheitsnebenbedingungen darstellen: 


1.2. STAND DER TECHNIK 7 

Minimiere F(x) 

wobei gilt g(x) = 0 

und h(x) ≤ 0 

Zur Lösung solcher Aufgaben werden seit längerer Zeit bedeutende 

Mittel aufgewendet. Bis heute wurde aber noch kein Standard- 

Optimierungspaket entwickelt, das in der Lage ist, alle gewünschten 

Leistungen zu erzielen. Grundsätzlich haben sich in den letzen Jahren 

vier verschiedene Richtungen zur Lösung eines OPF-Problems herausgebildet. 

A Die sequentielle Ausführung von Lastflussberechnungen und Methoden 

der linearen oder quadratischen Programmierung (LP/ 

QP) zeichnet sich durch eine sichere Begrenzungsbehandlung aus. 

Die Methode für jeden Iterationsblock (Lastflussrechnung kombiniert 

mit LP/QP) ist sehr robust. Allerdings bereitet die Linearisierung 

oder die quadratische Näherung im Arbeitspunkt 

von Zielfunktion und Nebenbedingungen einige Schwierigkeiten. 

Nicht alle Zielfunktionen können einfach behandelt werden. Produkte, 

wie z.B. das Programmpaket [1, 2] sind bereits auf dem 

Markt erhältlich. Die Stärken dieser Methode liegen eindeutig 

bei separierbaren Zielfunktionen, wie z.B. Kostenoptimierungen. 

Nicht separierbare Zielfunktionen, wie z.B. Verlustminimierungen 

sind aber auch möglich. Eine andere Methode [3, 4] verwendet 

einen Minimierungs-Algorithmus nach Beale. 

B Die sequentielle quadratische Programmierung geht von einer wiederholten 

quadratischen Näherung des OPF-Problems aus. Bei 

diesem Verfahren wird nur eine ungenaue Annäherung im Bereich 

des Arbeitspunktes erreicht. Es kommen im allgemeinen 

Standard-Optimierungsalgorithmen zum Einsatz. Die Effizienz 

der Begrenzungsbehandlung hängt von diesen Unterprogrammen 

ab. [5, 6] verwenden einen QP-Algorithmus, wobei der Mechanismus 

zur Bestimmung und Einhaltung der aktiven Grenzen durch 

einen dualen QP gelöst wird. 



C Algorithmen nach dem Newton-Verfahren werden häufig durch 

Einsetzen von Straffunktionen und sogenannten “trial-iterations ” 

zur Aktivierung bzw. Deaktivierung von Grenzen gelöst. Ein 

bekanntes Programm [7] basiert auf dieser Methode. Die nahe 

Verwandtschaft mit herkömmlichen Lastflussberechnungen und 

ihre Eignung auch für grosse Netze sind Pluspunkte der Newton- 

Methode gegenüber LP- und QP-Ansätzen. 

D In den letzen Jahren haben die “interior point ” (IP)-Algorithmen 

eine aussergewöhnliche Bedeutung gewonnen. Sie bilden eine Alternative 

zur traditionellen Simplex-basierten, linearen Programmierung 

für die Behandlung der Begrenzungen. Heute scheint der 

“primal-dual ” -Algorithmus die effizienteste IP-Methode zu sein. 

Die Klasse dieser Algorithmen benutzt eine dem Newton-Ansatz 

ähnliche Lösungsmethode. Die Lösung mit einer IP-Methode 

muss aber mehrere Bedingungen erfüllen, und zwar 

– die geeignete Wahl der Anfangswerte der Variablen 

– die Verminderung des Sperrfaktors zur Regelung der Konvergenzgeschwindigkeit 

des Verfahrens 

– die Befriedigung aller Ungleichheitsnebenbedingungen nach 

jeder Iteration 

Das eigentliche Problem von OPF-Rechnungen im allgemeinen und im 

speziellen auf Newton-Raphson basierten Optimierungsmethoden, ist 

die Behandlung der Begrenzungen. So mussten, in den bisher bekannten, 

klassischen Programmen A, B und C, heuristische Suchverfahren 

zur Bestimmung der aktiven Grenzen verwendet werden. Das kann 

leicht zu Ineffizienz oder gar zu Instabilität des Algorithmus führen. 

Die Begrenzungen können unter Anwendung eines IP-Verfahrens besser 

behandelt werden, das seinerseits aber auch heuristische Methoden 

braucht. Zur Begrenzungsbehandlung bleibt deshalb ein Bedarf nach 

einer stabileren und schnelleren Methode. 

Die Technik der Expertensysteme [8, 9] hat sich in den letzten Jahren, 

als Variante zu diesen konventionellen Methoden für die Optimierung 

von Spannungen und Blindleistungen entwickelt. Im Rahmen dieser 

Arbeit wird diese Technik aber nicht weiter untersucht. 


1.3. ZIEL DIESER ARBEIT 9 

1.3 Ziel dieser Arbeit 

Als Basis für die Entwicklung eines neuen OPF-Algorithmus wurde, 

wegen der guten numerischen Eigenschaften, die Methode von 

Newton-Raphson gewählt. Zur Begrenzungsgehandlung wurde jedoch 

einen neuen Ansatz formuliert. 

Die Struktur des Algorithmus soll einfach erweiterbar sein und, um 

fehlerhafte Codes zu vermeiden, möglichst automatisch erzeugt werden. 

Um einen möglichst linearen Anstieg der Rechenzeit mit der 

Netzgrösse zu erreichen, soll zusätzlich die Schwachbesetztheit von 

elektrischen Netzberechnungen konsequent ausgenutzt werden. 

So setzt sich die Zielsetzung dieser Arbeit aus zwei verschiedenen Aufgaben 

zusammen, nämlich: 

• den Entwurf eines OPF-Algorithmus, der die Vorteile der quadratischen 

Programmierung und des “interior point ” -Verfahrens 

zur Behandlung der Begrenzungen enthält, und 

• eine automatische Erzeugung von Codezeilen, mit welcher ein, 

der neuen Methode zugrundeliegendes, schwachbesetztes, lineares 

Gleichungssystem zur Lösung aufgebaut werden kann. 

Das im zweiten Punkt formulierte Ziel bildet somit ebenfalls eine wesentliche 

Aufgabe der vorliegenden Arbeit. Die bisher benutzte Programmierungsart 

geht davon aus, dass der zentrale Newton-Raphson 

ähnliche Lösungsschritt hart codiert ist. Unter “hart codiert ” versteht 

man, dass jedes Codeelement des zu lösenden linearen Gleichungssystems, 

in einem Software-Programm von Hand eingetippt 

werden muss. Diese neue Software-Engineering-Vorgehensweise sollte 

gegenüber dem klassischen Vorgehen verschiedene Vorteile aufweisen. 

Erstens wird eine für die neue Methode benötigte, sehr grosse, schwachbesetzte 

Matrix in einer kompakten algebraischen Form aufgestellt. 

Die Matrixelemente in algebraische Form werden erst bei der Ausführung 

des OPF-Algorithmus mit den numerischen Werten ersetzt. 

Der Zeitaufwand für die Codeerstellung des zu lösenden, linearen Gleichungssystems 

wird damit stark minimiert. 

Ein weiteres wichtiges Ziel besteht in der Anpassungsfähigkeit des entwickelten 

Programms auf verschiedenen Ebenen. Das Programm soll 



sowohl gewöhnliche als auch optimale Lastflüsse lösen. Zusätzlich soll, 

bei der Optimierung, die Berücksichtigung einer riesigen Anzahl von 

Begrenzungen während des Lösungsverfahrens, kein wesentliches Problem 

darstellen. 

Schliesslich soll die Codierung des Algorithmus, auch wenn er komplexe 

Terme enthält, garantiert fehlerfrei durchgeführt werden. 

1.4 Übersicht über die einzelnen Kapitel 

Im folgenden Kapitel 2 werden eine Einführung in die Berechnung eines 

optimalen Lastflusses und ein Überblick über die bereits bestehenden 

OPF-Anwendungen, die nach Klassen unterteilt sind, dargelegt. 

Im Kapitel 3 wird der neue Ansatz abgeleitet; eine Erweiterung der 

Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen erlaubt die direkte Lösung eines 

Optimierungsproblems mit Variablenbegrenzungen durch ein klassisches 

Newton-Raphson-Verfahren. 

Kapitel 4 behandelt im Detail die mathematischen Modellierungsaspekte 

der elektrischen Komponenten, die in einer OPF-Rechnung 

benutzt werden. Die Zielfunktionen, die verschiedenen Elemente eines 

elektrischen Energieübertragungssystems mit deren Betriebsbegrenzungen 

und die notwendigen Lastflussgleichungen, werden diskutiert. 

Dazu wird die Struktur des linearen Gleichungssystems dargestellt. 

Mittels der entwickelten Algorithmuskomponenten wird im Kapitel 5 

die automatisch in “Fortran ” oder “C ” generierbare, und mit “Maple 

V ” definierbare Softwareentwicklung des neuen Algorithmus gezeigt. 

Im Kapitel 6 werden die geeigneten Anfangswerte der Variablen und 

die beste Strategie zur Einführung der Begrenzungen untersucht. 

Die Ergebnisse aus den Computersimulationen, inklusive Vergleiche 

zu bestehenden OPF-Methoden, sind in Kapitel 7 dargelegt. 

Im Teil A des Anhanges werden die am häufigsten verwendeten Symbole 

und Schreibweisen definiert und erläutert. 

In Anhang B werden die mathematischen Modelle der elektrischen 

Komponenten definiert. 

Anhang C beschreibt schliesslich die verschiedenen Verhalten der Variablen 

während des Optimierungverlaufes. 


Kapitel 2 

OPF Grundlagen 

2.1 Einführung 

Die Lösung eines optimalen Lastfluss-Problems (“Optimal Power 

Flow ” , OPF) wird heute allgemein als die Bestimmung eines optimalen, 

stationären Betriebszustandes für ein elektrisches Energieübertragungssystem 

angesehen. Dabei wird durch Variation bestimmter 

Steuergrössen (wie z.B. Generatoreinspeisungen, Stufenschalter der 

Transformatoren, usw.) die Minimierung einer vorgegebenen Zielfunktion 

erreicht. Als Nebenbedingung müssen die Lastflussgleichungen 

und verschiedene, die betriebliche Sicherheit des Netzes betreffende 

Grenzen eingehalten werden. Je nach Anwendung kommen eine unterschiedliche 

Auswahl von Steuervariablen und verschiedene Zielfunktionen 

zum Einsatz. 

Die mathematische Formulierung eines OPF ist eines der Hauptprobleme. 

Klassisch wird dieses Problem als nichtlineares mathematisches 

Problem dargestellt, welches wie folgt beschrieben wird : 


wobei gilt g(x) = 0 

und h(x) ≤ 0 

Diss.-ETH 12437 Diss.-ETH 12437 Diss.-ETH 12437 Diss.-E 

(2.1) 

Die Zielfunktion F(x) ist skalar und konvex, d.h. sie weist nur ein 

globales Minimum auf. Das Problem besteht auch aus einer Folge 

von nichtlinearen (oder linearen) Gleichheitsnebenbedingungen g(x), 

wie z.B. die Lastflussgleichungen und aus einer Folge von nichtlinea- 

11

12 KAPITEL 2. OPF GRUNDLAGEN 

ren (oder linearen) Ungleichheitsnebenbedingungen h(x), wie z.B. die 

Begrenzungen der Knotenspannungen. 

Das Problem ist so zu lösen, dass die Werte der Elemente des Vektors 

x allen Gleichheits- und Ungleichheitsnebenbedingungen genügen und 

für die Zielfunktion ein lokales Minimum gefunden wird. 

Heute existieren bereits verschiedene mathematische Verfahren, die 

OPF-Probleme lösen. Dabei muss allerdings einschränkend festgestellt 

werden, dass eine optimale, universelle Methode, die allen Anforderungen 

wie numerische Stabilität, hohe Lösungsgeschwindigkeit, flexible 

Begrenzungsbehandlung, usw. genügt, wohl nicht zur Verfügung 

steht. 

Die Auftrennung von OPF-Algorithmen in Klassen ist gerechtfertigt, 

weil viele robuste OPF-Lösungsmethoden existieren, welche zu wohldefinierten 

Zwischenlösungen im Verlauf eines Iterationsverfahrens führen. 

Eine erste Klasse umfasst die OPF-Algorithmen, die ausgehend von einem 

gelösten Lastfluss, sich mit Hilfe von linearer- oder quadratischer 

Programmierung (LP/QP), dem Optimum nähern. Die zweite Klasse 

löst die exakten Optimalitätsbedingungen von (2.1) und benützt 

geeignete Techniken um diese zu erfüllen. In diesem Fall ist es nicht 

notwendig, von einem gelösten Lastfluss auszugehen. 

Diese zwei Klassen werden als Klasse A, bzw. Klasse B bezeichnet. 

Sie werden in den nächsten Abschnitten kurz besprochen (siehe auch 

[10, 11]). 

Die Klassifizierung A und B kommt auch mit der Bezeichnung kompakte, 

bzw. nicht-kompakte OPF-Problemformulierung in der Literatur 

[12] vor, wobei die kompakte Formulierung der Klasse A und die 

nicht-kompakte der Klasse B entspricht. 

Die kompakte Formulierung eines OPF-Algorithmus führt häufig bei 

der Annäherung des OPF-Problems auf vollbesetzte Matrizen und 

Vektoren. Nicht-kompakte Methode zeichnen sich dadurch aus, dass 

Matrizen und Vektoren meistens schwachbesetzt sind. 


2.2. OPF DER KLASSE A 13 

2.2 Der optimale Lastfluss Klasse A 

Häufig präsentieren sich Zielfunktion und Nebenbedingungen in der 

Realität als nichtlineare, oder als diskrete und nicht differenzierbare 

Funktionen, was den meisten mathematischen Optimierungsmethoden 

grosse Schwierigkeiten bereitet. So müssen Funktionen in geeigneter 

Form vereinfacht nachgebildet werden, wobei die Art der Modellierung 

hauptsächlich vom gewählten Optimierungsalgorithmus abhängig ist. 

2.2.1 Problemformulierung 

Für den OPF-Algorithmus der Klasse A wird eine Linearisierung oder 

eine quadratische Näherung im Arbeitspunkt angewandt. Die OPF- 

Variablen werden in unabhängige Steuervariablen u (z.B. Generatorwirkleistungen, 

Generatorspannungen, usw.) und Zustandsvariablen 

x (z.B. Knotenspannungen, Generatorblindleistungen, usw.) unterteilt: 

Minimiere F(x, u) 

wobei gilt g(x, u) = 0 

und h(x, u) ≤ 0 


(2.2) 

Mit dieser alternativen Darstellungsart der Variablen kann man die 

OPF-Gleichheitsnebenbedingungen von denen eines klassischen Lastflusses 

unterscheiden: 

OPF g(x, u) = 0 

klassischer Lastfluss g(x, u o ) = 0 

(2.3) 

Der Index o in (2.3) bedeutet, dass konstante Werte oder Vektoren 

vorgegeben sind. 

2.2.2 Annäherung des Optimierungsproblems 

Das oben formulierte Optimierungsproblem (2.2) kann nicht direkt 

gelöst werden, sondern muss, um eine LP/QP-Formulierung zu ermö-


glichen, zuerst (im Allgemeinen durch eine Taylorentwicklung) vereinfacht 

werden. Für den LP wird das gesamte Problem linear, für den 

QP die Zielfunktion quadratisch und die Gleichheits- und Ungleichheitsnebenbedingungen 

linear, angenähert. Die Taylorentwicklung der 

Zielfunktion unter Berücksichtigung der Terme erster Ordnung, ergibt: 

F(x, u) ≈F(x o ,u o )+ ∂F(x,u) 

∂x 

 

 

 

 

T 

x o ,u o 

∆x+ ∂F(x,u) 

∂u 


 

 

 

 

T 

x o ,u o 

∆u −→ min 

(2.4) 

Da die Grössen x o und u o numerisch gegeben sind, bleiben die ∆x 

und ∆u als einzige Variablen übrig. Die Zielfunktion liegt somit in 

linearer Form vor, wie es der LP verlangt. In einer QP-Formulierung 

werden hier die Terme zweiter Ordnung ebenfalls berücksichtigt. Die 

Gleichheitsnebenbedingungen g(x, u) und die Ungleichheitsnebenbedingungen 

h(x, u) werden ebenfalls durch eine Taylorentwicklung angenähert. 

2.2.3 Lösungsverlauf 

Aufgrund der grossen Dimension eines LP/QP-Problems wird die Formulierung 

der schwachbesetzten Matrizen häufig durch Elimination 

von Gleichungen und Variablen in eine Formulierung mit kompakten 

vollbesetzten Matrizen umgewandelt. Der Nachteil, dass die Schwachbesetztheit 

in der Problemformulierung verloren geht, wird durch die 

Verminderung der Anzahl Gleichungen und folglich auch der Anzahl 

Variablen ausgeglichen. 

Der Algorithmus der Klasse A ist relativ einfach zu verstehen. 

Einerseits braucht man einen Algorithmus, der einen klassischen Lastfluss 

löst. 

Anderseits braucht man ein effizientes System, um die Matrixkoeffizienten 

des LP/QP-Problems geeignet vorzubereiten, die als Taylorreihe- 

Approximationspunkt die letzten Iterationswerte einer vorhergehenden 

Lastflussberechnung benutzen. 

Das Klasse A-Lösungverfahren kann schematisch wie folgt zusammengefasst 

werden: 

1. Numerische Werte für die im Lastfluss veränderbaren Variablen

2.2. OPF DER KLASSE A 15 

x, sowiefür die im Lastfluss konstanten Steuergrössen u o wählen. 

Die Toleranzschwelle ɛ wird gesetzt. 

2. Lösen des Lastflusses; es resultieren neue Werte für die Zustandsvariablen 

x o . 

3. Das nichtlineare Optimierungsproblem wird im vorhergehenden 

Lösungspunkt des Lastflusses x o , u o in lineare- (2.4) oder quadratische 

Form gebracht. Das LP/QP-Problem wird mit ∆x, ∆u 

als Optimierungsvariable vorbereitet. 

4. Das approximierte Optimierungsproblem wird um den aktuellen 

Lösungspunkt (x o , u o ) mit einem LP/QP-Algorithmus gelöst: die 

resultierenden ∆x o und ∆u o stellen eine optimale Lösung in der 

Nähe des Lösungspunktes (x o , u o )dar. 

5. Die Steuervariablen werden aktualisiert: u o = u o +∆u o . 

Die Zustandsvariablen können aktualisiert werden: x o = x o + 

∆x o , um bessere Startwerte für den nächsten Lastfluss zu erhalten. 

6. Die Konvergenz wird geprüft: falls |∆u o | grösser als ɛ, weitermit 

Punkt 2, sonst STOP. 

Der Schwerpunkt dieses Verfahrens liegt darin, dass die Lösung des 

Lastflusses und die Optimierung getrennt sind. Die Begründung dieser 

Trennung liegt in der Tatsache, dass die Lösung des Lastflusses 

sehr nahe bei der endgültigen Lösung liegt, weil die Ungleichheitsnebenbedingungen 

die Lösung auf einen kleinen Spielraum beschränken. 

Als Folgerung kann man sich vorstellen, dass die Anzahl Iterationen 

(d.h. die obigen Punkte 2...6) grösser als bei anderen Methoden sein 

sollte. 

Der grosse Vorteil dieses Algorithmus besteht in der einfachen Behandlung 

von Begrenzungen durch Standard-LP oder QP-Algorithmen. 

Die heute üblichen, Simplex-basierten QP-Methoden werden aber mit 

dem Steigen der Problemdimension ziemlich langsam [3, 4]. Um diesen 

Nachteil zu vermindern, werden die Anzahl der Variablen und 

der Gleichungen in einer kompakten Form beträchlich reduziert, was 

enorme Vorteile in Bezug auf die Rechenzeit ergibt. Die unsicheren 



Konvergenzeigenschaften bei linearer Approximation einer komplexen 

Zielfunktion (z.B. Verluste) und die Lösung von meist nur linear approximierten 

Gleichheitsnebenbedingungen, begrenzen aber die Anwendung 

dieses Algorithmus. 

2.3 Der optimale Lastfluss Klasse B 

Der OPF-Algorithmus der Klasse B ist auf eine klassische Formulierung 

des Lagrange-Ansatzes bezogen, wobei die Optimalitätsbedingungen 

in einer Menge von Gleichungen, sowohl die Gleichheitsnebenbedingungen 

als auch die Ungleichheitsnebenbedingungen enthalten. 

Diese Menge von Gleichungen wird nicht zwischen Lastfluss und 

LP/QP getrennt, sondern die Lastflussrechnung wird zusammen mit 

dem Optimierungsproblem in einem iterativen Prozess behandelt. 

In diesem Fall existiert keine Trennung mehr zwischen den Zustandsvariablen 

(x) und den Steuervariablen (u); die Optimierungsvariablen 

sind alle im Variablenvektor (x) enthalten. 

In der Folge werden der Lagrange-Ansatz und die Formulierung der 

notwendigen Optimalitätsbedingungen vorgestellt. 

2.3.1 Der Lagrange Ansatz und die Optimalitätsbedingungen 

Der Lagrange-Ansatz liefert eine geeignete Methode zur Bestimmung 

von Extrema mit Nebenbedingungen. Ausgangspunkt ist eine mehrdimensionale 

Zielfunktion 

F(x) −→ min 

und ein Satz von Gleichheitsnebenbedingungen 

g(x) =0 

Die Lagrange-Funktion (L) lässt sich schreiben als 

L = F(x)+λ T g(x) 


2.3. OPF DER KLASSE B 17 

wobei λ den Vektor der Lagrange-Multiplikatoren darstellt. 

Das Prinzip von Lagrange besagt, dass 

mit 

x ein relatives Extremum von F(x) ist, wenn die notwendigen 

Bedingungen erster Ordnung gelten 

∂L 

∂x 

= ∂ 

 

T F(x)+λ g(x) |x, ∂x 

λ = 0 

(2.5) 

∂L 

∂λ 

= g(x)| x = 0 

und wenn der gefundene Vektor λ die hinreichenden Bedingungen 

der zweiten Ordnung für jede s = 0 erfüllt 

W = ∂2L ∂x 2 

 

 

 

x, λ 

s T Ws > 0 

Jgs = 0 (2.6) 

und Jg = ∂g(x) 

∂x 

Die Bedingungen zweiter Ordnung (2.6) stellen sicher, dass die Lösung 

x ein effektives Extremum von F(x) ist. Die Bedingungen erster Ordnung 

erlauben auch einen Sattelpunkt als Problemlösung [13]. Die 

Bedingung (2.6) wird in dieser Arbeit implizit vorausgesetzt, weil 

die Überprüfung von (2.6) im Vergleich mit der OPF-Lösungszeit für 

(2.5), zeitlich gesehen, prohibitiv ist. Das Extremum wird somit durch 

Lösen der Optimalitätsbedingungen (2.5) bestimmt. 

Sollen Ungleichheitsnebenbedingungen der Form 

h(x) ≤ 0 

mitberücksichtigt werden, so werden diese vorerst wie Gleichheitsnebenbedingungen 

behandelt und treten in der Lagrange-Funktion als 


 

 

 

x


zusätzlicher Term auf 

L = F(x)+λ T g(x)+µ T h(x) (2.7) 

Unter der Voraussetzung, dass F(x), g(x) und h(x) differenzierbare 

Funktionen sind und x nicht vorzeichenbeschränkt ist, gilt eine Variante 

des Theorems von Karush-Kuhn-Tucker (KKT) [14, 15] 

mit 

Ist x ein relatives Extremum von F(x) ,sokönnen Vektoren 

λ , µ gefunden werden, so dass die notwendigen Bedingungen 

erster Ordnung gelten 

∂L 

∂x 

= ∂ 

T T 

∂x 

F(x)+λ g(x)+µ h(x) |x, 

λ,µ = 0 

∂L 

∂λ = g(x)| x = 0 

∂L 

∂µ = h(x)| x ≤ 0 

diag{µ} ∂L 

∂µ = diag{µ} h(x)| x,µ 


= 0 

µ ≥ 0 

und wenn die hinreichenden Bedingungen zweiter Ordnung 

für jedes s = 0 erfüllt sind 

an der Grenze 

J 

s T Ws > 0 Jgs = 0 

(2.8) 

nicht an der Grenze 

h s = 0 Jh s ≤ 0 (2.9) 

W = ∂2 L 

∂x 2 

 

 

 

x, λ,µ 

Jg = ∂g(x) 

∂x 

 

 

 

x


an der Grenze 

Jh = ∂h(x)an der Grenze 

nicht an der Grenze 

Jh = ∂h(x)nicht an der Grenze 

∂x 


 

 

 

x 

∂x 

Aus der vierten Zeile von (2.8) ist ersichtlich, dass ein Element von 

µ nur dann ungleich Null sein kann, wenn die entsprechende Nebenbedingung 

aktiviert wird und somit der dazugehörige Term h(x) verschwindet. 

Man würde den gleichen Lösungspunkt finden, wenn aus der ursprünglichen 

Aufgabenstellung alle im Optimum nichtaktiven Nebenbedingungen 

(d.h. die Begrenzungen, die nicht überschritten werden) entfernt 

und die aktivierten Begrenzungen wie Gleichheitsnebenbedingungen 

behandelt würden, siehe (2.5). Für eine detaillierte Darstellung 

sei auf die Literatur [16, 17] verwiesen. 

Das Hauptproblem besteht in der grossen Anzahl von Nichtlinearitäten 

und in der Dimension der Gleichheits- und Ungleichheitsnebenbedingungen, 

die das Optimierungsproblem erfüllen muss. Eine 

zusätzliche Schwierigkeit des oben aufgeführten Gleichungssystems besteht 

darin, dass im Vergleich zu (2.5) zusätzliche Bedingungen (Zeile 

3 und 4 in (2.8)) und die Lagrange-Multiplikatoren µ positiv (Zeile 5 

in (2.8)) gleichzeitig erfüllt sein müssen. Dies erhöht die Schwierigkeit, 

die KKT-Bedingungen (2.8) zu lösen. Die Bedingung (2.9) wird 

aus den gleichen Gründen wie (2.6) implizit vorausgesetzt und nicht 

weiter betrachtet. 

In den nächsten Abschnitten werden einige wichtige Algorithmen der 

Klasse B näher behandelt. 

2.3.2 Die Newton-Methode 

Das gleichheitsbeschränkte Problem 

Bei der Newton-Methode (auch Newton-Raphson-Methode genannt) 

handelt es sich eigentlich nicht um ein genau definiertes Verfahren. 

Vielmehr existieren mehrere, zum Teil stark unterschiedliche Konzep- 

 

 

 

x


te zur Lösung eines OPF-Problems, denen eine Newton-Iteration als 

Basis dient. Vorteile verspricht man sich dabei durch die numerische 

Stabilität und die aus der Lastflussrechnung bekannte gute Konvergenz. 

Weiter bleibt, bei einer nicht kompakten Modellierung des OPF, 

die Schwachbesetztheit der Matrizen erhalten, was eine Eignung auch 

für grosse Netze erwarten lässt. 

Die bekannteste Implementierung eines Newton-OPF [7] verwendet 

einen Lagrange-Ansatz zur Behandlung der Gleichheitsnebenbedingungen 


mit g(x) = 0 

Die Gleichheitsnebenbedingungen bestehen aus dem vollen Satz von 

Lastflussgleichungen. 

L = F(x)+λ T g(x) 

Die daraus bestimmten Optimalitätsbedingungen werden nach einem 

Newton-Verfahren gelöst 

∂L 

∂x = 0 

∂L 

∂λ = 0 

(2.10) 

Zur Lösung von (2.10) muss die Hess’sche Matrix (H) aus den zweiten 

partiellen Ableitungen von L gebildet werden 

mit 

H k ⎡ 

= ⎣ Wk JkT Jk 0 


⎤ 

⎦ 

x k ,λ k 

(2.11)


Wk = ∂2L ∂x 2 

 

 

 

Jk = ∂2 

L 

 

 

∂λ∂x 

x k ,λ k 

x k ,λ k 

= 

∂ 2 F(x) 

∂x 2 

= ∂g 

 

 

∂x 

x k 

 

 

+ i λo i 

∂ 2 gi(x) 

∂x 2 

 

x 

k ,λk (2.12) 

Die Untermatrix J k entspricht der bekannten Jacobi-Matrix (J) des 

Lastflusses mit dem Unterschied, dass im optimalen Lastfluss, der Vektor 

x auch Lastflusssteuervariablen als Unbekannten enthält. Iterativ 

werden Korrekturterme ∆x und ∆λ bestimmt und zur vorherigen 

Lösung hinzugefügt, bis eine gegebene Konvergenzschranke unterschritten 

wird. 

⎡ 

⎣ 

∆x k 

∆λ k 

⎤ 

⎦ = Hk−1 ⎡ 

⎢ 

. ⎣ 

− ∂L 

∂x 

− ∂L 

∂λ 


⎤ 

⎥ 

⎦ 

x k ,λ k 

⎡ 

x 

⎣ 

k+1 

λk+1 ⎤ ⎡ 

x 

⎦ = ⎣ 

k 

λk ⎤ ⎡ 

∆x 

⎦ + ⎣ 

k 

∆λk ⎤ 

⎦ 

Eine Entkopplung zwischen Wirk- und Blindleistung, analog wie beim 

entkoppelten Lastfluss, wird in [7] verwendet. Dies führt zu kleineren 

Matrizen und verringert somit den Aufwand pro Iteration. Allerdings 

leidet darunter die gute Konvergenz des Verfahrens. 

Begrenzungsbehandlung mit Verwendung von Straffunktionen 

Mit dieser Methode werden die Ungleichheitsnebenbedingungen während 

der Iteration als quadratische Straffunktionen (“penalty approach 

) [18] si zur Zielfunktion hinzugefügt. 

” 

F(x) :=F(x)+ 

(2.13) 

Die Straffunktion kann für die Begrenzung einer einfachen Variablen 

i 

si


xi wie folgt definiert werden: 

si = ki 

2 (xi − xi,Grenze) 2 ki > 0 

Der Lagrange-Ansatz mit der neuen Zielfunktion lautet somit: 

L = F(x)+λ T g(x)+ 1 

2 (x−xGrenze) T diag{ki}(x − xGrenze) 

Die Menge der aktiven Grenzen wird durch die Anwendung eines heuristischen 

Auswahlverfahrens bestimmt. Es werden Terme der Form 

∂ 2 si 

∂x 2 i 

= ki 

zur Diagonale der Hess’schen Matrix H hinzugefügt. Damit werden 

Aktualisierung- und Neufaktorisierungsoperationen von H notwendig. 

Letzteres erfordert allerdings viel Rechenzeit. Die Verwendung 

von Straffunktionen ist mathematisch relativ einfach. Die Schwierigkeit 

liegt bei der Bestimmung der Logik für die Bewertung der ki- 

Werte. Diese variiert während des OPF-Lösungsverlaufes. Die verletzten 

Grenzen bekommen in der Zielfunktion durch grosse ki-Werte 

mehr Gewicht. Bei der Optimierung wird deshalb mit erster Priorität 

si minimiert. Das ist der Fall, wenn xi nahe bei der Grenze xi,Grenze 

liegt. Die nicht verletzten Grenzen können hingegen mit kleineren ki- 

Werten gewichtet werden. 

BeizugrossenWertenvonkiergeben sich häufig numerische Probleme 

und Pendelungen im Iterationsverlauf. 

Begrenzungsbehandlung durch Aktivierung von Ungleichheitsnebenbedingungen 

Eine andere Variante zur Begrenzungsbehandlung bei einem Newton- 

OPF ist die Verwendung der KKT-Bedingungen [19]. Die verletzten 

Ungleichheitsnebenbedingungen werden in Gleichheitsnebenbedingungen 

umgewandelt. 

h(x) =0 



Verglichen mit der Methode von Straffunktionen bedeutet dies, dass 

ki auf unendlich gesetzt wird. Dazu werden die, zu aktivierenden 

Ungleichheitsnebenbedingungen h(x), in die Lagrange-Funktion aufgenommen. 

L = F(x)+λ T gg(x)+λThh(x) (2.14) 

Somit ändert sich die Dimension der Hess’schen Matrix mit jeder hinzugefügten 

oder entfernten Grenze wie folgt 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

∂ 2 L 

∂x 2 

∂ 2 L 

∂λg∂x 

∂ 2 L 

∂λh∂x 

 

∂ 2 T 

L ∂ 

∂x∂λg 

2 L 

∂x∂λh 

0 0 

0 0 

Im Lagrange-Ansatz müssen nur verletzte Ungleichheitsnebenbedingungen 

eingetragen werden. Nachteil dieses OPF-Verfahrens ist die 

Bestimmung des richtigen Satzes von aktiven Grenzen. Zur schnellen 

Bestimmung des richtigen Begrenzungssatzes sind heuristische Methoden 

wie “trial-iterations ” [7] notwendig. 

2.3.3 Die sequentielle quadratische Programmierung 

Eine weit verbreitete Methode zur Behandlung eines OPF-Problems 

ist die iterative Anwendung eines Standard-Programmpakets zur quadratischen 

Optimierung [5, 6]. Dabei werden Zielfunktion und Nebenbedingungen 

in einem Arbeitspunkt durch quadratische, bzw. lineare 

Funktionen näherungsweise dargestellt. Das Ziel ist es nun, bei jeder 

Newton-Iteration eine mögliche oder durchführbare Lösung des 

Problems zu finden. Folgendes lineare Gleichungssystem, das durch 

lineare Annäherung der nichtlinearen KKT Bedingungen (2.8) abgeleitet 

ist, stellt einen Schritt im Newton Lösungsverfahren dar. 


T 

⎤ 

⎥ 

⎦


∂ 2 L 

∂x2 

 

 

∂ 2 

L 

 

 

∂λ∂x 

∂ 2 

L 

 

 

∂µ∂x 

x k ,λ k ,µ k 

x k 

x k 

 

∆x + ∂ 2 L 

∂x∂λ 

T x k 

 

∆λ + ∂ 2 L 

∂x∂µ 

T x k 

∆µ = − ∂L 

 

 

∂x 

∆x = − ∂L 

 

 

∂λ 

∆x ≤ − ∂L 

 

 

∂µ 

µ k + ∆µ ≥ 0 

diag{µ k } h(x) x k = 0 

(2.15) 


Man beachte, dass die letzte Bedingung in (2.15) direkt aus (2.8) 

übernommen wird. Ohne die letzte Bedingung, stellt (2.15) ein Problem 

von linearen Gleichheits- und Ungleichheitsnebenbedingungen 

dar. Mit den Abkürzungen 

Q = ∂ 2 L 

∂x 2 

 

 

 

 

c = ∂L 

∂x 

 

xk ,λk ,µ k 

A1 = 

A2 = 

 

∂ 2 L 

∂x∂λ 

 

∂ 2 L 

∂x∂µ 

T x k 

T x k 


= 

= 

 

Tx ∂g(x) 

∂x 

k 

 

Tx ∂h(x) 

∂x 

k 

b1 = ∂L 

 

 

∂λ 

 

xk = −g(xk ) 

b2 = ∂L 

 

 

∂µ 


x k 

= −h(x k ) 

entspricht dies genau der Formulierung eines klassischen QP-Problems 

F = 1 

2 ∆xT Q∆x + c T ∆x −→ min (2.16) 

unter Berücksichtigung der linaren Nebenbedingungen 

A1∆x − b1 = 0 (2.17) 

x k 

x k


A2∆x − b2 ≤ 0 (2.18) 

Die letzte ergänzende Gleichung von (2.15) wird in dieser Methode 

durch das Ungleichungssystem (2.18) approximiert und kann in expliziter 

Form weggelassen werden. Das System (2.15) liefert einen 

Lösungsvektor 

und einen neuen Arbeitspunkt 

⎛ 

⎝ 

∆x k 

∆λ k 

∆µ k 


⎞ 

⎠ 

x k+1 := x k +∆x k 

λ k+1 := λ k +∆λ k 

µ k+1 := µ k +∆µ k 

Der Arbeitspunkt wird zur Bildung der neuen Elemente des QP-Problems 

benötigt. Allerdings steigt, bei nicht separierbarer Zielfunktion, 

die Rechenzeit mit der Anzahl der Variablen xi. Deshalb empfiehlt sich 

diese Methode eher für OPF-Probleme kleinerer Dimensionen. 

2.3.4 Der “interior point ” -Algorithmus 

Der “interior point ” (IP)-Algorithmus geht ursprünglich von der Lösung 

von LP-Problemen aus. Er wurde jedoch auf nicht-lineare Optimierungsprobleme 

erweitert [20, 21]. Mittels einer iterativen Methode 

werden sowohl die Gleichheitsnebenbedingungen wie auch die 

nicht-linearen Ungleichheitsnebenbedingungen der Optimalitätsbedingungen 

(2.8) gelöst. Die Methode basiert ebenfalls auf der Lösung der 

KKT-Bedingungen. Bei jeder Iteration erzeugt der Algorithmus eine 

Lösung, die allen KKT-Ungleichheitsnebenbedingungen genügt. Die 

Gleichheitsnebenbedingungen müssen aber nicht unbedingt jedesmal 

erfüllt sein.


Die Anfangswerte der Variablen müssen so gewählt werden, dass alle 

Ungleichheitsnebenbedingungen erfüllt sind. Es können zum Beispiel 

die Werte aus einer Lastflussrechnung genommen werden. Falls die gefundenen 

Variablen ausserhalb der Grenzen liegen, müssen sie wieder 

auf Werte zurückgesetzt werden, welche alle Ungleichheitsnebenbedingungen 

erfüllen. 

Heute erscheint die sogenannte “primal-dual ” -Methode als die effizienteste 

praktische Anwendung der IP-Methoden. Sie formuliert sowohl 

das “primal ” als auch das “dual ” LP-Problem in einer einzigen 

Problemformulierung. Diese kombinierte mathematische Formulierung 

entspricht genau den KKT-Optimalitätsbedingungen, die in 

einer “dual ” LP-Formulierung angewandt werden. 

Die Klasse der “primal-dual ” -IP Algorithmen löst also die nichtlinearen 

KKT-Bedingungen durch Anwenden einer modifizierten Version 

des Newton-Algorithmus. Die Änderung des Newton-Algorithmus 

umfasst einige Aspekte, die allen IP-Verfahren gemeinsam sind. 

Erstens werden die Ungleichheitsnebenbedingungen 

h(x) ≤ 0 

in Gleichheitsnebenbedingungen umgewandelt. Dies geschieht durch 

das Einführen von “slack ” -Variablen z 

h(x)+z=0 

Die “slack ” -Variablen z müssen positiv sein. 

z ≥ 0 

Zweitens muss der Startpunkt für das iterative Lösungsverfahren für 

alle Variablen, einschliesslich der “slack ” -Variablen, zulässig sein. Zulässig 

bedeutet, dass die Lösung alle Ungleichheitsnebenbedingungen 

z ≥ 0 befriedigen muss. 

Man kann zeigen, dass ein konvexes Optimierungsproblem nur unter 

den folgenden Voraussetzungen zu einer optimalen Lösung führt: 



• Eine logarithmische Sperre wird als Ausdruck zur ursprünglichen 

Zielfunktion hinzugefügt. Das zu optimierende Problem wird neu 

formuliert mit 

F(x) := F(x)+ζ 

i ln(zi) 

g(x) = 0 

h(x)+z =0 

(2.19) 

Diese Formulierung impliziert durch den ln(zi)-Ausdruck, dass 

zi > 0seinmuss(ln(zi) mitzi≤0 existiert nicht als reelle Zahl!). 

• Die KKT-Optimalitätsbedingungen werden für dieses veränderte 

OPF-Problem wie folgt formuliert, 

∂ 

∂x 

 

F(x)+ λTg(x)+µ T 

x 

h(x) 


=0 

g(x) = 0 

h(x)+z =0 

diag{µi} z = ζe 

wobei e der Einheitsvektor ist. 

(2.20) 

• Für jeden Schritt des Newton-Raphson-Algorithmus müssen die 

begrenzten Variablen µ und z immer die Ungleichheitsnebenbedingungen 

befriedigen. Das ist der Fall, wenn die Werte der 

Lagrange-Multiplikatoren der Ungleichheitsnebenbedingungen µ 

und der zugehörigen “slack ” -Variablen z immer positiv bleiben. 

Bei der Aktualisierung der Variablen werden zwei konstante Koeffiziente 

αµ und αz eingefügt.


x k+1 := x k + αz ∆x k 

λ k+1 := λ k + αµ ∆λ k 

µ k+1 := µ k + αµ ∆µ k 

z k+1 := z k + αz ∆z k 

Die maximale Schrittgrösse von αz, αµ muss so gewählt werden, 

dass alle µ k + αµ∆µ k und z k + αz∆z k positiv bleiben. 

und 

α ′ 

µ = min 

∆µ k i

2.4. ERWARTUNGEN AN EINE NEUE METHODE 29 

2.4 Erwartungen an eine neue Methode 

Die Analyse der bestehenden Algorithmen zeigt, dass bei jeder Methode, 

den Vorteilen zum Teil gewichtige Probleme und Nachteile gegenüberstehen. 

Das Ziel ist es nun, ein Verfahren zur Optimierung 

einer nichtlinearen Funktion zu entwickeln, das möglichst nur die Vorteile 

der zuvor beschriebenen Varianten vereinigt. So wurde, um sichere 

Konvergenz und mathematische Stabilität zu gewährleisten, als 

Grundlage eine Newton-Rapson-Annäherung gewählt. Eine schwachbesetzte 

Modellierung des OPF-Problems und zusätzlich eine automatische 

Erzeugung des linearen Gleichungssystems, sollte die geforderte 

hohe Geschwindigkeit und hohe Robustheit/Codequalität auch 

bei grossen Netzen liefern. Angestrebt wurde ein möglichst linearer 

Anstieg der Rechenzeit mit der Dimension des Optimierungsproblems. 

Besonderes Augenmerk sollte auf die Entwicklung einer effizienten Behandlung 

der Begrenzungen gelegt werden. Anders als bei bisherigen 

Implementierungen der Newton-Methode wurde eine Transformation 

der Karush-Kuhn-Tucker-Optimalitätsbedingungen verwendet. 

Im folgenden Kapitel wird ein neuer Ansatz, der “unlimited point ” - 

Ansatz zur Behandlung der KKT-Ungleichheitsnebenbedingungen 

durch ein Newton-Raphson-Verfahren dargelegt. 




Kapitel 3 

“Unlimited Point ” -Algorithmus 


In diesem Abschnitt wird das allgemeine nichtlineare OPF-Problem 

mit einer integrierten Methode gelöst. Die Problemlösung beruht 

weder auf einer QP, LP, “interior point ” - noch auf einer anderen 

Standard-Optimierungsmethode. Es wird nur ein Newton-Raphson- 

Algorithmus benutzt. 

Das Hauptprinzip dieser Methode besteht darin, transformierte Optimalitätsbedingungen 

mit einem Newton-Raphson-Verfahren zu lösen. 

Der Algorithmus enthält einige Gemeinsamkeiten mit der sequentiellen 

quadratischen Programmierung und dem “interior point ” -Algorithmus. 

Trotz dieser Ähnlichkeiten gehört die “unlimited point ” -Methode [29] 

aber nicht zu den zitierten Verfahren. 

3.2 Die transformierten KKT-Bedingungen 

Die klassische Formulierung eines nichtlinearen mathematischen Problems 

wird als Optimierungsproblem dargestellt. 


mit g(x) = 0 

und h(x) ≤ 0 


(3.1) 

Aus der Theorie lässt sich die Lagrange-Funktion L unter Berücksich- 

31

32 KAPITEL 3. “UNLIMITED POINT ” -ALGORITHMUS 

tigung der Gleichheits- und Ungleichheitsnebenbedingungen wie folgt 

herleiten. 

L = F(x)+λ T g(x)+µ T h(x) (3.2) 

Die notwendigen KKT-Optimalitätsbedingungen erster Ordnung sind 

hier wiederholt: 

∂L = 

∂x ∂ 

 

∂x 

F(x)+λTg(x)+µ T 

h(x) | x, λ,µ = 0 

∂L 

∂λ = g(x)| x = 0 

∂L 

∂µ = h(x)| x ≤ 0 

diag{µ} ∂L 

∂µ = diag{µ} h(x)| x,µ 


= 0 

µ ≥ 0 

(3.3) 

Die Formulierung der Optimalitätsbedingungen (3.3) eignet sich nicht 

für ein direktes Lösungsverfahren. Um ein lineares Gleichungssystem 

zu erhalten, muss man deshalb die KKT-Bedingungen neu formulieren. 

Als erster Schritt werden die Ungleichheitsnebenbedingungen h(x) in 

Gleichheitsnebenbedingungen umgewandelt. Dies erfolgt, wie in der 

“interior point ” Theorie beschrieben, durch das Einführen von positiven 

“slack ” -Variablen z. 

mit 

h(x)+z=0 (3.4) 

z ≥ 0 

Die Gleichung (3.4) wird nach den Variablen z aufgelöst und in der 

vierten Optimalitätsbedingung von (3.3) eingesetzt.

3.2. DIE TRANSFORMIERTEN KKT-BEDINGUNGEN 33 

diag{µ} ∂L 

∂µ 

= −diag{µ} z = 0 

µ ≥ 0 

z ≥ 0 


(3.5) 

Jetzt dürfen beide Ungleichheitsnebenbedingungen mit Hilfe des folgenden 

Schlüsselsatzes ersetzt werden: 

Das Optimum ist nur dann erfüllt, wenn alle µi und zi grösser 

oder gleich Null sind. Diese Bedingung kann durch eine 

Umformung der Variablen erfüllt werden, so dass beide ursprünglichen 

Variablen µi und zi immer positiv bleiben. 

Die Tatsache, dass die Variablen µi und zi positiv oder gleich Null 

sein müssen, darf benutzt werden, um alle µi in den Optimalitätsbe- 

zu ersetzen. 

dingungen mit µ 2s 

i und alle zi mit z2r i 

mit 

µi ⇒ µ 2s 

i und zi ⇒ z 2r 

i 

s = 0 und r = 0 und {r, s} ∈{Menge der ganzen Zahlen} 

(3.6) 

Mit diesen mathematischen Änderungen in den Optimalitätsbedingungen, 

ergeben sich folgende notwendige, transformierte Optimalitätsbedingungen. 

∂ 

∂x 

 

F(x)+λ T g(x)+µ 2sT 

h(x) 

x 

=0 

g(x) = 0 

h(x)+z 2r =0 

diag{µ 2s 

i } z 2r = 0 

(3.7) 

Drei Probleme werden mit diesen erweiterten Optimalitätsbedingungen 

gelöst.


• Es gibt keine Ungleichheitsnebenbedingungen im zu optimierenden 

System mehr. 

• Die Werte der individuellen transformierten Variablen µi und zi 

sind unbegrenzt und dürfen während des Iterationverlaufes sowohl 

positiv als auch negativ sein. Das gilt auch für die Lösung. 

• Es wird nur eine Lösung für die transformierten Optimalitätsbedingungen 

erreicht. Die ursprünglichen Werte können bei vor- 

liegender Lösung der transformierten Optimalitätsbedingungen 

durch µ org 

i 

:= µ 2s 

i und z org 

i 

:= z 2r 

i berechnet werden. 

Andererseits entsteht aber ein neues Problem. Die besten Werte der 

Parameter s und r können aus der Theorie nicht eindeutig bestimmt 

werden. 

Nach Tests mit Netzen verschiedener Grössen haben die Werte r =2 

und s = 1 eine gute Konvergenz gegeben. Diese Erfahrung wird im 

Abschnitt 6.4.3 näher analysiert. 

Das Ziel des “unlimited point ” -Algorithmus ist die Lösung der transformierten 

Optimitätsbedingungen, so wie sie in (3.7) dargestellt wurden. 

Diese Lösung kann durch Benützen eines vereinfachten Newton- 

Raphson-Verfahrens erreicht werden, welches im nächsten Abschnitt 

erklärt wird. 

3.3 Newton-Raphson-Lösungsverfahren 

Die Idee, hinter einer Lösung der transformierten Optimalitätsbedingungen, 

ist die Formulierung eines konventionellen Newton-Raphson- 

Verfahrens, welches ein nichtlineares Gleichheitssystem lösen kann. 

Der Hauptschritt ist die Lösung eines linearen Gleichungssystems 

J · ∆v = RHS (3.8) 

wobei die Matrix J der Jacobimatrix der transformierten Optimalitätsbedingungsgleichungen 

entspricht und der Vektor RHS der rechten 

Seite (= “right-hand-side ” ) des linearen Gleichungssystems. 

Dieses Gleichungssystem stellt einen Schritt im Lösungsprozess des 


3.3. LÖSUNGSVERFAHREN 35 

Newton-Raphson-Algorithmus dar. Zur Berechnung der Jacobimatrix 

müssen die partiellen Ableitungen in Bezug auf alle transformierten 

Problemvariablen v(x, λ, µ und z) berechnet werden. Das resultierende 

lineare Gleichungssystem lautet somit: 

 

∂ 2 F(x) 

∂x 2 + 

b 

 

λ 

i=1 

k ∂ 

i 

2 gi(x) 

∂x 2 

d 

 

+ µ 

i=1 

k2s 

i 

+ ∂g(x) 

T 

∂x 

 

 

T x 

x ∂h(x) 

∆λ + 2s · 

∂x 

k 

k 

= − ∂F(x) 

 

 

 

∂g(x) 

∂x − 

λ 

xk ∂x 

k 

∂h(x) 

− 

∂x 

∂g(x) 

∂x 

∂h(x) 

∂x 

 

 

 

x k 

 

 

 

x k 

T x k 

∂ 2 hi(x) 

∂x 2 

 

x 

∆x 

k 

· diag(µ k2s−1 

i ) 

T x k 


 

µ k2s 

∆µ 

(3.9) 

∆x = −g(x k ) (3.10) 

∆x +2r·diag(zk2r−1 i )∆z = −h(xk ) − zk2r 

2r · diag µ k2s 

i zk2r−1 

 

 

i ∆z +2s·diag 

 

= −diag µ k2s 

 

i zk2r µ k2s−1 

i 

z k2r 

 

i ∆µ 

(3.11) 

(3.12) 

Dabei entspricht b der Anzahl der Gleichheitsnebenbedingungen und 

d der Anzahl der Ungleichheitsnebenbedingungen. 

Die Gleichungen von (3.9) bis (3.12) stellen das lineare Gleichungssystem 

dar, welches während des iterativen Newton-Raphson-Prozesses 

gelöst werden muss. 

Für ein besseres Verständnis der Struktur des linearen Gleichungssystems, 

werden folgende Abkürzungen eingeführt:


Q = 

 

∂ 2 F(x) 

∂x2 + 

b 

i=1 

 

λ k i 

∂ 2 gi(x) 

∂x2 

+ 

d 

 

µ k2s 

i 


i=1 

c ′ = ∂F(x) 

 

 

T x 

 

∂g(x) 

∂x + 

λ 

xk ∂x 

k 

k 

∂h(x) 

+ 

∂x 

A1 = ∂g(x) 

 

 

 

∂x 

xk A2 = ∂h(x) 

 

 

 

∂x 

xk A ′ 

Tx ∂h(x) 

2 = 2s· 

diag(µ 

∂x 

k 

k2s−1 

i ) 

A ′ 

3 = 2r·diag z k2r−1 

 

i 

 

A3 = 2s·diag 

µ k2s−1 

i 

z k2r 

 

i 

 

A4 = 2r·diag µ k2s 

i zk2r−1 

 

i 

b1 = −g(x k ) 

b2 = −h(x k ) − z k2r 

 

b3 = −diag 

z k2r 

i 

 

µ k2s 

∂ 2 hi(x) 

∂x2 

x 

k 

T x k 

µ k2s 

(3.13) 

Mit den Abkürzungen (3.13) nimmt das lineare System (3.8) folgende 

Form an:

3.3. LÖSUNGSVERFAHREN 37 

⎡ 

Q 

⎢ 

⎣ 

AT 1 A ′ 

A1 

A2 

0 

0 

2 

0 

0 

0 

0 

A ′ 

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 

∆x 

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ ∆λ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 

⎥· 

⎢ ⎥ = ⎢ 

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 

3 ⎥ ⎢ ∆µ ⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 

⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 

0 0 A3 A4 ∆z 


−c ′ 

b1 

b2 

b3 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

(3.14) 

Dieses schwachbesetzte lineare Gleichungssystem kann, bei gegebener 

Matrix und rechter Seite, mit einem robusten Standard-Algorithmus 

gelöst werden. In diesem Fall wird ein öffentlich verfügbares Softwarepaket 

[30] benutzt. 

Die resultierenden ∆-Variablen werden, wie in einem konventionellen 

Newton-Raphson-Algorithmus, aktualisiert. Dann wird das neue lineare 

Gleichungssystem wieder gelöst. 

Das Lösungsverfahren des Optimierungsproblems, formuliert durch 

die KKT-Bedingungen (3.3), kann also mit folgenden Schritten beschrieben 

werden: 

1. Die Anfangswerte für die Problemvariablen x o , λ o , µ o und z o 

wählen. Die Werte für r und s müssen fest zugewiesen sein. 

2. Das lineare schwachbesetzte Gleichungssystem (3.14) erzeugen 

und anschliessend lösen. 

3. Alle Variablen aktualisieren. Durch eine Steuerung der Schrittgrösse 

kann eine bessere Konvergenz erreicht werden. 

x k+1 = x k + α ∆x k 

λ k+1 = λ k + α ∆λ k 

µ k+1 = µ k + α ∆µ k 

z k+1 = z k + α ∆z k 

(3.15) 

Der Faktor α wird benützt, um den Newton-Raphson-Algorithmus 

zu dämpfen. Numerische Simulationsresultate (siehe Kapitel


6) haben gezeigt, dass der beste Wert von α von den Eigenschaften 

des aktuellen Optimierungsproblems abhängt. 

4. Falls alle absoluten Werte der rechten Seite des Gleichungssystems 

(3.14) kleiner als eine gegebene Toleranzschwelle ɛ sind, 

hat der Algorithmus konvergiert, andernfalls geht er weiter bei 

Punkt 2. 

3.4 Beispiel 

Der “unlimited point“-Algorithmus wird beispielhaft für die Optimierung 

eines klassischen LP-Problems angewendet. Das folgende einfache 

Problem soll optimiert werden: 

Minimiere x1 + x2 + x3 

mit −x1 + x2 =1 

x3 

=1 

und x1, x2 ≥0 

(3.16) 

Erstens muss das Optimierungsproblem (3.16) in die Form (3.1) umgewandelt 

werden. 

Minimiere F(x) =x1+x2+x3 

mit g1(x) =−x1+x2−1 = 0 

g2(x)=x3−1 = 0 

und h1(x) =−x1 ≤0 

h2(x)=−x2 


≤0 

(3.17) 

Unter Berücksichtigung von (3.6) lässt sich die Lagrange-Funktion aus 

(3.17) wie folgt herleiten. 

L = x1+x2+x3+λ1(−x1+x2−1)+λ2(x3−1)+µ orig 

1 (−x1)+µ orig 

2 (−x2) 

Die notwendigen transformierten KKT-Optimalitätsbedingungen (3.7) 

werden aufgestellt.

3.4. BEISPIEL 39 

1 − λ1 − µ 2s 

1 

1+ λ1−µ 2s 

2 

= 0 (3.18) 


= 0 

1+ λ2 = 0 

−x1+x2−1 = 0 

x3−1 = 0 

− x1+z 2r 

1 

− x2+z 2r 

2 

µ 2s 

1 z2r 1 

µ 2s 

2 z2r 2 

= 0 

= 0 

= 0 

= 0 

Die Reihenfolge aller Problemvariablen wird im Vektor v gespeichert. 

v = {x1,x2,x3,λ1,λ2,µ1,µ2,z1,z2} 

Somit lässt sich das zu lösende lineare Gleichungssystem (3.14) leicht 

bestimmen. Für jeden Hauptschritt des Newton-Raphson-Verfahrens 

hat die Jacobimatrix J folgende Form: 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

0 0 0 −1 0 −2sµ k2s−1 

0 0 0 1 0 

1 

0 

0 

−2sµ 

0 0 

k2s−1 

0 0 0 0 1 0 

2 

0 

0 

0 

0 

0 

−1 1 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 1 0 0 0 0 0 0 

−1 0 0 0 0 0 0 2rz k2r−1 

1 

0 −1 0 0 0 0 0 0 2rz k2r−1 

2 

0 0 0 0 0 2sµ k2s−1 

1 

0 0 0 0 0 0 2sµ k2s−1 

2 

zk2r 1 0 2rµ k2s 

1 zk2r−1 1 

zk2r 2 0 2rµ k2s 

2 zk2r−1 2 

DierechteSeiteRHS des linearen Gleichungssystems wird ebenfalls 

bestimmt: 

0 

0 

⎤ 

⎥ 

⎦


⎡ 

⎢ 

⎣ 

− 1+λk 1 +µ k2s 

1 

−1−λk 1 +µ k2s 

2 

−1−λk 2 

xk 1 −xk 2 +1 

−xk 3 +1 

xk 1 −zk2r 1 

xk 2 −zk2r 2 

−µ k2s 

1 zk2r 1 

−µ k2s 

2 zk2r 2 

Um das OPF-Problem zu lösen, müssen die Anfangswerte aller Variablen 

v o eingegeben werden. Die Anfangswerte der Problemvariablen 

werden im Beispiel alle auf Eins gesetzt. Die Problemkonstanten r 

und s werden in einem ersten Lauf mit r =1,s= 1 und im zweiten 

Lauf mit r =2,s= 1 eingesetzt. 

Var. r=1,s=1 r=2,s=1 


⎤ 

⎥ 

⎦ 

x1 0.7836.10 −7 0.2964.10 −4 

x2 1.0000 1.0000 

x3 1.0000 1.0000 

λ1 −1.0000 −1.0000 

λ2 −1.0000 −1.0000 

µ1 µ1 2s 

µ2 µ2 2s 

z1 z1 2r 

z2 z2 2r 

1.4142 2.0000 1.4142 2.0000 

0.1108.10 −6 0.0122.10 −12 0.4192.10 −4 0.1757.10 −8 

0.0022 0.2526.10 −4 0.0764 0.3417.10 −4 

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 

Tabelle 3.1: Vergleich der optimalen Werte aller Variablen nach den zwei Rechnungen 

(r =1,s= 1 und r =2,s=1).

3.4. BEISPIEL 41 

DieoptimaleLösung des Problems wird nach einigen Schritten gefunden. 

Die Ergebnisse der beiden Versuchen sind in der Tabelle 3.1 

zusammengefasst. Bei allen Läufen wurde α = 1 angenommen. 

X 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

−0.4 

C 

B 

A 

−0.6 

0 1 2 3 4 5 6 7 

Iteration 

Abbildung 3.1: Konvergenzverlauf der Variablen x1 (A), x2 (B) und x3 (C) (r =2, 

s=1) 

Mu 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

d 

c 

−0.5 

0 1 2 3 4 5 6 7 

Iteration 

Abbildung 3.2: Konvergenzverlauf der Variablen µ1 (a), µ1 2s (b), µ2 (c) und µ2 2s 

(d). Die gestrichelten Linien stellen die µ1 2s -bzw. µ2 2s -Variablen dar (r =2,s=1). 

In den Abbildungen 3.1, 3.2 und 3.3 wird der Verlauf der Variablen 

detailliert angezeigt. 

x1, x2, x3, µ1, µ2, µ 2s 

1 

, µ2s 2 , z1, z2, z2r 1 

und z2r 

2 


b 

a


Z 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

d 

c 

a 

b 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 

Iteration 

Abbildung 3.3: Konvergenzverlauf der Variablen z1 (a), z1 2r (b), z2 (c) und z2 2r (d). 

Die gestrichelten Linien stellen die z1 2r -bzw.z2 2r -Variablen dar (r =2,s=1). 

3.5 Zusammenfassung 

Der Vergleich dieses Algorithmus zu den vorangehenden Verfahren, 

zeigt einige Ähnlichkeiten mit dem “interior point ” -Algorithmus. Es 

handelt sich tatsächlich um ein dem “primal-dual ” -IP ähnliches Verfahren. 

Es bestehen jedoch einige Differenzen. 

Der wichtigste Unterschied ist die Abwesenheit des Sperrfaktors ζ und 

das Ersetzen des α des IP (α wird im IP zur Beibehaltung von “feasible 

solutions ” gebraucht) durch ein α des “unlimited point ” -Verfahrens 

(α wird zur Dämpfung des Newton-Raphson-Verfahrens verwendet). 

Auch die logarithmische Sperre in der Zielfunktion ist nicht mehr notwendig. 

Diese Elemente sind nicht mehr nötig, weil die Bedingungen 

µ ≥ 0 und z ≥ 0 mit µ 2s und z 2r immer befriedigt sind. 

Der Hauptvorteil dieses Algorithmus ist ein unbegrenzter Variablenbereich, 

welcher auch dem Algorithmus seine Bezeichnung “unlimited 

point ” gibt. Dies unterscheidet ihn vom “interior Point ” -Verfahren, wo 

die Werte der Variablen durch eine obere und untere Grenze begrenzt 

sind. 


Kapitel 4 

Struktur des “Unlimited Point ” - 

Algorithmus beim OPF-Problem 

4.1 Das elektrische Übertragungssystem 

Alle Grössen eines elektrischen Übertragungssystems wie Ströme, Leistungen 

und Spannungen sind zeitabhängige Variablen. Zur Aufstellung 

des Modells eines elektrischen Übertragungssystems wird folgendes 

angenommen: 

• Die Ströme, Leistungen und Spannungen sind sinusförmige Grössen 

mit konstanter Amplitude. Dieser stationäre Zustand kann 

mit komplexen Variablen modelliert werden. 

• Das Lastfluss-Modell von einem dreiphasigen elektrischen Übertragungssystem 

wird als symmetrischer Betrieb betrachtet. Das 

erlaubt die Modellierung mit Hilfe von 2-Toren und 1-Toren. 

• Die Wirk- und Blindleistungsbelastungen an den Knoten müssen 

als bekannt vorausgesetzt werden. Sie stammen aus Messdaten 

oder Voraussagen. 

Diese Annahmen werden, sowohl in der vorliegenden Arbeit als auch 

in der Praxis, zur Darstellung von Modellen realer elektrischer Übertragungssysteme 

verwendet. Die wichtigsten Komponenten eines elektrischen 

Übertragungssystems unter Annahme der oben aufgeführten 

Bedingungen bestehen aus: 

• Freileitungen 

• Kabel 

43 


44 KAPITEL 4. STRUKTUR DES ALGORITHMUS 

• Transformatoren 

• Querimpedanzen 

Jedes dieser passiven Elementen kann durch ein 2-Tor modelliert werden 

welches ein mathematisches Element zwischen zwei elektrischen 

Knoten i und j. Eine Ausnahme bilden die Querimpedanz-Elemente, 

die nur mit einem elektrischen Knoten i verbunden sind. 

Es wird ein elektrisches Verteilnetz mit n Knoten und m Zweigen betrachtet. 

Die Menge {n} aller Knoten besteht aus einer Menge von 

Generatoren {g}, von Lastknoten mit vorgegebenen Leistungen {k} 

und von Slackknoten {s}. DieMenge{m}aller Zweigen besteht aus 

einer Menge von Leitungen {l} und von Transformatoren {h}. 

4.2 N-Tor-Typen und deren mathematische Formulierung 

Das elektrische Verteilnetz wird durch die, aus der linearen Netzberechnung 

bekannten Admittanzmatrix Y dargestellt. Dabei sind die 

Zweige (Leitungen und Transformatoren) durch Π-Glieder definiert. 

Sie bestehen aus Widerständen und Reaktanzen. Im Lastfluss-Modell 

werden alle Grössen der Π-Glieder als numerisch bekannt angenommen. 

Ströme, Spannungen und die Elemente der Y-Matrix sind komplexe 

Grössen. 

oder 

⎡ 

⎣ 

i i−ji 

i i−jj 

⎤ 

⎦ = ⎣ 

i = Y.u (4.1) 

⎡ 

Y ii Y ij 

Y ji Y jj 

⎤⎡ 

ui ⎦⎣ 


u j 

⎤ 

⎦ (4.2) 

Y ist die Admittanzmatrix des N-Tors. Aufgespalten in Real- und 

Imaginärteil ergibt sich: 

Y = G + jB (4.3)

4.3. DIE ZIELFUNKTION 45 

mit 

und 

⎡ 

⎢ 

G = ⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎢ 

B = ⎢ 

⎣ 

G11 ··· G1n 

. 

... 

Gn1 ··· Gnn 

B11 ··· B1n 

. 

... 

Bn1 ··· Bnn 


. 

. 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

(4.4) 

(4.5) 

Ströme und Spannungen aufgespalten nach Real- und Imaginärteil ergeben: 

u i = ei + jfi (4.6) 

i i−ji = iei−j i + jifi−j i 

(4.7) 

Die Gleichung (4.2) aufgespaltet nach Real- und Imaginärteil ergibt 

also: 

⎡ 

⎤ ⎛⎡ 

⎤ ⎡ ⎤⎞⎡ 

⎤ 

⎣ 

iei−j i + jifi−j i 

iei−j j + jifi−j j 

⎦ = ⎝⎣ 

Gii Gij 

Gji Gjj 

⎦ + j ⎣ 

Bii Bij 

Bji Bjj 

ei + jfi 

⎦⎠⎣ 

ej + jfj 

⎦ (4.8) 

Die Modelle der benutzten elektrischen Komponenten werden im Anhang 

B detailliert angegeben. 

4.3 Die Zielfunktion 

Die Umsetzung einer in der Realität auftretenden Zielfunktion in eine 

mathematische Form, gestaltet sich nicht immer einfach. So müssen


nichtlineare, diskrete oder empirisch ermittelte Zusammenhänge durch 

Linearisierung oder quadratische Nachbildung in eine, für den jeweiligen 

Optimierungsalgorithmus geeignete Form, gebracht werden. Die 

in der Praxis am meisten benutzten Zielfunktionen sind Kosten- und 

Verlustminimierungsfunktionen. 

4.3.1 Kostenminimierung 

Die bisher bei weitem am häufigsten eingesetzte Zielfunktion ist die 

Minimierung der bei der Stromerzeugung anfallenden Kosten. Dabei 

wird für jeden regulierbaren Generator eine Kostenfunktion in 

Abhängigkeit der erzeugten Wirkleistung bestimmt. Allerdings sind 

diese Beziehungen in der Realität nicht immer konvex und differenzierbar. 

Je nach verwendetem Optimierungsalgorithmus wird daher 

die Funktion stückweise linearisiert oder quadratisch angenähert (siehe 

Abbildung 4.1) . Die eigentliche Zielfunktion ist somit die Summe 

über alle Kostenfunktionen. 

Kosten 

reale Kosten 

angenäherte Kosten 

Wirkleistung 

Abbildung 4.1: Typische Kostenfunktion und eine mögliche Annäherung für Speicherkraftwerke 

So ergibt die Zielfunktion allgemein 

F = 

fi(PGeni) → min (4.9) 

i∈{g} 

Dabei ist {g} die Menge der optimierbaren Generatoren und fi stellt 

die entsprechenden angenäherten Kostenfunktionen dar. 


4.3. DIE ZIELFUNKTION 47 

Nach einem Lagrange-Ansatz führen die Optimalitätsbedingungen dabei 

auf ein separierbares Gleichungssystem, dh. in der Hess’schen Matrix 

der Zielfunktion treten nur in der Diagonalen von Null verschiedene 

Elemente auf, was die eigentliche Optimierung stark vereinfacht. 

Da zur Optimierung nur Wirkleistungen verwendet werden, spricht 

man hier allgemein von einem “active power ” -OPF. 

4.3.2 Verlustminimierung 

Jede Übertragung von elektrischer Energie über Leitungen und Transformatoren 

ist mit Verlusten verbunden (Supraleitung wird hier nicht 

berücksictigt), die so klein wie möglich gehalten werden sollen. Dabei 

sind die globalen Verluste v als die Differenz zwischen den an den 

Generatoren eingespeisten und den an den Lasten abgegebenen Wirkleistungen 

definiert. Oder einfacher ausgedrückt: Die Verluste erhält 

man durch vorzeichenrichtiges Aufsummieren der Wirkleistungen-Einspeisungen 

und -Belastungen über alle Knoten. 

v = 

n 

i=1 

Da die Leistungen an den Lastknoten festgehalten werden sollen, genügt 

es, zur Verlustminimierung nur die Generatorleistungen in die 

Zielfunktion aufzunehmen. {g} ist wiederum die Menge der regulierbaren 

Generatoren. 

F = 

i∈{g} 

Pi = 

i∈{g} 


Pi 

Re(uii ∗ i ) → min 

Ein derartiges System ist ohne Vernachlässigung nicht mehr ohne weiteres 

separierbar. Eine Methode, bei der alle Generatorgrössen Pi, Qi 

und ui optimiert werden, stellt als “active-reactive ” -OPF die mathematisch 

anspruchsvollste Variante des OPF dar. 

Im Gegensatz dazu kann die Verlustminimierung in einer Vereinfachung 

auch nur als “reactive only ” -OPF ausgeführt werden. Dabei 

werden die Wirkleistungen an den Generatoren festgehalten. Über 

die Variation der Generatorblindleistungen und Spannungen wird die 

Slack-Wirkleistung minimiert.


Eine andere Variante ist die Minimierung der Verluste in einem Gebiet, 

wobei als Gebiet ein Teil des gesamten modellierten Netzes darstellt. 

In diesem Fall sind, für jeden zwischen Knoten i und j liegenden Zweig 

des Gebiets, die Wirkleistungen von Knoten i zum Knoten j zu denjenigen 

vom Knoten j zum Knoten i zu addieren. Die Verluste in einem 

bestimmten Gebiet “a ” werden somit wie folgt berechnet: 

F = 

 

i−j∈Gebiet a 

(Pi−ji 

+ Pi−jj ) → min (4.10) 

Pi−ji +Pi−jj wird als Funktion von Spannungen und Zweigimpedanzen 

ausgedrückt: 

Pi−ji + Pi−jj = Re(u i(u iY ii + u jY ij) ∗ + u j(u iY ji + u jY jj) ∗ ) 

= ei(eiGii − fiBii + ejGij − fjBij)+ 

fi(eiBii + fiGii + ejBij + fjGij)+ 

ej(eiGji − fiBji + ejGjj − fjBjj)+ 

fj(eiBji + fiGji + ejBjj + fjGjj)+ 

(4.11) 

Das Gebiet “a ” kann auch das gesamte modellierte elektrische Übertragungssystem 

umfassen. 

4.3.3 Einhalten eines vorgegebenen Spannungsprofils 

Oft stellt sich für den Netzbetreiber das Problem, in einem Gebiet 

“a ” ein vorgegebenes Spannungsprofil usoll möglicht gut einzuhalten. 

usoll stellt dabei noch keine Lösung einer Lastflussrechnung dar. Die 

Zielfunktion wird dann eine Summe der gewichteten Quadrate der Abweichungen: 

F = 

i∈a 

ki(|u i|−usolli )2 → min 


4.4. GLEICHHEITSNEBENBEDINGUNGEN 49 

4.3.4 Kombination mehrerer Zielfunktionen durch Gewichtsfaktoren 

Grundsätzlich kann durch eine Optimierung im herkömmlichen Sinn 

nur eine skalare Zielfunktion minimiert werden. Sollen mehrere Zielfunktionen 

kombiniert werden, so müssen sie über Gewichtsfaktoren zu 

einer neuen Zielfunktion zusammengefasst werden. Daraus ergibt gezwungenermassen 

eine Kompromisslösung, da verschiedene Zielfunktionen 

gegenläufige Lösungen anstreben können. Ausserdem kommt 

hinzu, dass die Grösse der Gewichtungsfaktoren eine subjektive Entscheidung 

des Betreibers ist; verschiedene Gewichtungen führen zu 

unterschiedlichen Lösungen. 

4.4 Gleichheitsnebenbedingungen 

Bei der Optimierung müssen drei Typen von Gleichheitsnebenbedingungen 

berücksichtigt werden. Einerseits muss die Lösung der Lastflussgleichungen 

eingehalten werden, d.h. die Summe der Ströme bzw. 

der Leistungen in einem Knoten muss gleich Null sein. Dieses Gesetz 

von Kirchhoff ist an einem Knoten i in der Abbildung 4.2 dargestellt. 

G 

L 

i Gi 

i Li 

Knoten i 


i i−ki 

i i−li 

i i−mi 

i Qi 

k 

l 

m 

Querimpedanz 

Abbildung 4.2: Ströme bei einem allgemeinen Knoten i


In diesem Fall wird die Summe der Ströme 

i Gi − i Li − i Qi − 

N 

ii−ji =0 ;i=1···N (4.12) 

j=1 

An jedem Knoten i wird die Summe der Generator- und Lastleistungen 

gebildet. Man erhält daraus eine totale Knotenwirkleistung Pi 

bzw. Knotenblindleistung Qi. 

Die Summe ii der Ströme iGi und iLi wird folgendermassen berechnet: 

i i = Pi + jQi 

ei + jfj 

= eiPi + fiQi 

e 2 i + f2 i 

+ j eiQi − fiPi 

e 2 i + f2 i 

(4.13) 

Die Real- und Imaginärteile der obigen Stromgleichung werden für 

jeden Netzknoten gerechnet und stellen die Lastflussgleichungen ge 

und gf des Systems dar. 

gei =Re(i i−i Qi − 

gfi =Im(i i−i Qi − 


N 

j=1 

N 

j=1 

ii−ji ) = 0 (4.14) 

ii−ji ) = 0 (4.15) 

Die Gleichungen (4.2) und (4.13) werden mit (4.14) und (4.15) verknüpft. 

Als dritter Gleichheitsnebenbedingungstyp wird die vorgegebene Spannung 

|uo i | an den Generatorknoten eingehalten: 

guG i = e 2 i + f 2 i −|u o i| 2 = 0 (4.16) 

Diese Gleichheitsnebenbedingung wird nur bei einer Lastflussrechnung 

eingefügt, beim optimalen Lastfluss wird sie, wie später gezeigt wird, 

als eine Ungleichung verwendet. 

Das Einhalten des Spannungswinkels am Slackknoten Θo s wird die dritte 

und letzte Gleichheitsnebenbedingung: 

arctan( fs 

) − Θ 

es 

o s = 0 (4.17)

4.5. UNGLEICHHEITSNEBENBEDINGUNGEN 51 

Diese Bedingung steht aber meist nicht explizit im Gleichungssystem. 

Sie wird jedoch erfüllt, weil der Imaginärteil der Slackspannung fs als 

Konstante und nicht als Variable betrachtet wird. 

4.5 Ungleichheitsnebenbedingungen 

Alle numerischen Variablen der Gleichheitsnebenbedingungen müssen 

im optimalen Zustand die physikalischen Charakteristiken befriedigen. 

In dieser Arbeit werden als Ungleichheitsnebenbedingungen 

• die Knotenspannungen, 

• die Wirkleistungen der Generatoren, 

• die Blindleistungen der Generatoren, 

• die Zweigströme, 

• die Wirkleistungen der Zweige, 

• die Stufenstellungen der Transformatoren, 

• der Winkel der Stufenstellungen der Transformatoren 

begrenzt. 

4.5.1 Begrenzungen der Spannungsbeträge 

Für die oberen (max) und die unteren (min) Begrenzungen der Spannungsbeträge 

müssen für jeden Knoten nichtlineare Funktionen 

eingehalten werden. 

humax i = e 2 i + f 2 i − u2 maxi 

humin i = −e 2 i − f 2 i + u 2 mini 


≤ 0 

≤ 0 

(4.18)


4.5.2 Begrenzungen von Generatorgrössen 

An den Generatorknoten muss die Möglichkeit einer Wirk- und Blindleistungsbegrenzung 

gegeben sein. Die restlichen Knoten haben vorgegebene 

Leistungen und benötigen keine Begrenzung. 

Folgenden Bedingungen müssen erfüllt sein: 

hPmax i = PGi 

− Pmaxi ≤ 0 

hPmin = −PGi + Pmini ≤ 0 

i 

hQmax i = QGi 

− Qmaxi ≤ 0 

hQmin = −QGi + Qmini ≤ 0 

i 

4.5.3 Begrenzungen von Zweigsgrössen 

(4.19) 

(4.20) 

Ebenso wie die Spannungsbegrenzungen sind die Begrenzungen des 

maximalen Zweigstroms 

himax i−ji 

= i 2 ei−j i 

+ i 2 fi−j i 

≤ i 2 maxi−j i 

und der maximalen übertragbaren Wirkleistung 

hPmax i−ji 

= eiiei−j i + fiifi−j i ≤ Pmaxi−j i 

(4.21) 

(4.22) 

nichtlineare Funktionen. Die Ungleichheitsbedingungen existieren sowohl 

für Leitungen als auch für Transformatoren. 

4.5.4 Begrenzungen von Transformatorgrössen 

Die regulierbaren Transformatoren werden durch eine obere und eine 

untere Grenze des Betrags des Übersetzungsverhältnisses 

htmax i−ji 

htmin i−ji 

= t 2 rei−j i 

= −t 2 rei−j i 

+ t 2 imi−j i 

− t 2 imi−j i 

− t 2 maxi−j i 

+ t 2 mini−j i 


≤ 0 

≤ 0 

(4.23)

4.6. DAS LINEARE GLEICHUNGSSYSTEM 53 

oder durch eine obere und eine untere Grenze des Winkel des Übersetzungsverhältnisses 

hΘtmax i−ji 

hΘtmin i−ji 

= arctan( timi−ji ) − Θtmaxi−j trei−ji i 

= − arctan( timi−ji )+Θtmini−j trei−ji i 


≤ 0 

≤ 0 

(4.24) 

eingeschränkt. 

Falls, wie bei längsregelnder Stufenschalter-Transformator, der Betrag 

des Übersetzungsverhältnisses frei gelassen wird, muss der Winkel festgehalten 

werden. Man braucht also eine zusätzliche Gleichheitsnebenbedingung, 

um den Winkel konstant auf Θo ti−j zu halten: 

gΘti−j i = arctan( timi−j i 

trei−j i 

) − Θ o ti−j i 

= 0 (4.25) 

Umgekehrt muss der Betrag des Übersetzungsverhältnisses konstant 

auf |t o | gehalten werden, falls der Winkel variabel ist (Phasenschiebertransformatoren). 

gti−j i = t 2 rei−j i 

+ t 2 imi−j i 

4.6 Das lineare Gleichungssystem 

−|t o i−ji |2 = 0 (4.26) 

Aus der Verlustzielfunktion (4.10) oder (4.11), den Gleichheitsnebenbedingungen 

(4.14), (4.15), (4.16), (4.25), (4.26) und den Ungleichheitsnebenbedingungen 

(4.18), (4.19), (4.20), (4.21), (4.22), (4.23), 

(4.24) wird die Lagrange-Funktion (4.27) gebildet. 

L = 

i−j∈{m} 

(Pi−j + Pj−i) 

+λege + λfgf + λuGguG 

+λti−jgti−j + λΘti−jgΘti−j


+µumaxhumax + µuminhumin 

+µPmaxhPmax + µPminhPmin +µQmaxhQmax + µQminhQmin 

+µimax i−j himax i−j + µPmax i−j hPmax i−j 

+µtmax i−j htmax i−j + µtmin i−j htmin i−j 

+µΘtmax i−j hΘtmax i−j + µΘtmin i−j hΘtmin i−j 

(4.27) 

Die Optimalitätsvariablen werden durch die Vektoren x, λ, µ und z 

dargestellt. Wobei: 

{x} = { e, f ohne f des Slack-Knotens, PG, QG, trei−j , timi−j } 

{λ} = { λe, λf, λuG , λti−j , λΘti−j } 

{µ} = { µumax, µumin, µPmax, µPmin, µQmax, µQmin, 

µimax i−j , µPmax i−j , µtmax i−j , µtmin i−j , µΘtmax i−j , µΘtmin i−j } 

{z} = { zumax, zumin, zPmax, zPmin, zQmax, zQmin, 

zimax i−j , zPmax i−j , ztmax i−j , ztmin i−j , zΘtmax i−j , zΘtmin i−j } 

Durch die Ableitungen der Lagrange-Funktion nach allen variablen 

Grössen erhält man die Optimalitätsbedingungen, die durch einen 

Newton-Raphson-Ansatz gelöst werden können. 



4.6.1 Blockorientierte Zusammensetzung 

Das lineare Gleichungssystem (3.14) wird in der Code-Implementation 

dieser Arbeit nicht durch die dort angenommene erwartete Reihenfolge 

der Variablen (zuerst alle {x} dann alle {λ} usw.) erzeugt, sondern 

durch eine blockorientierte Zusammensetzung des gesamten Gleichungssystems 

(3.14) . 

Zuerst muss man unterscheiden, ob die Variablen den Knoten oder den 

Zweigen zugeordnet werden können. Die Ableitungen der Lagrange- 

Funktion wird dann in der folgenden Reihenfolge durchgeführt: Zuerst 

werden die Ableitungen nach den Variablen des ersten Knotens bis zu 

denjenigen des Letzten berechnet. Die Reihenfolge der Variablen eines 

Knotens i wird also: 

mit 

Knoteni = {xKnoteni,λKnoteni,µKnoteni, zKnoteni} (4.28) 

{xKnoteni} = {ei,fi,PGi,QGi} 

{λKnoteni } = {λei ,λfi ,λuG i } 

{µKnoteni} = {µumax i ,µumin i ,µPmax i ,µPmin i ,µQmax i ,µQmin i } 

{zKnoteni} = {zumax i ,zumin i ,zPmax i ,zPmin i ,zQmax i ,zQmin i } (4.29) 

Dann werden die Ableitungen nach den Zweigvariablen gleichermassen 

zugeordnet. Die Reihenfolge der Variablen eines Zweiges i wird 

also: 

mit 

Zweigi = {xZweigi ,λZweigi ,µZweigi , zZweigi } (4.30) 



{xZweigi } = {trei−j i ,timi−j i } 

{λZweigi } = {λti−j i ,λΘti−j i } 

{µZweigi } = {µimax 

,µPmax 

,µtmax 

,µtmin 

,µΘtmax 

,µΘtmin } 

i−ji 

i−ji 

i−ji 

i−ji 

i−ji 

i−ji 

{zZweigi } = {zimax 

,zPmax 

,ztmax 

,ztmin 

,zΘtmax 

,zΘtmin } 

i−ji 

i−ji i−ji i−ji 

i−ji 

i−ji 

(4.31) 

Die Nicht-Null-Elemente werden dadurch in Blöcken zusammengezogen. 

Falls zwei Knoten nicht durch einen Zweig verbunden sind, bekommt 

man im Gleichungssystem einen Block mit Null-Elementen. 

1 

2 

G 

G 

Abbildung 4.3: Beispiel eines 3-Knoten Netzes 

In der Tabelle 4.1 wird diese Vorgehensweise an einem einfachen Beispiel 

gezeigt. Es handelt sich um ein 3-Knoten Netz (siehe Abbildung 

4.3). Jedes X in der Tabelle entspricht einer Blockmatrix. Deren 

interne symbolischen Matrixelemente können in identischer Form in 

der Jacobimatrix des gesamten Gleichungssystems (3.14) verwendet 

werden. Knoten1 werden alle Knotenvariablen des ersten Knotens 


3 

L


gemäss (4.28) zugeordnet. Analog werden Zweig1−2 die Zweigvariablen 

gemäss (4.30) zugeordnet. 

Knoten1 Knoten2 Knoten3 Zweig1−2 Zweig2−3 

Knoten1 X X X 

Knoten2 X X X X X 

Knoten3 X X X 

Zweig1−2 X X X 

Zweig2−3 X X X 

Tabelle 4.1: Blockorientierte Zusammensetzung der Jacobimatrix der “unlimited 

point ” -Methode eines 3-Knoten Netzes 

Das zu lösende Gleichungssystem (3.8) sieht also wie folgt aus 

⎡ 

Jk1,k1 

⎢ Jz1−2,k1 ⎢ 

⎣ 

Jk1,k2 

Jk2,k1 

Jk3,k2 

Jz1−2,k2 

Jk2,k2 

Jk3,k3 

Jk1,z1−2 

Jk2,z1−2 

Jz1−2,z1−2 

Jk2,z2−3 

Jk3,z2−3 

⎤ ⎡ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ · ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎦ ⎣ 

∆vk1 

∆vk2 

∆vk3 

Jz2−3,k2 Jz2−3,k3 Jz2−3,z2−3 

 

Jacobimatrix 

⎡ ⎤ 

RHSk1 

⎢ ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢ RHSk2 ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢ ⎥ 

= ⎢ RHSk3 ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢ RHSz1−2 ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎣ ⎦ 

 

wobeiz.B.derVektor∆vk1 

RHSz2−3 

∆vz1−2 

∆vz2−3 


⎤ 

⎥ 

⎦ 

(4.32) 

die gesuchten Abweichungen der Kno-


tenvariablen Knoten1 darstellt und analog der Vektor RHSz1−2 die 

gesuchten Abweichungen der Zweigvariablen Zweig1−2. 

4.6.2 Schwachbesetzte Blockmatrizen und Blockvektoren 

Diese blockorientierte Darstellung ermöglicht eine einfachere Automatisierung 

in der Erstellung der gesamten symbolischen Jacobimatrix 

und der entsprechenden rechten Seite des Gleichungssystems. Das gesamte 

Gleichungssystem (3.14) wird eine Menge von Blockmatrizen 

und Blockvektoren. 

Alle Blockmatrizen sind schwach besetzt. Dazu existieren auch mehreren 

Nullmatrizen, die nicht gespeichert werden. 


Kapitel 5 

Software-Entwicklung der 

Algorithmus-Komponenten 


Ein wesentlicher Punkt, der auf dem “unlimited point ” -Algorithmus 

basierten OPF-Software, ist die flexible und fehlerlose Erzeugung des 

gesamten Gleichungssystems (3.14). Flexibel bedeutet, dass für jedes 

beliebige, elektrische Übertragungssystemelement die entsprechenden 

linearen Gleichungssystemkomponenten erzeugt werden können. 

Um einen fehlerlosen Code zu erzeugen, wird folgende Strategie verwendet. 

Zuerst muss nur der Code für ein allgemeines OPF-Problem 

(3.1) (F(x), g(x) und h(x)) in algebraischer Form angegeben werden; 

und zwar für N-Tor Typen wie in Kapitel 4 angegeben. 

Ausgehend von diesem allgemeinen OPF-Problem werden dann alle 

Komponenten (3.13) des gesamten linearen Gleichungssystems (3.14), 

die von den OPF-Problemfunktionen abhängig sind, automatisch, ebenfalls 

in algebraischer Form berechnet. Mit dieser Methode wird garantiert, 

dass in den komplexen Komponenten des Gleichungssystems 

(3.14) keine Programmierungsfehler mehr enthalten sind. 

Die Abbildung 5.1 zeigt das Verfahren zur Erstellung des zu lösenden 

Gleichungssystems (3.14) für den OPF-Algorithmus. Der “algebraische 

” Teil besteht aus der Kombination von einfachen Musternetzen, 

die aus drei Grundkomponenten (Knoten-Zweig-Knoten) zusammengesetzt 

sind. Dieser Teil baut eine Datenbank auf, die vom “numerischen 

” Teil benutzt wird. 

59 


60 KAPITEL 5. SOFTWARE-ENTWICKLUNG 

Grundblock 

Teilmatrizen 

Maple ( Algebraisch ) 

Teilvektoren 

Unterroutinen 

Jacobimatrix 

rechte Seite 

Maple ( Algebraisch ) 

Fortran ( Algebraisch ) 

Fortran ( Numerisch ) 

Abbildung 5.1: Aufbauschema zur Erstellung der Teilvektoren und der Teilmatrizen 

Als erster Schritt (Grundblöcke) wird für jedes benutzte Musternetz 

das entsprechende symbolische Gleichungssystem, wie im Abschnitt 

4.6.1 bezeichnet, explizit berechnet, wobei alle Parameter und Unbekannte 

mit symbolischen algebraischen Namen bezeichnet werden. 

In einer zweiten Phase wird jedes erzeugte Gleichungssystem in mehrere 

Teilvektoren und Teilmatrizen unterteilt, welche die Blockvektoren 

RHSi bzw. die Blockmatrizen Ji,i des Systems darstellen. Es 

ist möglich, dass ein Blockvektor oder eine Blockmatrix von den Variablen 

oder Konstanten verschiedener Grundkomponenten abhängig 

ist. In diesem Fall werden die Blöcke in mehrere Teile getrennt, welche 

nur von den Elementen einer Grundkomponente abhängig bleiben. 

Die Summe der aufgestellten Teilvektoren und Teilmatrizen muss wieder 

das ursprüngliche lineare Gleichungssystem ergeben. 

Im dritten Schritt wird jeder erzeugte Teilvektor und jede Teilmatrix 

als Fortran-Unterroutine gespeichert. Für jeden Vektor und jede Matrix 

wird eine eigene Unterroutine automatisch generiert. 


5.1. EINFÜHRUNG 61 

Die gespeicherten Unterroutinen werden in der vierten und letzten 

Phase durch das Hauptoptimierungsprogramm für die Erzeugung des 

gesamten linearen Gleichungssystems aufgerufen. Die Summe der Teilmatrizen 

ergeben die Jacobimatrix, die Summe der Teilvektoren bauen 

die rechte Seite des Gleichungssystems auf. Die numerischen Werte 

(für Parameter und zustandsabhängige Funktionen) werden nur in 

diesem Schritt eingesetzt. Das gesamte lineare Gleichungssystem kann 

jetzt mit Hilfe eines öffentlich verfügbaren Softwarepaketes [30] gelöst 

werden. 

Die ersten zwei Schritte werden mit Hilfe der Entwicklungsumgebung 

“Maple V ” programmiert. Die in den ersten Phasen abgeleiteten algebraischen 

Funktionen werden als auto-generierte Fortran-Unterroutinen 

in den Phasen 3 und 4 wieder verwendet. 

5.1.1 Eigenschaften von “Maple V ” 

Die Entwicklungsumgebung “Maple V ” [31] wurde erfolgreich für die 

Erzeugung der symbolischen Gleichungen sowie der entsprechenden 

Teilvektoren und Teilmatrizen angewendet. 

“Maple V ” ist ein System für die mathematische symbolische Berechnung 

und wurde an der Universität Waterloo und an der Eidgenössischen 

Technischen Hochschule Zürich, um komplexe algebraische Probleme 

zu lösen, entwickelt. 

Dieses Paket wird in der vorliegenden Arbeit vor allem benutzt wegen 

seiner besonderen Fähigkeiten, Matrizen zu behandeln, algebraische 

Ableitungen zu berechnen und komplexe Ausdrücke zu vereinfachen. 

“Maple V ” bietet zudem die Möglichkeit, beliebige symbolische Ausdrücke 

in anderen Programmiersprachen (C und Fortran) automatisch 

zu konvertieren. 

5.1.2 Anpassungsfähigkeit für Änderungen und Ergänzungen 

Die Bauart durch Blöcke und die Benutzung von einfacheren Musternetzen 

(2-Knoten Netz) erleichtert Änderungen und Ergänzungen der 

Software. Es ist so einfach möglich, das lineare Gleichungssystem z.B. 

durch eine neue transformierte Ungleichheitsnebenbedingung zu er- 



weitern. 

Dieses ist nur nach einer Änderung der betreffenden Grundkomponente 

und also auch der entsprechenden Teilvektoren und Teilmatrizen 

notwendig. “Maple V ” erlaubt es, neue Elemente einfach symbolisch 

zu addieren. Die Übersetzung der Teilvektoren und Teilmatrizen in 

Fortran-Unterroutinen stellt kein Problem dar, weil sie automatisch 

mittels eines “Maple V ” -Programms durchgeführt wird. 

5.1.3 Benutzte Grundkomponenten 

Das Problem wird durch das Entwickeln von typischen Grundblöcken 

gelöst, aus denen jedes beliebige elektrische Übertragungssystem zusammengesetzt 

werden kann. 

In der vorliegenden Arbeit werden vier Grundkomponenten benutzt: 

• Slackknoten 

• allgemeine Knoten (Generator- und/oder Lastknoten) 

• Übertragungsleitungen 

• Transformatoren 

Die Querimpedanzen werden direkt in den zugehörigen Knoten (Slackknoten 

und allgemeiner Knoten) integriert. Das bedeutet, dass in 

den Knotenblockskomponenten auch die Querimpedanzblöcke enthalten 

sind. 

Jede Grundkomponente beeinflusst das lineare Gleichungssystem (3.14) 

individuell. Dieser Einfluss bestimmt die Teilmatrizen und die entsprechenden 

Vektoren der Komponenten. 

5.2 Erzeugung der Teilvektoren und Teilmatrizen 

Das gesamte Gleichungssystem (3.14) ist eine Summe von Teilvektoren 

und Teilmatrizen. Die Erzeugung aller Teilelemente wird mit Hilfe 

von einfacheren 2-Knoten Musternetzen, die in algebraischer Form 

dargelegt sind, durchgeführt. Für eine einfache Behandlung werden 

drei verschiedene Musternetze benutzt und zwar: 

1. allgemeiner Knoten-Übertragungsleitung-Slackknoten 


5.2. ERZEUGUNG DER TEILELEMENTE 63 

2. Slackknoten-Übertragungsleitung-allgemeiner Knoten 

3. allgemeiner Knoten-Transformator-Slackknoten 

Die Teilelemente der allgemeinen Knoten und der Übertragungsleitungen 

werden aus dem ersten Netz und die der Slackknoten aus dem 

zweiten genommen. Die Teilelemente der Transformatoren werden 

schliesslich aus dem dritten Musternetz abgeleitet. Jedes Musternetz 

wird aber mit der gleichen Methode behandelt, welche in den folgenden 

Abschnitten beschrieben wird. 

5.2.1 “Maple V ” Umgebung 

Nachdem alle Unbekannten und Parameter algebraisch definiert sind, 

wird die Admittanzmatrix Y des elektrischen Netzes berechnet. Die 

benötigten Gleichheits- und Ungleichheitsnebenbedingungen werden 

ebenfalls gebildet. Die algebraische Form der Zielfunktion kommt in 

diesem Teil nicht vor. Sie wird nachher separat mit eigenen Teilvektoren 

und Teilmatrizen in das Gleichungssystem eingefügt, um die 

eventuellen Erweiterungen oder Änderungen in der Zielfunktion flexibel 

zu ermöglichen. 

Die Lagrange-Funktion L sieht also ähnlich aus wie (4.27), nur ohne 

Zielfunktion. Mit der berechneten Lagrange-Funktion kann jetzt die 

rechte Seite des linearen Gleichungssystems (3.14) gebildet werden. 

In der “Maple V ” -Umgebung werden die Ableitungen der Lagrange- 

Funktion nach dem Variablenvektor x automatisch gebildet. 

Jeder Knoten i des elektrischen Verteilnetzes erzeugt folgenden Teil 

der rechten Seite (right hand side (RHS)): 

mit 

RHSKnoteni = {−c ′ , b1, b2, b3} (5.1) 

c ′ = { ∂L 

∂ei 

, ∂L 

, 

∂fi 

∂L 

, 

∂Pi 

∂L 

} 

∂Qi 

b1 = { −gei ,−gfi ,−guG i } 



b2 = {−(humax + z 

i 2r 

umax ), −(humin + z 

i 

i 2r 

umin ), 

i 

−(hPmax + z 

i 2r 

), −(hPmin + z Pmaxi i 2r 

), Pmini −(hQmax + z 

i 2r ), −(hQmin + z Qmaxi i 2r )} Qmini b3 = {−µ 2s 

umax z 

i 

2r 

umax , −µ 

i 

2s 

umin z 

i 

2r 

umin , 

i 

−µ 2s 

z Pmaxi 2r 

, −µ Pmaxi 2s 

z Pmini 2r 

, Pmini −µ 2s 

z Qmaxi 2r 

, −µ Qmaxi 2s 

z Qmini 2r 

} (5.2) 

Qmini Jeder Zweig i des elektrischen Verteilnetzes erzeugt folgenden Teil der 

rechten Seite: 

mit 

c ′ = {− ∂L 

RHSZweigi−j = {−c′ , b1, b2, b3} (5.3) 

∂trei−j i 

, − ∂L 

∂trei−j i 

b1 = {−gti−j i , −gΘti−j i } 

b2 = {−(himax i−ji 

−(htmax i−ji 

−(hΘtmax i−ji 

} 

+ z 2r 

), −(hPmax imaxi−ji i−ji 

+ z 2r 

), −(htmin tmaxi−ji i−ji 

+ z 2r 

), −(hΘtmin Θtmaxi−ji i−ji 

b3 = {−µ 2s 

imax z 

i−ji 

2r 

imax , −µ 

i−ji 

2s 

Pmax z 

i−ji 

2r 

Pmax , 

i−ji 

+ z 2r 

), Pmaxi−ji + z 2r 

), tmini−ji + z 2r 

)} 

Θtmini−ji Diss.-ETH 12437 Diss.-ETH 12437 Diss.-ETH 12437 Diss.-E

5.2. ERZEUGUNG DER TEILELEMENTE 65 

−µ 2s 

tmax z 

i−ji 

2r 

tmax , −µ 

i−ji 

2s 

tmin z 

i−ji 

2r 

tmin , 

i−ji 

−µ 2s 

z Θtmaxi−ji 2r 

, −µ Θtmaxi−ji 2s 

z Θtmini−ji 2r 

} (5.4) 

Θtmini−ji Die rechte Seite des linearen Gleichungssystems eines Musternetzes 

wird der gesamte Satz der RHS-Blockvektoren des ersten und des 

zweiten Knotens (5.1) und der RHS-Blockvektoren des dazwischenliegenden 

Zweiges (5.3): 

RHSMuster = {RHSKnoteni , RHSKnotenj , RHSZweigi−j } (5.5) 

Die Jacobimatrix des gesamten Gleichungssystems wird für ein allgemeines 

Musternetz durch die symbolische Ableitung der rechten Seite 

RHSMuster nach allen Variablen gebildet. In “Maple V ” wird dies 

durch einen einzigen Befehl (“jacobian ” ) durchgeführt. Das Ergebnis 

ist eine Matrix mit einer blockorientierten Zusammensetzung (siehe 

Abschnitt 4.6.1). 

⎡ 

⎢ 

JMuster = ⎢ 

⎣ 

JKnoteni,Knoteni 

JKnotenj,Knoteni 

JZweigi−j,Knoteni 

JKnoteni,Knotenj JKnoteni,Zweigi−j 

JKnotenj,Knotenj JKnotenj,Zweigi−j 

JZweigi−j,Knotenj JZweigi−j,Zweigi−j 


⎤ 

⎥ 

⎦ 

(5.6) 

Für jeden Block dieses Gleichungssystems werden die verschiedenen 

Einflüsse der Grundelemente Knoteni, Knotenj und Zweigi−j unterschieden. 

Die Blockmatrizen JKnoteni,Knoteni und JKnotenj,Knotenj und 

die Blockvektoren RHSKnoteni und RHSKnotenj enthalten sowohl Variablen 

und Konstanten der zugehörigen Knoten als auch Parameter 

des Zweiges. Die Zweigparameter kommen aus den Lastflussgleichungen 

(4.14) und (4.15), in denen auch die Zweigströme ii−ji bzw. ii−jj 

enthalten sind. Die Blöcke werden in zwei Teile getrennt. Der erste 

Teil besteht nur aus den Variablen und Konstanten der Knoten und 

der zweite Teil aus den Variablen und Konstanten der Zweigelemente.


Die Summe der beiden Teile muss wieder die ursprünglichen Blockmatrix 

bzw. Blockvektor ergeben. Die Blockmatrix der Knoten i wird 

z.B. wie folgt unterteilt: 

JKnoteni,Knoteni = JKnotenKnoten i ,Knoten i + JZweigKnoten i ,Knoten i 

Die Nebendiagonalmatrizen JKnoteni,Knotenj und JKnotenj,Knoteni bestehen 

nur aus den Elementen des Zweiges vom Knoten i zum Knoten 

j. 

Nach der Erzeugung der Jacobimatrix JMuster und der rechten Seite 

RHSMuster der drei Musternetze werden für jede Grundkomponente 

die folgenden Teilmatrizen und Teilvektoren gefunden: 

• Slackknoten: RHSSlackKnoten i ,JSlackKnoten i ,Knoten i 

• Allgemeine Knoten: RHSKnotenKnoten i ,JKnotenKnoten i ,Knoten i 

• Übertragungsleitung (Lt): 

JLtKnoten i ,Knoten i , JLtKnoten i ,Lt i−j , JLtKnoten i ,Knoten j , 

JLtKnoten j ,Knoten j , JLtKnoten j ,Knoten i , JLtKnoten j ,Lt i−j , 

JLtLt i−j ,Knoten i , JLtLt i−j ,Knoten j , JLtLt i−j ,Lt i−j , 

RHSLtKnoten i , RHSLtKnoten j , RHSLtLt i−j 

• Transformatoren (Tr): 

JTrKnoten i ,Knoten i , JTrKnoten i ,Tr i−j , JTrKnoten i ,Knoten j , 

JTrKnoten j ,Knoten j , JTrKnoten j ,Knoten i , JTrKnoten j ,Tr i−j , 

JTrTr i−j ,Knoten i , JTrTr i−j ,Knoten j , JTrTr i−j ,Tr i−j , 

RHSTrKnoten i , RHSTrKnoten j , RHSTrTr i−j 


5.3. BERÜCKSICHTIGUNG VON OPTIMIERUNGSVARIABLEN 67 

Die gefundenen Teilvektoren und Teilmatrizen werden separat im “Maple 

V ” -Format gespeichert. 

Die Erzeugung der Teilvektoren und der Teilmatrizen der Zielfunktion 

geschieht durch ein identisches Verfahren. In diesem Fall enthält die 

Lagrangefunktion L nur die Zielfunktion. 

Diese Methode bietet die Möglichkeit Zielfunktionen zu erweitern, ohne 

dass die bestehenden Teilvektoren oder Teilmatrizen geändert werden 

müssen. In der vorliegenden Arbeit wird hauptsächlich die Minimierung 

der gesamten Verluste eines elektrischen Übertragungsnetzes 

durch die Formel (4.10) als Zielfunktion betrachtet. 

5.2.2 Fortran Umgebung 

Die Teilvektoren und die Teilmatrizen werden von “Maple V ” auf 

Fortran-Unterroutinen übertragen. Dieser Sprachenwechsel hat folgende 

Vorteile: 

• Die Laufzeit von “Maple V ” -Programmen ist für rein numerische 

Berechnungen viel länger als mit Fortran 

• Numerische, iterative Probleme sind mit Fortran einfacher lösbar 

DieoptimaleLösung besteht darin, “Maple V ” für die algebraischen 

Vorberechnungen und Fortran-Codegenerierung und Fortran für die 

numerischen Berechnungen zu brauchen. 

Das Softwarepaket Macrofort [32] ermöglicht eine vollständige Erzeugung 

von Fortran-Code aus “Maple V ” . Dieses Paket enthält eine Reihe 

von Makrobefehlen, welche die Erzeugung von Fortran-Unterroutineninder“MapleV 

” -Umgebung vereinfachen. 

In der vorliegenden Arbeit werden alle erzeugten Teilvektoren und 

Teilmatrizen mit Hilfe von Macrofort in Unterroutinen umgewandelt. 

Dieser Schritt wird durch ein “Maple V ” -Programm vollautomatisch 

durchgeführt. 

5.3 Berücksichtigung von Optimierungsvariablen 

Für die Erzeugung der Jacobimatrix und der rechten Seite des linearen 

Gleichungssystems (3.14) eines Optimierungsproblems wird eine 



Reihenfolge aller Problemvariablen benötigt. In dieser Reihenfolge 

werden die Teilvektoren und die Teilmatrizen an den geeigneten Stellen 

des linearen Gleichungssystems eingefügt. In der Abbildung 5.2 

wird dieses Aufbauschema zur Erstellung des gesamten Gleichungssystems 

schematisch dargestellt. 

Konfiguration Reihenfolge 

Netzdaten aller Variablen 

Jacobimatrix 

und 

rechte Seite 

Unterroutinen 

Abbildung 5.2: Aufbauschema zur Erstellung des gesamten Gleichungssystems 

Die Reihenfolge enthält die berücksichtigten Optimierungsvariablen, 

die durch die Konfiguration und die Netzdaten des elektrischen Übertragungsnetzes 

bestimmt werden. Das bedeutet, dass nicht alle Optimierungsvariablen 

von Knoten (4.28) und Zweigen (4.30) berücksichtigt 

sein müssen. 

Ein 3-Knoten Netz, wie es z.B. in der Abbildung 4.3 gezeigt wurde, 

wird durch 

• einen Slackknoten (Knoten1), 

• einen Generatorknoten (Knoten2), 

• einen Lastknoten (Knoten3), 

• eine Übertragungsleitung (Zweig1−2)(L), 

• und einen Transformator mit regelbarem Übersetzungsverhältnis 

(Zweig2−3)(T) 


5.3. BERÜCKSICHTIGUNG VON OPTIMIERUNGSVARIABLEN 69 

gebildet. 

Die Informationen über die Berücksichtigung der Optimierungsvariablen 

(siehe Tabellen 5.1 und 5.2 ) werden in einer Datei vor Beginn 

der Optimierungsrechnung gespeichert. 

Berücksichtigte Knotenvariablen 

Knoten e f PG QG ge gf guG umax umin Pmax Pmin Qmax Qmin 

1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 

2 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 

3 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 

Tabelle 5.1: Berücksichtigte Knotenvariablen eines 3-Knoten Netzes 

Berücksichtigte Zweigvariablen 

Knoten 

Typ von zu tre tim gt gΘt imax Pmax tmax tmin Θtmax Θtmin 

L 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 

T 2 3 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 

Tabelle 5.2: Berücksichtigte Zweigvariablen eines 3-Knoten Netzes 

Die berücksichtigten Variablen werden in der erzeugten Datei durch 

Einser bezeichnet. Durch umax, umin, Pmax, Pmin, Qmax, Qmin, imaxi−j, 

Pmaxi−j, tmaxi−j, tmini−j, Θtmaxi−j und Θtmini−j werden die Optimierungsvariablen 

µ und z der entsprechenden Ungleichheitsnebenbedingungen 

gesammelt. Die Variablen λ der Gleichheitsnebenbedingungen 

werden durch ge, gf, guG, gti−j und gΘti−j berücksichtigt. Die berücksichtigten 

Variablen der Gleichheitsnebenbedingungen und der Ungleichheitsnebenbedingungen 

werden gleichermassen durch eine Eins 

bezeichnet. 

Der Vorteil dieser Methode ist die grössere Flexibilität bei der Behandlung 

von Optimierungsvariablen. Es ist möglich, vor der Optimierungsrechnung 

die Datei beliebig zu ändern. Neue Variablenkombinationen 

eines Optimierungsproblems können also ohne jegliche 



Code-Änderungen berechnet werden. 

Jede Variable wird, falls sie berücksichtigt ist, vor dem Optimierungsalgorithmus 

auf den Anfangswert gesetzt, sonst wird sie auf Null gesetzt. 

5.4 Erzeugung des linearen Gleichungssystems 

Zur Erzeugung des gesamten linearen Gleichungssystems werden keine 

zusätzlichen Ableitungen der KKT-Nebenbedingungen mehr benötigt. 

Die Elemente können als Summe von Teilvektoren und Teilmatrizen, 

die vorher schon berechnet wurden, ausgedrückt werden. Die Teilvektoren 

und die Teilmatrizen können als Programmbibliothek von 

Funktionen behandelt werden. 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 

1 x x x x x x x x 

2 x x x x x x x x 

3 x x x x x x 

4 x x x x x x 

5 x x x x 

6 x x x x 

7 

8 x x x 

9 x x x 

10 x x 

11 x x 

12 x x 

13 x x 

14 x x 

15 x x 

16 x x 

17 x x 

18 x x 

19 x x 

(5.7) 

Das OPF-Programm braucht für die Erzeugung des im Speicher residenten, 

grossen linearen Gleichungssystems nur zwei Informationen. 


5.4. ERZEUGUNG DES LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMS 71 

Die erste Information ist die Konfiguration des elektrischen Übertragungsnetzes. 

Man muss kennen, welche und wieviel Grundkomponenten 

das elektrische Übertragungsnetz enthält und wie die Grundkomponenten 

untereinander verbunden sind. 

Zweitens muss man für jede Grundkomponente wissen, welche die 

berücksichtigten Variablen sind. Diese stellen die OPF-Variablen dar 

und werden die notwendige Reihenfolge erzeugen. 

Die Teilvektoren und die Teilmatrizen der Knoten haben alle die gleiche 

Dimension. Sie ist gleich der Anzahl der Knotenvariablen (4.28). 

Für die Teilvektoren und die Teilmatrizen von Zweigen ist die Dimension 

gleich der Anzahl der Zweigvariablen (4.30). 

Bei der Erzeugung des linearen Gleichungssystems werden die Teilvektoren 

und die Teilmatrizen der Reihenfolge der entsprechenden 

Grundblockvariablen angepasst. Als Beispiel ist in (5.7) eine Teilmatrix 

des Generatorknotens 2, der in der Tabelle 5.1 gezeigt wird, 

dargestellt. Sie entspricht der Ableitung der rechten Seite RHSKnoten2 

(siehe (5.1)) nach allen “eigenen ” Knotenvariablen. Die x stellen in 

der Teilmatrix die skalaren Nicht-Null-Elemente dar. 

Durch das Ausscheiden der nicht-berücksichtigten Optimierungsvariablen 

gemäss Tabelle 5.1 wird die Teilmatrix (5.7) auf eine neue Matrix 

(5.8) reduziert. 

1 2 4 5 6 8 9 12 13 14 15 18 19 

1 x x x x x x x 

2 x x x x x x x 

4 x x x x x x 

5 x x x 

6 x x x 

8 x x x 

9 x x x 

12 x x 

13 x x 

14 x x 

15 x x 

18 x x 

19 x x 

(5.8) 



Die algebraischen Variablen und Konstanten des Generatorknotens 

werden jetzt durch die entsprechenden numerischen Werten ersetzt. 

Die nicht-berücksichtigten x-Variablen werden auf die Anfangswerte 

gesetzt und als Konstante betrachtet. Die anderen nicht-berücksichtigten 

Optimierungsvariablen (λ, µ und z) werden auf Null gesetzt. 

Die reduzierte Teilmatrix (5.8) muss nun an der richtigen Stelle in die 

Jacobimatrix eingefügt werden. Da die Reihenfolge der berücksichtigten 

Variablen bekannt ist, wird die gesamte Jacobimatrix einfach als 

Summe von allen angepassten Teilmatrizen erstellt. Die Abbildung 

5.3 zeigt dieses Vorgehen für das 3-Knoten Netz. 

Die rechte Seite des linearen Gleichungssystems wird gleicherweise als 

Summe aller Teilvektoren aufgebaut. 

01 

01 

Knoten 1 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

0 

01 

1 

01 

01 

01 

01 

Leitung 1-2 

+ 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

Transformator 2-3 

+ + 


01 

01 

Knoten 2 Knoten 3 

+ = 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

Jakobimatrix 

Abbildung 5.3: Aufbauschema, ausgehend von den angepassten Teilmatrizen der 

Grundkomponenten zur Erstellung der gesamten Jacobimatrix des 3-Knoten Netzes 

5.5 Die optimale Lastflusslösung 

Das Hauptprogramm des optimalen Lastflusses kann durch das vereinfachte 

Flussdiagramm in Abbildung 5.4 erläutert werden. 

In einer ersten Phase werden die Daten eines elektrischen Übertragungsnetzes 

eingelesen. Aus der Netzkonfiguration wird auch die Reihenfolge 

aller berücksichtigten Variablen erzeugt, die vor dem Beginn

5.5. DIE OPTIMALE LASTFLUSSLÖSUNG 73 

der Optimierungsrechnung in einer Datei gespeichert wurden. 

Die Jacobimatrix und die rechte Seite des gesamten linearen Gleichungssystems 

wird als Summe der angepassten Teilmatrizen und Teilvektoren 

von Knoten und Zweigen aufgebaut. Das lineare Gleichungssystem 

übernimmt die numerischen Werte von den eingelesenen Netzdaten. 

Da die erzeugte Jacobimatrix stark schwachbesetzt ist, kann für die 

Lösung des gesamten linearen Gleichungssystems das Programmpaket 

UMFPACK [30] (“unsymmetric-pattern multifrontal package ” )benutzt 

werden. UMFPACK löst schwachbesetzte lineare Gleichungssysteme 

vom Typ Ax = b, wobeiAschwachbesetzt ist und unsymmetrisch 

sein kann. Die Lösung wird durch eine klassische L-R-Zerlegung 


Die Optimierungsvariablen werden nach der Lösung des Gleichungssystems 

durch die ∆-Werte aktualisiert. 

x := x + α∆x 

λ := λ + α∆λ 

µ := µ + α∆µ 

z := z + α∆z (5.9) 

Der Dämpfungsfaktor α wird heuristisch im voraus bestimmt und 

bleibt in dieser Arbeit während der OPF-Berechnung eines Netzes 

unverändert. Der Wert und der Einsatz von α werden im nächsten 

Kapitel näher betrachtet. In zukünftigen Arbeiten könnte dieses Festhalten 

eines netzabhängigen α-Wertes durch eine automatische, programmgesteuerte 

Berechnung des optimalen α-Wertes ersetzt werden. 

Nach der Aktualisierung der Variablen (5.9) wird die Konvergenz des 

OPF-Algorithmus geprüft. Falls alle absoluten Werte der rechten Seite 

des Gleichungssystem (3.14) kleiner als eine gegebene Toleranzschwelle 

ɛ sind, werden die Ergebnisse gedruckt. Der Optimierungsalgorithmus 

hat konvergiert. 



Wäre dies nicht den Fall, würden die Jacobimatrix und die rechte Seite 

des gesamten Gleichungssystems (3.14) noch einmal erstellt. Die 

Variablen werden durch die aktualisierten Werte numerisch ersetzt. 


5.5. DIE OPTIMALE LASTFLUSSLÖSUNG 75 

Einlesen der N-Tor Parameter, 

der Topologie und der aktiven OPF-Variablen 

Numerische Berechnung, Erstellung der Jacobimatrix 

und der rechten Seite des Gleichungssystems (3.14) 

Lösung des Gleichungssystems (3.14) 

Aktualisierung aller Variablen 

|RHS|Max



Kapitel 6 

Robustheitsaspekte 

Mehrere Faktoren können die Lösung eines “unlimited point ” OPF- 

Algorithmus beeinflussen. Die Robustheit des Algorithmus ist sowohl 

vom Lösungsverfahren selber, als auch von der Anfangswahl der unbekannten 

Variablen abhängig. 

Die Wahl von Lösungsstrategien innerhalb des “unlimited point ” -Algorithmus 

ist ein entscheidender Punkt. Man kann drei Strategien 

unterscheiden: 

• der Optimale Lastfluss wird direkt gelöst (siehe Abschnitt 5.5), 

• der Optimale Lastfluss wird nach einer Anfangslastflussrechnung 

gelöst, 

• die Begrenzungen werden alle von Anfang an oder während des 

OPF-Algorithmus nach jeder Iteration gestaffelt eingefügt. 

Die Robustheit des OPF-Algorithmus wird zudem von der Wahl folgender 

Problemvariablen und Konstanten abhängig sein: 

• die Anfangswerte der Variablen λ o , µ o und z o 

• die Werte von r und s 

• derWertdesDämpfungsfaktor α 

Die Wahl der Werte der Variablen, Konstanten und des geeigneten 

Verfahrens sind stark von der Dimension und von der Topologie des zu 

optimierenden, elektrischen Übertragungsnetzes abhängig. In diesem 

Kapitel werden diese Einflüsse näher analysiert. 

77 


78 KAPITEL 6. ROBUSTHEITSASPEKTE 

6.1 Optimales Lastflussverfahren 

Dieses Verfahren (siehe auch das Flussdiagramm der Abbildung 5.4) 

ist die einfachste Methode, um das Optimierungsproblem (3.14) zu 

lösen. Man kommt bei kleinen Netzen (d.h. bis zu 40 Knoten) auf die 

schnellsten Konvergenzen und Rechenzeiten. 

Die Erfahrung hat gezeigt, dass schon bei mittelgrossen elektrischen 

Übertragungssystemen (d.h. bis zu 200 Knoten) Konvergenzprobleme 

auftauchen. Das bedeutet, dass die Einfügung zu vieler Ungleichheitsnebenbedingungen 

am Anfang des Verfahrens zu einer unrealistischen 

Anfangslage führt. Das Newton-Raphson-Verfahren kann in diesem 

Fall die Lösung der Optimalitätsbedingungen nicht mehr finden. 

Um dieses Problem bei grösseren elektrischen Übertragungssystemen 

zu vermeiden, werden die vorher bezeichneten Strategien erfolgreich 

angewendet. 

6.2 Optimaler Lastfluss nach einer Lastflussrechnung 

Mit dem entwickelten OPF-Programm besteht auch die Möglichkeit 

normale Lastflüsse zu berechnen. Das Software benötigt zu diesem 

Zweck keine speziellen Änderungen. Die notwendigen Problemvariablen 

des Lastflusses müssen vor Beginn des Algorithmus in der Variablendatei 

auf Eins gespeichert werden, alle anderen auf Null. 

Berücksichtigten Knotenvariablen 

Knoten e f PG QG ge gf guG umax umin Pmax Pmin Qmax Qmin 

1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 

2 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 

3 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 

Tabelle 6.1: Berücksichtigten Lastflussvariablen eines 3-Knoten Netzes 

Tabelle 6.1 enthält die berücksichtigten Knotenvariablen eines 3-Knoten 

Netzes (das gleiche Beispiel (siehe Abbildung 4.3) wird für einen 


6.2. OPF NACH EINER LASTFLUSSRECHNUNG 79 

optimalen Lastfluss auch in den Tabellen 5.1 und 5.2 dargestellt), die 

für eine Lastflussrechnung notwendig sind. Alle Variablen der Ungleichheitsnebenbedingungen 

sind auf Null gesetzt (d.h. nicht-berücksichtigt). 

Beim Slackknoten 1 und dem Generatorknoten 2 werden 

die Gleichheitsnebenbedingung guG 2 berücksichtigt. Durch die Last- 

flussrechnung müssen die Spannungsbeträge |uo 1 | und |uo2 | eingehalten 

werden (siehe (4.16)). Die Zweigvariablen sind alle nicht-berücksichtigt 

und werden in der Tabelle 6.1 nicht gezeigt. 

Nach der Lastflussrechnung werden die numerischen Werte der Optimierungsvariablen 

e, f ohne f des Slackknotens, P des Slackknotens, 

QG, λe und λf als Eingabewerte für den OPF-Algorithmus genommen. 

Max. Mismatch 

10 1 

10 0 

10 −1 

10 −2 

__ optimal power flow after power flow 

−− only optimal power flow 

10 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

−3 

Iteration 

Abbildung 6.1: Vergleich der absoluten Werte der rechten Seite (maximale Mismatch) 

für 57-Knoten Netz 

Der Vergleich der beiden Methoden zeigt einen besonders grossen Vorteil 

dieses Verfahrens gegenüber einem “Nur ” -OPF-Verfahren. Bei der 

Lastflussrechnung werden die Anfangswerte der rechten Seite des linearen 

Gleichungssystems stark reduziert. Bei der Optimierung grosser 



elektrischer Übertragungssysteme führtdieserLösungsansatz zu einer 

besseren Stabilität des Konvergenzverlaufs. 

Die Anzahl Iterationen des Newton-Raphson-Algorithmus wird von 

diesem gemischten Verfahren praktisch nicht beeinflusst. Die Iterationen 

der Lastflussrechnung wurden aber nicht dazugezählt. In Abbildung 

6.1 ist der Vergleich des maximalen absoluten Mismatches der 

beiden Methoden für ein 57-Knoten Netz graphisch dargestellt. 

6.3 Gestaffelte Einfügung der Begrenzungen 

Bei der dritten Variante steht die gestaffelte Einführung der Variablengrenzen 

im Vordergrund. Bei der optimalen Lastflussrechnung muss 

aber diesbezüglich vorsichtig vorgegangen werden. In realen Netzwerken 

nimmt z.B. die unbegrenzte Lösung oft unrealistische Grössen 

an, der Verlauf kann nicht mehr konvergieren. Das würde bedeuten, 

dass die meisten Spannungsbegrenzungen stark verletzt sind. Eine 

Begrenzung wird verletzt, wenn die obere oder die untere Grenze der 

entsprechenden Variable überschritten wird. 

Diese Konvergenzprobleme können mit verschiedenen Einführungsstrategien 

der berücksichtigten Grenzen gelöst werden. Im idealen 

Fall sollten nur die im Optimum berücksichtigten Grenzen während 

der Newton-Raphson-Iterationen aufgenommen werden. 

Die einfachste Methode wäre, sobald eine Grenze während des Verlaufes 

verletzt wird, die entsprechende Ungleichheitsnebenbedingung 

im linearen Gleichungssystem einzufügen. Diese Ergänzungen stellen 

grundsätzlich kein Problem dar. Nach jeder Iteration werden die 

Jacobimatrix und die rechte Seite des linearen Gleichungssystems wieder 

erstellt. Die Variablensequenz kann also nach jedem Schritt des 

Newton-Raphson-Verfahrens geändert werden. 

Durch diese Methode bleibt die Dimension des linearen Gleichungssystems 

stark reduziert, sie erzeugt allerdings schon bei mittelgrossen 

Netzwerken Konvergenzprobleme. 

Erfahrungsgemäss stellt das gestaffelte Einfügen der Grenzen (siehe 

Abbildung 6.2) die beste Strategie dar. In einer ersten Phase werden 

vor dem Newton-Raphson-Verfahren nur alle oberen und unteren 

Spannungsbegrenzungen im linearen Gleichungssystem eingefügt. 


6.3. GESTAFFELTE EINFÜGUNG DER BEGRENZUNGEN 81 

Diese Massnahme hat den Zweck, das allgemeine Spannungsniveau 

zwischen oder in der Nähe der Grenzen zu halten. 

BEGINN 

Alle Grenzen umax und umin 

berücksichtigen 

Newton-Raphson 

Schritt 

Sind nicht- 

berücksichtigte Grenzen 

verletzt? 

N 

|RHS|Max


Max. Mismatch 

10 2 

10 1 

10 0 

10 −1 

10 −2 

−− Nur verletzte Begrenzungen werden beruecksichtigt 

__ Gestaffelter Einsatz der Begrenzungen 

10 

0 2 4 6 8 10 12 14 

−3 

Iteration 

Abbildung 6.3: Vergleich der absoluten Werte der rechten Seite (maximale RHS- 

Mismatch) für 118-Knoten Netz 

Die Abbildung 6.3 zeigt einen Vergleich des maximalen RHS-Mismatches 

zwischen den beiden Einfügungsstrategien der Begrenzungen. 

In beiden Methoden wurden die Anfangswerte durch eine Lastflussrechnung 

bestimmt. 

Nach der vierten Iteration bleibt der maximale Mismatch mit einem 

gestaffelten Einsatz der Begrenzungen ungefähr zehn Mal tiefer als 

mit der anderen Methode. Es zeigt sich auch bei der Optimierung 

grösserer Netze, dass die gestaffelte Einfügung der Begrenzungen das 

stabilere Verfahren darstellt. 

6.4 Einfluss von Variablen und Konstanten 

Die Wahl der numerischen Anfangswerte der Variablen und der Konstanten 

beeinflusst den Konvergenzverlauf. Die Anzahl Iterationen 

oder die Konvergenz sind von deren Wahl stark abhängig. 

Die folgenden Resultate wurden durch ein gestaffeltes Grenzberück- 


6.4. EINFLUSS VON VARIABLEN UND KONSTANTEN 83 

sichtigungslösungsverfahren gemäss Abschnitt 6.3 berechnet. Die Werte 

sollten so gewählt werden, dass die Anzahl Iterationen und der maximale 

Mismatch für jedes elektrische Übertragungssystem möglichst 

tief bleiben. 

6.4.1 Dämpfungsfaktor α 

Die Optimierungsvariablen werden nach jedem Schritt des Newton- 

Raphson-Algorithmus bei der Aktualisierung durch einen Faktor α 

nach dem Schema v k+1 = v k + α∆v k beeinflusst. Dieser Einfluss wird 

auf ein 24-Knoten Netz in der Abbildung 6.4 zeigt. Aus diesem Beispiel 

können zwei Schlussfolgerungen gezogen werden. 

Max. Mismatch 

10 1 

10 0 

10 −1 

10 −2 

1.0 

10 

0 5 10 15 20 25 

−3 

Iteration 

Abbildung 6.4: Vergleich der absoluten Werte der rechten Seite (maximale RHS- 

Mismatch) für das 24-Knoten Netz mit verschiedenen α-Werte 

Erstens wird die Anzahl Iterationen bei kleineren α-Werte immer 

grösser. Zweitens bekommt der maximale RHS-Mismatch mit α =1 

anfänglich grosse Werte. 

Die Konvergenzgeschwindigkeit wird stark vom Dämpfungsfaktor α 


0.9 

0.8 

0.5


beeinflusst. Nach ausführlichen Versuche auch mit grösseren Netzen 

wurden die besten Ergebnisse mit α =0.8 erreicht. 

6.4.2 Optimierungsvariablen 

Die Anfangswerte der Optimierungsvariablen λ o haben auf den Optimierungsverlauf 

einen geringen Einfluss. Wurde ein gewöhnlicher 

Lastfluss vorberechnet, nehmen die λ-Variablen die aus dem “Lastfluss 

” resultierenden Werte an. Ein gewöhnlicher Lastfluss berechnet 

keine λ-Variablen. Der vorliegende Algorithmus liefert jedoch 

auch im Lastflussmodus für jede berücksichtigte Gleichheitsnebenbedingung 

einen λ-Wert. 

Maximum 

µ o z o Iterationen Mismatch 

1.0 1.0 12 2.309693 

1.0 0.8 11 2.179132 

1.0 0.5 11 1.949214 

1.0 0.3 10 1.770976 

0.8 1.0 11 1.908979 

0.8 0.8 10 1.710260 

0.8 0.5 10 1.319950 

0.8 0.3 - - 

0.5 1.0 10 4.128951 

0.5 0.8 10 2.707105 

0.5 0.5 9 1.772670 

0.5 0.3 7 1.326978 

0.5 0.2 14 11.936387 

0.4 0.2 10 2.315812 

Tabelle 6.2: Einfluss verschiedener µ o - und z o -Anfangswerte auf die Iterationszahlen 

und auf das Maximum des RHS-Mismatches des 24-Knoten Netzes (α =1.0 und 

gestaffelte Berücksichtigung der Grenzen) während aller Iterationen. 



Im Gegensatz dazu wird die Robustheit des OPF-Algorithmus durch 

die Anfangswerte der Variablen µ und z beeinflusst. Die Tabelle 6.2 

zeigt verschiedenen µ und z Kombinationen bei der Optimierung des 

24-Knoten Netzes. Das Zeichnen “- ” in der Tabelle bezeichnet einen 

nicht-konvergierten Lauf. “Maximum Mismatch ” ist der maximal erreichte 

Wert des Mismatches während des ganzen Lösungsverfahrens. 

Die Anfangswerte der Optimierungsvariablen µ o und z o werden somit 

erfahrungsgemäss auf µ o =0.8 und z o =0.5 gesetzt. Diese Wahl gilt 

auch als guter Kompromiss für die Optimierung grösserer elektrischer 

Übertragungssysteme. 

6.4.3 Problemkonstanten r und s 

Die Konstanten r und s beeinflussen den Lösungsprozess wie die zugehörigen 

Anfangswerte der Optimierungsvariablen µ und z. DieWahl 

grösserer Werte für r und s bringt für |µ| und |z| ≪1dieursprünglichen 

Werte µ 2s bzw. z 2r praktischzuNull(z.B.0.1 4 =0.0001). Es 

ist sinnvoll, ein Gleichgewicht zwischen den Werten von r und s und 

den Anfangswerten für µ und z zu finden. 

Maximum 

r s Iterationen Mismatch 

1 1 - - 

1 2 23 150.6139 

1 3 - - 

2 1 23 119.0354 

2 2 19 143.2015 

2 3 - - 

3 1 - - 

3 2 - - 

3 3 - - 

Tabelle 6.3: Einfluss verschiedener r- und s-Anfangswerte auf die Iterationszahlen 

und auf das Maximum des Mismatches des 685-Knoten Netzes (α =0.8, µ o =0.8, 

z o =0.5 und gestaffelte Berücksichtigung der Grenzen). 



In der Tabelle 6.3 werden die Anzahl Iterationen und das Maximum 

des Mismatches für das 685-Knoten Netz mit mehreren r- und s- 

Kombinationen verglichen. 

Die Versuche in diesem Abschnitt wurden mit den Erfahrungswerten 

für den Dämpfungsfaktor (α =0.8) und die Anfangswerte der 

Optimierungsvariablen (µ o =0.8 und z o =0.5) durchgeführt. Bei 

der Optimierung grosser elektrischer Übertragungssysteme wird die 

Konvergenz des OPF-Algorithmus stark von den Konstanten r und s 

abhängig. Das Verfahren divergiert schon mit r =3oders=3. 

Maximum 

r s Iterationen Mismatch 

1 1 12 1.197612 

1 2 16 0.944798 

1 3 14 0.986049 

2 1 12 1.109448 

2 2 16 0.742314 

2 3 13 0.760691 

3 1 14 1.112592 

3 2 11 0.686363 

3 3 9 0.586769 

4 4 - - 




Die Tabellen 6.4, 6.5 und 6.6 zeigen gleiche Resultate aber mit kleineren 

Netzen. Es zeigt sich, dass es nicht möglich ist, einen besten 

Wert für r und einen für s für alle elektrischen Übertragungssysteme 

zu finden. 

Die Kombination r = 2 und s =1führt für kein Netz auf die beste 

Lösung. Es scheint aber eine gute Wahl für alle getesteten Netze zu 

sein und führt immer zu Konvergenz. 



Maximum 

r s Iterationen Mismatches 

1 1 20 3.433069 

1 2 12 2.507200 

1 3 - - 

2 1 16 1.520602 

2 2 11 2.104718 

2 3 15 2.575030 

3 1 13 1.216072 

3 2 12 1.768743 

3 3 9 2.295826 

4 4 - - 




Maximum 

r s Iterationen Mismatches 

1 1 10 0.825696 

1 2 9 0.696194 

1 3 8 0.756834 

2 1 10 0.617402 

2 2 9 0.535737 

2 3 8 0.557025 

3 1 10 0.583092 

3 2 9 0.405450 

3 3 7 0.373208 

4 4 7 0.473175 

Tabelle 6.6: Einfluss verschiedenen r- und s-Anfangswerte auf die Iterationszahlen 






Kapitel 7 

Simulationsresultate der 

OPF-Rechnung 

7.1 Übersicht 

In dieser Arbeit werden mit dem “unlimited point ” -Algorithmus sowohl 

gewöhnliche Lastflussrechnungen als auch optimale Lastflussrechnungen 

untersucht. Die Robustheit des Algorithmus wird mit mehreren 

Testnetzen überprüft. Als Zielfunktion wird die Summe der 

gesamten Verluste der simulierten Testnetze (“reactive-only ” )eingesetzt. 

Am Ende dieses Kapitel wird auch ein Lösungsverlauf mit einer 

Kostenfunktion dargestellt. 

Folgende Punkte werden speziell besprochen: 

• CPU-Zeiten 

• Konvergenzverlauf 

• Iterationszahl 

Alle Zeitangaben beziehen sich auf eine Workstation der Reihe SUN 

Microsystems Inc. Ultra Sparc 1 (167 MHz), die unter dem Betriebssystem 

Solaris 2.5.1. betrieben wird. Um Rechenzeitvergleiche zu 

ermöglichen ist der MATLAB-Befehl “bench ” ausgeführt worden und 

in Tabelle 7.1 dargestellt. 

Die Genauigkeit des entwickelten Algorithmus wird mit der Toleranzschwelle 

ɛ =10 −2 erreicht. Im Fall der optimalen Lastflussrechnung 

müssen dazu alle existierenden, berücksichtigten Begrenzungen am 

Ende des Verlaufes eingehalten werden. 

89 


90 KAPITEL 7. SIMULATIONSRESULTATE 

Die OPF-Testläufe wurden mit einer gestaffelten Einfügung der Begrenzungen 

durchgeführt. Die Problemkonstanten r und s werden mit 

r = 2 und s = 1 eingesetzt. Der Dämpfungsfaktor α wird auf α =0.8 

gesetzt. 

Name 

Rechnertyp Ausführungszeiten [s] 

CPU Clock 

MHz 

Loops LU Sparse 

Sun Ultra Sparc 2 200 0.59 0.82 0.92 

PentiumPro, Win NT 200 0.86 0.76 1.17 

Sun Ultra Sparc 1 167 0.88 1.17 1.30 

DEC Alpha 400 233 1.66 1.26 1.60 

Mac 8500 180 2.26 1.41 1.27 

HP 735 125 1.08 1.06 2.09 

Sun Sparc 10 41 3.42 3.20 4.75 

Tabelle 7.1: Vergleich von Ausführungszeiten verschiedenen Rechnungsarten 

mit einigen Rechnern (Loops = Rechnungen mit Schleife, LU = MATLAB’s 

“LINPACK ” und Sparse = Lösen von schwachbesetzten Gleichungssystemen); Fett 

= in dieser Arbeit verwendeter Rechner. 

Die Anfangswerte der Optimierungsvariablen e, f, PG, QG, λe und λf 

werden vor dem OPF-Lösungsverfahren durch die Werte einer Lastflussrechnung 

bestimmt. Die Lagrange-Multiplikatoren der Ungleichheitsnebenbedingungen 

µ werden bei der Berücksichtigung der entsprechenden 

Begrenzungen auf µ o =0.8 gesetzt und die entsprechenden 

“slack ” -Variablen z o =0.5. 

Die mehrfach durchgeführten Testreihen haben mit den oben erwähnten 

Werten und Lösungsverfahren die gute Robustheit des entwickelten 

OPF-Algorithmus gezeigt. 

7.2 Testnetze 

Das angestrebte Ziel von möglichst kurzen Rechenzeiten konnte durch 

Testrechnungen von elektrischen Energieübertragungssystemen zwischen 

14 und 2500 Knoten bestätigt werden. 


7.2. TESTNETZE 91 

Dabei wurden die einzelnen Optimierungsläufe in Bezug auf Iterationszahl, 

Konvergenzverlauf und CPU-Zeitbedarf der gewählten Lösungsmethode 

analysiert. Da vor allem das Verhalten bei der Optimierung 

grosser Netze interessiert, wurden speziell ein 685-Knoten Netz 

(U.S.A-Ostküste) und ein 2550-Knoten Netz (Südteil-U.S.A) genauer 

untersucht. 

Die 14-, 30-, 57-, 118-, 162- und 300-Knoten Testnetze sind aus dem 

IEEE-Archiv [33] genommen. Die 24-, 41- und 72-Knoten Netze stammen 

aus dem CIGRE-Archiv. 

Knoten Gen. Leitungen Transformatoren PLastTot QLastTot 

1 2 3 MW MVar 

14 5 17 2 1 259.0 73.5 

24 11 33 - 5 - 2850.0 580.0 

30 6 37 4 - - 283.4 126.2 

41 10 25 14 29 - 1949.9 876.9 

57 7 64 16 - - 1250.8 336.4 

73 33 105 2 13 - 8550.0 1740.0 

118 54 177 9 - - 3668.0 1438.0 

162 12 238 46 - - 15387.4 1174.6 

685 164 1321 61 10 - 111035.0 109521.0 

2542 270 1953 1456 - - 47056.3 6608.3 

Tabelle 7.2: Strukturelle Eigenschaften der benutzten Testnetze. Die Transformatoren 

werden in nicht regulierbare Transformatoren (1), Transformatoren mit 

regulierbarem Betrag des Übersetzungsverhältnisses (2) und Transformatoren mit 

regulierbarem Winkel des Übersetzungsverhältnisses (3) unterschieden. 

Die Datensätze für alle Netze sind in “per unit ” (Bezugsleistung 100 

MVA) angegeben. Die Knotenspannungen sind auf eine Spannungsebene 

normiert, somit wurden alle Transformatoren wie normale Zweigelemente 

behandelt. In der Tabelle 7.2 sind die wichtigsten Kenngrössen 

der benutzten Testnetze zusammengefasst. 



7.3 Gewöhnlicher Lastfluss 

Im Abschnitt 6.2 wurde die Möglichkeit des Optimierungsprogramms, 

reine Lastflussrechnungen durchzuführen, dargestellt. Mittels dieser 

Methode wurden für die getesteten, elektrischen Übertragungssysteme 

die Lastflüsse bestimmt. 

Die in Tabelle 7.3 angegebenen Daten zeigen die gute Konvergenz des 

Algorithmus für die verschiedenen Netzdaten. Bei einer Lastflussrechnung 

sind die Iterationszahlen unabhängig von der Netzgrösse. Die 

Toleranzschwelle ɛ =10 −2 wird in den meisten Fällen schon nach 5-6 

Iterationen erreicht. 

Netz 

Anz. Verluste Verletzte Grenzen 

Iter. MW % umax umin Qmax Qmin 

14 4 13.4273 4.93 - - - 1 

24 5 51.5804 1.78 - - - - 

30 4 17.6320 5.86 - - 1 0 

41 6 24.7528 1.25 - - - - 

57 5 27.8343 2.17 - - 1 - 

73 5 158.2830 1.81 - - - - 

118 5 132.4786 3.47 - - 1 2 

162 5 166.5697 1.07 - - - - 

685 6 1393.6840 1.26 2 - 30 12 

2542 6 1454.3287 3.00 2 12 5 - 

Tabelle 7.3: Iterationszahlen, gesamte Verluste (in % der gesamten Netzlast) und 

verletzte Grenzen nach einer Lastflussrechnung für verschiedenen Netzgrössen. 

Die Verluste variieren zwischen 1.07% und 5.86% der gesamten erzeugten 

Wirkleistung. Ursache dieser unterschiedlichen Werte sind vorallem 

die angegebenen Datensätze der Transformatorenwiderstände R, 

die je nach Netzmodell stark variieren können. Die resultierenden Verluste 

bleiben aber alle in einem realistischen Bereich. 

In einigen Fälle wurden nach der Lastflussrechnung Variablengrenzen 

überschritten. Diese Verletzungen müssen später in der Optimierung 

des Lastflusses berücksichtigt werden. 


7.4. VERLUSTOPTIMIERUNG 93 

Von besonderer Bedeutung ist die Tatsache, dass der Rechenzeitbedarf 

etwa linear mit der Dimension des Problems wächst; ein Verhalten, 

das speziell bei Lastflussrechnungen grösserer Netze notwendig 

wird. In Abbildung 7.1 ist dieses Verhalten graphisch dargestellt. 

Die angegebenen Rechenzeiten beinhalten den Vorbereitungsteil mit 

dem Einlesen der Daten, für jede Iteration das Erstellen der benötigen 

Jacobimatrix und der rechten Seite, sowie die Lösung des erzeugten 

Gleichungssystems. 

CPU−Zeit [s] 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

0 500 1000 1500 

Knoten 

2000 2500 3000 

Abbildung 7.1: CPU-Zeiten einer Lastflussrechnung für verschiedenen Netzgrössen. 

7.4 Verlustoptimierung 

7.4.1 Iterationsverhalten 

Die Konvergenz des “reactive-only ” OPF-Algorithmus wurde durch 

mehrere Testnetze überprüft. In einer ersten Phase wurden alle Netzwerke 

ohne Änderung der Datensätze optimiert. Die Resultate der 

Simulationen sind in der Tabelle 7.4 zusammengefasst. 



Die dargestellte Iterationszahl berücksichtigt nur die Iterationen des 

OPF-Algorithmus; die der vorangegangenen Lastflussrechnung werden 

nicht gezählt. Die Konvergenzgeschwindigkeit des Verfahrens kann 

nicht anhand der Knotenzahl vorausgesehen werden. 

Die gesamten Verluste nehmen im Vergleich zu den erzeugten Verlusten 

bei den Lastflussergebnissen nach eine Optimierungsrechnung um 

10 - 20 % ab. 

Die Tabelle 7.4 zeigt auch die Anzahl der Spannungsbeträge und der 

Generatorenblindleistungen, die am Ende des Optimierungsverlaufes 

am Maximum oder am Minimum liegen. Mehrere Spannungsbeträge 

stehen auf dem maximalen Wert. Aufgrund dieser Beobachtung werden 

alle Spannungsbegrenzungen schon bei der ersten Iteration des 

OPF-Algorithmus eingefügt. 

Netz 

Anz. OPF-Verluste Ungl. an der Grenze Dimension 

Iter. MW % umax umin Qmax Qmin Anf. Ende 

14 10 12.2621 4.52 1 - - 1 66 130 

24 12 43.9403 1.52 16 - 2 - 218 222 

30 6 16.3156 5.44 2 - 1 - 246 252 

41 14 20.4885 1.04 25 - 1 - 425 433 

57 10 24.4602 1.92 1 - 2 - 463 469 

73 15 129.2563 1.49 49 - 6 - 656 670 

118 12 107.9215 2.86 26 - 4 2 998 1060 

162 4 150.5350 0.97 - - - - 1308 1308 

685 23 1243.7822 1.12 202 - 39 13 5674 5832 

2542 22 1300.5819 2.69 119 9 27 16 14341 14561 

Tabelle 7.4: Iterationszahlen, gesamte Verluste (in % der gesamten Netzlast), Anzahl, 

der an der Grenze liegenden Ungleichheitsnebenbedingungen und Dimension 

des OPF-Problems am Anfang und am Ende der Optimierung für verschiedene Netzgrössen. 

In der Tabelle 7.4 werden nur die Anzahl von Knotenspannungen und 

von Blindleistungen der Generatoren angezeigt, die nach der Optimierung 

an ihrer Grenze liegen. Die Beträge und Winkeln der variablen 

Übersetzungsverhältnisse der Transformatoren sind hier nicht einge- 



tragen, weil keine an der Grenze betrieben wurden und sie auch kein 

Konvergenzproblem darstellen. Im Kontrast dazu haben die Begrenzungen 

des maximalen Zweigstroms und der übertragbaren Wirkleistung 

mit grösseren Netzen zu Konvergenzschwierigkeiten geführt. Sie 

werden ebenfalls in dieser Tabelle nicht angezeigt. 

In den letzten beiden Spalten der Tabelle wird die Dimension der 

gesamten Jacobimatrix (und darum auch des linearen Gleichungssystems) 

am Anfang und am Ende des Lösungsprozesses dargestellt. 

Allerdings wird die Konvergenzgeschwindigkeit während der Newton- 

Raphson-Iterationen durch das Einfügen der verletzten, noch nicht 

berücksichtigten Begrenzungen beträchtlich gebremst. Abbildung 7.2 

zeigt am Beispiel einige typischen Verläufe des maximalen Mismatches 

während des Lösungsverfahrens. 

Max. Mismatch 

10 3 

10 2 

10 1 

10 0 

10 −1 

10 −2 

__ 2542−Knoten Netz 

−− 685−Knoten Netz 

.... 118−Knoten Netz 

10 

0 5 10 15 20 25 

−3 

Iteration 

Abbildung 7.2: Konvergenzverlauf der 2542-, 685- und 118-Knoten Netze. 

Die erste Iteration bringt den Wert des maximalen Mismatches zum 

höchsten Punkt; rund 1400 Begrenzungen werden gleichzeitig ins lineare 

Gleichungssystem eingefügt. Bis zur elften Iteration werden die 

verletzten Begrenzungen schrittweise noch ins System aufgenommen. 



Die letzten Iterationen bringen den maximalen Mismatch in wenigen 

Schritten unter die verlangte Toleranzschwelle ɛ =10 −2 . 

Dieser Verlauf ist ebenfalls in der Tabelle 7.5 detailliert dargestellt. 

Anz. max Verl. 

max |c 

Iter. |mism| 

′ | max |b1| max|b2| max |b3| Zielfunkt. 

Begr. 

0 1.00406 1.00406 0.00000 0.41566 0.10240 1393.684 1370 

1 119.0354 5.4642 101.1255 119.0354 0.1024 1386.349 34 

2 23.8072 1.6966 22.6749 23.8072 0.1024 1401.369 16 

3 14.9282 0.7038 14.9282 4.7621 0.1024 1371.628 4 

4 5.4869 0.5638 2.8163 5.4869 0.1024 1327.123 6 

5 3.4916 0.2499 1.5191 3.4916 0.1024 1269.176 1 

6 2.6577 0.4622 0.3456 2.6577 0.1024 1241.399 3 

7 1.1715 0.4887 0.0760 1.1715 0.1024 1239.995 2 

8 5.8337 0.5651 0.3191 5.8337 0.1024 1242.336 3 

9 1.7802 0.5495 0.2141 1.7802 0.0369 1243.510 0 

10 1.0168 1.0168 0.0549 0.4589 0.1024 1244.002 1 

11 28.0109 0.3429 0.0214 28.0109 0.0371 1243.996 0 

12 10.8676 0.0972 0.0052 10.8676 0.0135 1243.952 0 

13 3.9985 0.0243 0.0010 3.9985 0.0050 1243.903 0 

14 1.2767 0.0064 0.0003 1.2767 0.0019 1243.866 0 

15 0.4096 0.2500 0.0001 0.4096 0.1024 1243.833 1 

16 0.2442 0.2442 0.0008 0.1126 0.0370 1243.841 0 

17 0.0491 0.0491 0.0002 0.0232 0.0135 1243.840 0 

18 0.0205 0.0110 0.0002 0.0205 0.0050 1243.831 0 

19 0.0150 0.0056 0.0001 0.0150 0.0019 1243.818 0 

20 0.0107 0.0107 0.0001 0.0085 0.0007 1243.804 0 

21 0.0108 0.0108 0.0001 0.0095 0.0003 1243.793 0 

22 0.0103 0.0071 0.0001 0.0103 0.0001 1243.786 0 

23 0.0089 0.0047 0.0001 0.0089 0.0001 1243.783 0 

Tabelle 7.5: Die vollständige Konvergenz der rechten Seite für das 685-Knoten Netz. 

Die Abkürzungen c ′ , b1, b2 und b3 sind in (3.13) definiert. 

Der maximale Mismatch der verschiedenen Teile der rechten Seite c ′ , 

b1, b2 und b3 (siehe (3.13)) wird für jede Iteration in der Tabelle 7.5 

angegeben. Der Konvergenzverlauf bei Iteration 11-14 wird von den 

Gleichungstypen 

b2 = −h(x) − z 2r 

(7.1) 



verursacht, die in linearisierter Form als zusätzliche Ungleichheitsnebenbedingungen 

von verletzten Grenzen in das linearen Gleichungssystem 

eingefügt werden. Der Verlauf der Zielfunktion wird in der 

vorletzten Spalte ebenfalls für jede Iteration angegeben. 

7.4.2 Rechenzeiten 

In diesem Abschnitt werden die effektiven Rechenzeiten der verschiedenen 

OPF-Rechnungen für die getesteten elektrischen Energieübertragungssysteme 

ausgewertet. Die gemessenen CPU-Zeiten enthalten 

die vorausgehenden Lastflusslösungen nicht. 

Abbildung 7.3 zeigt die Rechenzeiten in Bezug auf die Knotenzahl. 

Auch in diesem Fall wächst der Rechenzeitbedarf ungefähr linear mit 

der Dimension des OPF-Problems. Die CPU-Zeit pro Iteration wächst 

von 0.02 Sekunden für das kleinste Netzwerk (14-Knoten Netz) auf 

5.30 Sekunden für das 2542-Knoten Netz. 

CPU−Zeit [s] 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

0 500 1000 1500 

Knoten 

2000 2500 3000 

Abbildung 7.3: CPU-Zeiten einer optimalen Lastflussrechnung für verschiedene 

Netzgrössen. 



7.4.3 Verhalten der Optimierungsvariablen µ und z 

Die Werte der Lagrange-Multiplikatoren der Ungleichheitsnebenbedingungen 

µ und der zugehörigen “slack ” -Variablen z werden nach einer 

optimalen Lastflussrechnung analysiert. Im Optimum sind zwei Variablenzustände 

möglich: 

1. Die Ungleichheitsnebenbedingung hi stösst nicht an die Grenze. 

Es gilt also theoretisch: 

µ 2s 

i = 0 und hi < 0 ⇒ z 2r > 0 (7.2) 

2. Die Ungleichheitsnebenbedingung hi stösst an die Grenze. Es gilt 

also theoretisch: 

µ 2s 

i ≥ 0 und hi =0 ⇒ z 2r =0 (7.3) 

In der Tabelle 7.6 sind verschiedene Verhalten der µ und z-Grössen 

einiger Ungleichheitsnebenbedingungen zusammengefasst. 

Var. PF OPF µi zi µ 2s 

i 

|u110| 1.1028 1.1000 1.0078 0.0022 1.01559 0.00000001 

|u236| 1.0000 1.1000 0.3630 0.0031 0.13180 0.00000001 

|u274| 0.9522 0.9952 0.0001 0.6845 0.00000 0.21954925 

Q2 0.0956 -4.0000 0.0173 0.0676 0.00030 0.00002088 

Q65 2.8258 2.1300 0.0567 0.0129 0.00322 0.00000003 

Q191 3.6694 4.0000 0.0223 0.0947 0.00050 0.00008036 

Q205 -0.3903 -1.5511 -0.0001 1.4803 0.00000 4.80109679 

Tabelle 7.6: Endwerte der Variablen µi, zi, µ 2s 

i und z 2r 

i für verschiedene berücksichtigte 

Ungleichheitsnebenbedingungen des 685-Knoten Netzes (r =2,s=1). 

Die Tabelle zeigt für verschiedene berücksichtigte Begrenzungen die 

numerischen Werte der entsprechenden Variablen nach der gewöhnlichen 

Lastflussrechnung (Spalte PF) und am Ende des OPF-Algorithmus 

(Spalte OPF), (alle Werte in “per unit ” , p.u.). Zusätzlich 


z 2r 

i


werden auch die OPF-Endwerte der Variablen µi, zi, µ 2s 

i 

und z2r 

i an- 

gegeben. 

Für ein besseres Verständnis sind die ausführlichen Verläufe in Anhang 

C dargestellt. Die verschiedenen Verhaltensweisen der Begrenzungsvariablen 

für das 685-Knoten Netz werden wie folgt kommentiert: 

• Die Spannungsbeträge der Knoten 110 und 236 mit verschiedenen 

Anfangswerten (Nur die Begrenzung von |u110| ist nach der 

Lastflussrechnung überschritten) konvergieren beide zu den Span- 

nungsmaxima (umaxi 

=1.1 p.u.). Dieses Verhalten wird ebenfalls 

bei Blindleistungen Q2, Q65 und Q191 der Generatorknoten 2, 65 

und 191 gezeigt. In diesen fünf Beispielen sind die µ 2s -Endwerte 

grösser als Null und die z 2r -Endwerte gleich Null. 

• Dagegen bleibt der Spannungsbetrag des Knotens 274 unterhalb 

des Spannungsmaximums. Der µ 2s 

i -Wert ist fast gleich Null und 

-Wert ist deutlich grösser als Null. 

der z 2r 

i 

• Die Blindleistung des Generatorknotens 205 (siehe auch Tabelle 

C.4) hat während des OPF-Verfahrens ihre obere Grenze überschritten. 

Die entsprechende Ungleichheitsnebenbedingung wurde 

in der nächsten Iteration 1 deshalb berücksichtigt. 

Im Optimum bleibt jedoch der Wert dieser Blindleistung viel 

tiefer als das Maximum. Die Optimierungsvariablen benehmen 

sich wie im Normalfall, d.h. unbegrenzt. Der z2r i -Wert wird wegen 

der Gleichung: 

wesentlich grösser als Null. 

hi + z 2r 

i =0 

Die Werte von µ und z können im Prinzip auch kleiner als Null werden. 

Dies hat keinen Einfluss auf die Problembedingungen, da nur 

µ 2s und z 2r positiv bleiben müssen. In diesem letzten Beispiel werden 

die numerischen Werte der Lagrange-Multiplikatoren µ (d.h. µQmax 205 ) 

schwach negativ. 



7.4.4 Verhalten bei Belastungsänderungen 

In einer zweiten Phase wurden die gesamten Wirkleistungsverluste eines 

Netzwerkes bei verschiedenen Belastungen optimiert. Die Wirkund 

Blindleistung an jedem Last- und Generatorknoten wurde zwischen 

+10% und −50% verändert. 

Das 685-Knoten Netz wird für diese Untersuchungen benutzt. Die Resultate 

sind in der Tabelle 7.7 dargestellt. 

Netz- Anz. Erzeugung Verluste Bindende Grenzen 

belast. Iter. MW MVar MW MVar umax Qmax Qmin 

−50% 23 55087.03 -7027.74 326.53 -17357.24 152 - 41 

−20% 20 88411.08 5037.84 794.28 -11489.35 201 5 21 

−10% 21 99573.31 9872.89 1004.41 -8720.20 211 6 13 

Grund 23 110764.78 15117.04 1243.78 -5541.95 202 39 13 

+10% 20 121988.38 20813.37 1515.28 -1911.52 199 35 8 

Tabelle 7.7: OPF-Rechnungen für das 685-Knoten Netz unter verschiedenen Belastungen. 

Die Verlustminimierung elektrischer Energieübertragungssysteme ist 

ein nicht-lineares Problem. Wie die obige Tabelle zeigt, existiert keine 

lineare Beziehung zwischen Leistungsverlusten und Belastungen. Die 

Verminderung der Lastleistung erzeugt nur eine prozentuelle Verminderung 

der optimalen Verluste. Die Iterationszahl bleibt jedoch für 

alle Lösungen praktisch unverändert. 

7.4.5 “Online ” -Einsatz 

Nach dieser Erfahrung erscheint es sinnvoll, auch mehrfache Optimierungen 

in einer “Online ” -Anwendung zu berechnen. Bei “Online ” - 

Anwendungen werden häufig in kurzen Zeitabschnitten nur die vorgegebenen 

Lasten verändert. Die Optimierung kann dadurch beschleunigt 

werden, dass zu Beginn einer neuen OPF-Rechnung nicht alle 

Optimierungsvariablen x (Spannungen, Wirk- und Blindleistungen) 

auf die resultierende Lastflusswerte gesetzt werden, sondern die optimale 

Lösung der vorherigen Optimierung als Startvektor benutzt wird. 


7.5. KOSTENOPTIMIERUNG 101 

Bei nicht allzu grossen Änderungen der Belastungen befindet man sich 

dann bereits in der Nähe der neuen optimalen Lösung, was eine deutliche 

Reduktion der benötigen Rechenzeit mit sich bringt. Als Beispiel 

wurden einige Testnetze mit einem Lastwechsel von jeweils ±10% optimiert 

(siehe Tabelle 7.8). 

Netz 

Anz. Iter. CPU-Zeit CPU-Zeit 

/Lastwechsel /Lastwechsel [s] /Iteration [s] 

57 3 0.4 0.1 

118 6 1.3 0.2 

162 10 5.4 0.5 

685 14 22.8 1.6 

2542 15 70.0 4.65 

Tabelle 7.8: Rechenzeiten im “Online ” -Einsatz. 

Dabei fällt besonders auf, dass die Anzahl der Iterationen für eine 

Optimierung um rund 40 % gegenüber den Läufen der Tabelle 7.4 

reduziert werden konnte. 

7.5 Kostenoptimierung 

Der “unlimited point ” -Algorithmus wurde in dieser Arbeit auch mit 

einer Kostenfunktion getestet. In der Zielfunktion (4.9) wurde für 

jeden regulierbaren Generator eine quadratisch angenäherte Kostenfunktion 

in Abhängigkeit der erzeugten Wirkleistung 

fi(PGi) =C0+C1PGi +C2P 2 Gi 

addiert. 

Die optimale Lösung wurde nur mit einem optimalen Lastflussverfahren 

(d.h. ohne Vorberechnung durch einen gewöhnlichen Lastfluss) 

untersucht. Die Anfangswerte der Optimierungsvariablen µ o und z o 

so wie der Dämpfungsfaktor α müssen geändert werden, und zwar 

µ o =1.0, z o =1.0 und α =0.5. 



Die Abbildung 7.4 zeigt am Beispiel eines 41-Knoten Netzes den Konvergenzverlauf 

des maximalen Mismatches während des Lösungsverfahrens. 

Die erste Iteration (wie in der Abbildung 7.2) bringt den 

Wert des maximalen Mismatches zum höchsten Punkt. Der Konvergenzverlauf 

sinkt aber nach der ersten Iteration praktisch regelmässig 

ab. Die Iterationzahl wird im Vergleich mit einer Verlustminimierung 

grösser (23 Iterationen). Es ist aber zu beachten, dass in diesem Versuch 

der Dämpfungsfaktor, der die Konvergenzgeschwindigkeit stark 

beeinflusst, kleiner als bei dem der Verlustminimierung ist (siehe auch 

Abbildung 6.4). 

Max. Mismatch 

10 3 

10 2 

10 1 

10 0 

10 −1 

10 −2 

__ Kostenminimierung 

.... Verlustminimierung 1 

−− Verlustminimierung 2 

10 

0 5 10 15 20 25 

−3 

Iteration 

Abbildung 7.4: Konvergenzverlauf eines 41-Knoten Netzes mit einer Kostenminimierung 

und einer Verlustminimierung (1 = nur OPF; 2 = OPF nach einem gewöhnlichen 

Lastfluss und mit einer gestaffelten Einführung der Begrenzungen) als Zielfunktion. 

Die Anzahl der Knotenspannungen, der Wirk- und Blindleistungen 

der Generatoren, und der Übersetzungsverhältnisse der regulierbaren 

Transformatoren, die nach einer Kostenoptimierung und einer Verlustminimierung 

als Zielfunktion an ihrer Grenze liegen, sind in der 

Tabelle 7.9 angegeben. 


7.6. VERGLEICH MIT ANDEREN METHODEN 103 

OPF umax umin Pmax Pmin Qmax Qmin tmaxi−j tmini−j 

Kosten 11 6 5 1 2 - 7 2 

Verluste 25 - - - - 1 - - 

Tabelle 7.9: Art und Anzahl an der Grenze liegende Ungleichheitsnebenbedingungen 

eines 41-Knoten Netzes mit einer Kostenminimierung und einer Verlustminimierung 

als Zielfunktion. 

Die Ergebnisse einer Kostenminimierung im Vergleich mit einer Verlustminimierung 

haben am Beispielnetz gezeigt, dass mehr Grenzen 

aktiv sind. 

7.6 Vergleich mit anderen Methoden 

Die Optimierungsergebnisse der “unlimited point ” -Methode werden 

am Ende dieser Arbeit mit anderen Optimierungsalgorithmen verglichen. 

Als Zielfunktion werden die gesamten Wirkleistungsverluste eines 

Netzwerkes eingesetzt. 

Erstens wurde ein IP-Algorithmus entwickelt, der grosse Ähnlichkeiten 

mit der “unlimited point ” -Methode enthält. Dieses Verfahren, basiert 

auf der im Abschnitt 2.3.4 dargelegten Theorie und hat eine ähnliche 

Struktur wie das entwickelte OPF-Verfahren. Die IP-Lösung wird mit 

einem Optimierungsalgorithmus, ohne gestaffelte Einführung der Begrenzungen 

und ohne Vorberechnung eines gewöhnlichen Lastflusses, 


Methode 

Verluste CPU-Zeit Anz. CPU-Zeit 

[MW] [s] Iter. /Iteration [s] Dimension 

UP 1243.78 46.89 23 2.03 5834 

IP 1244.25 47.64 24 1.90 6282 

MINOS 1258.91 4867.1 7 615.6 - 

Tabelle 7.10: Verlustminimierung eines 685-Knoten Netzes mit verschiedenen Optimierungsalgorithmen 

(UP = “unlimited point ” -Algorithmus, IP = “interior point ” - 

Algorithmus, MINOS = MINOS-Optimierungspaket [34]). 

Der Vergleich dieser beiden Methoden (“unlimited point ” und IP) 



hat kleine Unterschiede bezüglich Iterationzahl und Rechenzeit gezeigt 

(siehe Tabelle 7.10). Die Iterationzahl ist beim IP-Algorithmus etwas 

grösser. Die Rechenzeit pro Optimierungsdurchlauf ist hingegen, trotz 

der grösseren Dimension des IP-Problems etwas kleiner, weil für jeden 

Schritt des Lösungsverfahrens keine Einfügung von neuen Variablen 

mehr durchgeführt wird (sie werden alle von Anfang an berücksichtigt). 

Die Wirkleistungsverluste nehmen am Ende der beiden Optimierungsverfahren 

praktisch den gleichen Wert an. 

In der Abbildung 7.5 wird am Beispiel eines 685-Knoten Netzes der 

Konvergenzverlauf der beiden Methoden angegeben. 

Max. Mismatch 

10 3 

10 2 

10 1 

10 0 

10 −1 

10 −2 

__ "unlimited point"−Algorithmus 

−− "interior point"−Algorithmus 

10 

0 5 10 15 20 25 

−3 

Iteration 

Abbildung 7.5: Konvergenzverlauf des 685-Knoten Netzes. 

Ein zweiter Vergleich wurde schliesslich mit dem Optimierungspaket 

MINOS 5.4 [34] durchgeführt. Dieser Simplex-basierte LP-Algorithmus 

braucht aber trotzt der geringen Iterationzahl eine 100 mal 

längere Rechenzeit als beim “unlimited point ” -Algorithmus. 


7.7. ZUSAMMENFASSUNG 105 

7.7 Zusammenfassung 

Der entwickelte “unlimited point ” -Algorithmus hat, sowohl für die 

gewöhnliche Lastflussrechnung, als auch für die optimale Lastflussrechnung 

ein stabiles Verhalten mit reduzierten Rechenzeiten gezeigt. Die 

Rechenzeiten in beiden Fälle steigen linear mit der Netzgrösse. Der 

Lastfluss des 2542-Knoten Netzes wird in weniger als 120 Sekunden 

optimiert. 

Die Lösung eines Lastflussproblems wird im Mittel nach 5 bis 6 Iterationen 

erreicht. Im Gegensatz dazu ist die Iterationzahl eines OPF- 

Algorithmus schwierig auszuwerten. Der OPF-Algorithmus konvergiert 

durchwegs in 20 - 25 Iterationen für die Verlustminimierung und 

in 30 Iterationen für die Kostenoptimierung. 

Die gesamten Wirkleistungsverluste nach einer Verlustoptimierungsrechnung 

sinken je nach Netzwerk um rund 10 ÷ 20%imVergleichmit 

den Lastflussergebnissen. Die Ursache dieser grossen Veränderung ist 

in den angegebenen Datensätzen zu suchen. Ermutigende Ergebnisse 

wurden auch durch die Optimierung von elektrischen Energieübertragungssystemen 

mit verschieden Belastungsänderungen und bei wiederholter 

Anwendung im “Online ” -Betrieb erreicht. 

Ein Vergleich mit anderen bestehenden Methoden hat zudem die positiven 

Eigenschaften des “unlimited point ” -Algorithmus gezeigt. 




Kapitel 8 

Schlussbetrachtungen 

Die Bestimmung eines optimalen Lastflusses (= Optimal Power Flow, 

OPF) ist die Suche nach einem, bezüglich einer Zielfunktion, optimalen 

Zustand eines elektrischen Energieübertragungssystems, unter 

gleichzeitiger Berücksichtigung eines Lastflussmodells sowie operationellen 

und technischen Begrenzungen. Mathematisch führt dies 

auf ein nichtlineares Optimierungsproblem unter Berücksichtigung von 

Gleichheitsnebenbedingungen (Lastflussgleichungen, vorgegebene Lasten), 

sowie Ungleichheitsnebenbedingungen (betriebliche und technische 

Grenzen). 

Moderne, rechnergestützte Leitsysteme stellen dem Netzbetreiber derartige 

Funktionen als Hilfsmittel zur Verfügung. Ein Algorithmus zur 

Bestimmung eines optimalen Lastflusses muss in der Lage sein, auch 

für grosse Netze schnell eine Lösung zu finden. 

Durch die Möglichkeit, die Schwachbesetztheit der Netzmatrizen auszunutzen, 

eignet sich ein Programm auf der Basis einer Newton-Raphson-Methode 

besonders gut. Wie aus der gewöhnlichen Lastflussrechnung 

bekannt ist, sollten die Rechenzeiten nur etwa linear mit der 

Systemgrösse ansteigen. Die Lösung riesiger linearer Gleichungssysteme, 

die schwachbesetzt sind, wird heutzutage mittels leistungsfähiger 

“Software ” -Pakete durchgeführt. 

Ein allgemeines Problem beim OPF stellt die Behandlung von Ungleichheitsnebenbedingungen 

dar. Normalerweise verwenden OPF- 

Verfahren (OPF-Klasse B) Straffunktionen (“Penalty-terms ” ). Dabei 

ergeben sich allerdings, bei Aktivierung bzw. Desaktivierung der 

Grenzen, Veränderungen in der Jacobimatrix der KKT-Funktionen, 

was aufwendige Korrekturoperationen zur Folge hat. Ausserdem fehlt 

107 


108 KAPITEL 8. SCHLUSSBETRACHTUNGEN 

eine effiziente Methode zur Behandlung der korrekten Menge der zu 

aktivierender Ungleichheitsnebenbedingungen. Bestehende Programme 

verwenden hier heuristische Suchverfahren, die einerseits sehr zeitaufwendig 

sind und andererseits die Konvergenz nicht garantieren können. 

Das Ziel dieser Arbeit war erstens die Entwicklung eines neuen Ansatzes 

für eine systematische Behandlung von Ungleichheitsnebenbedingungen 

in einem OPF-Algorithmus, welcher auf einer Newton- 

Raphson-Methode basiert. Zweitens wurde versucht einen möglichst 

flexiblen und konkreten, vollautomatisch generierten, korrekten OPF- 

Code zu erzeugen. 

Das Hauptprinzip dieses Ansatzes besteht aus der Umwandlung der 

Karush-Kuhn-Tucker-Optimalitätsbedingungen und der Anwendung 

eines Newton-Raphson-Verfahrens, das Ähnlichkeiten mit der quadratischen 

Programmierung und mit dem “interior point ” -Verfahren hat. 

Als erster Schritt werden die Ungleichheitsnebenbedingungen 

h(x) ≤ 0 

in Gleichheitsnebenbedingungen durch Einführen neuer “slack ” -Variablen 

z wie folgt umgewandelt: 

mit 

h(x)+z=0 

z ≥ 0 

Zweitens werden alle Variablen µi in den Optimalitätsbedingungen 

mit µ 2s 

i und alle zi mit z 2r 

i ersetzt, so dass die ursprünglichen µ und z 

sie immer positiv bleiben (r, s: ganze Zahlen = 0. 

Nach diesen mathematischen Änderungen erhält man die folgenden 

transformierten notwendigen Optimalitätsbedingungen erster 

Ordnung. 


∂ 

∂x 

 

F(x)+ λTg(x)+µ 2sT 

 

x 

h(x) 


=0 

g(x) = 0 

h(x)+z 2r =0 

diag{µ 2s 

i } z 2r = 0 

Dieses nicht lineare Gleichungssystem wird mit einem klassischen Newton-Raphson-Verfahren 

gelöst. 

Die Jacobimatrix und die rechte Seite des gesamten linearen Gleichungssystems 

werden mit Hilfe einer “Fortran-Datenbank ” von Teilmatrizen 

und Teilvektoren gebildet, die ausgehend von einfacheren 

Musternetzen in algebraischen Form hergeleitet sind. Die Datenbank 

wird durch ein “Maple V ” -Programm automatisch für jeden Elementtyp 

eines elektrischen Energieübertragungssystems (Generatorknoten, 

Lastknoten, Übertragungsleitungen und Transformatoren) generiert. 

Durch diese neue entwickelte Programmstruktur kann folgendes hervorgehoben 

werden: 

• Neue Elementtypen können einfach in der Datenbank hinzugefügt 

werden. 

• Bestehende Elementtypen können schnell geändert werden. 

• Die Dimension des zu lösenden Problems kann nach jeder Iteration 

einfach variiert werden. 

• Die Datenbank besteht wegen der automatischen Erzeugung aus 

fehlerfreien Teilelementen 

• Das lineare Gleichungssystem kann also ohne grossen Zeitaufwand 

aufgebaut werden. 

In der vorliegenden Arbeit wurde die Robustheit des “unlimited point“- 

Algorithmus mit mehreren Testnetzen überprüft. Die verschiedenen 

Optimierungssimulationen haben gezeigt, dass unter folgenden Bedingungen 

der OPF-Algorithmus eine schnelle und robuste Konvergenz 

erreicht: 

109

110 KAPITEL 8. SCHLUSSBETRACHTUNGEN 

• Die Ungleichheitsnebenbedingungen werden im Gleichungssystem 

während des OPF-Verlaufes gestaffelt eingefügt. 

• Für grosse Netze stellt die Vorberechnung eines gewöhnlichen 

Lastflusses, bei welcher die resultierenden Werte der Zustandvariablen 

x als Anfangswerte in der optimalen Lastflussrechnung 

eingesetzt werden, einen entscheidenden Vorteil dar. 

• Die Anfangswerte der Lagrange-Multiplikatoren der Ungleichheitsnebenbedingungen 

µ o und der zugehörigen “slack ” -Variablen z o 

sowie der Wert des Dämpfungsfaktors α und die Werte r und 

s werden heuristisch bestimmt. Um die Lösungszeit des OPF- 

Algorithmus zu reduzieren, könnte im weiteren ein individuelles 

und dynamisches Verhalten dieser Variablen vorgesehen werden. 

Eine Skalierung der Gleichheits- und Ungleichheitsnebenbedingungen 

wäre ebenfalls denkbar. 

Als Hauptzielfunktion wird die Summe der gesamten Verluste eines 

elektrischen Übertragungssystems eingesetzt. Ein Beispiel mit der 

Summe aller Erzeugungskosten der regelbaren Generatoren als Zielfunktion 

hat ebenfalls erfolgreiche Konvergenz gezeigt. 

Der entwickelte OPF-Algorithmus hat ein stabiles Verhalten gezeigt, 

was an Testnetzen zwischen 14 und 2500 Knoten demonstriert wird. 

Vergleiche mit anderen OPF-Algorithmen haben die vorteilhaften Leistungen 

des “unlimited point ” -Algorithmus gezeigt, welche zusammen 

mit neuartigen Software-Engineeringmethoden wie folgt zusammengefasst 

werden können: 

• Robuster OPF-Algorithmus basierend auf Newton-Raphson, 

• schneller OPF-Algorithmus mit Ausnützung der Schwachbesetztheit, 

• Garantie eines korrekten OPF-Codes durch automatische Fortran- 

Codegenerierung ausgehend von Hochsprachen “Maple V ” -Spezifikationen, 

• flexible und schnelle Codeanpassung bei Hinzufügen neuer OPF- 

Netzelemente. 


Anhang A 

Bezeichnungen 

A.1 Allgemeine Symbole 

∂ partielle Ableitung 

∆ Differenz, Mismatch 

a komplexe Zahl 

|a| Absolutwert einer komplexen Zahl 

a Vektor mit den Elementen ai 

a Optimaler Wert nach einem Optimierungsverfahren 

a o Anfangswert 

a k Wert nach der k-ten Iteration 

A Matrix mit den Elementen aij 

A T transformierte Matrix 

{n} Menge aller Knoten {1 ···n} 

111 


112 ANHANG A. BEZEICHNUNGEN 

A.2 Spezielle Bezeichnungen 

L Lagrange-Funktion 

F Zielfunktion 

λ Vektor der Lagrange-Multiplikatoren 

µ Vektor der Karush-Kuhn-Tucker-Multiplikatoren 

z Vektor der “slack ” -Variablen 

J Jacobimatrix 

H Hess’sche Matrix 

v Vektor aller Variablen 

RHS Vektor der rechten Seite (“Right Hand Side ” ) 

α maximale Schrittgrösse (für IP-Algorithmus), 

Dampfungsfaktor (für “unlimited point ” -Algorithmus) 

ζ Sperrfaktor (für IP-Algorithmus) 

Y komplexe Admittanxmatrix mit y ij = Gij + jBij 

G Matrix mit den reellen Komponenten von Y 

B Matrix mit den imaginären Komponenten von Y 

u i 

Spannung am Knoten i, u i = ei + jfi oder u i = |u i|e jΘi 

umaxi, umini maximale und minimale Spannung am Knoten i 

i i 

Knotenstrom am Knoten i, ii = iei + jifi 


A.3. ABKÜRZUNGEN 113 

Pi, Qi 

Pmaxi , Pmini maximale 

Qmaxi , Qmini maximale 

i i−ji 

imaxi−j i 

Pmaxi−j i 

t i−ji 

tmaxi−j i , tmini−j i 

Θtmaxi−j i ,Θtmini−j i 

A.3 Abkürzungen 

Wirk- und Blindleistung am Knoten i 

und minimale Wirkleistung 

am Knoten i 

und minimale Blindleistung 

am Knoten i 

Zweigstrom vom Knoten i weggehend, 

i i−ji = iei−j i + jifi−j i 

maximale Zweigstrom vom Knoten i weggehend 

maximale Wirkleistung des Zweiges i − j 

aus Knoten i 

Übersetzungsverhältnis des Transformators i, 

t i−ji = trei−j i + jtimi−j i oder t i−ji = |t i−ji |ejΘt i−ji 

maximales und minimales 

Übersetzungsverhältnis am Transformator i 

maximale und minimale Winkel des 

Übersetzungsverhältnises am Transformator i 

OPF “Optimal Power Flow“ 

UP “Unlimited Point“ 

IP “Interior Point“ 

LP Lineare Programmierung 

QP Quadratische Programmierung 


114 ANHANG A. BEZEICHNUNGEN 


Anhang B 

Mathematische Formulierung der 

N-Tor-Typen 

B.1 Die Übertragungsleitung 

Die Übertragungsleitungen können in Freiluftleitungen und Kabel eingeteilt 

werden. Sie werden, wie in der Abbildung B.1 dargestellt, als 

Π-Glieder modelliert. 

i 

j B 

2 

R + jX 


j B 

2 

Abbildung B.1: Die Übertragungsleitung im Lastfluss-Modell 

Die entsprechende zwei-Tor Gleichung lautet: 

⎡ 

⎣ 

i i−ji 

i i−jj 

⎤ 

⎡ 

⎦ = ⎣ 

Y ii Y ij 

Y ji Y jj 

⎤⎡ 

ui ⎦⎣ 

Setzt man die Gleichungen (4.3) - (4.7) in (B.1) ein: 

115 

u j 

⎤ 

j 

⎦ (B.1)

116 ANHANG B. N-TOR-TYPEN 

⎡ 

⎣ 

iei−j i + jifi−j i 

iei−j j + jifi−j j 

⎤ 

⎛⎡ 

⎦ = ⎝ 

⎣ Gii Gij 

Gji Gjj 

ei Bii + fi Gii + ej Bij + fj Gij 

⎤ 

⎦ + j 


⎡ 

⎣ Bii Bij 

Bji Bjj 

⎤⎞⎡ 

⎦⎠⎣ 

ei + jfi 

ej + jfj 

⎡ 

= ⎣ ei 

⎤ ⎡ 

Gii − fi Bii + ej Gij − fj Bij 

⎦ + j ⎣ ei 

⎤ 

Gij − fi Bij + ej Gjj − fj Bjj 

⎦ 

Mit 

Gii = R 

R 2 +X 2 

Gij = Gji = − R 

R 2 +X 2 

Gjj = R 

R 2 +X 2 

Bii = − X 

R2 +X2 + B 

2 

Bij = Bji = X 

R 2 +X 2 

Bjj = X 

R2 +X2 + B 

2 

B.2 Der Transformator 

⎤ 

⎦ 

ei Bij + fi Gij + ej Bjj + fj Gjj 

(B.2) 

Die Transformatoren (siehe Abbildung B.2) stellen eine Untermenge 

der Leitungselemente dar. 

i 

t :1 

j B 

2 

R + jX 

j B 

2 

Abbildung B.2: Der Transformator im Lastfluss-Modell 

Die entsprechende 2-Tor Gleichung lautet gleich wie die 2-Tor Glei- 

j

B.3. DIE QUERIMPEDANZ 117 

chung der Leitung (B.2). Die Transformatoradmittanzmatrix hat folgenden 

Grössen: 

Gii = 1 

|ti−ji | 

R 

R 2 +X 2 

Gij = − 1 R ( |ti−ji | R2 +X2 trei−j + 

i X 

R2 +X2timi−j ) 

i 

Gji = − 1 R 

|ti−ji | ( R2 +X2trei−j − 

i X 

R2 +X2timi−j ) 

i 

Gjj = R 

R 2 +X 2 

Bii = 1 X (− |ti−ji | R2 +X2 + B 

2 ) 

Bij = − 1 R 

|ti−ji | ( R2 +X2 timi−j − 

i X 

R2 +X2 trei−j ) 

i 

Bji = 1 R ( |ti−ji | R2 +X2timi−j + 

i X 

R2 +X2 trei−j ) 

i 

Bjj = − X 

R2 +X2 + B 

2 

Das komplexe Übersetzungsverhältnis ti−ji stellt ein Mass dar, um 

die 2-Tor Parameter zu ändern. Im elektrischen Übertragungssystem 

entspricht ti−ji einer variablen Spannungsbeziehung von Knoten i zu 

Knoten j. Das erlaubt die Modellierung eines Transformators. In der 

Praxis ist t eine diskrete Grösse. Im vorliegenden Modell wird t als 

kontinuierliche Variable betrachtet. 

B.3 Die Querimpedanz 

Ein dualer Fall tritt auf, wenn die Netzkomponente nur aus einem 

Querglied besteht. Die Knoten des Π-Glieders fallen dann zusammen. 

Das Problem der Nicht-Existenz der Admittanzmatrix kann jedoch 

umgangen werden: Das Querelement wird einfach einem Knoten zugeordnet. 

Die Querimpedanzen (siehe Abbildung B.1) können alle durch die gleiche 

Art von Gleichungen dargestellt werden. 


118 ANHANG B. N-TOR-TYPEN 

i 

GQuer + jBQuer 

Abbildung B.3: Die Querimpedanz im Lastfluss-Modell 

Die Beziehung für jede Querimpedanz zwischen Strom, Spannung und 

den Impedanzparametern wird für einem Knoten i 

i Qi = si(GQuer + jBQuer)u i 

= siGQuerei − siBQuerfi + j(siGQuerfi + siBQuerei) 

(B.3) 

Die reelle Variable si stellt ein Mass dar, um die Querimpedanz zu 

verändern. In der Praxis repräsentiert si die Anzahl eingeschalteter 

Querimpedanzen am Knoten i und wird als diskrete Steuerung vorallem 

für Spannungsamplituden der Knoten benutzt. 


Anhang C 

Iteratives Verhalten der 

Optimierungsvariablen 

Im Folgenden werden einige Verläufe der berücksichtigten Begrenzungen 

nach einer optimalen Lastflussrechnung vollständig dargestellt. 

Die Beispiele sind bei der Optimierung eines 685-Knoten Netzes entstanden. 

Die vier berücksichtigten Begrenzungen, die hier näher analysiert 

werden, sind wie folgt: 

1. Die obere Grenze des Spannungsbetrags |umax110 | 

2. Die obere Grenze des Spannungsbetrags |umax274| 

3. Die untere Grenze der Generatorblindleistung Qmin2 

4. Die obere Grenze der Generatorblindleistung Qmax205 

Im ersten Fall (siehe Tabelle C.1) ist die obere Grenze von |u110| 

nach der Anfangslastflussrechnung verletzt. Die entsprechende Ungleichheitsnebenbedingung 

wird schon ab der ersten Iteration im linearen 

Gleichungssystem (3.14) eingetragen. Während der Optimierung 

verändert sich |u110| zu ihrem maximalen Wert. Der µ 2s -Wert 

umax110 bleibt grösser Null und der z2r umax -Wert sinkt zu Null. 

110 

Der Spannungsbetrag |u274| (siehe Tabelle C.2) bleibt dagegen im zweiten 

Fall während der ganzen Optimierung unter ihren Maximum. Der 

µ 2s -Wert wird Null und der z umax274 2r -Wert ist grösser als Null. Da 

umax274 der Endwert von |u274| nahe beim Spannungsmaximum liegt, bleibt 

der z2r -Wert in der Nähe von Null. 

umax274 In der Tabelle C.3 wird das Verlauf der Generatorblindleistung am 

119 


120 ANHANG C. VERHALTEN VON OPF-VARIABLEN 

Knoten 2 dasgestellt. In diesem Fall wird die Grenze der Generatorblindleistung 

erst nach der Iteration 6 unterschritten (Qmin2 = −4.0 

p.u.). Mit Berücksichtigung der entsprechenden Ungleichheitsnebenbedingung 

wird Q2 in Laufe der Iterationen wieder an die untere Grenze 

zurückgezogen. Die Werten µ 2s und z umax2 2r haben ein ähnliches 

umax2 Verhalten wie beim ersten Beispiel. 

Ein anderes interessantes Verhalten ergibt sich aus dem Verlauf der 

Generatorblindleistung Q205 (siehe Tabelle C.4). In diesem letzten Fall 

wird die obere Grenze (3.25 p.u.) der Generatorblindleistung Qmax205 

bei der ersten Iteration des OPF-Rechnung überschritten. Dieser Wert 

sinktaberwährend des Lösungsverfahrens tief unter das Maximum 

ab. Die Variable z2r steigt also zu einem relativ hohen Wert. 

Qmax205 Man beachte, dass der Lagrange-Multiplikator µQmax 205 einen schwach 

negativen Wert annimmt. 


Anz. Maximale Spannung am Knoten 110 

Iter. 

|u110| 

µumax 110 zumax 110 µ 2s 

umax 110 

z 2r 

umax 110 

0 1.1028 0.5000 0.8000 0.25000 0.40960000 

1 1.0995 0.4985 0.6412 0.24851 0.16902699 

2 1.0995 0.4971 0.5138 0.24713 0.06971674 

3 1.1015 0.5088 0.4051 0.25886 0.02691776 

4 1.1056 0.6167 0.2811 0.38035 0.00624144 

5 1.1035 0.8586 0.1697 0.73718 0.00083015 

6 1.1008 0.9539 0.1264 0.90988 0.00025506 

7 1.1002 1.0526 0.0946 1.10788 0.00007996 

8 1.1000 1.0150 0.0773 1.03022 0.00003577 

9 1.1000 1.0101 0.0621 1.02038 0.00001483 

10 1.1000 1.0102 0.0496 1.02044 0.00000607 

11 1.1000 1.0095 0.0397 1.01918 0.00000249 

12 1.1000 1.0087 0.0318 1.01750 0.00000102 

13 1.1000 1.0081 0.0255 1.01624 0.00000042 

14 1.1000 1.0078 0.0204 1.01571 0.00000017 

15 1.1000 1.0078 0.0163 1.01558 0.00000007 

16 1.1000 1.0078 0.0130 1.01557 0.00000003 

17 1.1000 1.0078 0.0104 1.01558 0.00000001 

18 1.1000 1.0078 0.0083 1.01558 0.00000000 

19 1.1000 1.0078 0.0067 1.01558 0.00000000 

20 1.1000 1.0078 0.0053 1.01558 0.00000000 

21 1.1000 1.0078 0.0043 1.01559 0.00000000 

22 1.1000 1.0078 0.0034 1.01559 0.00000000 

23 1.1000 1.0078 0.0027 1.01559 0.00000000 

24 1.1000 1.0078 0.0022 1.01559 0.00000000 

Tabelle C.1: Verlauf des Spannungsbetrags (in p.u.) am Knoten 110 eines 685- 

Knoten Netzes (r =2,s=1) 


121


Anz. Maximale Spannung am Knoten 274 

Iter. 

|u274| 

µumax 274 zumax 274 µ 2s 

umax 274 

z 2r 

umax 274 

0 0.9522 0.5000 0.8000 0.25000 0.40960000 

1 0.9520 0.3517 0.7586 0.12370 0.33122223 

2 0.9543 0.2250 0.7436 0.05062 0.30570449 

3 0.9624 0.1425 0.7313 0.02029 0.28593272 

4 0.9795 0.0941 0.7092 0.00885 0.25296226 

5 1.0022 0.0650 0.6770 0.00422 0.21001245 

6 1.0032 0.0398 0.6725 0.00159 0.20454388 

7 0.9976 0.0229 0.6811 0.00052 0.21522436 

8 0.9954 0.0135 0.6844 0.00018 0.21934772 

9 0.9953 0.0081 0.6844 0.00007 0.21943775 

10 0.9953 0.0049 0.6844 0.00002 0.21936026 

11 0.9953 0.0029 0.6844 0.00001 0.21943771 

12 0.9952 0.0018 0.6845 0.00000 0.21948060 

13 0.9952 0.0011 0.6845 0.00000 0.21948884 

14 0.9952 0.0006 0.6845 0.00000 0.21948698 

15 0.9952 0.0004 0.6845 0.00000 0.21949721 

16 0.9952 0.0002 0.6845 0.00000 0.21951557 

17 0.9952 0.0001 0.6845 0.00000 0.21953233 

18 0.9952 0.0001 0.6845 0.00000 0.21954265 

19 0.9952 0.0000 0.6845 0.00000 0.21954721 

20 0.9952 0.0000 0.6845 0.00000 0.21954870 

21 0.9952 0.0000 0.6845 0.00000 0.21954910 

22 0.9952 0.0000 0.6845 0.00000 0.21954921 

23 0.9952 0.0000 0.6845 0.00000 0.21954925 

24 0.9952 0.0000 0.6845 0.00000 0.21954927 

Tabelle C.2: Verlauf des Spannungsbetrags (in p.u.) am Knoten 274 eines 685- 

Knoten Netzes (r =2,s=1) 


Anz. Minimale Blindleistung am Knoten 2 

Iter. 

Q2 

µQmin 2 zQmin 2 µ 2s 

Qmin 2 

z 2r 

Qmin 2 

0 0.0956 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000000 

1 -3.1577 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000000 

2 -3.2431 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000000 

3 -2.9732 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000000 

4 -2.8326 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000000 

5 -3.2343 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000000 

6 -6.2584 0.5000 0.8000 0.25000 0.40960000 

7 -4.1247 0.3005 0.7996 0.09027 0.40885377 

8 -3.6992 0.1808 0.7990 0.03268 0.40751013 

9 -3.6175 0.1093 0.7972 0.01194 0.40383479 

10 -3.6104 0.0669 0.7923 0.00448 0.39396728 

11 -3.6321 0.0423 0.7796 0.00179 0.36939469 

12 -3.6881 0.0286 0.7494 0.00082 0.31542103 

13 -3.7868 0.0218 0.6891 0.00048 0.22548869 

14 -3.8961 0.0188 0.5981 0.00035 0.12793218 

15 -3.9648 0.0178 0.4954 0.00032 0.06020936 

16 -3.9907 0.0174 0.4009 0.00030 0.02582365 

17 -3.9979 0.0173 0.3218 0.00030 0.01072211 

18 -3.9995 0.0173 0.2577 0.00030 0.00441252 

19 -3.9999 0.0173 0.2063 0.00030 0.00181068 

20 -4.0000 0.0173 0.1650 0.00030 0.00074204 

21 -4.0000 0.0173 0.1320 0.00030 0.00030393 

22 -4.0000 0.0173 0.1056 0.00030 0.00012447 

23 -4.0000 0.0173 0.0845 0.00030 0.00005098 

24 -4.0000 0.0173 0.0676 0.00030 0.00002088 

Tabelle C.3: Verlauf der Generatorblindleistung (in p.u.) am Knoten 2 eines 685- 

Knoten Netze (r =2,s=1) 


123


Anz. Maximale Blindleistung am Knoten 205 

Iter. 

Q205 

µQmax 205 zQmax 205 µ 2s 

Qmax 205 

z 2r 

Qmax 205 

0 -0.3903 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000000 

1 3.6443 0.5000 0.8000 0.25000 0.40960000 

2 3.0018 0.3004 0.7997 0.09022 0.40899080 

3 2.8745 0.1807 0.7991 0.03265 0.40767959 

4 2.8511 0.1089 0.7979 0.01187 0.40533657 

5 2.8401 0.0646 0.8008 0.00417 0.41125194 

6 2.7521 0.0319 0.8431 0.00102 0.50531146 

7 2.3616 0.0070 1.0035 0.00005 1.01425643 

8 -0.8612 -0.0066 1.7758 0.00004 9.94494543 

9 -1.3497 -0.0053 1.5893 0.00003 6.37991867 

10 -1.4271 -0.0038 1.5054 0.00001 5.13603381 

11 -1.3859 -0.0024 1.4755 0.00001 4.73968235 

12 -1.3609 -0.0015 1.4671 0.00000 4.63258035 

13 -1.3605 -0.0009 1.4657 0.00000 4.61489677 

14 -1.3937 -0.0005 1.4680 0.00000 4.64464413 

15 -1.4598 -0.0003 1.4732 0.00000 4.71031960 

16 -1.5170 -0.0002 1.4776 0.00000 4.76740307 

17 -1.5432 -0.0001 1.4797 0.00000 4.79335802 

18 -1.5494 -0.0001 1.4801 0.00000 4.79937874 

19 -1.5500 -0.0000 1.4802 0.00000 4.79998696 

20 -1.5501 -0.0000 1.4802 0.00000 4.80014814 

21 -1.5504 -0.0000 1.4802 0.00000 4.80044513 

22 -1.5507 -0.0000 1.4802 0.00000 4.80073433 

23 -1.5510 -0.0000 1.4802 0.00000 4.80095022 

24 -1.5511 -0.0000 1.4803 0.00000 4.80109679 

Tabelle C.4: Verlauf der Generatorblindleistung (in p.u.) am Knoten 205 eines 

685-Knoten Netze (r =2,s=1) 


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Lebenslauf 

Giorgio Vito Rocco Tognola 

von Grono GR 

geboren am 13. Juli 1967 

1973 - 1978 Primarschule in Bodio TI 

1978 - 1983 Sekundarschule in Giornico TI 

1983 - 1987 Mittelschule in Bellinzona TI 

Matura Typus C 

1987 - 1992 Studium an der ETH Zürich 

Abschluss als Dipl. El.-Ing. ETH 

1992 - 1997 Wissenschaftlicher Assistent am Institut 

für Elektrische Energieübertragung und 

Hochspannungstechnik der ETH Zürich 

Dissertation unter der Anleitung von 

Prof. Dr. R. Bacher

“Unlimited Point”-Ansatz zur Lösung des ... - EEH - ETH Zürich

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