Grundwissen Mathematik 7. Klasse - Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium

Grundwissen Mathematik 7. Klasse
7.A Terme
Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oberasbach
z.B. Ausdrücke wie (3a-b)(2a+4b) oder In den Term T1(a,b)=(3a-b)(2a+4b) könnten
6a²+10ab-4b² oder
4
x(
x −
3)
Terme. werden.
Der Wert eines Terms hängt davon ab, In
nennt man für a und b alle rationalen Zahlen eingesetzt
4
T 2 ( x)
= dürfen für x weder 0 noch
x(
x − 3)
welche Zahlen aus der Definitionsmenge 3 eingesetzt werden, da sonst der Nenner
für die Variablen eingesetzt werden. Null wird.
Die letzte auszuführende Rechenoperation
entscheidet über die Struktur und den ist ein Quotient)
Namen des Terms.
4 4 4
T 2 ( 2)
=
=
= = − 2 (Der Term
2(
2 − 3)
2 ⋅ ( − 1)
− 2
Nur gleichartige Terme lassen sich addieren z.B. 12a²b -7a²b = 5a²b ,
und subtrahieren. 3ab und 4a²b sind nicht gleichartig.
2 3 2 5 3
Alle Terme lassen sich multiplizieren. z.B. 3a b ⋅ 4a
b = 12a
b
Produkte von Summen wie (3a-b)(2a+4b)
lassen sich ausmultiplizieren. (3a-b)(2a+4b) = 6a²+12ab-2ab-4b²
= 6a² +10ab-4b²
7.B Rechengesetze
Kommutativgesetz der Addition und a + b = b + a und a · b = b · a
der Multiplikation (a, b, c rationale
Zahlen)
Assoziativgesetz der Addition und a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) und
der Multiplikation (a, b, c rationale a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
Zahlen)
Distributivgesetz (a, b, c rationale a · (b + c) = ab + ac und a · (b – c) = ab – ac
Zahlen) und (a + b):c = a:c + b:c (c ≠ 0)
m n m+
n
n n n
Einfache Potenzrechnung, wobei
a ⋅ a = a und ( a ⋅ b)
= a ⋅ b
m
a Potenz heißt (für alle rationalen
Zahlen a, b und alle natürlichen Zahlen z.B.
n, m).
sowie
( a
m
)
n
=
a
m⋅n
5 2 3 7
a b ⋅ a b =
8 9
a b und
3 5
( a ) =
3⋅5
a
15
a
sowie =
3 3 3
( a ⋅ b)
= a b
Sonderfall : 1
0 =
a
Allgemeine Rechengesetze bei Term- Klammern zuerst (innere vor äußeren)
umformungen : Potenz- vor Punkt- vor Strichrechnung

7.C Gleichungen Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oberasbach
Lösen von Gleichungen mittels Äquivalenz- z.B. 4x – 5 + 2x = –2 + 8x + 4
umformungen (vorher jede Seite vereinfachen): 6x – 5 = 2 + 8x | –6x
auf beiden Seiten der Gleichung wird dieselbe –5 = 2 + 2x | –2
Zahl oder derselbe Term addiert(subtrahiert) –7 = 2x | : 2
auf beiden Seiten der Gleichung wird mit derselben,
von Null verschiedenen Zahl multipli- –3,5 = x
ziert(dividiert).
Gleichungen der Art 3x –2 = 0 oder 5x + 2 = 3
nennt man lineare Gleichungen. Sie sind stets
eindeutig lösbar.
Sind Gleichungen nicht linear, dann können sie z.B. x² = 4 hat zwei Lösungen, -2 und 2,
auch mehrere Lösungen oder gar keine Lösung die Lösungsmenge ist L = {-2;2}
haben. dagegen x² = -4 ist nicht lösbar, die
Lösungsmenge ist die leere Menge
L={}
Eine Gleichung ist allgemein lösbar, wenn alle z.B. 2(x + 3) = 2x + 6 hat die Lösungsrationalen
Zahlen Lösungen der Gleichung sind. Menge L = Q (Menge der rationale
Zahlen)
7.D Daten auswerten
Diagramme
Für das Vergleichen von Daten sind z.B. Säulenund
Balkendiagramme geeignet.
Notenverteilung
2
1
3
6
5
4
Die Verteilung einer Gesamtheit kann mithilfe von
Kreisdiagrammen gezeigt werden.
Arithmetisches Mittel („Durchschnitt“) z.B. Notenspiegel bei einer Schulaufgabe
Quotient aus der Summe aller Werte einer Daten- 1 2 3 4 5 6
Reihe und der Anzahl der Werte.
3 6 8 6 5 1
Anzahl
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Notenspiegel
1 2 3 4 5 6
Note
3·1 + 6·2 + 8·3 + 6·4 + 5·5 + 1·6
29
≈ 3,24

7.E Wichtige geometrische Sätze α1 g1
Winkel an Geraden und Doppelkreuzungen
(mit parallelen Geraden g1 | | g2) γ1 δ1 g2
Nebenwinkel ergeben zusammen 180 o α2
(z.B. β2 + α2 = 180 o ) β2
Scheitelwinkel sind gleich groß δ2
(z.B. β1 = δ1 ) γ2
Stufenwinkel sind gleich groß
(z.B. α1 = α2 )
Wechselwinkel sind gleich groß
(z.B. α2 = γ1 )
Ergänzungswinkel ergeben zusammen 180 o
(z.B. β2 + γ1 = 180 o ) C
γ
Seiten-Winkel-Beziehungen im Dreieck
Der längeren Seite (hier: c) liegt stets der größte
Winkel (hier: γ) gegenüber, der kürzesten stets der
kleinste. Die Summe zweier Dreiecksseiten ist α β
stets größer als die dritte Dreieckseite. A B
c
Innenwinkelsätze
Die Summe der Innenwinkel im Dreieck ist 180 o . α + β + γ = 180 o
Die Summe der Innenwinkel im Viereck beträgt 360 o . α + β + γ + δ = 360 o
Kongruenzsätze für Dreiecke Dreiecke sind kongruent, wenn…
Kongruenzsatz SSS: sie in drei Seiten übereinstimmen.
Kongruenzsatz SWS: sie in zwei Seiten und ihrem
Zwischenwinkel übereinstimmen.
Kongruenzsatz WSW: sie in einer Strecke und den beiden
anliegenden Winkeln übereinstimmen.
Kongruenzsatz SWW: sie in einer Strecke, einem anliegenden
und einem nicht anliegenden Winkel
übereinstimmen.
Kongruenzsatz SSW: sie in zwei Seiten und dem
Gegenwinkel der größeren Seite
übereinstimmen.
Satz des Thales
Genau dann, wenn C auf einem Kreis mit dem
Durchmesser [AB] liegt, ist der Winkel ACB
ein rechter Winkel.
Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oberasbach
C
90 °
β1
A M
B