Grundwissen Mathematik 6. Klasse - Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium

Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oberasbach
Grundwissen Mathematik 6. Klasse
6.A Bruchzahlen
6.A.1 Brüche
Brüche haben die Form z
n
mit n ≠ 0.
z heißt Zähler, n heißt Nenner.
Merke: Bruch = Zähler
Nenner
= Dividend : Divisor = Quotient
6.A.2 Einteilung der Brüche
Bedingung Bezeichnung Beispiel
z = 1 Stammbruch
1 1 1
; ;
3 4 7
z < n echter Bruch
2 4 1
; ;
3 11 5
z > n unechter Bruch
3 7 23
; ;
2 4 13
n teilt z Scheinbruch
6.A.3 Formänderung von Brüchen
6
3
16 2
; ;
4 2
• Erweitern: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl
(k ≠0) multipliziert.
Bsp:
z z⋅k
=
n n⋅k
3
4 =3⋅5
15
=
4⋅5 20
• Kürzen: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl
(k ≠0) dividiert.
Bsp.:
z z :k
=
n n:k
14 14:7 2
= =
21 21:7 3
Kürzen
z z⋅k
=
n n⋅k
Erweitern
6. B Rechnen mit Brüchen
Addition / Subtraktion:
oder:
14 2⋅7 2
= =
21 3⋅7 3
Brüche mit gleichem Nenner werden addiert (subtrahiert), indem
man die Zähler addiert (subtrahiert) und den gemeinsamen
Nenner beibehält.
Bsp.: 1)
3 4 7
� =
11 11 11
2)
7 3 4
− =
13 13 13
Brüche mit verschiedenem Nenner erweitert man zuerst auf den
Hauptnenner (kleinster gemeinsamer Nenner = kgV der Nenner)
und addiert (subtrahiert) dann die nun gleichnamigen Brüche.
Bsp.: 1)
1 1 3 2 5
� = � =
4 6 12 12 12
2)
1
3 −1
5 3 2
= − =
5 15 15 15
Multiplikation:
Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und
Nenner mit Nenner multipliziert.
Bsp.:
3
8 ⋅7
21
=
5 40
Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in unechte
Brüche umgewandelt werden.
Bsp.: 1 2 2 5 2
⋅ = ⋅
3 11 3 11 =10
33
Division:
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem
Kehrbruch multipliziert.
Bsp.: 1)
3
4
5 3
: =
7 4 ⋅7
6.C Dezimalzahlen
6.C.1 Begriffe
5 =21
20
=1 1
20
2)
3 3
:5=
4 4 ⋅1
3
=
5 20
Zahlen wie z.B. 1,465 heißen Dezimalbrüche.
Dabei bedeutet die 1. (2., 3., …) Stelle hinter dem Komma
Zehntel (Hundertstel, Tausendstel, …).
Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen.
6.C.2 Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen
Kann der Nenner eines Bruches durch Kürzen / Erweitern auf
eine Stufenzahl gebracht werden, so entsteht ein endlicher
Dezimalbruch, ansonsten ein unendlich periodischer
Dezimalbruch.
Bsp.: 1)
K ü r z e n n i e v e r g e s s e n ! ! !
3 6
= =0,6 2)
5 10
6.C.3 Runden von Dezimalzahlen
Ist die erste wegzulassende Ziffer
2
3 =2:3=0,�6
→ eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet.
→ eine 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet.
Endnullen dürfen nach dem Runden nicht weggelassen
werden!!!
So erkennt man, auf welche Stelle gerundet wurde.
(≈ Genauigkeit)
Bsp.: 1) 3,4564 [3D] ≈�3,456 2) 3,4564 [2D] ≈ 3,46
3) 2,99 [1D] ≈ 3,0
6.D Rechnen mit Dezimalzahlen
Addition / Subtraktion:
Die Dezimalbrüche so untereinander schreiben, dass Komma
unter Komma steht und stellenweise rechnen.
0,0345 + 1,986 = 2,0205 0,0345
+ 1,9860
2,0205

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1,862 – 1,79 = 0,072 1,862
- 1,790
Multiplikation:
0,072
Ohne Rücksicht auf die Kommas multiplizieren und dann im
Ergebnis das Komma so setzen, dass dieses so viele Dezimalen
hat, wie die Faktoren zusammen.
Bsp.: 0,03 . 2,5 = 0,075
Division:
In Dividend und Divisor das Komma so weit nach rechts
verschieben, dass der Divisor eine ganze Zahl ist; beim Dividieren
beim Überschreiten des Kommas im Dividend auch im Ergebnis
das Komma setzen.
Bsp.: 0,015 : 0,75 = 1,5 : 75 = 0,02
6. E Relative Häufigkeit
Die relative Häufigkeit gibt an, welcher Bruchteil aller Ergebnisse
Treffer sind.
Anzahl der Treffer
relative Häufigkeit =
Anzahl der Ergebnisse
Bsp.: Würfelt man zehnmal und tritt dabei zweimal die Eins
auf, so ist die relative Häufigkeit für die Eins = 2
10 =1
5 .
Wiederholt man ein Zufallsexperiment sehr oft, so pendelt sich die
relative Häufigkeit bei einem festen Wert ein.
6. F Prozent
6.F.1 Begriff
Prozente geben Bruchteile an. „Prozent“ heißt „Hundertstel“.
1
100 =1%
1
=50 %
2 1
6.F.2 Prozentrechnung
=25 % 1=100 %
4
p% = Prozentsatz G = Grundwert P = Prozentwert
Es gilt: p% von G = P, d.h.
p
100 ⋅G=P
Dem Grundwert werden immer 100% zugeordnet.
Mögliche Aufgabenstellungen:
• Prozentsatz p gesucht
Wie viel Prozent sind 7 von 35?
p%= 7
35 =1 =0,2=20 %
5
• Prozentwert P gesucht
Wie viel sind 20% von 75€?
20% von 75€ = 0,2 . 75€ = 15€
• Grundwert G gesucht
25% von G sind 45€. Wie hoch ist G?
5% von G sind 45€ : 5 = 9€
100% von G sind 9€ . 20 = 180€ = G
6. G Schlussrechnung / Dreisatz
Regel: Die gesuchte Größe steht am Ende der Sätze.
6.G.1 direkte Proportionalität
3kg Äpfel kosten 2,40€. Wie viel kosten 5kg?
3kg kosten 2,40€
1kg kostet 2,40€ : 3 = 0,80€
5kg kosten 0,80€ . 5 = 4€
Schluss auf die Einheit .
Schluss auf ein Vielfaches
Zwei Größen heißen zueinander direkt proportional, wenn dem
Doppelten, Dreifachen, ... der einen Größe das Doppelte,
Dreifache, … der anderen Größe entspricht.
6.G.2 indirekte Proportionalität
In 15 Stunden wird eine Wohnung von 3 Malern tapeziert. Wie
lange brauchen 5 Maler?
3 Maler brauchen 15h
1 Maler braucht 15h . 3 = 45h
5 Maler brauchen 45h : 5 = 9h
Schluss auf die Einheit .
Schluss auf ein Vielfaches
Zwei Größen heißen zueinander indirekt (oder umgekehrt)
proportional, wenn dem Doppelten, Dreifachen, … der einen
Größe die Hälfte, ein Drittel, … der anderen Größe entspricht.
6. H Geometrie
6. H.1 Flächeninhalte
Parallelogramm Dreieck Trapez
Parallelogrammfläche
= Grundseite mal
Höhe
Dreiecksfläche =
½ mal Grundseite
mal Höhe
AP = g . h AD = ½ . g . h
6. H.2 Oberflächen- und Rauminhalt
Trapezfläche =
Mittellinie mal
Höhe
AT = m . h
= ½ . (a + c) . h
Wenn die Umrechnungszahl für Längeneinheiten 10 ist, dann
ist sie für die zugehörigen Flächeneinheiten 100, bzw.
für die zugehörigen Raumeinheiten 1000.
1km = 1000m 1m = 10dm 1dm = 10cm 1cm = 10mm
1km2 = 100ha 1ha = 100a 1a = 100m2 1m2 = 100dm2 1km 3 =
1.000.000.000m 3 1m 3 = 1000dm 3
1dm 3 = 1000cm 3
1cm 3 = 1000mm 3
Speziell: 1l = 1dm 3 1ml = 1cm 3 1hl = 100l
Oberfläche des Quaders OQ = 2 . l . b + 2 . l . h + 2 . b . h
Oberfläche des Würfels OW = 6 . a 2
Volumen des Quaders VQ = l . b . h
Volumen des Würfels VW = a 3